2024-2025学年八下数学第一次月考卷-2024-2025学年八年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（北师大版）

1 2024-2025 学年八下数学第一次月考卷 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考 证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第一-二章。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1．手工课上，小丽想用 3 根小木棒做一个直角三角形，符合条件的三根木棒是（ ） A．1,2,3 B． 2,3,4 C．3,4,5 D． 4,5,6 2．不等式 1 2 1 3 x  的解集在数轴上表示正确的是（ ） A． B． C． D． 3．若等腰三角形的一边长为3cm，周长为15cm，则此等腰三角形的底边长是（ ） A．3cm或9cm B．9cm C．3cm D．3cm或6cm 4．若m n ，则下列叙述正确的是（ ） A． 0m n  B． 2 2ma na C． 2 2m n   D． 3 3m n   5．如图，等腰 ABCV 中 120BAC  ，在底边上取点D，使得 AC AD ，若 6BC  ，则 AD等于（ ） A．2 B．3 C． 2.5 D．3.5 6．点  2,2 5P a a  关于 y轴的对称点在第二象限，则 a的取值范围是（ ） A． 2a   B． 52 2 a   C． 5 2 2 a   D． 5 2 a  2 7．小明购买了一本原价为 x元的书，花费金额低于 24 元，他根据书店促销信息列出不等式为  80% 10 24x   ， 关于这本书的促销信息最合适的是（ ） A．原价基础上降价 10 元 B．原价基础上先打八折，再降价 10 元 C．原价基础上先降价 10 元，再打八折 D．原价基础上打八折 8．如图，在长方形 ABCD中，连接 AC，以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交 ,AB AC于点 ,E F，分 别以点 E和点 F 为圆心，大于 1 2 EF的长为半径作弧，两弧在 BAC 内部交于点G，作射线 AG交 BC于点 H ．若 2ACD   ，则 AHB 的度数为（ ） A．90 2 B．30   C． 45 a  D．90 a 9．如果不等式组 1 1 3 2 x x m        有且仅有 3 个整数解，那么m的取值范围是（ ） A． 4 5m  B． 4 5m  C． 4 5m  D． 4 5m  10．如图，在 Rt ABC 中， 90ACB  按以下步骤作图：①以 B为圆心，任意长为半径作弧，分别交 ,BA BC 于M N、 两点；②分别以M N、 为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧相交于点 P；③作射线 BP，交 边 AC于D点，若 10AB  ， 6BC  ，则线段CD的长为（ ） A．3 B． 10 3 C． 8 3 D． 16 5 11．若关于 x y、 的方程组 2 3 1 4 5 x y m x y       的解满足 1 3x y    ，则m的取值范围是（ ） A． 1 3m   B． 3 1m   C． 2 4m   D． 4 2m   3 12．如图，在 ABCV 中， BAC 是锐角，以 BC为斜边在 ABCV 内部作一个等腰直角三角形 BCD△ ，过点 D作DE AB 于点 E，交 AC于点 F，若 F为 AC的中点， 5AB  ， 1DF  ，则 BE的长为（ ） A．2 B． 5 2 C．3 D． 7 2 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分。 13．已知m n ，则 1m  1n  ．（填>、=或<） 14．若等腰三角形腰长 6，底边长 5，则它的周长是 ． 15．如图，在 ABCV 中，DE垂直平分 AB．若 AEC△ 的周长为9cm， 3cmAC  ，则BC  cm． 16．若一次函数 y kx b  的图象如图所示，则关于 x的不等式 0kx b  的解集为 ． 17．如图，在 ABCV 中，分别以 B、C两点为圆心，大于 1 2 BC的长为半径画圆弧，两弧交于 M、N，连接MN 交 BAC 的平分线于点 D，过点 D作DF AC ，F 为垂足，若 6, 3AB AC  ，则CF的长为 ． 4 18．对于一个四位正整数 A abcd ，若它的各位上数字均不为零且互不相等，千位数字与个位数字之和为 9， 十位数字比百位数字大 2，则称这个四位正整数 A 是“玖贰数”则符合条件的 A的最大数为 ，  M A a b c d    ，   2N A a  ，若    M A N A 能被 7 整除，则所有满足条件的四位正整数 A 的和为 ． 三、解答题：本题共 8 小题，共 66 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 19．解不等式（组）： (1)  2 3 1 1x x  ≥ ； (2) 2 1 2 1 1 2 2 3 x x x x         ，并求出它的所有整数解的和． 20．如图，已知 90A D    ，E、F 在线段 BC上，DE与 AF 交于点O，且 AB CD ，BE CF ．求证： Rt RtABF DCE≌△ △ ． 21．某商店老板销售一种商品，该商品进价为 200 元，标价为 360 元．活动期间要降价销售，他要以不低 于进价 20%的利润才能出售，求商店老板最多可以降价多少元？ 5 22．定义新运算：对于任意实数 ,a b，都有   1a b a a b    ，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如：  2 5 2 2 5 1      2 3 1    6 1   = 5 ①求  2 3  的值； ②若3 x 的值小于13，求 x 的取值范围，并在给定的数轴上表示出来． 23．如图，在Rt ABC△ 中． (1)利用尺规作图，在 BC边上求作点 P，使得点 P到 AB的距离（ PD的长）等于 PC的长； (2)利用尺规作图，做出（1）中的线段PD．（要求：不写作法，保留作图痕迹） 6 24．如图，四边形 ABCD是某公园的一块空地，已知 90BÐ = °， 30ACB  ， 3mAB  ， 10mAD  ， 8mCD  ， 现计划在该空地上种植草皮，若每平方米草皮需100元，则在该空地上种植草皮共需多少元？（ 3 1.7 ，结 果保留整数） 25．如图，在 ABCV 中， 90ABC  ， 50AC  ， 30BC  ． (1)点 P在 AB上，①如图 1，当 PAC PCA   时， AP  ； ②如图 2，当点 P在 ACB 的平分线上时，求 AP的长； (2)如图 3，点M 在 AC上，若 MBC△ 为等腰三角形，直接写出 AM 的长． 26．【新定义】在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的 2 倍，我们称这两个角互为“开心角”，这个 三角形叫做“开心三角形”．例如：在 ABC 中， 70A  ， 35B  ，则∠A与 B 互为“开心角”， ABC 为“开心三角形”．（提示：方程思想、分类讨论思想） 【理解】 (1)若 ABC 为开心三角形， 132A  ，则这个三角形中最小的内角为______度； (2)若 ABC 为开心三角形， 60A  ，则这个三角形中最小的内角为____________度； (3)已知 A 是开心 ABC 中最小的内角，并且是其中的一个开心角，试确定 A 的取值范围．