1.4 解直角三角形 同步训练 2024-2025学年北师大版九年级数学下册

1.4 解直角三角形 一、选择题： 1.下列条件中，不能解直角三角形的是(    ) A. 已知两条直角边 B. 已知斜边和一条直角边 C. 已知两锐角 D. 已知一边与一锐角 2.在直角坐标平面内有一点，点与原点的连线与轴正半轴的夹角为，那么的值为(    ) A. B. C. D. 3.如图，在中，，垂直于，则(    ) A. B. C. D. 4.如图，点，，都在正方形网格的格点上，则的值是(    ) A. 　　　 B. C. 　　　 D. 5.如图，云南省博物馆大厅电梯的截面图中，的长为米，与的夹角为，则高是       A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 6.如图，是的高．若，，则边的长为(    ) A. B. C. D. 7.中，，，，为的中点，，则的面积为(    ) A. B. C. D. 8.学习解直角三角形时，小明编了这样一道题： 已知：在中，，，，解这个直角三角形． 从同学们的解答思路中节选出以下四个步骤： 由的度数，根据直角三角形的性质得到的度数； 由，的值，根据的正切值得到的度数； 由，的值，根据勾股定理得到的值； 由，的值，根据的余弦值得到的度数． 请你从中选择三个步骤并排序，形成完整的解上述直角三角形的思路，则下列排序错误的是(    ) A. B. C. D. 二、填空题： 9.在中，于，若，，，则 ______． 10.已知：如图，在中，，斜边上的高，，则______． 11.如图，在中，，是的中点，过点作的垂线交于点，，，则          ． 12.如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交边、于点、若，，则           ． 13.如图，中，，的中垂线分别与、交于点、如果，，那么的余弦值为______． 14.中，，，若，则的面积是______． 15.如图，在边长为的小正方形网格中，点、、、都在格点上，、相交于点，则为_______． 16.如图，在矩形中，，点在上，的平分线交于点若，则          ． 三、解答题： 17. 如图，在中，，，若，求的长． 18. 在中，，根据下列条件解直角三角形： ，； ，． 19. 如图，等腰中，，过点作于点，，． 求的长； 求的值． 20. 如图，在中，为锐角，，，，求的长． 21.如图，中，请利用没有刻度的直尺和圆规，按下列要求作图并计算． 在边上作一点，使点到两边所在的直线的距离相等，在边上作一点，使；注：不写作法，保留作图痕迹，对图中涉及到的点用字母进行标注； 在的条件下，若，，，则的长为          ． 答案和解析 1.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了解直角三角形的条件：除直角外，已知两个条件中至少有一条边解直角三角形的条件是已知一边和一角，或已知两边都可，据此解答即可． 【解答】 解：根据解直角三角形的条件：除直角外，已知两个条件中至少有一条边，所以，，D正确，C错误， 故选C． 2.【答案】  【解析】解：如图，过作轴于， ， ，， ， ， 故选：． 由锐角的正切定义，即可解决问题． 本题考查解直角三角形，解题关键是掌握锐角三角函数定义． 3.【答案】  【解析】解：及， ， ， ． 在中， ， ， 则． 故选：． 利用同角的余角相等得出，再由得正切即可解决问题． 本题主要考查了解直角三角形，能通过同角的余角相等得出及熟知正切的定义是解题的关键． 4.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查的是解直角三角形，勾股定理的有关知识， 先利用勾股定理求出的长，利用正弦的定义，进行计算即可． 【解答】 解：设小正方形的边长为，由勾股定理，得： ， 过点作， 由图可知：， 5.【答案】  【解析】解：中，， 米， 米． 故选：． 直接根据的正弦可得结论． 本题考查了解直角三角形的应用，掌握正弦的定义是解本题的关键． 6.【答案】  【解析】【分析】 本题考查解直角三角形，利用题目信息得到的长度，然后根据和的长度判断出的形状，然后根据特殊直角三角形的三边关系得到的长度． 【解答】 解：由题意可知， ， ， ， ， ， 为等腰直角三角形， ． 故选：． 7.【答案】  【解析】解：连接，作于， ，，为的中点， ，平分， 在中，，， ， ， ， ， ，， ， ∽， ， ， ， 故选：． 连接，作于，根据三线合一得到垂直于，为角平分线，以及底角的度数，在直角三角形中，利用三角函数求得，然后利用角所对的直角边等于斜边的一半得到的长，再利用三角形相似求出的长，根据三角形面积公式求得结果． 此题考查了含度直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握性质是解本题的关键． 8.【答案】  【解析】【分析】本题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义是解决本题的关键． 