1 引领一 新高考 新趋势（Word讲义）-【金版新学案】2025年高考数学大二轮专题复习与测试

　　2024年高考数学新课标卷持续深化考试内容改革,考主干、考能力、考素养,重思维、重创新、重应用,突出考查思维过程、思维方法和创新能力.新课标卷创设全新的试卷结构,减少题量,为学生预留充足的思考时间,加强思维考查,强化素养导向,为不同水平的学生提供充分展现才华的空间,服务拔尖创新人才选拔,助推素质教育发展,助力教育强国建设. 新趋势一　贯彻高考评价体系,创新试卷结构设计 体现1　减少全卷题量,留出更多思考时间 　　2024年数学新课标卷调减了题量,首次由22题减少到19题,同时增加了解答题的总分值,优化了多选题的赋分方式,强化了考查思维过程和思维能力的功能. (多选) (2024·新课标Ⅰ卷,T10)设函数f(x)=(x－1)2(x－4),则 (　　) A.x=3是f(x)的极小值点 B.当0<x<1时,f(x)< C.当1<x<2时,－4<f(2x－1)<0 D.当－1<x<0时,f(2－x)>f(x) 答案:ACD 解析:因为(x－4),所以f'=2(x－1)(x－4)+=3,令f'(x)=0,解得x=1或x=3,当x<1或x>3时,f'(x)>0,当1<x<3时,f'(x)<0,所以函数f(x)的单调递增区间为(－∞,1),(3,+∞),单调递减区间为(1,3),故x=1是函数f(x)的极大值点,x=3是函数f(x)的极小值点,故A正确;当0<x<1时,x－x2=>0,即0<x2<x<1,又函数f(x)在(0,1)上单调递增,所以,故B错误;当1<x<2时,1<2x－1<3,函数f(x)在(1,3)上单调递减,所以－4=f(3)<f(2x－1)<f(1)=0,故C正确;当－1<x<0时,(x－4)==－2>0,所以f(2－x)>f(x),故D正确.故选ACD. 　　新课标卷题量的减少能够增加学生的思考时间,学生不必过多地关注做题的进度和速度,可以更专注、更深入地思考,更从容地应试,使思维能力强的学生能够展示素养、发挥潜力、脱颖而出,发挥高考的选拔功能,引导数学教学关注对学生核心素养的培养. 体现2　打破常规模式,创设全新试卷结构 　　近两年的新课标卷打破以往的命题模式,灵活、科学地确定试题的内容和顺序,在反套路、反刷题、反押题的路上越走越远.在解答题中,2023年新课标Ⅰ卷,导数出现在第19题;2024年新课标Ⅰ卷,解析几何出现在第16题.打破导数和解析几何恒为压轴题的神话. (2023·新课标Ⅰ卷,T19)已知函数f(x)=a(ex+a)－x. (1)讨论f(x)的单调性; (2)证明:当a>0时,f(x)>2ln a+. 解:(1)因为f(x)=－x,定义域为R, 所以f'=aex－1, 当a≤0时,由于ex>0,则aex≤0, 故f'=aex－1<0恒成立, 所以f(x)在R上单调递减; 当a>0时,令f'=aex－1=0,解得x=－ln a, 当x<－ln a时,f'<0,则f(x)在上单调递减; 当x>－ln a时,f'>0,则f(x)在上单调递增; 综上:当a≤0时,f(x)在R上单调递减; 当a>0时,f(x)在上单调递减,在上单调递增. (2)证明:法一:由(1)得,+ln a=1+a2+ln a, 要 证f(x)>2ln a+,即证1+a2+ln a>2ln a+, 即证a2－－ln a>0恒成立, 令g=a2－－ln , 则g'=2a－, 令g'<0,则0<a<;令g'>0,则a>; 所以上单调递减,在上单调递增, 所以－ln =ln >0,则当a>0时,>0恒成立, 所以当a>0时,f(x)>2ln a+恒成立,证毕. 法二:令=ex－x－1,则h'=ex－1, 由于y=ex在R上单调递增, 所以h'=ex－1在R上单调递增, 又h'=e0－1=0, 所以当x<0时,h'<0;当x>0时,h'>0; 所以上单调递减,在上单调递增, 故≥=0,则ex≥x+1,当且仅当x=0时,等号成立, 因为f(x)=－x=aex+a2－x=ex+ln a+a2－x≥x+ln a+1+a2－x, 当且仅当x+ln a=0,即x=－ln a时,等号成立, 所以要证f(x)>2ln a+,即证x+ln a+1+a2－x>2ln a+,即证a2－－ln a>0, 令=a2－－ln , 则g'=2a－, 令g'<0,则0<a<;令g'>0,则a>; 所以上单调递减, 在上单调递增, 所以－ln =ln >0,则>0恒成立, 所以当a>0时,f(x)>2ln a+恒成立,证毕. (2024·新课标Ⅰ卷,T16)已知A(0,3)和P（3,）为椭圆C:=1(a>b>0)上两点. (1)求C的离心率; (2)若过P的直线l交C于另一点B,且△ABP的面积为9,求l的方程. 解:(1)由题知解得 所以c=,所以C的离心率e=. (2)|PA|= , 设点B到直线PA的距离为h,则△ABP的面积为S=|PA|·h=9,解得h=.