【高效学】平行线中的分类讨论

平行线中的分类讨论 1.【答案】B 【分析】由两角的两边互相平行可得出两角相等或互补，再由题意，其中一个角比另一个角的 3倍多 36°，可得出答案． 【详解】解：∵两个角的两边互相平行， ∴这两个角相等或互补， 设一个角为�，则另一个为 3� + 36°， 若两角互补，则� + 3� + 36° = 180°，解得� = 36°； 若两角相等，则� = 3� + 36°，解得� =− 18°，舍去． 故选：B． 2.【答案】40°或 140° 【分析】先正确画出图形，根据平行线的性质结合图形分两种情况，计算可得． 【详解】解：分两种情况， ①当∠1与∠2的两边分别平行． ∵�1∥�2，∠1 = 40°， ∴∠1=∠4=40°， ∵�3∥�4， ∴∠2=∠4=40°； ②当∠1与∠3的两边分别平行． ∵�1∥�2，∠1 = 40°， ∴∠1=∠4=40°， ∵�3∥�4， ∴∠3+∠4=180°， ∴∠3=140° 故答案为：40°或 140°． 3．【答案】 ∠1 = ∠2或∠1 + ∠2 = 180° 30°和 30°或 110°和 70° 【分析】（1）根据��∥��，��∥��，即可得∠1与∠2的关系； （2）设另一个角为�°，根据以上结论和一个角比另一个角的 2倍少 30°，列出方程即可求出这 两个角度数． 【详解】解：（1）如图①，∵ ��∥��， ∴ ∠3 = ∠2， ∵ ��∥��， ∴ ∠3 = ∠1， ∴ ∠1 = ∠2； 如图②，∵ ��∥��， ∴ ∠3 + ∠2 = 180°， ∵ ��∥��， ∴ ∠3 = ∠1， ∴ ∠1 + ∠2 = 180°． （2）设另一个角为�°，根据以上结论得： 2� − 30 = �或 2� − 30 + � = 180， 解得：� = 30，� = 70， 当两个角相等时，这两个角分别为 30°和 30°； 当两个角互补时，这两个角分别为 70°和 110°. 故答案为：∠1 = ∠2或∠1 + ∠2 = 180°；30°和 30°或 110°和 70°． 4.【答案】（1）90°或 30°；（2）∠PBD=∠PAC+∠APB． 【分析】（1）分三种情况讨论：点 P在 CD之间时，点 P在 CD的延长线上，点 P在 DC延 长线上，分别过 P作 PG∥AC，根据平行线的性质进行计算即可得到∠APB的度数； （2）点 P在 DC延长线上，过 P作 PG∥AC，根据平行线的性质进行推导，即可得到∠PAC， ∠APB，∠PBD之间的关系． 【详解】解：（1）①点 P在 CD之间时，过点 P作 PG∥AC，则 PG∥BD， ∴∠APG=∠PAC=60°，∠BPG=∠PBD=30°, ∴∠APB=∠APG+∠BPG=60°+30°=90°， ②当点 P在 CD的延长线上时，过 P作 PG∥AC，则 PG∥BD， ∴∠APG=∠PAC=60°，∠BPG=∠PBD=30°， ∴∠APB=∠APG-∠BPG=60°-30°=30°； ③当点 P在 DC延长线上时，不合题意； 综上所述，∠APB=90°或 30°， 故答案为 90°或 30°； （2）如图，当点 P在 DC延长线上时，∠PBD=∠PAC+∠APB． 理由如下：过点 P作 PG∥AC， ∵AC∥BD， ∴PG∥AC∥BD， ∴∠APG=∠PAC，∠BPG=∠PBD， ∵∠BPG=∠APG+∠APB， ∴∠PBD=∠PAC+∠APB． 故答案为∠PBD=∠PAC+∠APB． 5．【答案】（1）见答案；（2）∠APC+∠PAB+∠PCD=360°或∠APC=∠PAB+∠PCD 【分析】由于点 P是动点，位置不确定，需要先作出对应的图形，再逐一分析. 【详解】解：（1）不同类型的角有锐角、直角、钝角、平角．如图． （2）∠APC+∠PAB+∠PCD=360°或∠APC=∠PAB+∠PCD； 理由如下：①过 P作 PM∥AB， ∵PM∥AB ∴∠PAB+∠APM=180°； ∵AB∥CD，∴PM∥CD， ∴∠PCD+∠CPM=180°； ∴∠PAB+∠APM+∠CPM+∠PCD=360°， ∴∠APC+∠PAB+∠PCD=360°． ②过 P作 PM∥AB， ∵PM∥AB ∴∠PAB=∠APM； ∵AB∥CD，∴PM∥CD， ∴∠PCD=∠CPM； ∵∠APC=∠APM+∠CPM， ∴∠APC=∠PAB+∠PCD． 6．