并说明理由． 2024-2025学年八下数学第一次月考卷 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第一-二章。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．手工课上，小丽想用3根小木棒做一个直角三角形，符合条件的三根木棒是（    ） A． B． C． D． 2．不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 3．若等腰三角形的一边长为，周长为，则此等腰三角形的底边长是（   ） A．或 B． C． D．或 4．若，则下列叙述正确的是（   ） A． B． C． D． 5．如图，等腰中，在底边上取点，使得，若，则等于（   ） A．2 B．3 C． D． 6．点关于轴的对称点在第二象限，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．小明购买了一本原价为x元的书，花费金额低于24元，他根据书店促销信息列出不等式为，关于这本书的促销信息最合适的是（   ） A．原价基础上降价10元 B．原价基础上先打八折，再降价10元 C．原价基础上先降价10元，再打八折 D．原价基础上打八折 8．如图，在长方形中，连接，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内部交于点，作射线交于点．若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 9．如果不等式组有且仅有3个整数解，那么的取值范围是（　　） A． B． C． D． 10．如图，在中，按以下步骤作图：①以为圆心，任意长为半径作弧，分别交于两点；②分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；③作射线，交边于点，若，，则线段的长为（   ） A．3 B． C． D． 11．若关于的方程组的解满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 12．如图，在中，是锐角，以为斜边在内部作一个等腰直角三角形，过点D作于点E，交于点F，若F为的中点，，，则的长为（     ）    A．2 B． C．3 D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 13．已知，则 ．（填>、=或<） 14．若等腰三角形腰长6，底边长5，则它的周长是 ． 15．如图，在中，垂直平分．若的周长为，，则 ． 16．若一次函数的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为 ． 17．如图，在中，分别以B、C两点为圆心，大于的长为半径画圆弧，两弧交于M、N，连接交的平分线于点D，过点D作，F为垂足，若，则的长为 ． 18．对于一个四位正整数，若它的各位上数字均不为零且互不相等，千位数字与个位数字之和为9，十位数字比百位数字大2，则称这个四位正整数A是“玖贰数”则符合条件的A的最大数为 ，，，若能被7整除，则所有满足条件的四位正整数A的和为 ． 三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 19．解不等式（组）： (1)； (2)，并求出它的所有整数解的和． 20．如图，已知，、在线段上，与交于点，且，．求证：． 21．某商店老板销售一种商品，该商品进价为200元，标价为360元．活动期间要降价销售，他要以不低于进价的利润才能出售，求商店老板最多可以降价多少元？ 22．定义新运算：对于任意实数，都有 ，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如： ①求的值； ②若的值小于，求x的取值范围，并在给定的数轴上表示出来． 23．如图，在中． (1)利用尺规作图，在边上求作点，使得点到的距离（的长）等于的长； (2)利用尺规作图，做出（1）中的线段．（要求：不写作法，保留作图痕迹） 24．如图，四边形是某公园的一块空地，已知，，，，，现计划在该空地上种植草皮，若每平方米草皮需元，则在该空地上种植草皮共需多少元？（，结果保留整数） 25．如图，在中，，，． (1)点在上，①如图1，当时， ； ②如图2，当点在的平分线上时，求的长； (2)如图3，点在上，若为等腰三角形，直接写出的长． 26．【新定义】在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的2倍，我们称这两个角互为“开心角”，这个三角形叫做“开心三角形”．例如：在中，，，则∠与互为“开心角”，为“开心三角形”．（提示：方程思想、分类讨论思想） 【理解】 (1)若为开心三角形，，则这个三角形中最小的内角为______度； (2)若为开心三角形，，则这个三角形中最小的内角为____________度； (3)已知是开心中最小的内角，并且是其中的一个开心角，试确定的取值范围．并说明理由． ( 16 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$1 2024-2025 学年八下数学第一次月考卷 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考 证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第一-二章。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1．手工课上，小丽想用 3 根小木棒做一个直角三角形，符合条件的三根木棒是（ ） A．1,2,3 B． 2,3,4 C．3,4,5 D． 4,5,6 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，三角形三边关系，熟练掌握勾股定理逆定理是解题的关键． 根据勾股定理逆定理及三角形三边关系求解即可． 【详解】解：A. 1 2 3  不能构成三角形， 故该选项不符合题意； B. 2 2 22 3 4  ， 不能构成直角三角形， 故该选项不符合题意； C. 2 2 23 4 5  ， 能构成直角三角形， 故该选项符合题意； D. 2 2 24 5 6+ ¹Q ， 不能构成直角三角形， 故该选项不符合题意； 2 故选：C ． 2．不等式 1 2 1 3 x  的解集在数轴上表示正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次不等式，将解集表示在数轴上，掌握不等式的性质是解题的关键． 根据不等式的性质“不等式的两边同时加上或减去同一个数或式子，不等号方向不变；不等式两边同时乘 以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变”， 去分母，移项，合并同类项，系数化为 1，即可求解． 【详解】解： 1 2 1 3 x  ， 去分母得，1 2 3x  ， 移项、合并同类项得， 2 2x  ， 系数化为 1 得， 1x   ， 将解集表示在数轴上，如图所示， 故选：C ． 3．若等腰三角形的一边长为3cm，周长为15cm，则此等腰三角形的底边长是（ ） A．3cm或9cm B．9cm C．3cm D．