2024-2025学年八下数学第一次月考卷-2024-2025学年八年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（华东师大版）

1 2024-2025 学年八下数学第一次月考卷 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考 证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第16-17章。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1．下列函数中，y是 x的反比例函数的是（ ） A． 2 2y x  B． 2 xy  C． 1 1y x   D． 1y x   2．下列等式一定成立的是（ ） A． 1 1 a a b b    B． 3 3 a a b b  C． 2 a ab b b  D． a ac b bc  3．在科研人员的不懈努力下，我国成功制造出了“超薄钢”，打破了日德垄断．据悉，该材料的厚度仅有 0.000015 米，将数据 0.000015 用科学记数法表示为（ ） A． 51.5 10 B． 41.5 10 C． 415 10 D． 60.15 10 4．把分式 3y x  中的 x，y 都扩大 3 倍，则分式的值（ ） A．扩大 3倍 B．缩小 3 倍 C．不变 D．无法确定 5．已知反比例函数 ( 0) ky k x   与一次函数 2y x  的图象的一个交点的横坐标为 3，则 k的值为（ ） A． 3 B． 1 C．1 D．3 2 6．已知一次函数 y ax b  （a、b 是常数），y与 x的部分对应值如表： x … 2 0 1 2 … y … 2 2 4 6 … 下列说法中，正确的是（ ） A．图象经过第二、三、四象限 B．若 1 2x x ，则 1 2y y C．将函数 2y x 的图象向左平移 2 个单位可得到该函数图象 D．该函数图象与 x轴的交点是  1,0 7．若点 A  11, y ，B  22, y ，C  33, y 都在反比例函数 4y x  的图象上，则（ ） A． 3 2 1y y y  B． 1 2 3y y y  C． 2 1 3y y y  D． 3 1 2y y y  8．某快递公司请了甲、乙两名搬运工搬运包裹，甲比乙每小时多搬运30kg包裹，甲搬运900kg包裹所用的 时间与乙搬运600kg包裹所用的时间相等，求甲、乙两人每小时分别搬运多少 kg包裹？若设甲每小时搬运 kgx 货物，则下列方程正确的是（ ） A． 600 900 30x x   B． 600 900 30x x   C． 600 900 30x x   D． 600 900 30x x   9．已知 3 4 ( 1)( 2) 1 2 x A B x x x x        ，则 A B 的值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 10．已知小明的家、体育场、文具店在同一直线上，图中的信息反映的过程是：小明从家步行去体育场， 在体育场锻炼了一阵后又步行到文具店买笔，然后再跑步回家，图中 x 表示离家时间，y 表示小明离家的距 离，依据图中的信息，下列说法正确的是（ ） A．体育场离小明家1.5km B．小明在体育场锻炼时间为 40min C．小明从家到体育场时步行的平均速度是0.1m/min D．小明从文具店跑步回家的平均速度是 300m/min 3 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分。 11．要使代数式 3 x x  有意义，则 x的取值范围是 ． 12．计算：   1 01 π 2024 5          ． 13．若反比例函数 24y x   的图象经过点  , 2m  ，则 m 的值为 ． 14．计算： 2 1 1 a a a a     ． 15．已知在平面直角坐标系中，线段 AB x∥ 轴，若点 A 的坐标为  3,4 ，则点 B 到 x 轴的距离为 ． 16．在同一平面直角坐标系中，直线 2y x 和 y x b   相交于点  1,P a ，则关于 x， y的方程组 2y x y x b      的解是 ． 17．已知关于 x 的分式方程 22 4 4 kx x x     无解，则 k 的值为 ． 18．如图，直线  1 1 1 0y a x a  与双曲线  22 2 0, 0 ay a x x    交于点A，点  3,3B 是直线 1y 上一点，且 2OA AB ． （1） 2a  ． （2）过点 B作 BC x 轴于点C，作 BD AB 交双曲线于点D，过点D作DE BC 于点 E，则 ABDS △ ． 三、解答题：本题共 7 小题，共 78 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 19．计算和解分式方程： (1)计算： 1 2023 01 ( 1) ( 1) 3            ． (2)解分式方程： 1 3 1 1 2 2 x x x      ． 4 20．先化简，再求值： 2 2 2 1 2 1( ) 1       x x x x x x ，其中 4x  21．如图，在平面直角坐标系 xOy，原点 O 及 ABCV 的顶点都是格点（横、纵坐标都是整数的点称为格点）， 若点 A 的坐标为  4 2， ． 请根据图表信息回答有关问题： (1)请你直接写出点 B 和点 C坐标； (2)求 ABCV 的面积； (3)将 ABCV 先向下平移 1 个单位长度再向右平移 4 个单位长度得到 1 1 1A BC△ ，画出 1 1 1A BC△ ，则点 1A的坐 标是________． 5 22．人工智能逐渐融入我们的生活．如图所示，某餐厅购买一个送餐机器人，这种机器人与地面的接触面 积是可以调整的．下表记录着地面所受压强、机器人与地面的接触面积之间的关系： 地面所受压强  Pap 56 10 58 10 61.2 10 61.6 10 接触面积  2mS 48 10 46 10 44 10 43 10 (1)地面所受压强 p与接触面积S满足怎样的函数关系？并求出压强  Pap 关于接触面积  2mS 的函数表达 式． (2)若送餐机器人要经过一段玻璃通道，且这段玻璃通道能承受的最大压强为 61 a10 P ，问这种机器人与地 面的接触面积至少为多少平方米? 23．某班级为了庆祝“五四青年节”，计划投入一笔资金购买甲、乙两种奖品，已知 1 件甲种奖品比 1 件乙 种奖品多 15 元，用 175 元购买甲种奖品的数量和用 100 元购买乙种奖品的数量相同． (1)求购买 1 件甲种奖品和 1件乙种奖品各需多少元？ (2)若该班级计划购买甲、乙两种奖品共 60 件，且购买的总费用不超过 1440 元，则甲种奖品最多能购买多 少件？ 6 24．如图，在平面直角坐标系中，一次函数 y kx b  与反比例函数 6y x   的图象交于  1,A m ，  , 3B n  两 点，一次函数 y kx b  的图象与 y轴交于点C． (1)求一次函数的解析式； (2)根据函数的图象，直接写出不等式 6kx b x    的解集； (3)点 P是 x轴上一点，且 AOP 的面积等于 9，求点 P的坐标． 25．