1.5 三角函数的应用 同步训练 2024-2025学年北师大版九年级数学下册

1.5 三角函数的应用 一、选择题： 1.如图是某商场营业大厅自动扶梯的示意图，自动扶梯的倾斜角为，大厅两层之间的距离为米，则自动扶梯的长约为(    ) A. B. 米 C. 米 D. 米 2.如图，为了测量河对岸上两棵古树、之间的距离，某数学兴趣小组在河这边沿着与平行的直线上取、两点，测得，，若、之间的距离为，则、之间的距离为(    ) A. B. C. D. 3.在“测量旗杆的高度”的数学课题学习中，某学习小组测得太阳光线与水平面的夹角为，此时旗杆在水平地面上的影子的长度为米，则旗杆的高度约为(    ) A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 4.如图，是旗杆的一根拉线，测得米，，则的长为(    ) A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 5.在一次数学活动中，李明利用一根栓有小锤的细线和一个半圆形量角器制作了一个测角仪，去测量学校内一座假山的高度如图，已知小明距假山的水平距离为，他的眼镜距地面的高度为，李明的视线经过量角器零刻度线和假山的最高点，此时，铅垂线经过量角器的刻度线，则假山的高度为(    ) A. B. C. D. 6.如图是拦水坝的横断面，斜坡的水平宽度为，斜面坡度为，则斜坡的长为(    ) A. B. C. D. 7.如图，要测量点到河岸的距离，在点测得，在点测得，又测得米，则点到河岸的距离为(    ) A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 8.如图，某同学用圆规画一个半径为的圆，测得此时，为了画一个半径更大的圆，固定端不动，将端向左移至处，此时测得，则的长为． A. B. C. D. 二、填空题： 9.如图，一艘轮船位于灯塔的南偏东方向，距离灯塔海里的处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔的北偏东方向上的处，此时处与灯塔的距离为          海里结果保留根号． 10.如图所示，平地上一棵树高为米，两次观察地面上的影子，第一次是当阳光与地面成角时，第二次是当阳光与地面成角时，则第二次观察到的影子比第一次长______． 11.如图是一块四边形空地，该空地面积为______． 12.学校两幢教学楼的高度，两楼间的距离，已知太阳光与水平线的夹角，则甲楼投在乙楼上的影子的高度为______保留根号 13.如图是一台手机支架的侧面示意图，，可分别绕点，转动，测量知，当，转动到，时，点到的距离为          结果保留小数点后一位，参考数据：，． 三、解答题： 14. 如图，有一斜坡长，坡顶离地面的高度为，求此斜坡的倾斜角． 15.图是一辆在平地上滑行的滑板车，图是其示意图．已知车杆长，车杆与脚踏板所成的角，前后轮子的半径均为，求把手离地面的高度结果保留小数点后一位；参考数据：，，． 16.如图，从地到地的公路需经过地，图中千米，，，因城市规划的需要，将在、两地之间修建一条笔直的公路．求改直的公路的长． 17.超速行驶是引发交通事故的主要原因之一．上周末，小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速，如图，观测点设在处，离岳阳大道的距离为米．这时，一辆小轿车由西向东匀速行驶，测得此车从处行驶到处所用的时间为秒，． 求、两点的距离； 请判断此车是否超过了岳阳大道千米小时的限制速度？  计算时距离精确到米，参考数据：，，，，千米小时米秒 18.在玉溪州大河旁边的路灯杆顶上有一个物体，它的抽象几何图形如图，若，，，求、两点间的距离． 19.年月日，天舟七号货运飞船，携带着支持航天员人天的生活物资、平台设备、推进剂和科学载荷，成功发射．如图是工作中的某型号手臂机器人示意图，是垂直于工作台的移动基座，，分别为机器人的大、小臂，其中小臂为，大臂为，移动基座，与水平方向的夹角为，与水平方向的夹角为，求点到工作台的距离．结果精确到 参考数据：，， 答案和解析 1.【答案】  2.【答案】  【解析】【分析】 本题考查的是解直角三角形应用有关知识，过点作于点，过点作于点则通过解直角和分别求得、的长度，则易得． 【解答】 解：如图，过点作于点，过点作于点则，， 在直角， ，， ， 在直角中，，， ， ， 则． 故选C． 3.【答案】  【解析】解：，米，， ， 把米，代入得， 米． 故选：． 直接根据锐角三角函数的定义可知，，把米，代入进行计算即可． 本题考查的是解直角三角形的应用，熟记锐角三角函数的定义是解答此题的关键． 