3cm或6cm 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的计算，正确理解分两种情况讨论，并且注意到利用三角形的三边关 系定理，是解题的关键．3cm长的边是腰和底边两种情况进行讨论即可求解． 【详解】解：当长是3cm的边是底边时，腰长为 15 3 6cm 2   ，三边为3cm，6cm，6cm，等腰三角形成立； 当长是3cm的边是腰时，底边长是：15 3 3 9cm   ，而3 3 9  ，不满足三角形的三边关系． 故底边长是：3cm 故选：C． 4．若m n ，则下列叙述正确的是（ ） A． 0m n  B． 2 2ma na C． 2 2m n   D． 3 3m n   【答案】C 3 【分析】根据不等式的性质判断选择即可． 本题考查了不等式的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：∵m n ， ∴ 0m n n n    ， 故 A 不符合题意； 当 2 0a  时， 2 2ma na ， 故 B 不符合题意； ∵m n ， ∴ m< n  ， ∴2 2m n   ， 3 3m n   ， 故 C 符合题意；D 不符合题意； 故选：C． 5．如图，等腰 ABCV 中 120BAC  ，在底边上取点D，使得 AC AD ，若 6BC  ，则 AD等于（ ） A．2 B．3 C． 2.5 D．3.5 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，含30角的直角三角形的性质，掌握等腰三角形的性质是解 题的关键． 根据等腰三角形的性质得到 30B C   ，由垂直的定义得到 30B BAD   ，则DB DA ， 2CD AD ， 所以有 2 3 6BD CD AD AD AD     ，由此即可求解． 【详解】解：∵ ABC 是等腰三角形， 120BAC  ， ∴    1 1180 180 120 30 2 2 B C BAC           ， ∵ AC AD ， ∴ 90CAD  ， ∴ 120 90 30BAD BAC CAD B          ， ∴DA DB ， 在Rt ACD 中， 30C  ， ∴ 2CD AD ， 4 ∴ 2 3 6BD CD AD AD AD     ， 解得， 2AD  ， 故选：A ． 6．点  2,2 5P a a  关于 y轴的对称点在第二象限，则 a的取值范围是（ ） A． 2a   B． 52 2 a   C． 5 2 2 a   D． 5 2 a  【答案】D 【分析】本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标特征以及解一元一次不等式组等知识点，熟练掌握以上知 识点是解答本题的关键． 根据点  2,2 5P a a  关于 y轴的对称点在第二象限可得点 P在第一象限，再根据第一象限内点的坐标符号 可得 2 0 2 5 0 a a      ，再解不等式组即可． 【详解】解：点  2,2 5P a a  关于 y轴的对称点在第二象限， 点 P在第一象限， 2 0 2 5 0 a a      ， 解得： 5 2 a  ， 故选：D． 7．小明购买了一本原价为 x元的书，花费金额低于 24 元，他根据书店促销信息列出不等式为  80% 10 24x   ， 关于这本书的促销信息最合适的是（ ） A．原价基础上降价 10 元 B．原价基础上先打八折，再降价 10 元 C．原价基础上先降价 10 元，再打八折 D．原价基础上打八折 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式的知识，解题的关键是正确理解题意，结合一元一次不等式的性质来 解决生活中的实际问题． 【详解】“ 10x  ”表示在原价基础上先降价 10 元，“  80% 10x  ”表示在降价 10 元的基础上再打八折． 故选：C． 8．如图，在长方形 ABCD中，连接 AC，以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交 ,AB AC于点 ,E F，分 5 别以点 E和点 F 为圆心，大于 1 2 EF的长为半径作弧，两弧在 BAC 内部交于点G，作射线 AG交 BC于点 H ．若 2ACD   ，则 AHB 的度数为（ ） A．90 2 B．30   C． 45 a  D．90 a 【答案】D 【分析】求出 90 90 2CAD ACB ACD        ， 2BAC ACD     ， AH平分 BAC 得到 1 2 CAH BAC     ，利用三角形外角的性质即可得到答案． 【详解】解：在长方形 ABCD中， ∵ AD CB∥ ， AB CD∥ ， 90ADC BCD BAD      ， ∴ 90 90 2CAD ACB ACD        ， 2BAC ACD     由作法得： AH平分 BAC ， ∴ 1 2 CAH BAC     ， ∴ 90AHB CAH ACB       ， 故选：D． 【点睛】此题考查了平行线的性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质、角平分线的作图等知识，熟 练掌握三角形外角的性质和平行线的性质是解题的关键． 9．如果不等式组 1 1 3 2 x x m        有且仅有 3 个整数解，那么m的取值范围是（ ） A． 4 5m  B． 4 5m  C． 4 5m  D． 4 5m  【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解．先根据不等式的性质求出不等式的解集，再根据求不等 式组解集的规律求出不等式组的解集，最后根据不等式组的解集和整数解得出答案即可． 【详解】解： 1 1 3 2 x x m        ， 解不等式①，得 8x  ， 解不等式②，得 x m ， 6 所以根据题意，不等式组的解集是 8m x  ， 不等式组 1 1 3 2 x x m        有且仅有3个整数解，这3个整数解是5，6，7， 4 5m   ， 故选：B． 10．如图，在 Rt ABC 中， 90ACB  按以下步骤作图：①以 B为圆心，任意长为半径作弧，分别交 ,BA BC 于M N、 两点；②分别以M N、 为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧相交于点 P；③作射线 BP，交 边 AC于D点，若 10AB  ， 6BC  ，则线段CD的长为（ ） A．3 B． 10 3 C． 8 3 D． 16 5 【答案】A 【分析】本题考查了尺规作角平分线、角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理的运用， 理解尺规作角平分线，掌握勾股定理的计算是解题的关键． 根据勾股定理得到 8AC  ，由尺规作图得 BD是 ABC 的角平分线，过点D作DE AB 于点 E，如图所示， 则DC DE ，可证  Rt BCD Rt BED HL ≌ ，得到 BC BE ，则 4AE  ，设DC DE x  ，则 8AD AC CD x    ，在 Rt ADE 中由勾股定理得到 2 2 2AD AE DE  ，由此列式求解即可． 