【问题提出】 已知直线  6 0y kx k   的图象与 x轴、 y轴分别交于A， B两点． （1）如图①，当 2k  时，在第二象限构造等腰直角 ABCV ， 90CAB  ，则点C的坐标为__________； （2）如图②，当 k的取值变化，点A随之在 x轴负半轴上运动时，在 y轴左侧过点 B作 BN AB ，并且 BN AB ，连接ON ，问 OBN△ 的面积是否发生变化？若不变，请求出这个定值．若变化，请说明理由； 【问题解决】 （3）如图③，长方形 ABCO是某植物园一块郁金香种植区的平面示意图，经测量， 6AB OC  米， 4AO BC  米．现要在植物园修建一座凉亭点Q（凉亭大小忽略不计），并从种植区边沿出发修建两条通 往凉亭的小路以便游客观赏．为方便确定点Q的位置，将长方形 ABCO以原点O为坐标原点，以OC所在边 为 x轴，OA所在边为 y轴，建立平面直角坐标系．考虑植物园的整体布局，确定将凉亭点Q建在直线 2 4y x  上比较美观．计划将点A作为一条小路路口，在线段 BC上找的一点 P作为另一条小路路口，要 求凉亭点Q到两路口距离相等，且 90AQP  ，求所有满足条件的点Q的坐标． 1 2024-2025 学年八下数学第一次月考卷 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考 证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第16-17章。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1．下列函数中，y是 x的反比例函数的是（ ） A． 2 2y x  B． 2 xy  C． 1 1y x   D． 1y x   【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的定义，根据反比例函数的意义分别进行分析即可，形如：  0ky k x   或 1y kx-= 或 xy k 的函数是反比例函数． 【详解】解：A． 2 2y x  ，y 是 2x 的反比例函数，故此选项不合题意； B． 2 xy  ，y是 x的一次函数，故此选项不合题意； C． 1 1y x   ， y不是 x的反比例函数，故此选项不合题意； D． 1y x   ，y 是 x 的反比例函数，故此选项符合题意． 故选：D． 2．下列等式一定成立的是（ ） A． 1 1 a a b b    B． 3 3 a a b b  C． 2 a ab b b  D． a ac b bc  【答案】C 2 【分析】根据分式的性质即可一一判定即可．本题考查了分式的性质，熟练掌握和运用分式的性质是解决 本题的关键． 【详解】解： 1 1 a a b b    ， 3 3 a a b b  ， 2 a ab b b  ，当 0c  时， a ac b bc  不成立， 故选：C． 3．在科研人员的不懈努力下，我国成功制造出了“超薄钢”，打破了日德垄断．据悉，该材料的厚度仅有 0.000015 米，将数据 0.000015 用科学记数法表示为（ ） A． 51.5 10 B． 41.5 10 C． 415 10 D． 60.15 10 【答案】A 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 10na 的形式，其中1 10a  ，n 为整数，确定 n 的值时，要看把原数变成 a时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：将数据 0.000015 用科学记数法表示为 51.5 10 ， 故选：A． 4．把分式 3y x  中的 x，y 都扩大 3 倍，则分式的值（ ） A．扩大 3倍 B．缩小 3 倍 C．不变 D．无法确定 【答案】D 【分析】本题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质计算即可得解，熟练掌握分式的基本性质是解 此题的关键． 【详解】解：由题意可得：  3 13 3 1 3 3 yy y x x x     ， ∴分式的值无法确定， 故选：D． 5．已知反比例函数 ( 0) ky k x   与一次函数 2y x  的图象的一个交点的横坐标为 3，则 k的值为（ ） A． 3 B． 1 C．1 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了用待定系数法确定函数的解析式，熟练掌握这种方法是解题的关键． 把 3x  代入一次函数的解析式，即可求得交点坐标，然后利用待定系数法即可求得 k 的值． 【详解】在 2y x  中， 令 3x  ， 解得 1y   ， 3 则交点坐标是：  3, 1 ， 代入 ky x  ， 得 3k   ． 故选：A． 6．已知一次函数 y ax b  （a、b 是常数），y与 x的部分对应值如表： x … 2 0 1 2 … y … 2 2 4 6 … 下列说法中，正确的是（ ） A．图象经过第二、三、四象限 B．若 1 2x x ，则 1 2y y C．将函数 2y x 的图象向左平移 2 个单位可得到该函数图象 D．该函数图象与 x轴的交点是  1,0 【答案】D 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，一次函数的平移，掌握一 次函数的图象和性质是解题关键．先求出一次函数解析式，得出经过的象限，可判断 A 选项；根据 2 0k   ， 判断 B 选项；求出 0y  时的 x 值，可判断 D 选项；根据“上加下减、左加右减”的平移规律，可判断 C 选 项． 【详解】解：∵一次函数 y ax b  图象过点  0,2 、  1,4 ， 2 4 b a b     ， 解得 2 2 b b    ， ∴一次函数解析式为 2 2y x  ， ∴图象经过第一、二、三象限， ∴A 选项错误； ∵ 2 2y x  中， 2 0k   ， ∴y 的值随 x 的增大而增大， ∴若 1 2x x ，则 1 2y y ， 4 ∴B 选项错误； 令 0y  ，则 2 2 0x   ， 解得： 1x   ，即该函数图象与 x轴的交点是  1,0 ， ∴D 选项正确； 平移后得到该函数  2 2 2 4y x x    的图象， ∴C 选项错误； 故选：D． 7．若点 A  11, y ，B  22, y ，C  33, y 都在反比例函数 4y x  的图象上，则（ ） A． 3 2 1y y y  B． 1 2 3y y y  C． 2 1 3y y y  D． 3 1 2y y y  【答案】A 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，根据反比例函数的增减性解答即可． 【详解】解：对于 4y x  ， 4 0k   ， 当 0x  时， y随 x的增大而减小， 点 A  11, y ，B  22, y ，C  33, y 都在反比例函数 4y x  的图象上，3 2 1  ， ∴ 3 2 1y y y  ； 故选：A． 8．某快递公司请了甲、乙两名搬运工搬运包裹，甲比乙每小时多搬运30kg包裹，甲搬运900kg包裹所用的 时间与乙搬运600kg包裹所用的时间相等，求甲、乙两人每小时分别搬运多少 kg包裹？若设甲每小时搬运 kgx 货物，则下列方程正确的是（ ） A． 600 900 30x x   B． 600 900 30x x   C． 600 900 30x x   D． 600 900 30x x   【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答时根据甲搬运900kg包裹所用时间与乙搬运600kg包 裹所用时间相等建立方程是关键． 