2.5 二次函数与一元二次方程 同步训练 2024-2025学年北师大版九年级数学下册

2.5 二次函数与一元二次方程 一、选择题： 1.若拋物线与轴有两个不同的交点，则的取值范围为  (    ) A. B. C. 且 D. 且 2.已知二次函数的顶点为，那么关于的一元二次方程的根的情况是(    ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 3.已知二次函数，下列说法正确的是(    ) A. 图象经过原点 B. 图象的顶点坐标为 C. 图象与轴无公共点 D. 图象与轴的交点坐标为 4.如图，已知函数与的图像交于、两点，当时，的取值范围是(    ) A. B. C. D. 5.已知函数的图象如图，那么关于的方程的根的情况是(    ) A. 无实数根 B. 有两个同号不等实数根 C. 有两个异号实数根 D. 有两个相等实数根 6.二次函数图象如图所示，它的对称轴为，下列结论中正确的有(    ) ； ； ； ； 若和是这条抛物线上的两点，则当时， A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 7.如图，抛物线与轴交于点，，其中下列四个结论：；；；不等式的解集为其中正确结论的个数是(    ) A. B. C. D. 8.如图，已知抛物线与直线交于，两点，则关于的不等式的解集是(    ) A. 或 B. 或 C. D. 二、填空题： 9.已知函数的图象与轴只有一个公共点，则的值是          ． 10.已知二次函数的图像与轴交于、两点，顶点为，则的面积等于               ． 11.如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则方程较小的根是________． 12.如图，已知抛物线与直线交于，两点，则关于的不等式的解集为________． 13.抛物线的部分图象如图所示，则当时，的取值范围是____________． 14.已知二次函数的与的部分对应值如下表： 则方程的所有解的和是          ． 15.如图，抛物线与轴相交于点，，与轴相交于点，作轴交抛物线于点，交于点，那么与的面积比值是          ． 三、解答题： 16. 二次函数的图象与一次函数的图象相交吗？如果相交，请求出它们的交点坐标． 17.利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根． 18.我们规定：在直角坐标系中，若一个点的横坐标与纵坐标互为相反数，则这个点叫做“点”如就是“点”． 任意写一个二次函数，使它的图象上存在“点”． 已知二次函数． 求证：该函数图象上一定存在两个“点”． 若这两个“点”的横坐标分别是，且，求的取值范围． 19.如图，已知抛物线与直线相交于，两点，与轴的另一个交点为，连接． 求抛物线的解析式； 在抛物线上是否存在一点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 20.如图，二次函数经过点，，． 求该二次函数的解析式； 利用图象的特点填空： 当 ______时，方程； 不等式的解集为______． 答案和解析 1.【答案】  【解析】【分析】 本题考查二次函数的图象与轴交点的个数的判断根据抛物线与轴有两个不同的交点，得出，进而求出的取值范围． 【解答】  解：二次函数的图象与轴有两个交点， ， ， 抛物线为二次函数， ． 则的取值范围为且， 故选C． 2.【答案】  【解析】根据顶点纵坐标计算出方程判别式的值即可解答． 【详解】解：， 抛物线开口向上， 顶点为， 顶点纵坐标为：， 即，， ， 方程的根的判别式， 方程没有实数根， 故选：． 3.【答案】  【解析】解：二次函数， 该函数图象过，故选项A错误，不符合题意； 该函数图象的顶点坐标为，故选项B错误，不符合题意； 当时，，该方程无解，即该函数图象与轴无公共点，故选项C正确，符合题意； 当时，，即该函数图象与轴的交点坐标为，故选项D错误，不符合题意； 故选：． 根据二次函数的解析式，可以分别判断各个选项中的说法是否正确，然后即可判断哪个选项符合题意． 本题考查抛物线与轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 4.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了二次函数与不等式组，利用数形结合思想是解题的关键． 根据图象，写出一次函数图象在二次函数图象上方所对应的自变量的范围即可． 【解答】 解：已知两函数图象交于、两点， 当直线在抛物线的上方时， 当时，有． 故选：． 5.【答案】  【解析】本题主要考查了二次函数的图象和性质、二次函数与一元二次方程等知识点，掌握二次函数图象的性质成为解题的关键． 根据抛物线的顶点坐标的纵坐标为，判断方程的根的情况即是判断时的值的情况． 【详解】解：的图象与轴有两个交点，顶点坐标的纵坐标是， ，即， 根的情况为求的值情况， 由图象可知：直线与抛物线只有两个交点，即方程有两个不相等的实数根． 故选：． 6.【答案】  【解析】解：由所给函数图象可知， ，，， 所以． 故错误． 因为抛物线与轴有两个不同的交点， 所以． 故错误． 因为抛物线的对称轴为直线，且与轴的一个交点横坐标比大， 所以， 所以抛物线与轴的另一个交点的横坐标比小， 则当时，函数值小于零， 所以． 故正确． 因为抛物线的对称轴为直线， 所以，即． 又因为当时，函数值小于零， 所以， 所以． 故正确． 因为抛物线开口向上， 所以抛物线上的点离对称轴越近，其函数值越小， 又因为， 所以． 故错误． 故选：． 根据所给函数图象，可得出，，的正负，再结合抛物线的增减性和对称性即可解决问题． 本题考查二次函数图象与系数的关系，熟知二次函数的图象和性质是解题的关键． 7.