【详解】解：在Rt ABC 中， 90ACB  ， 10, 6AB BC  ， ∴ 2 2 2 210 6 8AC AB BC     ， 根据作图可得 BD是 ABC 的角平分线，过点D作DE AB 于点 E，如图所示， ∴DC DE ， 又∵ BD BD ， ∴  Rt BCD Rt BED HL ≌ ， ∴ 6BC BE  ， 7 ∴ 10 6 4AE AB BE     ， 设DC DE x  ，则 8AD AC CD x    ， 在Rt ADE 中， 2 2 2AD AE DE  ， ∴  2 2 28 4x x   ， 解得， 3x  ， ∴ 3CD  ， 故选：A ． 11．若关于 x y、 的方程组 2 3 1 4 5 x y m x y       的解满足 1 3x y    ，则m的取值范围是（ ） A． 1 3m   B． 3 1m   C． 2 4m   D． 4 2m   【答案】B 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式，由方程组可得 2x y m   ，进而得到 1 2 3m    ，据此即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解： 2 3 1 4 5 x y m x y       ① ② ， ①＋②，得3 3 3 6x y m   ， 即  3 3 6x y m   ， ∴ 2x y m   ， ∵ 1 3x y    ， ∴ 1 2 3m    ， ∴ 3 1m   ， 故选：B． 12．如图，在 ABCV 中， BAC 是锐角，以 BC为斜边在 ABCV 内部作一个等腰直角三角形 BCD△ ，过点 D作DE AB 于点 E，交 AC于点 F，若 F为 AC的中点， 5AB  ， 1DF  ，则 BE的长为（ ） 8 A．2 B． 5 2 C．3 D． 7 2 【答案】D 【分析】过点 C作CG EF ，交EF的延长与点 G，先证明  AASAFE CFG ≌ ，再证明  AASDEB CGD ≌ ， 解答即可． 本题考查了三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：过点 C 作CG EF ，交 EF的延长与点 G， ∵点 F 为 AC的中点， ∴ AF CF ， ∵ AEF CGF AFE CFG FA FC         ， ∴  AASAFE CFG ≌ ， ∴ AE CG EF FG ， ， ∵ DBC△ 是等腰直角三角形， =90BDC ， ∴DB DC ， 90EBD BDE GDC     ， ∵ 90 DBE CDG DEB CGD DB CD         ∴  AASDEB CGD ≌ ， ∴DE CG ， BE DG ， ∵ 5AB  ， 1DF  ， ∴ 5 6AE AB BE BE EF FG DE DF AE DF BE          ， ， ∴ 7DG FG DF BE    ， ∴ 7BE BE  ， 解得 7 2 BE  ， 故选：D． 9 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分。 13．已知m n ，则 1m  1n  ．（填>、=或<） 【答案】  【分析】本题考查了不等式的性质．根据不等式的性质“不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同 一个含有字母的式子，不等号的方向不变”即可求解． 【详解】解：∵m n ， ∴ 1 1m n   ， 故答案为：． 14．若等腰三角形腰长 6，底边长 5，则它的周长是 ． 【答案】17 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，根据等腰三角形的定义求出该三角形的三边长即可得到答案． 【详解】解：∵等腰三角形腰长 6，底边长 5， ∴该三角形的三边长为 6，6，5， ∴该三角形的周长为6 6 5 17   ， 故答案为：17． 15．如图，在 ABCV 中，DE垂直平分 AB．若 AEC△ 的周长为9cm， 3cmAC  ，则BC  cm． 【答案】6 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，根据DE垂直平分 AB，所以 AE BE ，因为 AEC△ 的周长为9cm， 所以 6cmAE EC  ，则 6cmBC BE EC   ，即可作答． 10 【详解】解：∵DE垂直平分 AB， ∴ AE BE ． ∵ AEC△ 的周长为9cm， ∴ 9cmAE EC AC   ， ∵ 3cmAC  ， ∴ 6cmAE EC  ， ∴ 6cmBC BE EC   ， 故答案为：6． 16．若一次函数 y kx b  的图象如图所示，则关于 x的不等式 0kx b  的解集为 ． 【答案】 2x  【分析】本题考查了一次函数和一元一次不等式的关系；直接利用一次函数图象，结合 0kx b  时，则 0y  时对应 x 的取值范围，进而得出答案． 【详解】解：根据函数图象可得 y kx b  与 x轴交于  2,0 ，且 y随 x的增大而增大， ∴关于 x 的不等式 0kx b  的解集为 2x  ， 故答案为： 2x  ． 17．如图，在 ABCV 中，分别以 B、C两点为圆心，大于 1 2 BC的长为半径画圆弧，两弧交于 M、N，连接MN 交 BAC 的平分线于点 D，过点 D作DF AC ，F 为垂足，若 6, 3AB AC  ，则CF的长为 ． 【答案】 3 2 【分析】连接 ,DC DB，根据基本作图，得直线MN是线段 BC的垂直平分线，利用全等三角形的性质，垂 直平分线的性质，角的平分线性质解答即可． 本题考查了全等三角形的性质，垂直平分线的性质，角的平分线性质，熟练掌握性质是解题的关键． 11 【详解】连接 ,DC DB，根据基本作图，得直线MN是线段 BC的垂直平分线， ∴DC DB ， 过点 D 作DG AB 于点 G， ∵DF AC ， AD是 BAC 的平分线， ∴DF DG ， ∴  Rt Rt HLDFC DGB ≌ ， ∴FC GB ， ∵ 90AFD AGD    AD AD DF DG    ∴  Rt Rt HLADF ADG ≌ ． ∴ AF AG ， 设FC GB x  ， ∵ 6, 3AB AC  ， ∴ 3AF AC FC x    ∴ 3AF AG x   ， ∴ 3GB AB AG x    ， ∴ 3x x  ， 解得 3 2 x  ， 故 3 2 CF  ． 故答案为： 3 2 ． 18．对于一个四位正整数 A abcd ，若它的各位上数字均不为零且互不相等，千位数字与个位数字之和为 9， 十位数字比百位数字大 2，则称这个四位正整数 A 是“玖贰数”则符合条件的 A的最大数为 ， 12  M A a b c d    ，   2N A a  ，若    M A N A 能被 7 整除，则所有满足条件的四位正整数 A 的和为 ． 【答案】 8791 5154 【分析】此题考查了数字类规律题，整式加减的应用、不等式的应用等知识，根据题意求出当 7, 1b d= = 时， A的最大数为110 999 9020 8791b d   ，根据题意求出当   11 2 14M A b   ，则   2 1aN A   或   2 2aN A   ，当   11 2 21M A b   ，则   2 1aN A   或   2 3aN A   ，进一步求出所有满足条 件的四位正整数 A，即可求出所有满足条件的四位正整数 A 的和． 