设甲每小时搬运 x千克包裹，则乙每小时搬运 ( 30)x  千克包裹，根据甲搬运 900kg包裹所用时间与乙搬运 600kg包裹所用时间相等建立方程． 【详解】解：设甲每小时搬运 kgx 包裹，则乙每小时搬运 ( 30)x  千克包裹， 5 那么可列方程 900 600 30x x   ． 故选：A． 9．已知 3 4 ( 1)( 2) 1 2 x A B x x x x        ，则 A B 的值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查的是分式的加减运算的逆运算，二元一次方程组的应用，理解题意，建立方程组解题是 关键．由条件可得 3 4 ( ) ( 2 ) ( 1)( 2) ( 1)( 2) x A B x A B x x x x           ，从而可得 3 2 4 A B A B       ，再解方程组即可． 【详解】解： 3 4 ( 1)( 2) 1 2 x A B x x x x        ，  3 4 ( 2) ( 1) ( ) ( 2 ) ( 1)( 2) ( 1)( 2) ( 1)( 2) x A x B x A B x A B x x x x x x                 ，  3 2 4 A B A B       ， 解得： 1 2 A B    ， 3A B   ， 故选：C． 10．已知小明的家、体育场、文具店在同一直线上，图中的信息反映的过程是：小明从家步行去体育场， 在体育场锻炼了一阵后又步行到文具店买笔，然后再跑步回家，图中 x 表示离家时间，y 表示小明离家的距 离，依据图中的信息，下列说法正确的是（ ） A．体育场离小明家1.5km B．小明在体育场锻炼时间为 40min C．小明从家到体育场时步行的平均速度是0.1m/min D．小明从文具店跑步回家的平均速度是 300m/min 【答案】D 【分析】本题主要考查了对函数图象的理解和掌握，能根据实际问题所反映的内容来观察与理解图象是解 6 答此题的关键．利用函数图象中横、纵坐标的意义分别求解即可． 【详解】解：A、体育场离小明家1km，选项错误，不符合题意； B、小明在体育场锻炼时间为 40 10 30min  ，选项错误，不符合题意； C、小明从家到体育场时步行的平均速度是 1 0.1km / min 10  ，选项错误，不符合题意； D、小明从文具店跑步回家的平均速度是 1500 300m / min 55 50   ，选项正确，符合题意； 故选：D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分。 11．要使代数式 3 x x  有意义，则 x的取值范围是 ． 【答案】 3x  /3 x 【分析】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式的分母不能等于 0 是解题关键．根据分式的分母不 能等于 0 求解即可得． 【详解】解：要使代数式 3 x x  有意义，则 3 0x   ， 解得 3x  ， 故答案为： 3x  ． 12．计算：   1 01 π 2024 5          ． 【答案】6 【分析】本题考查零指数幂，负整数指数幂，先根据零指数幂，负整数指数幂的法则计算，再进行加法运 算即可． 【详解】解：   1 01 π 2024 5 1 6 5            ， 故答案为：6． 13．若反比例函数 24y x   的图象经过点  , 2m  ，则 m 的值为 ． 【答案】12 【分析】本题考查求反比例函数的自变量的值，根据反比例函数图象上点的坐标特点，可得 2 24m   ，由 此可解． 7 【详解】解：反比例函数 24y x   的图象经过点  , 2m  ，  2 24m   ，  12m  ， 故答案为：12． 14．计算： 2 1 1 a a a a     ． 【答案】 a 【分析】本题考查同分母分式的运算；先变形为同分母的分式，再根据同分母分式加减法时分母不变，分 子相加减即可． 【详解】解：  2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 a aa a a a a a a a a a a a a                ， 故答案为： a ． 15．已知在平面直角坐标系中，线段 AB x∥ 轴，若点 A 的坐标为  3,4 ，则点 B 到 x 轴的距离为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了坐标与图形、点到坐标轴的距离，熟练掌握点到 x轴的距离等于这个点的纵坐标的绝对 值是解题关键．先求出点 B的纵坐标，再根据点到 x轴的距离等于这个点的纵坐标的绝对值求解即可得． 【详解】解：∵在平面直角坐标系中，线段 AB x∥ 轴，点A的坐标为  3,4 ， ∴点 B的纵坐标与点A的纵坐标相等，即为 4， ∴点 B到 x轴的距离为 4 4 ， 故答案为：4． 16．在同一平面直角坐标系中，直线 2y x 和 y x b   相交于点  1,P a ，则关于 x， y的方程组 2y x y x b      的解是 ． 【答案】 1 2 x y    【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的 一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数，因此方程组的解就是两个相应的 一次函数图像的交点坐标． 用待定系数法求出 a的值，即可得到答案． 8 【详解】解：把  1,P a 代入 2y x 得 2a  ，  1,2P ， 直线 2y x 和 y x b   相交于点  1,2P ， 关于 x， y的方程组 2y x y x b      的解是 1 2 x y    ， 故答案为： 1 2 x y    ． 17．已知关于 x 的分式方程 22 4 4 kx x x     无解，则 k 的值为 ． 【答案】 1 2 或 2 【分析】本题考查分式方程无解的情况，需注意分式方程无解时要考虑增根的情况．先将分式方程去分母 转化为整式方程，由分式方程无解得到 6 2 x k   为增根， 6 2 x k   无意义，据此列式求解，即可解题． 【详解】解： 22 4 4 kx x x      2 4 2kx x   2 6kx x   2 6k x   6 2 x k   ， 关于 x 的分式方程 22 4 4 kx x x     无解， 当 6 2 x k   为增根时， 6 4 2 k   ，解得 1 2 k  ， 当 6 2 x k   无意义时，2 0k  ，解得 2k  ， 则 k 的值为 1 2 或 2； 故答案为： 1 2 或 2． 18．如图，直线  1 1 1 0y a x a  与双曲线  22 2 0, 0 ay a x x    交于点A，点  3,3B 是直线 1y 上一点，且 2OA AB ． 9 （1） 2a  ． （2）过点 B作 BC x 轴于点C，作 BD AB 交双曲线于点D，过点D作DE BC 于点 E，则 ABDS △ ． 