18.2.3 正方形有关的模型 培优讲义 2023-2024学年人教版八年级数学下册

正方形有关的模型培优讲义 方法总结 三垂直模型 在正方形ABCD中, 一线三垂直——"K"字模型 【结论】利用 SAS 推出 ，从而推出四边形EFGH为正方形. 【方法】遇到直线上出现两个直角的题型可以考虑构造一线三垂直模型进行证明计算. 绕顶点旋转的基本模型 (1) 如图, 正方形ABCD, 将 绕点 A 顺时针旋转 得到 则 为等腰直角三角形， 【注意】辅助线为延长CB 至点 F，使. 再证明 手拉手模型 已知: 如图, 四边形ABCD、AEFG都是正方形, 连接BE、DG, BE与DG交于点 P. 【结论】 ③AP平分 【变形一】绕点A旋转AEFG，以上结论均成立. 【变形二】将正方形变成等腰直角三角形，以上结论均成立. 对角互补模型 如图, 正方形ABCD, 对角线AC、BD交于点O, . ，与正方形的两边分别交于点 E、F 【结论】 ③S四边形E方形ABCD· 【辅助线】 ①过点 O作OD⊥OB, 根据等腰三角形的判定得 OB=OD, 再利用 ASA 或 AAS推出 △OBE≌△ODF. ②过点 O作 OG⊥AB, OH⊥BC, 根据角平分线的性质得 OG=OH, 再利用 ASA 或 AAS 推出△OGE≌△OHF. 角含半角模型 如图, 正方形ABCD, 点E在边 CD上, 点F在边 BC上, ∠EOF =45°. 【辅助线】延长BC 至点G, 使 BG =DE, 连接AG. 【结论】 ①利用SAS推出△ABG≌△ADE, AG=AE, ∠FAG=∠FAE. ②利用 SAS推出△FAG≌△FAE, FG=EF. ③EF=BF+DE, 进而推出△CEF 的周长等于正方形周长的一半. ④AF 平分∠BFE, AE 平分 ∠DEF. 巩固练习 1 如图, E、F分别是正方形ABCD的边 BC、CD 上的点, 且. H 为垂足,求证： ❷如图，四边形ABCD 是边长为2的正方形，点G是BC延长线上一点，连接AG，点E、F分别在AG上, 连接BE、DF, (1)证明: (2)若 求 EF的长. 3 探究:如图,分别以. 的两边AB和AC为边向外作正方形ANMB 和正方形ACDE,NC、BE交于点 P. (1) 求证: (2)应用: Q是线段 BC的中点, 若. 则PQ的长度是多少? 4 如图, 正方形ABCD中, O是对角线AC、BD的交点, 当E、F分别在AB、BC 上运动时, 始终保持 正方形的边长为5. (1) 求证: (2)四边形OEBF 面积是否不变，若不变，请求出该四边形的面积，若变化，请说明理由. (3)试确定EF的长度的取值范围. 5如图1所示, 在正方形ABCD中, 点P是CD上一动点, 连接PA, 分别过点B、D作 垂足分别为E、F. (1)请探究BE、DF、EF 这三条线段长度具有怎样的数量关系，若点 P在 DC 的延长线上(如图2)，那么这三条线段的长度之间又有怎样的数量关系?若点 P在CD的延长线上呢(如图3)?请分别直接写出结论. (2)请在 (1)中的三个结论中选择一个加以证明. 6 回答下列问题. (1)作图发现 如图1, 已知. ，小涵同学以AB、AC为边向 外作等边 BD 和等边 连接BE, CD. 这时他发现 BE与 CD的数量关系是 . (2)拓展探究 如图2. 已知 ，小涵同学以AB、AC为边向外作正方形ABFD和正方形ACGE，连接BE，CD，试判断 BE与CD 之间的数量关系，并说明理由. (3)解决问题 如图 3，要测量池塘两岸相对的两点 B，E 的距离，已经测得 米. 则 米. 7请回答下列问题： (1)如图①, 在正方形ABCD 中, 的顶点E,F分别在BC, CD 边上, 高AG与正方形的边长相等，求. 的度数. (2)如图②, 在I 中, ,点M,N是 BD边上的任意两点,且 将 绕点 A 逆时针旋转 至 位置, 连接 NH, 试判断 MN,ND,DH 之间的数量关系，并说明理由. 8 如图，正方形ABCD 中，AC是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点B，直角顶点 P在射线AC 上移动, 另一边交 DC 于 Q. (1)如图1，当点Q在DC边上时，猜想并写出PB与PQ所满足的数量关系；并加以证明. (2)如图2，当点Q落在DC 的延长线上时，猜想并写出PB 与PQ满足的数量关系，请证明你的猜想. 9定义：有一组对角是直角，夹其中一个直角的两边相等，夹另一个直角的两边不相等的四边形称为准正方形.理解：如图1，若四边形ABCD中， 则四边形ABCD是准正方形. (1)判断:正方形 (填:是或不是)准正方形. (2)探究性质:如图1. ①若四边形ABCD是准正方形， 过 A作 交CB的延长线于 M，作 于N，请你在图 1 中补画出图形，并证明四边形AMCN为正方形. ②求证: AC平分. (3)应用: 如图2, 在平面直角坐标系中, 正方形 ABCD 顶点 A 的坐标为(0,4), B 点在x轴上, 对角线AC、BD 交于点M, 则点 C的坐标为 . 10已知正方形ABCD和正方形 EBGF共顶点 B,连接AF, H 为AF 的中点, 连接 EH, 正方形EBGF 绕点 B 旋转. (1)如图,当 F 点落在 BC上时,求证: (2)如图, 当点E落在BC上时, 连BH, 若 求BH的长. 学科网（北京）股份有限公司 $$