【详解】解：∵四位正整数 A abcd 是“玖贰数”． ∴ 9, 2a d c b    ， ∴ 9 , 2a d c b    ， ∵1 9,1 9a c    ∴3 2 9b   ，1 8d  ，1 8 a ， ∴1 7b  ，1 8d  ，1 8 a ， 可得到 A 为    1000 9 100 10 2 110 999 9020d b b d b d        ， 当 7, 1b d= = 时，A的最大数为110 7 999 1 9020 8791     ； ∵   9 2 11 2M A a b c d d b b d b           ，   2 7a dN A    ∵1 7b  ，1 8d  ， ∴13 11 2 25b   ， 1 7 6d    ， ∴  13 25M A  ，  0 6N A  ， ∵     M A N A 能被 7 整除， ∴当   11 2 14M A b   ，则   2 1aN A   或   2 2aN A   ， 当   11 2 21M A b   ，则   2 1aN A   或   2 3aN A   ， 当   11 2 14M A b   时， 3 2 b  ，不符合题意； 当   11 2 21M A b   时， 5b  13 ∴ 2 7c b   当   2 1aN A   时， 3a  或 1， ∴此时 9 6d a   或 9 8d a   ∴此时四位正整数 A 为 3576 或 1578； 当   2 3aN A   时， 5a  ，和 b 重复，应舍去，或 1 （舍去）， 综上所述，所有满足条件的四位正整数 A 为3576或1578， ∴所有满足条件的四位正整数 A 的和为3576 1578 5154  ． 故答案为：8791，5154． 三、解答题：本题共 8 小题，共 66 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 19．解不等式（组）： (1)  2 3 1 1x x  ≥ ； (2) 2 1 2 1 1 2 2 3 x x x x         ，并求出它的所有整数解的和． 【答案】(1) 4x ﹣ (2) 5 1x   ，-10 【分析】本题考查了一元一次不等式及一元一次不等式组的求解．注意计算的准确性． （1）去括号，移项，合并同类项，最后把未知数的系数化为“1”即可； （2）分别解不等式组中的两个不等式，再取两个解集的公共部分即可． 【详解】（1）解：  2 3 1 1x x  ≥ ， 去括号得： 2 3 3 1x x   ， 移项得： 2 3 1 3x x   ， 合并得： 4x  ， 解得： 4x   ； （2）解： 2 1 2 1 1 2 2 3 x x x x          ① ② 由①得： 1x  ， 由②得： 5x   ， 14 ∴不等式组的解集为： 5 1x   ， 所有数解的和： 4 3 2 1 0 10       ． 20．如图，已知 90A D    ，E、F 在线段 BC上，DE与 AF 交于点O，且 AB CD ，BE CF ．求证： Rt RtABF DCE≌△ △ ． 【答案】见解析． 【分析】此题考查了直角三角形全等的判定，解题关键是由 BE CF 推出 BF CE ，利用HL进行判定． 【详解】证明： BE CF ， BE EF CF EF    ，即 BF CE ， 90A D    ， ABF 与 DCE△ 都为直角三角形， 在Rt ABF 和Rt DCEV 中， BF CE AB CD    ，  Rt Rt (HL)ABF DCE≌△ △ ． 21．某商店老板销售一种商品，该商品进价为 200 元，标价为 360 元．活动期间要降价销售，他要以不低 于进价 20%的利润才能出售，求商店老板最多可以降价多少元？ 【答案】120 元 【分析】设商店老板降价 x 元，根据题意列出不等式，求解不等式即可． 【详解】解：设商店老板降价 x 元， 由题意得，360 200 200 20%x    ， 解得 120x  ， 答：商店老板最多可以降价 120 元． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，理清题意，找准不等关系，列出不等式是解题的关键． 22．定义新运算：对于任意实数 ,a b，都有   1a b a a b    ，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如：  2 5 2 2 5 1     15  2 3 1    6 1   = 5 ①求  2 3  的值； ②若3 x 的值小于13，求 x 的取值范围，并在给定的数轴上表示出来． 【答案】①11 ；②x＞﹣1，图见解析 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式；有理数的混合运算，熟练掌握解一元一次不等式的基本步骤， 有理数的混合运算法则是解题的关键． （1）根据题意得出有理数混合运算的式子，再求出其值即可； （2）先得出有理数混合运算的式子，再根据3 x 的值小于13，求出 x的取值范围，并在数轴上表示出来 即可． 【详解】①  2 3     2 2 3 1      10 1 11   ； ②∵  3 3 3 1 10 3x x x      ， ∴10 3 13x  ， ∴ 1x   ， 在数轴表示，如图： 23．如图，在Rt ABC△ 中． (1)利用尺规作图，在 BC边上求作点 P，使得点 P到 AB的距离（ PD的长）等于 PC的长； (2)利用尺规作图，做出（1）中的线段PD．（要求：不写作法，保留作图痕迹） 16 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图-复杂作图、角平分线的性质定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本作图，灵活运 用所学知识解决问题，属于中考常考题型． （1）由点 P到 AB的距离（ PD的长）等于 PC的长知点 P 在 BAC 平分线上，再根据角平分线的尺规作图 即可得； （2）根据过直线外一点作已知直线的垂线的尺规作图即可得． 【详解】（1）解：如图，点 P 即为所求； （2）如图，线段 PD即为所求． 24．如图，四边形 ABCD是某公园的一块空地，已知 90BÐ = °， 30ACB  ， 3mAB  ， 10mAD  ， 8mCD  ， 现计划在该空地上种植草皮，若每平方米草皮需100元，则在该空地上种植草皮共需多少元？（ 3 1.7 ，结 果保留整数） 【答案】在该空地上种植草皮大约需要3165元 【分析】本题考查勾股定理的应用，关键是30直角三角形性质和勾股定理逆定理． 利用30直角三角形性质求出 AC和 BC，再利用勾股定理逆定理判定 ACD 是直角三角形，即可求解． 【详解】解：∵ 90BÐ = °， 30ACB  ， 3AB  ，∴ 2 6AC AB  ， 在Rt ABC△ 中，由勾股定理得： 2 2 2 26 3 3 3BC AC AB= - = - = ， ∵ 2 2 2 26 8 100AC CD    ， 2 210 100AD   ， ∴ 2 2 2AC CD AD  ，∴ =90ACD ， 17 ∴ 21 1 9 33 3 3 6 8 24 m 2 2 2ABC ACDABCD S S S                  四边形 ， ∴种植草皮所需金额为： 9 3100 24 450 3 2400 3165 2           （元）． 答：在该空地上种植草皮大约需要3165元． 25．如图，在 ABCV 中， 90ABC  ， 50AC  ， 30BC  ． (1)点 P在 AB上，①如图 1，当 PAC PCA   时， AP  ； ②如图 2，当点 P在 ACB 的平分线上时，求 AP的长； (2)如图 3，点M 在 AC上，若 MBC△ 为等腰三角形，直接写出 AM 的长． 