【答案】 4 5 【分析】本题考查了反比例函数与几何图形，反比例函数与正比例函数图象交点问题； （1）先将  3,3B 代入正比例函数，得 1 1a  ，进而得出 3 2OB  ，根据 2OA AB ，可得 2 2OA  ，即可 求出点 A 的坐标，从而得到 2 4a  ， （2）然后判断 BDEV 是等腰直角三角形，根据勾股定理求得 ,BD AB的长，进而根据三角形的面积公式， 即可求解． 【详解】解：（1）∵点  3,3B 是直线  1 1 1 0y a x a  上一点， ∴ 1 1a  ∴ 1y x ， ∵点  3,3B ∴ 2 23 3 3 2OB    ∵ 2OA AB ∴ 2 2 2 3 OA OB  由∵A在 1y x 上 设  ,A t t ， 0t  ∴ 2 2 2 2t t  解得： 2t  （负值舍去） ∴点 A 的坐标为  2,2 ， ∴ 2 2 2 4a    ， 10 故答案为： 4． （2）∵  2,2A ，  3,3B ∴    2 23 1 3 1 2AB      ∵  3,3B ,BC x 轴于点C， ∴ 3OC OB  ，则 OBC△ 是等腰直角三角形， ∴ 45OBC  ， ∵BD AB ∴ 90ABDÐ = °， 45EBD   ∴BE ED 设DE BE m  ，则 3CE m  ， 即点 D 的坐标为  3 ,3m m  ， ∴   3 3 4m m   ， 解得： 5m  （负值舍去） ∴  3 5,3 5D   ∴    2 23 5 3 3 5 3 10BD        ∴ 1 1 2 10 5 2 2ABD S AB BD     △ 故答案为： 5 ． 三、解答题：本题共 7 小题，共 78 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 19．计算和解分式方程： (1)计算： 1 2023 01 ( 1) ( 1) 3            ． (2)解分式方程： 1 3 1 1 2 2 x x x      ． 【答案】(1)1 (2) 3x   11 【分析】本题考查实数的运算，解分式方程，解题的关键是掌握 1 1 1a a        ，  0 1 0a a  ，解分式方程， 进行解答，即可． （1）根据 1 1 1a a        ，  0 1 0a a  ，然后进行计算，即可； （2）等式两边同时乘以  2 1x  ，先去分母，然后去小括号，移项，合并同类项，最后系数化为“1”，即 可． 【详解】（1）解： 1 2023 01 ( 1) ( 1) 3            原式 3 ( 1) 1    1 （2）解： 1 3 1 1 2 2 x x x      等式两边同时乘以  2 1x  ，得      1 32 1 2 1 1 2 1 1 2 2 xx x x x x            化简得，  2 3 2 2x x    去小括号，得 2 3 2 2x x    移项，得 2 2 2 3x x    合并同类项，得 3x  系数化为“1”，得 3x   经检验， 3x   是原方程的解． 20．先化简，再求值： 2 2 2 1 2 1( ) 1       x x x x x x ，其中 4x  【答案】 1 1x  ， 1 5 【分析】本题考查了分式的化简求值，完全平方公式，平方差公式，熟练掌握知识点是解题的关键． 先化简括号内分式，再将除法运算转化为乘法运算即可． 【详解】解：原式    2 2 1 2 1 1 x x x x x x x                21 1 1 1 x x x x x x       12 1 1x   ， 当 4x  时，原式 1 5  ． 21．如图，在平面直角坐标系 xOy，原点 O 及 ABCV 的顶点都是格点（横、纵坐标都是整数的点称为格点）， 若点 A 的坐标为  4 2， ． 请根据图表信息回答有关问题： (1)请你直接写出点 B 和点 C坐标； (2)求 ABCV 的面积； (3)将 ABCV 先向下平移 1 个单位长度再向右平移 4 个单位长度得到 1 1 1A BC△ ，画出 1 1 1A BC△ ，则点 1A的坐 标是________． 【答案】(1) ( 1,3)B  ， ( 2, 1)C   (2)5.5 (3)  0,1 【分析】（1）由点 B 和点 C 都在格点上即可解答； （2）利用割补法， ABCV 的面积为一个矩形的面积减去三个小三角形的面积即可解答； （3）利用平移的性质即可画出 1 1 1A BC△ 和得出点 1A的坐标． 【详解】（1）解：由图可得 ( 1,3)B  ， ( 2, 1)C   ； （2）解： 1 1 1 33 4 3 1 4 1 3 2 12 2 3 5.5 2 2 2 2ABC S                V ； （3）解：如图， 13 ∴点 1A的坐标是  0,1 ， 故答案为：  0,1 ． 【点睛】本题考查了格点图上的点，三角形的面积，平移作图等知识点，解题的关键是熟练掌握以上知识 点并灵活运用． 22．人工智能逐渐融入我们的生活．如图所示，某餐厅购买一个送餐机器人，这种机器人与地面的接触面 积是可以调整的．下表记录着地面所受压强、机器人与地面的接触面积之间的关系： 地面所受压强  Pap 56 10 58 10 61.2 10 61.6 10 接触面积  2mS 48 10 46 10 44 10 43 10 (1)地面所受压强 p与接触面积S满足怎样的函数关系？并求出压强  Pap 关于接触面积  2mS 的函数表达 式． (2)若送餐机器人要经过一段玻璃通道，且这段玻璃通道能承受的最大压强为 61 a10 P ，问这种机器人与地 面的接触面积至少为多少平方米? 【答案】(1) 480p S  (2)这种机器人与地面的接触面积至少为 44.8 10 平方米 【分析】本题主要考查反比例函数的运用，理解表格中压强与接触面积的关系，运用待定系数法求解是关 键． 14 （1）由表格可知压强 p与接触面积S的乘积为定值 480，则压强 p与接触面积S满足反比例函数系，运用待 定系数法即可求解； （2）把最大压强为 61 a10 P ，代入反比例函数解析式求解即可． 【详解】（1）解：由表格可知压强 p与接触面积S的乘积为定值 480，则压强 p与接触面积S满足反比例函 数系， 设 p与S的函数关系式为 Fp S  ， 将 56 10p   ， 48 10S   代入 Fp S  ， 得 5 46 10 8 10 480F      ， ∴ p与S的函数表达式为 480p S  ． （2）解：当 61 10p   时， 46 480 4.8 10 1 10 S     （平方米）， 答：这种机器人与地面的接触面积至少为 44.8 10 平方米． 23．某班级为了庆祝“五四青年节”，计划投入一笔资金购买甲、乙两种奖品，已知 1 件甲种奖品比 1 件乙 种奖品多 15 元，用 175 元购买甲种奖品的数量和用 100 元购买乙种奖品的数量相同． (1)求购买 1 件甲种奖品和 1件乙种奖品各需多少元？ (2)若该班级计划购买甲、乙两种奖品共 60 件，且购买的总费用不超过 1440 元，则甲种奖品最多能购买多 少件？ 【答案】(1)购买 1件甲种奖品需 35 元，1件乙种奖品需 20 元 (2)甲种奖品最多能购买 16 件 【分析】本题考查了分式方程的解法和一元一次不等式，根据题意列出正确的方程和不等式是解题的关键． （1）根据甲种商品和乙种商品的数量相同列出方程； （2）根据总费用不超过1440元列出不等式并求解即可． 【详解】（1）解：假设购买一件乙种奖品需 x元，则由题意得： 175 100 15x x   ， 解得： 20x = ． 