【高效学】利用平方根求原数

利用平方根求原数 1．【答案】9 【分析】此题考查了算术平方根及平方根的定义，正确理解定义是解题的关键． 由平方根及算术平方根定义得到 2� − 1 = 9，3� + � − 1 = 16，求出� = 5，� = 2，代入即可 求值． 【详解】解：∵2� − 1的平方根是±3，3� + � − 1的算术平方根是 4， ∴2� − 1 = 9，3� + � − 1 = 16 ∴� = 5，� = 2 ∴� + 2� = 5 + 2 × 2 = 9． 故答案为：9． 2.【答案】±5 【分析】根据算术平方根的平方等于被开方数，立方根的立方等于被开方数，即可求出 x，y， 就可求出答案． 【详解】解：∵ � + 1的算术平方根是 2， ∴ � + 1 = 4， 解得：� = 3， ∵ 2� + � − 2的立方根是 2， ∴ 2� + � − 2 = 8， 解得：� = 4， ∴ �2 + �2=32 + 42=25， ∴ �2 + �2的平方根是±5． 3.【答案】C 【分析】本题考查平方根．根据一个正数的两个平方根互为相反数，求出�的值，进而求出� 的值即可． 【详解】解：由题意，得：2� + 1 + 3 − 4� = 0， 解得：� = 2， ∴� = 2� + 1 2 = 52 = 25； 故选 C． 4.【答案】(1)� = 4, � =− 12；(2)±2 【分析】（1）根据一个正数的两个平方根互为相反数即可求得�的值；根据立方根的定义求得 �的值， （2）将（1）的结果代入代数式，进而再求得代数式的平方根即可． 【详解】（1）∵某正数的两个不同的平方根是 3� − 14和� − 2； ∴ 3� − 14+� − 2 = 0 ∴ 4� = 16 解得� = 4 ∵ � − 15的立方根为－3 ∴ � − 15 =− 27 解得� =− 12 ∴ � = 4, � =− 12 （2）∵ � = 4, � =− 12 ∴ 4� + � = 16 − 12 = 4 ∴ 4的平方根是±2． 5.【答案】B 【分析】根据一个正数的平方根有 2个，题中未明确说明 2� + 1和 2 − �是否相同，故可知 2� + 1和 2 − �相同或互为相反数，列出方程，求出方程的解即可得到 a的值． 【详解】∵一个正数的平方根为 2� + 1和 2 − �， ∴2� + 1 + 2 − � = 0或 2� + 1 = 2 − �， 解得� =− 3或1 3 . 故选：B. 6.【答案】C 【分析】根据平方根的定义：如果 x2=a，则 x 叫做 a 的平方根，记作“± �”．即可求解，正数 的平方根互为相反数． 【详解】解：∵2022的两个平方根是 m 和 n， ∴�� =−�2 =− 2022,� + � = 0 ∴ � + 2�� + � =− 4044 故选：C． 7.【答案】（1）±4（2） 3 【分析】本题考查了平方根和立方根的综合，熟练掌握相关定义列出方程是解题的关键． （1）根据立方根和算术平方根的定义及无理数的估算列出关于 a、b、c 的方程求值，再计算 平方根即可； （2）根据一个正数的平方根互为相反数列方程求解即可． 【详解】解：（1）∵5� + 2的立方根是 3，3� + � − 1的算术平方根是 4， ∴5� + 2 = 27，3� + � − 1 = 16， 解得� = 5，� = 2， ∵c 是 13的整数部分， ∴� = 3． 则 3� − � + � = 16， ∴3� − � + �的平方根是±4； （2）由题意得，2� − 5 + 2� + 1 = 0， 解得� = 1， ∴2� + 1 = 3，� = 2� + 1 2 = 9， ∴ � = 9 = 3， ∴ �的算术平方根是 3． 8．【答案】(1)� =− 1 3 ，� = 1 2 ，� = 25 9 ；(2)± 3 【分析】（1）一个正数的两个不同的平方根的和为 0，可求出�的值，把�的值代入 2� − 1或 4� + 3，得到�的一个平方根，可求出�的值；由 9 < 10 < 16即 3 < 10 < 4，得到 2� + 2 = 3，求出�的值； （2）将（1）中�的值代入 1 + 4�，求其平方根即可． 【详解】（1）解：由题意得，2� − 1 + 4� + 3 = 0， 解得� =− 1 3 ， ∴ 2� − 1 =− 1 3 × 2 − 1 =− 5 3 ， ∴ � = ( − 5 3 )2 = 25 9 ； ∵ 9 < 10 < 16，即 3 < 10 < 4 ∴ 10的整数部分是 3， ∴ 2� + 2 = 3， 解得� = 1 2 故答案为：� =− 1 3 ，� = 1 2 ，� = 25 9 （2）把� = 1 2 代入，得 1 + 4� = 1 + 4 × 1 2 = 3， ∴3的平方根是± 3． 9．【答案】(1)6；(2)±5 【分析】（1）根据平方根和立方根的定义列出方程，进行解答便可； （2）先求出 c 的值，再根据算术平方根进行计算便可． 【详解】（1）解：∵一个正数的平方根分别是 2a﹣7和 a﹣8，3a﹣b﹣1的立方根为 2， ∴2a﹣7+a﹣8＝0，3a﹣b﹣1＝8， 解得 a＝5，b＝6， ∴6a+b 的算术平方根为： 6×5+6=6； （2）∵c 是 13的整数部分， ∴c=3， ∵a＝5，b＝6， ∴2a+3b﹣c=10+18-3=25， ∴2a+3b﹣c 的平方根为±5． 利用平方根求原数 1．已知 2� − 1的平方根是±3，3� + � − 1的算术平方根是 4，求� + 2� = ． 2．已知� + 1的算术平方根是 2，2� + � − 2的立方根是 2，求�2 + �2的平方根 ． 3．已知一个正数�的两个不同的平方根分别是 2� + 1和 3 − 4�，则�的值为（ ） A．2 B．4 C．25 D．±5 4．已知某正数的两个不同的平方根是 3� − 14和� − 2；� − 15的立方根为－3． (1)求 a、b 的值： (2)求 4� + �的平方根． 5．若一个正数的平方根为 2� + 1和 2 − �，则 a 的值是（ ） A．− 1 3 B．1 3 或-3 C．-3 D．3 6．若 2022的两个平方根是 m 和 n，则�+ 2�� + �的值是（ ） A．0 B．2022 C．−4044 D．4044 7．（1）已知 5� + 2的立方根是 3，3� + � − 1的算术平方根是 4，c 是 13的整数部分，求 3� − � + �的平方根． （2）一个正数 x 的平方根分别是 2� − 5和 2� + 1，求 �的算术平方根． 8．已知：2� − 1和 4� + 3是�的两个不同的平方根，2� + 2是 10的整数部分． (1)求�，�，�的值． (2)求 1 + 4�的平方根． 9．已知一个正数的平方根分别是 2a﹣7和 a﹣8，3a﹣b﹣1的立方根为 2． (1)求 6a+b 的算术平方根； (2)若 c 是 13的整数部分，求 2a+3b﹣c 的平方根．