1.6利用三角函数测量 同步训练 2024-2025学年北师大版 九年级数学下册

1.6利用三角函数测量 一、选择题： 1.一个钢球沿坡角的斜坡向上滚动了米，此时钢球距地面的高度是(    ) A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 2.如果斜坡的坡度，那么斜坡的坡角等于(    ) A. B. C. D. 3.如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为：，物体从地面沿着该斜坡前进了米，那么物体离地面的高度为(    ) A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 4.下表是小亮填写的实践活动报告的部分内容： 题目 测量旗杆的高度 测量目标 示意图 相关数据 米，， 设旗杆的高度米，根据以上条件，所列方程正确的是(    ) A. B. C. D. 5.如图，某山坡的坡面米，坡角，则该山坡的高度是 A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 6.如图，，区域为驾驶员的盲区，驾驶员视线与地面的夹角，视线与地面的夹角，点，为视线与车窗底端的交点，，，若点到点的距离，则盲区中的长度是(    ) A. B. C. D. 7.如图，甲乙两楼相距米，乙楼高度为米，自甲楼顶处看乙楼楼顶处仰角为，则甲楼高度为(    ) A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 8.如图，一艘轮船从位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔的小岛出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的南偏东方向上的处，这时轮船与小岛的距离是(    ) A. B. C. D. 二、填空题： 9.小红沿坡比为的斜坡上走了米，则她实际上升了          米 10.某商场为方便顾客使用购物车，准备将滚动电梯的坡面坡度由：改为：如图，若改动后电梯的坡面长为米，则改动后电梯水平宽度增加部分长为______米 11.如图，无人机在空中处测旗杆顶部的仰角为，测底部的俯角为，无人机与旗杆的水平距离为，则该校的旗杆高约为________结果保留根号 12.如图，下左图为天工开物记载的用于舂捣谷物的工具“碓”的结构简图，如图为其平面示意图．已知于点，与水平线相交于点，若，，，则点到水平线的距离为          ． 13.座椅是我们日常生活中不可或缺的物品．如图，在调节椅背的过程中，椅面始终保持水平状态，支撑架与水平地面的夹角也始终保持不变．已知椅背的长度为，当椅背与椅面的夹角从调节到时，人的头部支撑点向后水平推移了          ． 14.如图，小军在时测量某树的影长时，日照的光线与地面的夹角恰好是，当他在时测量该树的影长时，日照的光线与地面的夹角是，若两次测得的影长之差为，则树的高度为          结果精确到，参考数据：， 15.如图，货船在灯塔的北偏西方向，客船在灯塔的东北方向，客船在货船的正东方向，如果货船与客船相距千米，那么客船与灯塔的距离约是________千米结果保留根号． 三、解答题： 16. 如图，当登山缆车的吊箱从点到达点时，其行程为米，从点到顶点行程为米，已知缆车行驶路线与水平面的夹角，路线与水平面的夹角，那么缆车从点到点垂直上升的距离是多少米？结果精确到米，已知，，， 17. 如图，，两地被大山阻隔，互相通行需要绕行地，若打通隧道，建成，两地的笔直公路，可以缩短，两地的路程．已知：，，公里． 求，两地的距离． 求隧道打通后与打通前相比，从地到地的路程将缩短约多少公里？参考数据：，，，结果近似到个位 18.一架无人机沿水平直线飞行进行测绘工作，在点处测得正前方水平地面上某建筑物的顶端的俯角为，面向方向继续飞行米到达点，测得该建筑物底端的俯角为，已知建筑物的高为米，求无人机飞行的高度结果精确到米，参考数据：，． 19.为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩．如图，在侧面示意图中，遮阳篷长为米，与水平面的夹角为，且靠墙端离地高为米，当太阳光线与地面的夹角为时，求阴影的长．结果精确到米；参考数据：，， 20.数学活动课上为了测量学校旗杆的高度，某小组进行了以下实践活动： 【准备测量工具】 测角仪：把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处，细线的另一端系一个小重物，制成一个简单的测角仪如图，利用它可以测量仰角或俯角；皮尺． 【实地测量数据】 将这个测角仪用手托起，拿到眼前，使视线沿着测角仪的直径刚好到达旗杆的最高点如图；用皮尺测出所站位置到旗杆底部的距离为，眼睛到地面的距离为． 【计算旗杆高度】 根据图中测角仪的读数，得出仰角的度数为          ． 根据测量数据，画出示意图，，，求旗杆的高度结果精确到，参考数据：，，，，，． 若测量者仍站在原处点，能否用三角尺替代测角仪测出仰角？若能，请写出测量方法．若不能，该如何调整位置才能用三角尺测出仰角？请写出测量方法． 答案和解析 1.【答案】  2.【答案】  【解析】解：斜坡的坡度，设坡角为， ， ． 故选B． 3.【答案】  【解析】如图，斜坡的坡度为：，可设，，在中，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】如图，斜坡的坡度为：，设，， 在中， ， ， 解之得 ，或舍去． 故选C． 4.【答案】  【解析】解：由题意，，， 米， 米， 米， ， ， 故选：． 5.【答案】  【解析】解：在中，， 坡面米，坡角， 该山坡的高度米． 