经检验： 20x = 是原方程的解且符合题意； ∴ 15 35x   ， 即一件甲种奖品需 35元，一件乙种奖品需 20元． 15 答：购买1件甲种奖品需 35元，1件乙种奖品需 20元． （2）解：设甲种奖品最多能购买 y件， 由题意得：  35 20 60 1440y y   ， 解得： 16y  ． 答：甲种奖品最多能购买16件． 24．如图，在平面直角坐标系中，一次函数 y kx b  与反比例函数 6y x   的图象交于  1,A m ，  , 3B n  两 点，一次函数 y kx b  的图象与 y轴交于点C． (1)求一次函数的解析式； (2)根据函数的图象，直接写出不等式 6kx b x    的解集； (3)点 P是 x轴上一点，且 AOP 的面积等于 9，求点 P的坐标． 【答案】(1) 3 3y x   (2) 1 0x   或 2x  (3)  3,0 或  3,0 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的几 何应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先求出 6, 2m n  ，则  1,6A  ，  2, 3B  ；再运用待定系数法求一次函数的解析式，即可作答． （2）运用数形结合思想，因为一次函数 y kx b  与反比例函数 6y x   的图象交于  1,6A  ，  2, 3B  两点， 则不等式 63 3x x     的解集为： 1 0x   或 2x  ，即可作答． （3）设  ,0P p ，结合 9AOPS  ，列式 1 6 9 2 p   ，解得 3m   ，即可作答． 16 【详解】（1）解：∵反比例函数 6y x   的图象经过点    1, , , 3A m B n  ， ∴ 1 6m    ， 3 6n   ， 解得 6, 2m n  ， ∴  1,6A  ，  2, 3B  ； 把 ,A B的坐标代入 y kx b  ， 得 6 3 2 k b k b       ， 解得 3 3 k b     ， ∴一次函数的解析式为 3 3y x   ． （2）解：观察图象， ∴不等式 63 3x x     的解集为： 1 0x   或 2x  ． （3）解：依题意，设  ,0P p ， ∵ 9AOPS  ， ∴ 1 6 9 2 p   ， 解得 3m   ， ∴  3 0P ， 或  3 0 ， ． 25．【问题提出】 已知直线  6 0y kx k   的图象与 x轴、 y轴分别交于A， B两点． （1）如图①，当 2k  时，在第二象限构造等腰直角 ABCV ， 90CAB  ，则点C的坐标为__________； （2）如图②，当 k的取值变化，点A随之在 x轴负半轴上运动时，在 y轴左侧过点 B作 BN AB ，并且 BN AB ，连接ON ，问 OBN△ 的面积是否发生变化？若不变，请求出这个定值．若变化，请说明理由； 17 【问题解决】 （3）如图③，长方形 ABCO是某植物园一块郁金香种植区的平面示意图，经测量， 6AB OC  米， 4AO BC  米．现要在植物园修建一座凉亭点Q（凉亭大小忽略不计），并从种植区边沿出发修建两条通 往凉亭的小路以便游客观赏．为方便确定点Q的位置，将长方形 ABCO以原点O为坐标原点，以OC所在边 为 x轴，OA所在边为 y轴，建立平面直角坐标系．考虑植物园的整体布局，确定将凉亭点Q建在直线 2 4y x  上比较美观．计划将点A作为一条小路路口，在线段 BC上找的一点 P作为另一条小路路口，要 求凉亭点Q到两路口距离相等，且 90AQP  ，求所有满足条件的点Q的坐标． 【答案】（1）  9,3 ；（2） OBN△ 的面积不变，其面积为18；（3）  2,0Q 【分析】本题考查了一次函数的图像与性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，解题的 关键是掌握相关知识，并正确作出辅助线． （1）过点C作CD x 轴于点D，当 2k  时，直线 AB的解析式为 2 6y x  ，可求得：  3,0A  ，  0,6B ， 得到 3OA  ， 6OB  ，证明 BAO ACD≌  ，得到 3CD OA  ， 6AD OB  ，进而得到 9OD  ，即可求解； （2）过点 N作 NE y 轴于点 E，根据函数解析式可知  0,6B ，得到 6OB  ，证明 ABO BNE≌  ，得到 6NE OB  ，根据 1 2OBN S OB NE  ，即可求解； （3）过点Q作QG y 轴于点G，并延长QG交 BC于点 H ，则 90AGQ QHP    ，由题意可得  0,4A ， 设  , 2 4Q x x  ，则  0,2 4G x  ，  6,2 4H x  ，得到 8 2AG x  ， 6QH x  ，证明 AGQ QHP≌  ，得到 AG QH ，即8 2 6x x   ，求出 x，即可求解． 【详解】（1）如图①，过点C作CD x 轴于点D， 当 2k  时，直线 AB的解析式为 2 6y x  ， 令 0x  ，则 6y  ，令 0y  ，则 2 6 0x   ， 解得： 3x   ，   3,0A  ，  0,6B ，  3OA  ， 6OB  ， 18 在等腰直角 ABCV 中， 90CAB  ，  90CAD BAO    ， AB AC ，  CD x ，  90ADC BOA   ， 90CAD ACD   ，  BAO ACD  ， 在 BAO 和 ACD 中， BAO ACD BOA ADC AB AC       ，   AASBAO ACD ≌ ，  3CD OA  ， 6AD OB  ，  3 6 9OD OA AD     ， 点C的坐标为  9,3 ， 故答案为：  9,3 ； （2） OBN△ 的面积不变， 如图②，过点 N作 NE y 轴于点 E， 在  6 0y kx k   中，令 0x  ，则 6y  ，   0,6B ，  6OB  ，  BN AB ，  90ABO NBE   ，  NE y ，  90BEN AOB   ， 90BNE NBE   ，  ABO BNE  ， 19  BN AB ， 在 ABO 和 BNE 中， AOB BEN ABO BNE AB NB       ，   AASABO BNE ≌ ，  6NE OB  ，  1 1 6 6 18 2 2OBN S OB NE      ， 即 OBN△ 的面积不变，其面积为18； （3）如图③，过点Q作QG y 轴于点G，并延长QG交 BC于点 H ， 则 90AGQ QHP    ，  6AB OC  米， 4AO BC  米，   0,4A ， 设  , 2 4Q x x  ，则  0,2 4G x  ，  6,2 4H x  ，   4 2 4 8 2AG x x     ， 6QH x  ，  90AQP  ，  90AQG PQH   ，  90AGQ  ，  90AQG QAG   ，  QAG PQH   ， 由题意可得： AQ PQ ， 在 AGQ△ 和 QHP 中， 20 QAG PQH AGQ QHP AQ PQ       ，   AASAGQ QHP ≌ ，  AG QH ，即8 2 6x x   ， 解得： 2x  ，  2 4 2 2 4 0x      ，   2,0Q ． 2024-2025学年八下数学第一次月考卷 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第16-17章。