2.3 确定二次函数的表达式 同步训练 2024-2025学年北师大版九年级数学下册

2.3 确定二次函数的表达式 一、选择题： 1.抛物线的顶点坐标为，则抛物线的表达式为(    ) A. B. C. D. 2.将二次函数化成顶点式是     A. B. C. D. 3.二次函数自变量与函数值的对应关系如下表，下列说法正确的是(    ) A. B. C. D. 4.已知抛物线的顶点坐标为，且与抛物线的开口方向、形状大小完全相同，则抛物线的解析式为(    ) A. B. C. D. 5.已知二次函数，当时，函数值是；当时，函数值是则此二次函数的表达式为(    ) A. B. C. D. 6.设函数是实数，，当时，；当时，，(    ) A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 7.对一个二次函数有如下描述： 当自变量时，函数有最大值； 函数图象与轴一个交点的横坐标为； 函数图象与轴另一个交点的横坐标为； 函数图象与轴的交点坐标为． 从中选取个，还无法求出该二次函数表达式的是(    ) A. B. C. D. 8.如图，平面直角坐标系中四个点：，，，经过这四个点中的三个点的二次函数，其中的值最小为(    ) A. B. C. D. 二、填空题： 9.将二次函数用配方法化成的形式为           ． 10.一个二次函数的图象顶点坐标为，形状与开口方向和抛物线相同，这个函数解析式为          ． 11.抛物线的顶点坐标为          ． 12.已知二次函数的图像过点，则的值为________． 13.已知抛物线，将绕它的原点旋转得抛物线，则抛物线的解析式为______． 14.二次函数中的和满足表：则的值为______． 三、解答题： 15. 已知二次函数． 将化成的形式； 抛物线可以由抛物线经过平移得到，请写出一种平移方式． 16.已知二次函数的图象如图所示，求这个二次函数的解析式． 17.已知二次函数 的图象经过点、、、． 求此二次函数的解析式； 当时，求此函数的最小值与最大值． 18.如图，已知一次函数的图象与二次函数的图象交于点和． 求两个函数的解析式； 求的面积． 19.抛物线与轴交于点，点，与轴交于点． 求抛物线的顶点坐标； 点在拋物线对称轴上，当的周长最小时，求点的坐标； 是拋物线对称轴上的一点，是对称轴右侧拋物线上的一点，当是以为腰的等腰直角三角形时，求出符合条件的所有点的坐标． 答案和解析 1.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，把代入，求出的值即可． 【解答】 解：把代入，得， 抛物线的表达式为， 故选A． 2.【答案】  【解析】解： ． 故选A． 直接利用配方法将一般式化为顶点式即可． 此题主要考查了二次函数的三种形式，正确应用配方法是解题关键． 3.【答案】  【解析】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的顶点式性质，首先求出二次函数解析式，然后配方成顶点式，进而求解即可． 【详解】解：设二次函数解析式为 根据题意得， 解得 ． 故选：． 4.【答案】  【解析】解：抛物线的顶点坐标为， 抛物线的解析式可设为， 抛物线与抛物线的开口方向、形状大小完全相同， ， 抛物线的解析式为． 故选：． 设顶点式为，然后根据二次函数的性质确定的值，从而得到抛物线的解析式． 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质． 5.【答案】  6.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了待定系数法求二次函数解析式；熟练掌握待定系数法是解题的关键． 当时，；当时，；代入函数式整理得，将的值分别代入即可得出结果． 【解答】 解：当时，；当时，； 代入函数式得：， ， 整理得：， 若，则，故A错误； 若，则，故B错误； 若，则，故C正确； 若，则，故D错误； 故选：． 7.【答案】  【解析】解：若选取， 设抛物线解析式为， 只已知顶点的横坐标，无法求出，所以选项符合题意； 若选取， 当自变量时，函数有最大值， 抛物线的对称轴为直线， 函数图象与轴一个交点的坐标为 函数图象与轴另一个交点的横坐标为， 设抛物线解析式为， 把代入得， 解得， 抛物线解析式为，所以选项不符合题意； 若选取， 当自变量时，函数有最大值， 抛物线的对称轴为直线， 函数图象与轴一个交点的坐标为 函数图象与轴另一个交点的横坐标为， 设抛物线解析式为， 把代入得， 解得， 抛物线解析式为，所以选项不符合题意； 若选取， 设抛物线解析式为， 把代入得， 解得， 抛物线解析式为，所以选项不符合题意； 故选：． 8.【答案】  【解析】【分析】 本题考查二次函数图象和性质，解本题的关键要数练掌握二次函数的性质． 