【答案】(1)① 125 4 ；② AP的长为 25 (2) AM 的长为 20 或 25 或 14 【分析】（1）①根据勾股定理求出 2 2 2 250 30 40AB AC BC     ，根据等腰三角形的判定得出 PA PC ， 设 AP x ，则 , 40PC x PB x   ，根据勾股定理得出  2 2 240 30x x   ，求出结果即可； ②过点 P作PD AC 于D，设 AP x ，则 40PB x  ，根据角平分线的性质得出 40PB PD x   ，证明  AASPBC PDC ≌ ，得出 30BC DC  ，根据勾股定理得出  22 220 40 x x   ，求出 x 的值即可； （2）分三种情况：当 30CM BC  时，当 BM CM 时，当BC BM 时，分别画出图形进行求解即可． 【详解】（1）解：在 ABCV 中， 90ABC  ， 2 2 2 250 30 40AB AC BC      ， PAC PCA   ， PA PC  ， 设 AP x ，则 , 40PC x PB x   ， 在 Rt BCP 中，由勾股定理得： 2 2 2PB BC PC  ， 即  2 2 240 30x x   ， 18 解得 125 4 x  ， 即 AP的长为 125 4 ； ②如图 1，过点 P作PD AC 于D，设 AP x ，则 40PB x  ， 点 P在 ACB 的平分线上，且PB BC ， PD AC ， 40PB PD x    ， 在 PBC△ 和 PDC△ 中， , , , PBC PDC BCP DCP PC PC        AASPBC PDC ≌ ， 30BC DC   ， 50AC  ， 50 30 20AD AC DC      ， 在Rt APD 中， 2 2 2AD PD AP  ，  22 220 40 x x    ， 解得 25x  ， AP 的长为 25． （2）解：若 MBC△ 为等腰三角形，有三种情况： 当 30CM BC  时，如图 2， 50 30 20AM AC CM     ； 当BM CM 时，如图 3， 19 90ABC   ， 90MBC MBA   ， 90MCB MAB   ， BM CM ， MBC MCB   ， MBA MAB   ， 1 25 2 AM BM CM AC     ． 当BC BM 时，如图 4， 过点 B作 BH AC 于点 H ， MH CH  ， 1 1 2 2ABC S AB BC BH AC    ， 1 140 30 50 2 2 BH     ， 解得： 24BH  ， 在Rt BCH△ 中，由勾股定理得： 2 2 2 230 24 18CH BC BH     ， 2 50 2 18 14AM AC MC AC CH         ． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是 熟练掌握相关的判定和性质，注意进行分类讨论． 26．【新定义】在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的 2 倍，我们称这两个角互为“开心角”，这个 三角形叫做“开心三角形”．例如：在 ABC 中， 70A  ， 35B  ，则∠A与 B 互为“开心角”， ABC 为“开心三角形”．（提示：方程思想、分类讨论思想） 【理解】 20 (1)若 ABC 为开心三角形， 132A  ，则这个三角形中最小的内角为______度； (2)若 ABC 为开心三角形， 60A  ，则这个三角形中最小的内角为____________度； (3)已知 A 是开心 ABC 中最小的内角，并且是其中的一个开心角，试确定 A 的取值范围．并说明理由． 【答案】(1)16 (2)30 或 40 (3)0 45A  ，理由见解析 【分析】本题为新定义题型，主要考查了三角形内角和定理，一元一次方程以及开心角和开心三角形的概 念，涉及到了分类讨论的思想方法，其中熟练掌握相关概念和性质是解答本题的关键． （1）根据开心三角形的概念求解即可； （2）根据开心三角形的概念分两种情况求解即可； （3）根据 A 是开心 ABCV 中最小的内角，则与 A 互为开心角的内角只能为 2 A ，列出不等式求解即可； 【详解】（1）解：设最小角为 ， ∵ ABCV 为开心三角形， 132A  ， 2 180 132 48        ， 16  ， 故答案为：16； （2）解：当 A 与 B 互为“开心角”时，则最小角为 1 60 30 2    ； 当 C 与 B 互为“开心角”时， 设最小角为 ， 2 180 60 120        ， 40  ， 故答案为：30 或 40； （3）解：0 45A   ，理由如下： ∵ A 是开心 ABCV 中最小的内角，并且是其中的一个开心角， ∴另一个开心角是 2 A ， ∴第三个内角是180 3 A  ， ∵ A 是最小内角， 180 3A A    ， 0 45A    ． 21 2024-2025学年八下数学第一次月考卷 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第一-二章。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．手工课上，小丽想用3根小木棒做一个直角三角形，符合条件的三根木棒是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，三角形三边关系，熟练掌握勾股定理逆定理是解题的关键． 根据勾股定理逆定理及三角形三边关系求解即可． 【详解】解：A. 不能构成三角形， 故该选项不符合题意； B.， 不能构成直角三角形， 故该选项不符合题意； C.， 能构成直角三角形， 故该选项符合题意； D.， 不能构成直角三角形， 故该选项不符合题意； 故选：C ． 2．不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次不等式，将解集表示在数轴上，掌握不等式的性质是解题的关键． 根据不等式的性质“不等式的两边同时加上或减去同一个数或式子，不等号方向不变；不等式两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变”，去分母，移项，合并同类项，系数化为1，即可求解． 【详解】解：， 去分母得，， 移项、合并同类项得，， 系数化为1得，， 将解集表示在数轴上，如图所示， 故选：C ． 3．若等腰三角形的一边长为，周长为，则此等腰三角形的底边长是（   ） A．或 B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的计算，正确理解分两种情况讨论，并且注意到利用三角形的三边关系定理，是解题的关键．长的边是腰和底边两种情况进行讨论即可求解． 【详解】解：当长是的边是底边时，腰长为，三边为，，，等腰三角形成立； 当长是的边是腰时，底边长是：，而，不满足三角形的三边关系． 故底边长是： 故选：C． 4．若，则下列叙述正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的性质判断选择即可． 本题考查了不等式的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故A不符合题意； 当时，， 故B不符合题意； ∵， ∴， ∴，， 故C符合题意；D不符合题意； 故选：C． 5．如图，等腰中，在底边上取点，使得，若，则等于（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 根据等腰三角形的性质得到，由垂直的定义得到，则，，所以有，由此即可求解． 