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列函数中，y是x的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 2．下列等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 3．在科研人员的不懈努力下，我国成功制造出了“超薄钢”，打破了日德垄断．据悉，该材料的厚度仅有0.000015米，将数据0.000015用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 4．把分式中的x，y都扩大3倍，则分式的值（   ） A．扩大3倍 B．缩小3倍 C．不变 D．无法确定 5．已知反比例函数与一次函数的图象的一个交点的横坐标为3，则的值为（   ） A． B． C．1 D．3 6．已知一次函数（a、b是常数），y与x的部分对应值如表： … … … … 下列说法中，正确的是（   ） A．图象经过第二、三、四象限 B．若，则 C．将函数的图象向左平移2个单位可得到该函数图象 D．该函数图象与x轴的交点是 7．若点A，B，C都在反比例函数的图象上，则（    ） A． B． C． D． 8．某快递公司请了甲、乙两名搬运工搬运包裹，甲比乙每小时多搬运包裹，甲搬运包裹所用的时间与乙搬运包裹所用的时间相等，求甲、乙两人每小时分别搬运多少包裹？若设甲每小时搬运货物，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 9．已知，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 10．已知小明的家、体育场、文具店在同一直线上，图中的信息反映的过程是：小明从家步行去体育场，在体育场锻炼了一阵后又步行到文具店买笔，然后再跑步回家，图中x表示离家时间，y表示小明离家的距离，依据图中的信息，下列说法正确的是（   ） A．体育场离小明家 B．小明在体育场锻炼时间为 C．小明从家到体育场时步行的平均速度是 D．小明从文具店跑步回家的平均速度是 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分。 11．要使代数式有意义，则的取值范围是 ． 12．计算： ． 13．若反比例函数的图象经过点，则m的值为 ． 14．计算： ． 15．已知在平面直角坐标系中，线段轴，若点A的坐标为，则点B到x轴的距离为 ． 16．在同一平面直角坐标系中，直线和相交于点，则关于，的方程组的解是 ． 17．已知关于x的分式方程无解，则k的值为 ． 18．如图，直线与双曲线交于点，点是直线上一点，且． （1） ． （2）过点作轴于点，作交双曲线于点，过点作于点，则 ． 三、解答题：本题共7小题，共78分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 19．计算和解分式方程： (1)计算：． (2)解分式方程：． 20．先化简，再求值：，其中 21．如图，在平面直角坐标系，原点O及的顶点都是格点（横、纵坐标都是整数的点称为格点），若点A的坐标为． 请根据图表信息回答有关问题：    (1)请你直接写出点B和点C坐标； (2)求的面积； (3)将先向下平移1个单位长度再向右平移4个单位长度得到，画出，则点的坐标是________． 22．人工智能逐渐融入我们的生活．如图所示，某餐厅购买一个送餐机器人，这种机器人与地面的接触面积是可以调整的．下表记录着地面所受压强、机器人与地面的接触面积之间的关系： 地面所受压强 接触面积 (1)地面所受压强与接触面积满足怎样的函数关系？并求出压强关于接触面积的函数表达式． (2)若送餐机器人要经过一段玻璃通道，且这段玻璃通道能承受的最大压强为，问这种机器人与地面的接触面积至少为多少平方米? 23．某班级为了庆祝“五四青年节”，计划投入一笔资金购买甲、乙两种奖品，已知1件甲种奖品比1件乙种奖品多15元，用175元购买甲种奖品的数量和用100元购买乙种奖品的数量相同． (1)求购买1件甲种奖品和1件乙种奖品各需多少元？ (2)若该班级计划购买甲、乙两种奖品共60件，且购买的总费用不超过1440元，则甲种奖品最多能购买多少件？ 24．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，一次函数的图象与轴交于点． (1)求一次函数的解析式； (2)根据函数的图象，直接写出不等式的解集； (3)点是轴上一点，且的面积等于9，求点P的坐标． 25．【问题提出】 已知直线的图象与轴、轴分别交于，两点． （1）如图①，当时，在第二象限构造等腰直角，，则点的坐标为__________； （2）如图②，当的取值变化，点随之在轴负半轴上运动时，在轴左侧过点作，并且，连接，问的面积是否发生变化？若不变，请求出这个定值．若变化，请说明理由； 【问题解决】 （3）如图③，长方形是某植物园一块郁金香种植区的平面示意图，经测量，米，米．现要在植物园修建一座凉亭点（凉亭大小忽略不计），并从种植区边沿出发修建两条通往凉亭的小路以便游客观赏．为方便确定点的位置，将长方形以原点为坐标原点，以所在边为轴，所在边为轴，建立平面直角坐标系．考虑植物园的整体布局，确定将凉亭点建在直线上比较美观．计划将点作为一条小路路口，在线段上找的一点作为另一条小路路口，要求凉亭点到两路口距离相等，且，求所有满足条件的点的坐标． ( 16 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年八下数学第一次月考卷 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第16-17章。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列函数中，y是x的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的定义，根据反比例函数的意义分别进行分析即可，形如：或或的函数是反比例函数． 【详解】解：A．，y是的反比例函数，故此选项不合题意； B．，y是x的一次函数，故此选项不合题意； C．，不是的反比例函数，故此选项不合题意； D．，y是x的反比例函数，故此选项符合题意． 故选：D． 2．下列等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式的性质即可一一判定即可．本题考查了分式的性质，熟练掌握和运用分式的性质是解决本题的关键． 【详解】解：，，，当时，不成立， 故选：C． 3．在科研人员的不懈努力下，我国成功制造出了“超薄钢”，打破了日德垄断．据悉，该材料的厚度仅有0.000015米，将数据0.000015用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：将数据0.000015用科学记数法表示为， 故选：A． 4．把分式中的x，y都扩大3倍，则分式的值（   ） A．扩大3倍 B．缩小3倍 C．不变 D．无法确定 【答案】D 【分析】本题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质计算即可得解，熟练掌握分式的基本性质是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：， ∴分式的值无法确定， 故选：D． 5．