比较的大小，通过正负先排除开口向上的情况，根据越大，开口越小，确定过点，点，点三点的二次函数的的值最小． 【解答】 解：由图可知， 过点，，和过点，，的二次函数开口向下，，故排除开口向上这种情况， 越大，开口越小， 当时，开口小的那个最大， 由图可知，过点，点，点三点的二次函数的的值最小 把，，代入得 解得． 9.【答案】  10.【答案】  【解析】本题考查了根据顶点式运用待定系数法求二次函数的解析式的运用，再解答时运用抛物线的性质求出值是关键． 【详解】解：二次函数的图象顶点坐标为， 抛物线的解析式为， 又二次函数的图象形状与开口方向和抛物线相同， ， 则， 故答案为：． 11.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了抛物线解析式的变形及性质．顶点式，当时，抛物线开口向上，当时，抛物线开口向下；顶点坐标为，对称轴为． 用配方法将抛物线的一般式转化为顶点式，直接写出顶点坐标． 【解答】 解：； 则该函数的顶点坐标为． 故答案为：． 12.【答案】  【解析】解：二次函数的图象过点， ， 解得， 故答案为：． 将点的坐标代入函数的解析式中，即可求得的值． 本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式． 13.【答案】  【解析】解：， 开口向上，顶点坐标为， 绕它的原点旋转得抛物线， 开口向下，顶点坐标为， ． 故答案为：． 根据得出开口向上，顶点坐标为，再根据中心对称的性质得出开口向下，顶点坐标为即可解答． 本题考查二次函数的图象与几何变换，熟知关于原点对称的图形的性质是解题的关键． 14.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查了利用待定系数法求二次函数的解析式，解题关键是熟练掌握利用待定系数法求二次函数的解析式的步骤．把表格中的数值选取，；，；，，然后分别代入，列出关于，，的三元一次方程组，解方程组进行解答即可． 【解答】 解：观察表格可知：当，；，；，； 把，；，；，代入得： ， 解得：， 二次函数的解析式为：， 把，代入得：． 故答案为：． 15.【答案】解： ， 将化成的形式为； 由中抛物线可化为， 抛物线经过平移得到可以是：先向右平移个单位长度、再向上平移个单位长度；先向上平移个单位长度、再向右平移个单位长度任选一个即可．   【解析】本题考查二次函数图像与性质，涉及将一般式化为顶点式、函数图像平移等知识，熟练掌握二次函数图像与性质是解决问题的关键． 利用配方法即可将二次函数的一般式化为顶点式； 根据函数图像平移法则：左加右减、上加下减即可得到答案． 16.【答案】解：由图象知过，，设解析式为，将三个点的坐标代入得  解得所求函数的解析式为．  17.【答案】解：根据题意得 ，解得， 所以抛物线解析式为； 由中二次函数的解析式可得该二次函数图象的对称轴，且函数的开口向上， 当时，； 当时，． 所以当时，函数的最小值是，最大值是．  【解析】本题主要考查了二次函数的解析式和最值，根据二次函数的性质求最值是解答此题的关键． 把三个点的坐标代入得到关于、、的方程组，然后解方程组求出、、的值即可得到抛物线解析式； 根据二次函数的性质求得对称轴，从而根据开口方向和增减性可得最值． 18.【答案】【小题】 解：把点代入二次函数得，， 二次函数的解析式； 点代入二次函数解析式得， 把点，代入一次函数得 解得 故一次函数的解析式． 【小题】 一次函数的解析式中，令，得， 一次函数与轴交于点， ．   【解析】  首先把点代入二次函数得出，再把点代入二次函数解析式得出，进一步把、代入一次函数求得一次函数即可；   利用一次函数求得点坐标，把的面积分为与的面积和即可． 19.【答案】【小题】 解：抛物线与轴交于点，点， 抛物线解析式为． ， 抛物线顶点坐标为． 【小题】 解：连接，与抛物线对称轴的交点即为点． 点、关于抛物线的对称轴对称， ， 当点、、在一条直线上时，的周长最小， 抛物线与轴的交点的坐标为 设直线的解析式为． 把点代入，得， ． 直线的解析式为． 当时，， 点的坐标为． 【小题】 解：当时，． 点与点重合， 点的坐标为． 当时，． 当点在轴上方时，如图：过点作轴垂线，过点作于，过点作于， 设点的坐标为． 由， ， ． ． ，． ，， 点的坐标为． 点在抛物线上， ， ， 解得或舍去， 点的坐标为． 当点在轴下方时，如图： 同理可以求得点的坐标为； 综上所述，当是以为腰的等腰直角三角形时，点的坐标为或或．   【解析】  把点、的坐标分别代入解析式，得方程组，解方程组即可求解；   由题意可知长为定值，当最小时，的周长最小，连接，与抛物线对称轴的交点即为点，再求出直线的解析及与抛物线对称轴的交点，即可求解；   分三种情况，利用抛物线的对称性及全等三角形的判定与性质，即可分别求解． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$