4 重难突破1 与平面向量有关的最值、范围问题（Word讲义）-【金版新学案】2025年高考数学大二轮专题复习与测试

重难突破1　与平面向量有关的最值、范围问题 　　平面向量中的最值、范围问题,是高考的热点与难点问题,主要考查求向量的模、数量积、夹角及向量的系数等的最值、范围.解决这类问题的一般思路是建立求解目标的函数关系,通过函数的值域解决问题,同时,平面向量兼具“数”与“形”的双重身份,数形结合也是解决平面向量中的最值、范围问题的重要方法. 类型一　向量模的最值、范围 (1)(多选)(2024·浙江宁波二模)若平面向量a,b,c满足=1,=1,=3且a·c=b·c,则 (　　) A.的最小值为2 B.的最大值为5 C.的最小值为2 D.的最大值为 (2)(2024·上海松江二模)已知正三角形ABC的边长为2,点D满足,且m>0,n>0,2m+n=1,则||的取值范围是　　　　.  答案:(1)BD　(2)(1,2) 解析:(1)当向量a,b方向相同,与c方向相反时,满足a·c=b·c,此时|a+b+c|有最小值|c|－(|a|+|b|)=1,故A错误;当向量a,b,c方向相同时,满足a·c=b·c,此时|a+b+c|有最大值|a|+|b|+|c|=5,故B正确;a·c=b·c,有(a－b)·c=0,即(a－b)⊥c,则|a－b+c|=,向量a,b方向相同时,|a－b|的最小值为0,|a－b+c|的最小值为3,故C错误;向量a,b方向相反时,|a－b|有最大值为2,|a－b+c|有最大值为,故D正确.故选BD. (2)取AC的中点E,则=2,又=2,又因为2m+n=1,故B,D,E三点共线,即点D在中线BE上运动,在正三角形ABC中,BE⊥AC,又m>0,n>0,则|CE|<|CD|< |CB|,故||∈(1,2). 　　向量的模指的是有向线段的长度,可以利用坐标表示,也可以借助“形”,结合平面几何知识求解.如果直接求模不易,可以将向量用基底向量表示再求. 对点练1.(2024·河北沧州一模)如图,在等腰直角△ABC中,斜边AB=4,点D在以BC为直径的圆上运动,则||的最大值为 (　　) A.4 B.8 C.6 D.12 答案:D 解析:如图,以C为原点,CB,CA所在的直线分别为x轴、y轴,建立平面直角坐标系.则A(0,4),B(4,0),可设D(2+2cos θ,2sin θ),则=(4,－4),=(2+2cos θ,2sin θ－4),所以=(6+2cos θ,2sin θ－8),所以=104+8(3cos θ－4sin θ)=104+40 =104+40cos(α+θ)≤144 ,所以≤144⇒≤12.故选D. 类型二　向量数量积的最值、范围 (1)(2024·江苏扬州模拟预测)已知菱形ABCD的边长为2,∠ABC=60°,动点P在BC边上(包括端点),则·的取值范围是 (　　) A. B. C. D. (2)(2024·天津二模)在四边形ABCD中,∠A=120°,AC=1,=2,M为AD中点. 记=a,=b,用a,b表示=　　　　;若,则·的最大值为　　　　.  答案:(1)C　(2)－b　 解析:(1)如图,作Cy⊥CB,以C为原点,建立平面直角坐标系,易知C(0,0),A(1,),D(－1,),设P(x,0),且x∈,故=(－2,0),=(x－1,－),故·=－2(x－1)=2－2x,而－2x∈,2－2x∈.故选C. (2)由M是AD中点,=a,=b,得－b; 在四边形ABCD中,令AD=m,DC=n,由=2,得AB∥CD,AB=2n,由∠BAD=120°,得∠ADC=60°,在△ADC中,由余弦定理得,AC2=AD2+DC2－2AD·DCcos ∠ADC,即1=m2+n2－mn≥mn,当且仅当m=n时取等号,由,得=a－,因此·= · =2+2－·b=2+2－·m·2ncos 120°=(m2+n2)+,所以·的最大值为. 向量数量积的最值、范围问题的解题策略 1.形化:利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题,然后根据平面图形的特征直接进行判断. 2.数化:利用平面向量的坐标运算,把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题,然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决. 