【答案】  【解析】解：抛物线开口向上，对称轴在轴右边，与轴交于正半轴， ，，， ， 正确； 当时，， ， 错误； 抛物线过点， ， ，， ， ， ， ， ， ， 正确； 如图： 设，， 由图知，时，， 故正确； 综上，正确的结论有：，共三个， 故选：． 利用二次函数的图象和性质依次判断即可． 本题考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是求解本题的关键． 8.【答案】  【解析】将要求的不等式抽象成两个函数的函数关系问题，根据二次函数图象的对称性，以及两一次函数图象的关系，求出新的一次函数与二次函数的交点，从而写出抛物线在直线上方部分的的取值范围即可． 【详解】与关于轴对称 抛物线的对称轴为轴， 因此抛物线与直线的交点和与直线的交点也关于轴对称 设与交点为，则， 即在点之间的函数图像满足题意 的解集为： 故选D． 9.【答案】或  【解析】由题意可分当时，则函数与轴满足只有一个交点，当时，则需满足，然后求解即可． 【详解】解：由题意得： 当时，则函数解析式为，满足与轴只有一个公共点， 当时，则函数的图像与轴只有一个公共点，需满足，即， ， 综上所述：当函数的图象与轴只有一个公共点，则的值是或； 故答案为或． 10.【答案】  【解析】【分析】 此题考查了二次函数和一元二次方程之间的相互关系，只要找出点的坐标即可求解，相对容易．此题容易，只要把坐标写出来，根据面积公式就可解决了． 【解答】 解：解：二次函数与轴交于、两点， 则可设、 根据顶点坐标公式，则． 故答案为． 11.【答案】  【解析】解：由图象可知，关于的方程的解，就是抛物线与直线的两个交点坐标，的横坐标， 即，． 由于， 所以方程较小的根是． 故答案为． 利用图象法即可解决问题，方程的解就是两个函数图象的交点的横坐标． 本题考查二次函数与一元二次方程，解题的关键是灵活运用所学知识，学会利用图象法解决实际问题． 12.【答案】  【解析】解：， 抛物线不在直线的下方部分对应的的范围即可不等式的解集， 由图象可知，当时，抛物线不在直线的下方， 不等式的解集是， 故答案为：． 根据图象求出抛物线在直线上方的部分对应的的范围即可． 本题主要考查函数与不等式之间的关系，关键要牢记函数值较大的图象在函数值较小的图象的上方． 13.【答案】或  【解析】【分析】 本题主要考查的是二次函数的性质，二次函数与不等式的有关知识，根据抛物线与轴的一个交点坐标和对称轴，由抛物线的对称性可求抛物线与轴的另一个交点，再根据抛物线的性质可求当时，的取值范围． 【解答】 解：抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴的一个交点坐标为， 抛物线与轴的另一个交点坐标为， 当或时，． 故答案为或． 14.【答案】  【解析】本题考查了二次函数的对称性及与一元二次方程的关系，熟练掌握二次函数的对称性及与一元二次方程的关系是本题解题关键． 先根据所给数据求出对称轴，进而求出点在抛物线上的对称点，点及其对称点的横坐标即为方程的解，然后即可求出和． 【详解】解：解：根据题意得：点，均在二次函数的图象上， 二次函数图象的对称轴为直线， 由表格信息可得： 当时，， 点关于对称轴的对称点为点， 关于的方程的解是，． 方程的所有解的和是． 故答案为：． 15.【答案】  【解析】解：抛物线与轴相交于点，， ， 解得，， 抛物线， 当时，，该抛物线的对称轴是直线， 点的坐标为， 轴交抛物线于点， 点的坐标为， ， 点，， ， 轴，， ，， ∽， 与的相似比为， 与的面积比值是． 16.【答案】解：解方程组 得 所以二次函数的图象与一次函数的图象相交， 交点坐标是，．   17.【答案】解：由图象可知方程有两个根，一个根在和之间，另一个根在和之间． 求在和之间的根，利用计算器进行探索： 因此，是方程的一个近似根． 同样可求另一个根： 因此，是方程的另一个近似根． 所以一元二次方程的近似根为，．   18.【答案】【小题】 解：对于任意二次函数，若其图象上存在“点”， 则方程有解； 即：方程有解； ； 二次函数满足要求； 【小题】 解：令，则， ， 一定存在两个“点”． 设， 是的解， 函数图象与轴相交于点，， 该函数图象开口向上，且， 当时，即， ．   【解析】  本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，正确理解题意是解题关键． 对于任意二次函数，若其图象上存在“点”，则方程有解；即：方程有解；推出即可求解；   令，则，根据即可求证；设，由题意得函数图象与轴相交于点，，根据该函数图象开口向上，且，可推出当时，即，即可求解； 19.【答案】解：把点，代入得：， 解得：， 抛物线的解析式是； 假设在在抛物线上存在点，使得得， 令，则，解得或， ， ， ， ，即， ， 当时，可得， 解得：， 当时，可得， 解得：， 符合条件的点坐标为或或或．  【解析】本题考查了抛物线与轴的交点，待定系数法求二次函数的解析式，三角形的面积，分类讨论是解题的关键． 把点，两点的坐标分别代入抛物线解析式求出和的值即可； 假设在在抛物线上存在点，使得，利用三角形面积求得的纵坐标，进而即可求得点的坐标． 20.【答案】  且  【解析】解：设抛物线解析式为， 把代入得， 解得， 抛物线解析式为， 即； ， 当时，有最小值， 即时，方程 故答案为：； 不等式的解集为且． 故答案为：且． 设交点式，然后把点坐标代入求出即可； 先利用配方法得到，则当时，有最小值； 写出函数图象在轴下方所对应的自变量的范围，并且自变量不取顶点的横坐标． 本题考查了二次函数与不等式组：利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解．也考查了待定系数法求二次函数解析式和抛物线与轴的交点． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$