【详解】解：∵是等腰三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 解得，， 故选：A ． 6．点关于轴的对称点在第二象限，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标特征以及解一元一次不等式组等知识点，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据点关于轴的对称点在第二象限可得点在第一象限，再根据第一象限内点的坐标符号可得，再解不等式组即可． 【详解】解：点关于轴的对称点在第二象限， 点在第一象限， ， 解得：， 故选：D． 7．小明购买了一本原价为x元的书，花费金额低于24元，他根据书店促销信息列出不等式为，关于这本书的促销信息最合适的是（   ） A．原价基础上降价10元 B．原价基础上先打八折，再降价10元 C．原价基础上先降价10元，再打八折 D．原价基础上打八折 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式的知识，解题的关键是正确理解题意，结合一元一次不等式的性质来解决生活中的实际问题． 【详解】“”表示在原价基础上先降价10元，“”表示在降价10元的基础上再打八折． 故选：C． 8．如图，在长方形中，连接，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内部交于点，作射线交于点．若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出，，平分得到，利用三角形外角的性质即可得到答案． 【详解】解：在长方形中， ∵，，， ∴， 由作法得：平分， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】此题考查了平行线的性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质、角平分线的作图等知识，熟练掌握三角形外角的性质和平行线的性质是解题的关键． 9．如果不等式组有且仅有3个整数解，那么的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解．先根据不等式的性质求出不等式的解集，再根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集，最后根据不等式组的解集和整数解得出答案即可． 【详解】解：， 解不等式，得， 解不等式，得， 所以根据题意，不等式组的解集是， 不等式组有且仅有个整数解，这个整数解是，，， ， 故选：B． 10．如图，在中，按以下步骤作图：①以为圆心，任意长为半径作弧，分别交于两点；②分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；③作射线，交边于点，若，，则线段的长为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了尺规作角平分线、角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理的运用，理解尺规作角平分线，掌握勾股定理的计算是解题的关键． 根据勾股定理得到，由尺规作图得是的角平分线，过点作于点，如图所示，则，可证，得到，则，设，则，在中由勾股定理得到，由此列式求解即可． 【详解】解：在中，，， ∴， 根据作图可得是的角平分线，过点作于点，如图所示， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得，， ∴， 故选：A ． 11．若关于的方程组的解满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式，由方程组可得，进而得到，据此即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：， ①＋②，得， 即， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 12．如图，在中，是锐角，以为斜边在内部作一个等腰直角三角形，过点D作于点E，交于点F，若F为的中点，，，则的长为（     ）    A．2 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】过点C作，交的延长与点G，先证明，再证明，解答即可． 本题考查了三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：过点C作，交的延长与点G， ∵点F为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形，， ∴，， ∵ ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得， 故选：D．    第Ⅱ卷 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 13．已知，则 ．（填>、=或<） 【答案】 【分析】本题考查了不等式的性质．根据不等式的性质“不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变”即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 14．若等腰三角形腰长6，底边长5，则它的周长是 ． 【答案】17 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，根据等腰三角形的定义求出该三角形的三边长即可得到答案． 【详解】解：∵等腰三角形腰长6，底边长5， ∴该三角形的三边长为6，6，5， ∴该三角形的周长为， 故答案为：17． 15．如图，在中，垂直平分．若的周长为，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，根据垂直平分，所以，因为的周长为，所以，则，即可作答． 【详解】解：∵垂直平分， ∴． ∵的周长为， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：6． 16．若一次函数的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数和一元一次不等式的关系；直接利用一次函数图象，结合时，则时对应x的取值范围，进而得出答案． 【详解】解：根据函数图象可得与轴交于，且随的增大而增大， ∴关于x的不等式的解集为， 故答案为：． 17．如图，在中，分别以B、C两点为圆心，大于的长为半径画圆弧，两弧交于M、N，连接交的平分线于点D，过点D作，F为垂足，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】连接，根据基本作图，得直线是线段的垂直平分线，利用全等三角形的性质，垂直平分线的性质，角的平分线性质解答即可． 本题考查了全等三角形的性质，垂直平分线的性质，角的平分线性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】连接，根据基本作图，得直线是线段的垂直平分线， ∴， 过点D作于点G， ∵，是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴． ∴， 设， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， 解得， 故． 