对点练2.(2024·湖南邵阳第二次联考)“四叶回旋镖”可看作是由四个相同的直角梯形围成的图形,如图所示,AB=2,CD=1,∠A=45°. 学生用书⬇第21页 点P在线段AB与线段BL上运动,则·的取值范围为 (　　) A.[－4,6] B.[0,6] C.[0,8] D.[4,8] 答案:C 解析:如图,以C为原点建立平面直角坐标系,易知A(－2,1),B(0,1),F(0,－1),E(－1,－2),H(1,0),L(1,2),当P在线段AB上运动,设P(x,1),其中－2≤x≤0,所以=(2,2),=(x,2),则·=2x+4,因为－2≤x≤0,所以·∈[0,4],当P在线段BL上运动,设P(x,y)(0≤x≤1),则=(x,y－1),=(1,1),且∥,则x=y－1,故P(x,x+1)(0≤x≤1),=(x,x+2),则·=4x+4,因为0≤x≤1,所以·∈[4,8],综上,·的取值范围为[0,8].故选C. 类型三　向量夹角的最值、范围 已知非零向量a与b的夹角为锐角,c为b在a方向上的投影向量,且|c|=|a|=2,则a+b+c与b的夹角的最大值是　　　　.  答案: 解析:因为,c为b在a方向上的投影向量,且a与b的夹角为锐角,所以c=a,故a+b+c=2a+b.因为·=4,且a·b>0,所以a·b=4.设=x>0,则=4a2+4a·b+b2=4×22+4×4+x2=32+x2,故.又·b=2a·b+b2=2×4+x2=8+x2.设2a+b与b的夹角为θ,所以cos θ=.因为3x2=4(当且仅当3x2=32+x2,即x=4时取等号),所以≥,故cos θ≥.又0≤θ≤π,所以0≤θ≤.故a+b+c与b的夹角的最大值是. 　　求向量夹角的取值范围、最值,往往要将夹角与其某个三角函数值用某个变量表示,转化为求函数的最值问题. [提醒]　常借助基本不等式或函数性质求解. 对点练3.在平行四边形ABCD中,,λ∈[,2],则cos ∠BAD的取值范围是　　　　.  答案: 解析:因为,且,所以||∶||∶||=1∶2∶λ,不妨设||=1,则||=2,||=λ,等式两边同时平方可得5+4cos ∠BAD=λ2,则cos ∠BAD=,因为λ∈[,2],所以cos ∠BAD=∈. 类型四　向量系数的最值、范围 如图,在△ABC中,点P满足=3,过点P的直线与AB,AC所在的直线分别交于点M,N,若(λ>0,μ>0),则λ+μ的最小值为　　　　.  答案:+1 解析:因为=3,所以=3(),即,因为(λ>0,μ>0),所以,所以,又M,P,N三点共线,则=1,所以λ+μ=(λ+μ)+1≥2+1=+1,当且仅当μ=时,等号成立,因此λ+μ的最小值为+1. 利用共线向量定理及推论 1.a∥b⇔a=λb(b≠0). 2.(λ,μ为实数),则A,B,C三点共线⇔λ+μ=1. 对点练4.(2024·安徽六校第二次素养测试)已知正方形ABCD的边长为2,中心为O',四个半圆的圆心均为正方形ABCD各边的中点(如图),若P在上,且,则λ+μ的最大值为　　　　.  答案: 解析:如图,以线段BC所在直线为x轴,线段BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系,设P(cos θ,sin θ),θ∈[π,2π].又A(－1,2),B(－1,0),C(1,0),D(1,2),则=(cos θ+1,sin θ－2),,因为,即=λ(0,－2)+,所以解得+μ=(cos θ－sin θ+3)=,因为θ∈,则θ+∈,所以当θ+=2π时,cos 取得最大值1,则λ+μ的最大值为. 专题集训(三)　三角函数与解三角形、平面向量(小题)(重难突破) 一、与平面向量有关的最值、范围问题 (时间:20分钟　满分:40分) (本栏目内容,在学生用书中以独立形式分册装订!) (1－8每小题5分,共40分) 1.点P是边长为1的正六边形ABCDEF边上的动点,则·的最大值为(　　) A.2 B. C.3 D. 答案:C 解析:分别取AB,DE中点Q,R,连接PQ,QR,DB,DQ,则由题QA=,BD2=DC2+BC2－2DC×BC×cos ∠BCD=1+1－2×1×1×cos 120°=3,即BD=,所以QD=,由图可知当P运动到D或E时PQ最大,所以··=()·()==3,所以·的最大值为3.故选C. 2.