已知反比例函数与一次函数的图象的一个交点的横坐标为3，则的值为（   ） A． B． C．1 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了用待定系数法确定函数的解析式，熟练掌握这种方法是解题的关键． 把代入一次函数的解析式，即可求得交点坐标，然后利用待定系数法即可求得k的值． 【详解】在中， 令， 解得， 则交点坐标是：， 代入， 得． 故选：A． 6．已知一次函数（a、b是常数），y与x的部分对应值如表： … … … … 下列说法中，正确的是（   ） A．图象经过第二、三、四象限 B．若，则 C．将函数的图象向左平移2个单位可得到该函数图象 D．该函数图象与x轴的交点是 【答案】D 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，一次函数的平移，掌握一次函数的图象和性质是解题关键．先求出一次函数解析式，得出经过的象限，可判断A 选项；根据，判断B选项；求出时的x值，可判断D选项；根据“上加下减、左加右减”的平移规律，可判断C选项． 【详解】解：∵一次函数图象过点、， ， 解得， ∴一次函数解析式为， ∴图象经过第一、二、三象限， ∴A 选项错误； ∵中，， ∴y的值随x的增大而增大， ∴若，则， ∴B选项错误； 令，则， 解得：，即该函数图象与x轴的交点是， ∴D选项正确； 平移后得到该函数的图象， ∴C选项错误； 故选：D． 7．若点A，B，C都在反比例函数的图象上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，根据反比例函数的增减性解答即可． 【详解】解：对于， ， 当时， 随的增大而减小， 点A，B，C都在反比例函数的图象上，， ∴； 故选：A． 8．某快递公司请了甲、乙两名搬运工搬运包裹，甲比乙每小时多搬运包裹，甲搬运包裹所用的时间与乙搬运包裹所用的时间相等，求甲、乙两人每小时分别搬运多少包裹？若设甲每小时搬运货物，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答时根据甲搬运包裹所用时间与乙搬运包裹所用时间相等建立方程是关键． 设甲每小时搬运千克包裹，则乙每小时搬运千克包裹，根据甲搬运包裹所用时间与乙搬运包裹所用时间相等建立方程． 【详解】解：设甲每小时搬运包裹，则乙每小时搬运千克包裹， 那么可列方程． 故选：A． 9．已知，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查的是分式的加减运算的逆运算，二元一次方程组的应用，理解题意，建立方程组解题是关键．由条件可得，从而可得，再解方程组即可． 【详解】解：， ， ， 解得：， ， 故选：C． 10．已知小明的家、体育场、文具店在同一直线上，图中的信息反映的过程是：小明从家步行去体育场，在体育场锻炼了一阵后又步行到文具店买笔，然后再跑步回家，图中x表示离家时间，y表示小明离家的距离，依据图中的信息，下列说法正确的是（   ） A．体育场离小明家 B．小明在体育场锻炼时间为 C．小明从家到体育场时步行的平均速度是 D．小明从文具店跑步回家的平均速度是 【答案】D 【分析】本题主要考查了对函数图象的理解和掌握，能根据实际问题所反映的内容来观察与理解图象是解答此题的关键．利用函数图象中横、纵坐标的意义分别求解即可． 【详解】解：、体育场离小明家，选项错误，不符合题意； 、小明在体育场锻炼时间为，选项错误，不符合题意； 、小明从家到体育场时步行的平均速度是，选项错误，不符合题意； 、小明从文具店跑步回家的平均速度是，选项正确，符合题意； 故选：． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分。 11．要使代数式有意义，则的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式的分母不能等于0是解题关键．根据分式的分母不能等于0求解即可得． 【详解】解：要使代数式有意义，则， 解得， 故答案为：． 12．计算： ． 【答案】6 【分析】本题考查零指数幂，负整数指数幂，先根据零指数幂，负整数指数幂的法则计算，再进行加法运算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 13．若反比例函数的图象经过点，则m的值为 ． 【答案】12 【分析】本题考查求反比例函数的自变量的值，根据反比例函数图象上点的坐标特点，可得，由此可解． 【详解】解：反比例函数的图象经过点， ， ， 故答案为：12． 14．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查同分母分式的运算；先变形为同分母的分式，再根据同分母分式加减法时分母不变，分子相加减即可． 【详解】解：， 故答案为：． 15．已知在平面直角坐标系中，线段轴，若点A的坐标为，则点B到x轴的距离为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了坐标与图形、点到坐标轴的距离，熟练掌握点到轴的距离等于这个点的纵坐标的绝对值是解题关键．先求出点的纵坐标，再根据点到轴的距离等于这个点的纵坐标的绝对值求解即可得． 【详解】解：∵在平面直角坐标系中，线段轴，点的坐标为， ∴点的纵坐标与点的纵坐标相等，即为4， ∴点到轴的距离为， 故答案为：4． 16．在同一平面直角坐标系中，直线和相交于点，则关于，的方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图像的交点坐标． 用待定系数法求出的值，即可得到答案． 【详解】解：把代入得， ， 直线和相交于点， 关于，的方程组的解是， 故答案为： ． 17．已知关于x的分式方程无解，则k的值为 ． 【答案】或2 【分析】本题考查分式方程无解的情况，需注意分式方程无解时要考虑增根的情况．先将分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解得到为增根，无意义，据此列式求解，即可解题． 【详解】解： ， 关于x的分式方程无解， 当为增根时，，解得， 当无意义时，，解得， 则k的值为或2； 故答案为：或2． 18．如图，直线与双曲线交于点，点是直线上一点，且． （1） ． （2）过点作轴于点，作交双曲线于点，过点作于点，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数与几何图形，反比例函数与正比例函数图象交点问题； （1）先将代入正比例函数，得，进而得出，根据，可得，即可求出点A的坐标，从而得到， （2）然后判断是等腰直角三角形，根据勾股定理求得的长，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】解：（1）∵点是直线上一点， ∴ ∴， ∵点 ∴ ∵ ∴ 由∵在上 设， ∴ 解得：（负值舍去） ∴点A的坐标为， ∴， 故答案为：． （2）∵， ∴ ∵,轴于点， ∴，则是等腰直角三角形， ∴， ∵ ∴， ∴ 设，则， 即点D的坐标为， ∴， 解得：（负值舍去） ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 三、解答题：本题共7小题，共78分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 19．