故答案为：． 18．对于一个四位正整数，若它的各位上数字均不为零且互不相等，千位数字与个位数字之和为9，十位数字比百位数字大2，则称这个四位正整数A是“玖贰数”则符合条件的A的最大数为 ，，，若能被7整除，则所有满足条件的四位正整数A的和为 ． 【答案】 【分析】此题考查了数字类规律题，整式加减的应用、不等式的应用等知识，根据题意求出当时，A的最大数为，根据题意求出当，则或，当，则或，进一步求出所有满足条件的四位正整数A，即可求出所有满足条件的四位正整数A的和． 【详解】解：∵四位正整数是“玖贰数”． ∴， ∴， ∵ ∴，，， ∴，，， 可得到A为，     当时，A的最大数为； ∵， ∵，， ∴，， ∴，， ∵能被7整除， ∴当，则或， 当，则或， 当时，，不符合题意； 当时， ∴ 当时，或1， ∴此时或 ∴此时四位正整数A为3576或1578； 当时，，和b重复，应舍去，或（舍去）， 综上所述，所有满足条件的四位正整数A为或， ∴所有满足条件的四位正整数A的和为． 故答案为：，． 三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 19．解不等式（组）： (1)； (2)，并求出它的所有整数解的和． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元一次不等式及一元一次不等式组的求解．注意计算的准确性． （1）去括号，移项，合并同类项，最后把未知数的系数化为“1”即可； （2）分别解不等式组中的两个不等式，再取两个解集的公共部分即可． 【详解】（1）解：， 去括号得：， 移项得：， 合并得：， 解得：； （2）解： 由①得：， 由②得：， ∴不等式组的解集为：， 所有数解的和：． 20．如图，已知，、在线段上，与交于点，且，．求证：． 【答案】见解析． 【分析】此题考查了直角三角形全等的判定，解题关键是由推出，利用进行判定． 【详解】证明：， ，即， ， 与都为直角三角形， 在和中， ， ． 21．某商店老板销售一种商品，该商品进价为200元，标价为360元．活动期间要降价销售，他要以不低于进价的利润才能出售，求商店老板最多可以降价多少元？ 【答案】120元 【分析】设商店老板降价x元，根据题意列出不等式，求解不等式即可． 【详解】解：设商店老板降价x元， 由题意得，， 解得， 答：商店老板最多可以降价120元． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，理清题意，找准不等关系，列出不等式是解题的关键． 22．定义新运算：对于任意实数，都有 ，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如： ①求的值； ②若的值小于，求x的取值范围，并在给定的数轴上表示出来． 【答案】①11 ；②x＞﹣1，图见解析 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式；有理数的混合运算，熟练掌握解一元一次不等式的基本步骤，有理数的混合运算法则是解题的关键． （1）根据题意得出有理数混合运算的式子，再求出其值即可； （2）先得出有理数混合运算的式子，再根据的值小于，求出x的取值范围，并在数轴上表示出来即可． 【详解】① ； ②∵， ∴， ∴  ，    在数轴表示，如图： 23．如图，在中． (1)利用尺规作图，在边上求作点，使得点到的距离（的长）等于的长； (2)利用尺规作图，做出（1）中的线段．（要求：不写作法，保留作图痕迹） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图-复杂作图、角平分线的性质定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本作图，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． （1）由点P到的距离（的长）等于的长知点P在平分线上，再根据角平分线的尺规作图即可得； （2）根据过直线外一点作已知直线的垂线的尺规作图即可得． 【详解】（1）解：如图，点P即为所求； （2）如图，线段即为所求． 24．如图，四边形是某公园的一块空地，已知，，，，，现计划在该空地上种植草皮，若每平方米草皮需元，则在该空地上种植草皮共需多少元？（，结果保留整数） 【答案】在该空地上种植草皮大约需要元 【分析】本题考查勾股定理的应用，关键是直角三角形性质和勾股定理逆定理． 利用直角三角形性质求出和，再利用勾股定理逆定理判定是直角三角形，即可求解． 【详解】解：∵，，，∴， 在中，由勾股定理得：， ∵，， ∴，∴， ∴， ∴种植草皮所需金额为：（元）． 答：在该空地上种植草皮大约需要元． 25．如图，在中，，，． (1)点在上，①如图1，当时， ； ②如图2，当点在的平分线上时，求的长； (2)如图3，点在上，若为等腰三角形，直接写出的长． 【答案】(1)①；②的长为25 (2)的长为20或25或14 【分析】（1）①根据勾股定理求出，根据等腰三角形的判定得出，设，则，根据勾股定理得出，求出结果即可； ②过点作于，设，则，根据角平分线的性质得出，证明，得出，根据勾股定理得出，求出x的值即可； （2）分三种情况：当时，当时，当时，分别画出图形进行求解即可． 【详解】（1）解：在中，， ， ， ， 设，则， 在Rt中，由勾股定理得：， 即， 解得， 即的长为； ②如图1，过点作于，设，则， 点在的平分线上，且，， ， 在和中， ， ， ， ， 在中，， ， 解得， 的长为25． （2）解：若为等腰三角形，有三种情况： 当时，如图2， ； 当时，如图3， ， ，， ， ， ， ． 当时，如图4， 过点作于点， ， ， ， 解得：， 在中，由勾股定理得： ， ． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质，注意进行分类讨论． 26．【新定义】在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的2倍，我们称这两个角互为“开心角”，这个三角形叫做“开心三角形”．例如：在中，，，则∠与互为“开心角”，为“开心三角形”．（提示：方程思想、分类讨论思想） 【理解】 (1)若为开心三角形，，则这个三角形中最小的内角为______度； (2)若为开心三角形，，则这个三角形中最小的内角为____________度； (3)已知是开心中最小的内角，并且是其中的一个开心角，试确定的取值范围．并说明理由． 【答案】(1)16 (2)30或40 (3)，理由见解析 【分析】本题为新定义题型，主要考查了三角形内角和定理，一元一次方程以及开心角和开心三角形的概念，涉及到了分类讨论的思想方法，其中熟练掌握相关概念和性质是解答本题的关键． （1）根据开心三角形的概念求解即可； （2）根据开心三角形的概念分两种情况求解即可； （3）根据是开心中最小的内角，则与互为开心角的内角只能为，列出不等式求解即可； 【详解】（1）解：设最小角为， ∵为开心三角形，， ， ， 故答案为：16； （2）解：当与互为“开心角”时，则最小角为； 当与互为“开心角”时， 设最小角为， ， ， 故答案为：30或40； （3）解：，理由如下： ∵是开心中最小的内角，并且是其中的一个开心角， ∴另一个开心角是， ∴第三个内角是， ∵是最小内角， ， ． ( 16 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$