【详解】解：由，的值，根据勾股定理得到的值，再由的余弦值得到的度数，进而求出的度数，选项排序正确，不符合题意； B. 条件需要知道的值，才能得到的余弦值，而的值并没有计算出来，由此可知选项排序错误，符合题意； C. 由，的值，根据的正切值得到的度数，进而求出的度数，再由，的值，根据勾股定理得到的值，选项排序正确，不符合题意； D. 由，的值，根据勾股定理得到的值，再由，的值，根据的正切值得到的度数，进而求出的度数． 故选：． 9.【答案】或  【解析】解：当高在内部时， ，，，， ， ， ， ． 当高在外部时，易知． 故答案为：或． 分两种情形进行讨论：当高在内部时；当高在外部时，再结合条件进行求解即可． 本题考查解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题． 10.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．解决本题的关键是证明先利用等角的余角相等证明，然后在中利用的余弦求的长． 【解答】解：为高， ， ， ， ， ， 在中，， ． 故答案为． 11.【答案】  【解析】解：，， ， ， 是的中点， ， ，， ∽， ，即， 解得：． 故答案为：． 在中，先求出，，继而得出，再由∽，利用对应边成比例可求出． 本题考查了解直角三角形的知识，解答本题的关键是熟练掌握三角函数的定义及勾股定理． 12.【答案】  【解析】解：连接， 垂直平分， ， ， ， ， 故答案为：． 由线段垂直平分线的性质可得，由勾股定理可求，由锐角三角函数可求解． 本题考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 13.【答案】  【解析】解：连接， ， ， 是的垂直平分线， ，， ， ， ， ∽， ， ， 或舍去， ， 在中，， 故答案为：． 连接，先利用等腰三角形的性质可得，再利用线段垂直平分线的性质可得，，从而可得，然后利用等量代换可得：，从而可证∽，最后利用相似三角形的性质求出的长，从而求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 14.【答案】  【解析】解：，，， ， ， 的面积 ， 故答案为：． 根据锐角三角函数的定义先求出的长，再利用勾股定理求出的长，然后进行计算即可解答． 本题考查了解直角三角形，三角形的面积，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 15.【答案】  【解析】解：连接、，如图： 由图可知：， ，， ， 小正方形的边长为， 在中，，， ， ． 故答案为：． 通过添加辅助线构造出后，将问题转化为求的值，再利用勾股定理、锐角三角函数求解即可． 本题考查了正方形的性质、直角三角形的判定、勾股定理以及锐角三角函数．此题难度适中，解题的关键准确作出辅助线，注意转化思想与数形结合思想的应用． 16.【答案】  17.【答案】解：，， ， ， 答：的长为．  【解析】本题考查了解直角三角形，掌握勾股定理、直角三角形的边角间关系是解决本题的关键，利用直角三角形的边角间关系，先求出，再利用勾股定理求出． 18.【答案】【小题】 解：，， ， ；                   【小题】 解：，， ， ，， ， ， ， ，，      ．   【解析】  本题主要考查了解直角三角形，解直角三角形是利用勾股定理和三角函数求出直角三角形中未知的边和角． 根据，，可以求出这个三角形的另一个锐角为，利用的正弦可以求出直角三角形的直角边；   根据和直角三角形两个锐角互余可以求出，，根据直角三角形中的锐角所对的直角边等于斜边的一半可以求出直角边和斜边的长，再利用勾股定理求出另一直角边的长度． 19.【答案】解：， ． 在中， ， ， ， ． ，， ， ． 在中， ， ．  【解析】先根据的正切及的长，求出的长，再利用勾股定理即可解决问题． 在中，求出的长，再结合正弦的定义即可解决问题． 本题主要考查了解直角三角形及等腰三角形的性质，熟知等腰三角形的性质及正弦和正切的定义是解题的关键． 20.【答案】解：作于点， ， ， ， ， ， ， ， 在中，．  【解析】作于点，根据正弦的定义求出，，根据勾股定理计算求出． 本题考查的是解直角三角形，掌握锐角三角函数的定义，勾股定理是解题的关键． 21.【答案】【小题】 解：点，点如图所示， ； 【小题】   【解析】  作出的平分线交边于点，作交边于点即可；   作于点，利用三角函数的定义求得，利用勾股定理求得，在中，利用勾股定理求得，再证明，设，则，证明，根据相似三角形的性质列式计算即可求解． 解：作 于点 ，  ， ，  ，  ， ， 在 中， ，  ，  ，  ，  ， 平分 ，  ，  ，  ， 设 ，则 ，  ，  ，  ，即 ， 解得 ，  的长为 ， 故答案为： ． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$