计算和解分式方程： (1)计算：． (2)解分式方程：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查实数的运算，解分式方程，解题的关键是掌握，，解分式方程，进行解答，即可． （1）根据，，然后进行计算，即可； （2）等式两边同时乘以，先去分母，然后去小括号，移项，合并同类项，最后系数化为“”，即可． 【详解】（1）解： 原式 （2）解： 等式两边同时乘以，得 化简得， 去小括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为“”，得 经检验，是原方程的解． 20．先化简，再求值：，其中 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，完全平方公式，平方差公式，熟练掌握知识点是解题的关键． 先化简括号内分式，再将除法运算转化为乘法运算即可． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 21．如图，在平面直角坐标系，原点O及的顶点都是格点（横、纵坐标都是整数的点称为格点），若点A的坐标为． 请根据图表信息回答有关问题：    (1)请你直接写出点B和点C坐标； (2)求的面积； (3)将先向下平移1个单位长度再向右平移4个单位长度得到，画出，则点的坐标是________． 【答案】(1)， (2)5.5 (3) 【分析】（1）由点B和点C都在格点上即可解答； （2）利用割补法，的面积为一个矩形的面积减去三个小三角形的面积即可解答； （3）利用平移的性质即可画出和得出点的坐标． 【详解】（1）解：由图可得，； （2）解：； （3）解：如图，    ∴点的坐标是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了格点图上的点，三角形的面积，平移作图等知识点，解题的关键是熟练掌握以上知识点并灵活运用． 22．人工智能逐渐融入我们的生活．如图所示，某餐厅购买一个送餐机器人，这种机器人与地面的接触面积是可以调整的．下表记录着地面所受压强、机器人与地面的接触面积之间的关系： 地面所受压强 接触面积 (1)地面所受压强与接触面积满足怎样的函数关系？并求出压强关于接触面积的函数表达式． (2)若送餐机器人要经过一段玻璃通道，且这段玻璃通道能承受的最大压强为，问这种机器人与地面的接触面积至少为多少平方米? 【答案】(1) (2)这种机器人与地面的接触面积至少为平方米 【分析】本题主要考查反比例函数的运用，理解表格中压强与接触面积的关系，运用待定系数法求解是关键． （1）由表格可知压强与接触面积的乘积为定值480，则压强与接触面积满足反比例函数系，运用待定系数法即可求解； （2）把最大压强为，代入反比例函数解析式求解即可． 【详解】（1）解：由表格可知压强与接触面积的乘积为定值480，则压强与接触面积满足反比例函数系， 设与的函数关系式为， 将，代入， 得， ∴与的函数表达式为． （2）解：当时，（平方米）， 答：这种机器人与地面的接触面积至少为平方米． 23．某班级为了庆祝“五四青年节”，计划投入一笔资金购买甲、乙两种奖品，已知1件甲种奖品比1件乙种奖品多15元，用175元购买甲种奖品的数量和用100元购买乙种奖品的数量相同． (1)求购买1件甲种奖品和1件乙种奖品各需多少元？ (2)若该班级计划购买甲、乙两种奖品共60件，且购买的总费用不超过1440元，则甲种奖品最多能购买多少件？ 【答案】(1)购买1件甲种奖品需35元，1件乙种奖品需20元 (2)甲种奖品最多能购买16件 【分析】本题考查了分式方程的解法和一元一次不等式，根据题意列出正确的方程和不等式是解题的关键． （1）根据甲种商品和乙种商品的数量相同列出方程； （2）根据总费用不超过元列出不等式并求解即可． 【详解】（1）解：假设购买一件乙种奖品需元，则由题意得： ， 解得：． 经检验：是原方程的解且符合题意； ∴ ， 即一件甲种奖品需元，一件乙种奖品需元． 答：购买件甲种奖品需元，件乙种奖品需元． （2）解：设甲种奖品最多能购买件， 由题意得： ， 解得：． 答：甲种奖品最多能购买件． 24．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，一次函数的图象与轴交于点． (1)求一次函数的解析式； (2)根据函数的图象，直接写出不等式的解集； (3)点是轴上一点，且的面积等于9，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的几何应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先求出，则，；再运用待定系数法求一次函数的解析式，即可作答． （2）运用数形结合思想，因为一次函数与反比例函数的图象交于，两点，则不等式的解集为：或，即可作答． （3）设，结合，列式，解得，即可作答． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过点， ∴，， 解得， ∴，； 把的坐标代入， 得， 解得， ∴一次函数的解析式为． （2）解：观察图象， ∴不等式的解集为：或． （3）解：依题意，设， ∵， ∴， 解得， ∴或． 25．【问题提出】 已知直线的图象与轴、轴分别交于，两点． （1）如图①，当时，在第二象限构造等腰直角，，则点的坐标为__________； （2）如图②，当的取值变化，点随之在轴负半轴上运动时，在轴左侧过点作，并且，连接，问的面积是否发生变化？若不变，请求出这个定值．若变化，请说明理由； 【问题解决】 （3）如图③，长方形是某植物园一块郁金香种植区的平面示意图，经测量，米，米．现要在植物园修建一座凉亭点（凉亭大小忽略不计），并从种植区边沿出发修建两条通往凉亭的小路以便游客观赏．为方便确定点的位置，将长方形以原点为坐标原点，以所在边为轴，所在边为轴，建立平面直角坐标系．考虑植物园的整体布局，确定将凉亭点建在直线上比较美观．计划将点作为一条小路路口，在线段上找的一点作为另一条小路路口，要求凉亭点到两路口距离相等，且，求所有满足条件的点的坐标． 【答案】（1）；（2）的面积不变，其面积为；（3） 【分析】本题考查了一次函数的图像与性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识，并正确作出辅助线． （1）过点作轴于点，当时，直线的解析式为，可求得：，，得到，，证明，得到，，进而得到，即可求解； （2）过点作轴于点，根据函数解析式可知，得到，证明，得到，根据，即可求解； （3）过点作轴于点，并延长交于点，则，由题意可得，设，则，，得到，，证明，得到，即，求出，即可求解． 【详解】（1）如图①，过点作轴于点， 当时，直线的解析式为， 令，则，令，则， 解得：， ，， ，， 在等腰直角中，， ，， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， 点的坐标为， 故答案为：； （2）的面积不变， 如图②，过点作轴于点， 在中，令，则， ， ， ， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， 即的面积不变，其面积为； （3）如图③，过点作轴于点，并延长交于点， 则， 米，米， ， 设，则，， ，， ， ， ， ， ， 由题意可得：， 在和中， ， ， ，即， 解得：， ， ． ( 16 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$