4.【答案】  【解析】解：在中，， 米， ， 故选：． 在中，利用的余弦函数解答． 此题主要考查了解直角三角形的应用，关键是掌握余弦函数的定义． 5.【答案】  【解析】解：米，李明的眼睛高米，， ，米，， ， 解得米， 即米． 故选：． 根据已知得出，再利用，进而得出的长． 本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意得出解答是解答此题的关键． 6.【答案】  【解析】在中，，，，根据勾股定理，得 7.【答案】  【解析】【分析】 此题主要考查了解直角三角形的应用，关键是证明，掌握直角三角形的性质：角所对直角边等于斜边的一半． 过作，根据三角形内角与外角的关系可得，再根据等角对等边可得，然后再计算出的度数，进而得到长，最后利用勾股定理可得答案． 【解答】 解：过作， ，， ， 米， ， ， ， 米， 米， 故选C． 8.【答案】  【解析】【分析】 此题考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数的概念及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算． 根据是等腰直角三角形，利用三角函数即可求得的长，过作于点，在直角中利用三角函数求得的长，则，然后根据即可求解． 【解答】 解：在等腰直角中，，则， 如图，过作于点， ， 则． 则， 故BB． 故选：． 9.【答案】  10.【答案】米  【解析】解：第一次观察到的影子长为米； 第二次观察到的影子长为米； 所以两次观察到的影子长的差米， 故答案为米． 利用所给角的正切值分别求出两次影子的长，然后作差即可． 本题考查解直角三角形的应用，关键是根据三角函数的几何意义得出各线段的比例关系，从而得出答案． 11.【答案】  【解析】解：如图，连接，作于点，作于点， 在中，，， ， 在中，，， ， 则该空地的面积 ， 故答案为：． 连接，作，，利用正弦函数求得，，再根据空地的面积计算可得． 本题主要考查解直角三角形的应用，解题的关键是添加辅助线构建直角三角形及三角函数的应用． 12.【答案】  【解析】解：延长交于，连接． 由于， 和在同一直线上， ， 四边形是矩形， ， 在中， ， ， 投到乙楼影子高度是． 故答案为： 如下图所示，求甲楼投在乙楼上的影子的高度即需求线段的长，而要想求出，必须要有的值．现处在一个直角三角形中，且，楼间距米，所以解直角三角形即可． 此题主要考查了我们对正切的理解和应用，解题的关键是把实际问题转化为数学问题，抽象到解直角三角形中． 13.【答案】  【解析】解：如图，过点，分别作的垂线，垂足为点，过点作 ，垂足为点． 在中，，， ，． 在中，， ． 又， ， 即点到的距离约为． 14.【答案】解：如图所示，在中，，，此斜坡的倾斜角为．   15.【答案】解：过点作于点，延长交地面于点， ， ， ， ， 把手离地面的高度约为．  【解析】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于基础题型． 过点作于点，延长交地面于点，根据锐角三角函数的定义即可求出答案． 16.【答案】解：如图，作于． 在中，， ， 在中，， ， 答：改直的公路的长千米．  【解析】本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．作于在中根据求出的长，由求出的长，同理可得出的长，根据可得出结论． 17.【答案】解：在中，，，， 米． 此车速度米秒米秒千米小时 此车没有超过限制速度．  【解析】此题是解直角三角形的应用，主要考查了锐角三角函数，从复杂的实际问题中整理出直角三角形并求解是解决此类题目的关键．由于到的距离为米，可见，根据角的三角函数值求出的距离； 根据速度路程时间即可得到汽车的速度，与千米小时进行比较即可． 18.【答案】解：如图． 过点作于点    在中， ，            ， ．              在中，， ．                        答：、两点间的距离为  【解析】作于点，先根据三角函数的定义求出，再根据勾股定理求出的长． 解答此题的关键是灵活运用解直角三角形的知识，把实际问题转化为数学问题加以解决． 19.【答案】解：过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，在中，，，，在中，，，，点到工作台的距离，点到工作台的距离约为．   第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$