(2024·河南信阳模拟)已知e为单位向量,向量a满足a·e=2,=1,则的最大值为 (　　) A.4 B.2 C. D.5 答案:C 解析:因为=1,所以－2λ·+－4λ+λ2=1,所以=－λ2+4λ+1=－+5≤5,所以.故选C. 3.已知平面向量a,b,c满足|a－b|=|2a－c|≠0,则a－b与c－2b所成夹角的最大值是 (　　) A. B. C. D. 答案:A 解析:令|a－b|=|2a－c|=x,向量(a－b)与(2a－c)的夹角为θ∈[0,π],因为c－2b=2(a－b)－(2a－c),所以(a－b)·(c－2b)=(a－b)·[2(a－b)－(2a－c)]=2|a－b|2－|a－b||2a－c|cos θ①,若a－b与c－2b的夹角为α∈[0,π],即(a－b)·(c－2b)=|a－b||c－2b|cos α②,所以由①②知,|c－2b|cos α=2|a－b|－|2a－c|cos θ=2x－xcos θ=x(2－cos θ),所以cos α>0,即|c－2b|2cos2α=4x2－4x2cos θ+x2cos2θ,又因为|c－2b|2=|2(a－b)－(2a－c)|2=5x2－4x2cos θ,所以cos2α=,令m=5－4cos θ,即cos2α=,m∈[1,9],有cos2α∈,又因为cos α>0,所以cos α∈,所以α的最大值是.故选A. 4.(2024·贵州贵阳一模)如图,在边长为2的正方形ABCD中.以C为圆心,1为半径的圆分别交CD,BC于点E,F.当点P在劣弧EF上运动时,·的取值范围为 (　　) A. B. C. D. 答案:B 解析:依题意,以点C为原点,直线DC,BC分别为x,y轴建立平面直角坐标系,如图,设点P(cos θ,sin θ) ,而D(－2,0),B(0,－2),则=(cos θ,sin θ+2),=(cos θ+2,sin θ),因此·=cos 2θ+2cos θ+sin 2θ+2sin θ=1+2 ,由－π≤θ≤－,得－≤θ+≤－,则－1≤sin≤－,因此1－2≤1+2≤－1,所以·的取值范围为.故选B. 5.(多选)已知向量a,b满足=3,=2,则下列结论正确的有 (　　) A.a·b= B. ∈ C.∈ D. ∈ 答案:ABD 解析:因为=3,=2,所以=4a·b=9－4=5,即a·b=,故A正确;因为2a=,所以≤2,即1≤2≤5,所以,故C错误;又a·b=,所以∈,故B正确;因为+2a·b+=9,所以=9－,因为,所以,所以∈,故D正确.故选ABD. 6.(多选)平行四边形ABCD中,BC=3,BA=2,∠B=.动点M满足,λ,μ∈,下列选项中正确的有 (　　) A.·时,则μ的取值范围为 B.λ=1时,的取值范围是 C.λ=1时,存在M使得·=0 D.μ=最大时,上的投影向量为 答案:BCD 解析:作DO⊥AB于点O,建立如图所示的平面直角坐标系,因为在平行四边形ABCD中,BC=3,BA=2,∠B=,所以AO=ADcos =3×,OB=,DO=3×sin ,所以,所以=,对于A,·=·=4λ－3μ=,所以λ=,因为解得0≤μ≤,故A错误;对于B,当λ=1时,因为,所以,则,故点M在DA上,所以的取值范围是,故B正确;对于C,当λ=1时,,若·=0,所以·=0,即=0⇒μ=,故C正确;对于D,当μ=时,因为,因为0≤λ≤1,所以当λ=1时,最大,最大值为,此时,又,则=2,所以上的投影向量为·,故D正确.故选BCD. 7.(2024·辽宁抚顺三模)太极图被称为“中华第一图”,其形状如阴阳两鱼互抱在一起,因而又被称为“阴阳鱼太极图”.如图所示的图形是由半径为2的大圆O和两个对称的半圆弧组成的,线段MN过点O且两端点M,N分别在两个半圆弧上,P是大圆上一动点,则·的最小值为　　　　.  答案:0 解析:连接PO,可得··()= 2－ 2=4－ 2, 显然当 2最大,即取得最大值2时,·取得最小值0. 8.如图所示,在△ABC中,M为线段BC的中点,G为线段AM上一点,=2,过点G的直线分别交直线AB,AC于P,Q两点.设(x>0),(y>0),则的最小值为　　　　.  答案: 解析:因为M为线段BC的中点,所以),又因为=2,所以),又(x>0),,则,而P,G,Q三点共线,所以=1,即x+y=3,则[(x+2)+≥=,当且仅当,即x=2,y=1时取等号,即的最小值为. 学科网（北京）股份有限公司 $$