18.2.3　正方形 同步练习 2024—2025学年人教版数学八年级下册

18.2.3　正方形 1.定义：一组　邻边相等　，并且有一个角是　直角　的　平行四边形　叫做正方形. 2.性质：正方形的四个角都是　直角　，四条边都　相等　，对角线互相　垂直平分　且　相等　，并且每一条对角线平分一组　对角　. 3.正方形的判定： （1）一组　邻边相等　，并且有一个角是　直角　的平行四边形是正方形. （2）一组　邻边相等　的矩形是正方形. （3）对角线　互相垂直　的矩形是正方形. （4）有一个角是　直角　的菱形是正方形. （5）对角线　相等　的菱形是正方形. @基础分点训练 　▶　知识点一　正方形的定义与性质 1.（2024·张掖入学）矩形、菱形、正方形都具有的性质是 （　B　） A.对角线相等 B.对角线互相平分 C.对角线互相垂直 D.对角线互相垂直且相等 2.如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OA＝3，则此正方形的面积为 （　C　） A.3 B.12 C.18 D.36 3.【教材P67复习题T1（3）变式】（2024·白银期中）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE，则∠CBE的度数为 （　B　） A.15° B.75° C.20° D.12.5° 　▶　知识点二　正方形的判定 4.在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，如果再添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是 （　D　） A.∠D＝90° B.AB＝CD C.AC＝BD D.BC＝CD 5.下列说法不正确的是 （　D　） A.对角线相等的菱形是正方形 B.对角线互相垂直的矩形是正方形 C.四个角相等，且邻边也相等的四边形是正方形 D.对角线相等的矩形是正方形 6.如图，点D是Rt△ABC斜边BC的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是E，F，且BF＝CE.求证：四边形AEDF是正方形. 证明：∵∠A＝90°，DE⊥AC，DF⊥AB， ∴∠A＝∠DFA＝∠DFB＝∠DEC＝∠DEA＝90°.∴四边形AEDF是矩形. ∵点D是Rt△ABC斜边BC的中点， ∴BD＝CD. 又∵BF＝CE， ∴Rt△BFD≌Rt△CED（HL）. ∴DF＝DE. ∴矩形AEDF是正方形. 即四边形AEDF是正方形. @中档提分训练 7.（2024·兰州月考改编）如图，正方形ABCD和正方形CEFG，点G在CD上，AB＝5，CE＝2，点T为AF的中点，则CT的长是 （　D　） 第7题图 A. B.4 C. D. 8.（2024·常州）如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于原点O.若点A的坐标是（2，1），则点C的坐标是　（－2，－1）　. 第8题图 9.如图，E，F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，且BE＝DF. （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）若AB＝3，BE＝2，求四边形AECF的面积. （1）证明：∵四边形ABCD为正方形， ∴AB＝CD，∠ABE＝∠CDF＝45°. 又∵BE＝DF， ∴△ABE≌△CDF（SAS）. （2）解：如图，连接AC，交BD于点O. ∵四边形ABCD是正方形， ∴AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO. 又∵BE＝DF， ∴BO－BE＝DO－DF，即OE＝OF. ∵AO＝CO， ∴四边形AECF是平行四边形. ∵AC⊥EF， ∴四边形AECF是菱形. ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝3. ∴AC＝BD＝＝＝6. ∵BE＝DF＝2， ∴EF＝BD－BE－DF＝6－2－2＝2. ∴S四边形AECF＝AC·EF＝×6×2＝6. @拓展素养训练 10.【核心素养·推理能力】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝CD，E是对角线BD上一点，且AE＝CE. （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）如果BE＝BC，且∠CBE∶∠BCE＝2∶3，求证：四边形ABCD是正方形. 证明：（1）在△ADE和△CDE中， ∴△ADE≌△CDE（SSS）. ∴∠ADE＝∠CDE. ∵AD∥BC，∴∠CBD＝∠ADE. ∴∠CDE＝∠CBD. ∴CD＝BC. ∵AD＝CD，∴AD＝BC. 又∵AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形. ∵AD＝CD， ∴四边形ABCD是菱形. （2）∵BE＝BC，∴∠BEC＝∠BCE. ∵∠CBE∶∠BCE＝2∶3， ∴∠CBE＝180°×＝45°. ∵四边形ABCD是菱形， ∴∠ABE＝∠CBE＝45°. ∴∠ABC＝∠ABE＋∠CBE＝45°＋45°＝90°. ∴四边形ABCD是正方形. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 18.2.3　正方形 1.定义：一组 ，并且有一个角是 的 叫做正方形. 2.性质：正方形的四个角都是 ，四条边都 ，对角线互相 且 ，并且每一条对角线平分一组 . 3.正方形的判定： （1）一组 ，并且有一个角是 的平行四边形是正方形. （2）一组 的矩形是正方形. （3）对角线 的矩形是正方形. （4）有一个角是 的菱形是正方形. （5）对角线 的菱形是正方形. @基础分点训练 　▶　知识点一　正方形的定义与性质 1.（2024·张掖入学）矩形、菱形、正方形都具有的性质是 （　 　） A.对角线相等 B.对角线互相平分 C.对角线互相垂直 D.对角线互相垂直且相等 2.如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OA＝3，则此正方形的面积为 （　 　） A.3 B.12 C.18 D.36 3.【教材P67复习题T1（3）变式】（2024·白银期中）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE，则∠CBE的度数为 （　 　） A.15° B.75° C.20° D.12.5° 　▶　知识点二　正方形的判定 4.在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，如果再添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是 （　 　） A.∠D＝90° B.AB＝CD C.AC＝BD D.BC＝CD 5.下列说法不正确的是 （　 　） A.对角线相等的菱形是正方形 B.对角线互相垂直的矩形是正方形 C.四个角相等，且邻边也相等的四边形是正方形 D.对角线相等的矩形是正方形 6.如图，点D是Rt△ABC斜边BC的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是E，F，且BF＝CE.求证：四边形AEDF是正方形. @中档提分训练 7.（2024·兰州月考改编）如图，正方形ABCD和正方形CEFG，点G在CD上，AB＝5，CE＝2，点T为AF的中点，则CT的长是 （　 　） 第7题图 A. B.4 C. D. 8.（2024·常州）如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于原点O.若点A的坐标是（2，1），则点C的坐标是 . 第8题图 9.如图，E，F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，且BE＝DF. （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）若AB＝3，BE＝2，求四边形AECF的面积. @拓展素养训练 10.【核心素养·推理能力】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝CD，E是对角线BD上一点，且AE＝CE. （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）如果BE＝BC，且∠CBE∶∠BCE＝2∶3，求证：四边形ABCD是正方形. 学科网（北京）股份有限公司 $$