故选：． 在中，由，即可得出的长度． 本题考查了解直角三角形的应用坡度坡角，正确进行计算是解题关键． 6.【答案】  【解析】解：，， ，， ， 四边形是矩形， 和均为直角三角形， ， 在中， ，， ， ， 在中，，， ， ． 故选A． 7.【答案】  【解析】【分析】 此题主要考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟知特殊角的三角函数值． 分析题意可得：过点作，交于点；可构造，利用已知条件可求；而乙楼高． 【解答】 解：过点作，交于点， 在中，米，， 米， 米． 甲楼高为米． 故选：． 8.【答案】  【解析】解：过作于点， ，，， 可得， 在中，， ． 在中，， ， ． 故这时轮船与小岛的距离是． 故选：． 根据题意，求出，，即可得解． 此题主要考查了解直角三角形的应用方向角问题，属于中档题． 9.【答案】  【解析】此题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，灵活运用勾股定理是解本题的关键．根据题意设铅直距离为，则水平距离为，根据勾股定理求出的值，即可得到结果． 【详解】解：设铅直距离为，则水平距离为， 根据题意得：， 解得：， 则她实际上升了米， 故答案为： 10.【答案】  【解析】解：在中，：：，米， 由，得， 负值不合题意，舍去， 米， 在中，：：， 米， 米， 故答案为：． 在中，已知了坡面的坡比以及坡面的值，通过勾股定理可求，的值，在中，根据坡面的坡比可求的值，再根据即可求解． 此题主要考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力，熟练运用勾股定理是解答本题的关键． 11.【答案】  【解析】本题主要考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，分别在和中利用锐角三角函数关系得出，的长，进而求出该旗杆的高度． 【解答】解：在，米，， ， 解得：米， 在，米，， ， 解得：米， 故该校的旗杆高约为：米， 故答案为：． 12.【答案】  【解析】【分析】本题主要考查了解三角形，熟练利用三角函数解三角形是解题的关键． 延长交于点，连接，证明，进而得到，再利用三角函数解和即可求得答案． 【详解】解：如图，延长交于点，连接， ，， ，， 在中，，， ， ， ， ， 在中，， ． 故答案为：． 13.【答案】  【解析】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的关键，作垂线构造直角三角形是解决问题的前提．通过作垂线，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系进行计算即可． 【详解】解：如图，过点，点分别作的垂线，分别与的延长线相交于点、点， 在中，，， ， 在中，，， ， ， 即人的头部支撑点向后水平推移了． 故答案为：． 14.【答案】  【解析】设树顶为点，根据题意，可知，通过三角形的外角性质，可知，从而可知，则通过锐角三角函数可求出在直角三角形中的，即树的高度． 【详解】解：如图所示，设树顶为点． 根据题意，有，， ， ， 是等腰三角形， ． 在直角三角形中， ， ， 树高． 故答案为：． 15.【答案】  【解析】【分析】 本题考查解直角三角形的应用． 作交于，，由题意知：，，，，得出，，，再解直角三角形即可． 【解答】 解：作交于， 由题意知：，，，，则 ，， 16.【答案】解：过点作交的延长线于，作于， 则四边形为矩形， ， 在中，， 则米， 在中，， 则米， 米， 答：缆车从点到点垂直上升的距离约为米．  【解析】过点作交的延长线于，作于，根据正弦的定义分别求出、，计算即可． 本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 17.【答案】【小题】 解：过作，垂足为， ，， ，． ， ． ． 答：，两地距离约为公里． 【小题】 解：，，， ． ． 答：隧道打通后与打通前相比，从地到地的路程将缩短约公里． 【解析】  本题考查解直角三角形的实际应用问题． 过点做辅助线，利用特殊角的三角函数值计算出和的值，即可得解；  根据直角三角形的性质求出和的值，求的值即可得解． 18.【答案】解：过作，交的延长线于，如图所示： 设米， 由题意得：米，，， 在中，， 米， 在中，， 米， ， ， 解得：， 米， 答：无人机飞行的高度约为米．  【解析】过作，交的延长线于，设米，由锐角三角函数定义求出米，米，再由米得出方程，求解即可． 本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握俯角的定义和锐角三角函数定义，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 19.【答案】解：过作于，于，如图： 在中， 米，米， ， 四边形是矩形， 米，米， 在中， ， 米， 米， 阴影的长约为米．  【解析】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是掌握锐角三角函数的定义，求出相关线段的长度． 过作于，于，在中，米，米，可得米，米，而，知米，故CD米． 20.【答案】【小题】  解：由题意得，的度数为． 【小题】 如图，过点作于点易得四边形为矩形，，在中，，旗杆的高度约为． 【小题】 不能只有含、角的三角尺和含角的三角尺，而点处测得的仰角为，三角尺测不出仰角的度数．如图，在上取点，使，连接，则为等腰直角三角形，，向右走，用含角的三角尺测量即可答案不唯一   第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$