【答案】（1））①∠AEC=90°②见解析；（2）∠AEC=1 2 ∠APC， 理由见解析；（3）不成 立,∠AEC=180∘ −1 2 ∠APC ，理由见解析 【分析】（1）①由平行线的性质可得出∠PAB+∠PCD=180°，进而可得出∠AEC的度数； ②在图 1中，过 E作 EF∥AB，根据平行线的性质可得出∠AEF=∠EAB、∠CEF=∠ECD，进 而即可证出∠AEC=∠AEF+∠CEF=∠EAB+∠ECD； （2）猜想：∠AEC=1 2 ∠APC，由角平分线的定义可得出∠EAB=1 2 ∠PAB、∠ECD=1 2 ∠PCD，由 （1）可知∠AEC=∠EAB+∠ECD、∠APC=∠PAB+∠PCD，进而即可得出∠AEC=1 2 （∠PAB+∠PCD）=1 2 ∠APC； （3）在图 3中，（2）中的结论不成立，而是满足∠AEC=180°-1 2 ∠APC，过 P作 PQ∥AB，由 平行线的性质可得出∠PAB+∠APQ=180°、∠CPQ+∠PCD=180°，进而可得出 ∠PAB+∠PCD=360°-∠APC，再由角平分线的定义可得出∠EAB=1 2 ∠PAB、∠ECD=1 2 ∠PCD， 结合（1）的结论即可证出∠AEC=180°-1 2 ∠APC． 【详解】(1)①∠AEC=90°； ②证明：在图 1中,过 E作 EF∥AB，则∠AEF=∠EAB. ∵AB∥CD， ∴EF∥CD， ∴∠CEF=∠ECD. ∴∠AEC=∠AEF+∠CEF=∠EAB+∠ECD. (2)猜想：∠AEC=1 2 ∠APC，理由如下： 在图 2中， ∵AE、CE分别平分∠PAB和∠PCD， ∴∠EAB=1 2 ∠PAB,∠ECD=1 2 ∠PCD. 由(1)知∠AEC=∠EAB+∠ECD，∠APC=∠PAB+∠PCD， ∴∠AEC=1 2 ∠PAB+1 2 ∠PCD=1 2 (∠PAB+∠PCD)= 1 2 ∠APC. (3)在图 3中,(2)中的结论不成立,而是满足∠AEC=180∘ −1 2 ∠APC， 其证明过程是： 过 P作 PQ∥AB,则∠PAB+∠APQ=180°. ∵AB∥CD， ∴PQ∥CD， ∴∠CPQ+∠PCD=180∘ . ∴∠PAB+∠APQ+∠CPQ+∠PCD=360°,即∠PAB+∠PCD=360°−∠APC. ∵AE、CE分别平分∠PAB和∠PCD， ∴∠EAB=1 2 ∠PAB,∠ECD=1 2 ∠PCD. 由(1)知∠AEC=∠EAB+∠ECD， ∴∠AEC=1 2 ∠PAB+1 2 ∠PCD=1 2 (∠PAB+∠PCD)= 180°-1 2 ∠APC． 平行线中的分类讨论 1．已知两个角的两边分别平行，且其中一个角比另一个角的 3倍多 36°，则这两个角的度数 是（ ） A．20°和 96° B．36°和 144° C．40°和 156° D．不能确定 2．如果两个角的两边分别平行，一个角是40∘，那么另一个角是 ． 3．已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行，结合图①②， （1）如图①②，则��∥��，��∥��，则∠1与∠2的数量关系是 ； （2）若两个角的两边互相平行，且一个角比另一个角的 2倍少 30°，则这两个角的度数分别 是 ． 4．如图，已知直线�1 ∥ �2，直线 AB 与�1，�2分别交于点 A，B，直线 EF 与�1，�2分别交于点 C， D，P 是直线 EF 上的任意一点（不与点 C，D 重合）. （1）若∠PAC=60°，∠PBD=30°，则∠APB＝ . （2）当 P 在 DC 延长线上时探究∠PAC，∠APB，∠PBD 之间的关系，可以得到的结论是 . 5．如图，AC∥BD，点 P 是直线 AC 和 BD 之间的一动点，当点 P 运动到某一位置时，连接 PA，PB． （1）当点 P 在运动过程中构成了不同类型的∠APB，试画出各种不同类型的∠APB． （2）请直接写出∠APB，∠PAC，∠PBD 之间的等量关系． 6．已知射线 AB∥射线 CD，P 为一动点，AE 平分∠PAB，CE 平分∠PCD，且 AE 与 CE 相交 于点 E. (1)在图 1中,当点 P 运动到线段 AC 上时,∠APC=180°. ①直接写出∠AEC 的度数；②求证：∠AEC=∠EAB+∠ECD； (2)当点 P 运动到图 2的位置时，猜想∠AEC 与∠APC 之间的关系，并加以说明； (3)当点 P 运动到图 3的位置时,(2)中的结论是否还成立?若成立，请说明理由；若不成立，请 写出∠AEC 与∠APC 之间的关系，并加以证明．