易知直线PA:x+2y－6=0,设B(x,y), 则解得 所以B(0,－3)或,故l:y=－3或y=. 学生用书⬇第2页 　　灵活调整试题顺序有助于打破学生机械应试的套路,打破教学中僵化、刻板的训练模式,防止猜题押题,无套路、无规律可循.同时测试学生的应变能力和解决各种难度问题的能力.引导教学培养学生全面掌握主干知识、提升基本能力,灵活地整合知识解决问题.再如2024年新课标Ⅱ卷中,以往作为压轴题的函数题在试卷中安排在解答题的第2题;概率与统计试题加强了能力考查力度,安排在解答题的倒数第2题.又如2024年新课标Ⅰ卷则将数列内容结合新情境,安排在最后压轴题的位置. 体现3　聚焦主干知识,突出数学教学本质 　　新课标卷聚焦主干知识内容和重要原理、方法,着重考查数学学科核心素养. (2024·新课标Ⅱ卷,T18)某投篮比赛分为两个阶段,每个参赛队由两名队员组成,比赛具体规则如下:第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次,若3次都未投中,则该队被淘汰,比赛成绩为0分;若至少投中1次,则该队进入第二阶段,第二阶段由该队的另一名队员投篮3次,每次投中得5分,未投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和.某参赛队由甲、乙两名队员组成,设甲每次投中的概率为p,乙每次投中的概率为q,各次投中与否相互独立. (1)若p=0.4,q=0.5,甲参加第一阶段比赛,求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率; (2)假设0<p<q, (ⅰ)为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大,应该由谁参加第一阶段比赛? (ⅱ)为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大,应该由谁参加第一阶段比赛? 解:(1)设A1=“甲、乙所在队进入第二阶段”，则=1－=0.784. 设A2=“乙在第二阶段至少得5分”，则=1－=0.875. 设A3=“甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分”，则·=0.686. (2)(ⅰ)设甲参加第一阶段比赛时甲、乙所在队得15分的概率为P甲, 则P甲=·q3=pq3·(3－3p+p2). 设乙参加第一阶段比赛时甲、乙所在队得15分的概率为P乙, 则P乙=·p3=qp3·. 则P甲－P乙=pq(3q2－3pq2+p2q2－3p2+3p2q－p2q2)=3p·(p+q－pq), 由0<p<q≤1,得q－p>0,p+q－pq=p+q(1－p)>0, 所以P甲－P乙>0,即P甲>P乙. 故应该由甲参加第一阶段比赛. (ⅱ)若甲参加第一阶段比赛,则甲、乙所在队的比赛成绩X的所有可能取值为0,5,10,15. ·, ··q·, ··q2·, ·3, 所以·[15q(1－q)2+30q2(1－q)+15q3]=·15q= 15pq(p2－3p+3). 若乙参加第一阶段比赛,则甲、乙所在队的比赛成绩Y的所有可能取值为0,5,10,15. 同理,可得=15p. =15p=15pq·(q－p)·,由0<p<q≤1,得q－p>0,3－p－q>0, 所以E(X)－E(Y)>0,即E(X)>E(Y). 故应该由甲参加第一阶段比赛. 新课标卷聚焦主干知识内容和重要原理、方法,引导中学教学遵循教育规律,突出数学教学本质,回归课标,重视教材,重视概念教学,夯实学生学习基础,给学生预留思考和深度学习的空间.避免超纲学、超量学,助力减轻学生学业负担. 新趋势二　突出思维能力考查,助力创新人才选拔 体现4　强调逻辑思维能力,深化基础性考查 　　新课标卷贯彻改革要求,注重整体设计,很好地处理考试时间、试卷题量、试题难度之间的关系,统筹协调试题的思维量、计算量和阅读量. (2024·新课标Ⅰ卷,T12)设双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2作平行于y轴的直线交C于A,B两点,若|F1A|=13,|AB|=10,则C的离心率为　　　　.  答案: 解析:由|AB|=10及双曲线的对称性得|AF2|==5,因为|AF1|=13,所以2a=|AF1|－|AF2|=13－5=8,2c=|F1F2|==12,所以a=4,c=6,则C的离心率e=. 　　优化题量设置、合理控制试题的计算量,尽量避免繁难运算,保证学生在分析问题过程中有充足的时间进行思考,强调对思维能力的考查,适应拔尖创新人才选拔需要.本例就是通过应用双曲线的定义和性质,避免了较为复杂的坐标计算以及联立方程求解,从而有效地减少计算量,节省考试时间. 学生用书⬇第3页 体现5　强化批判性思维能力,彰显综合性考查 　　近两年的新课标卷试题在深化基础性考查的同时,又注重考查学科知识的综合应用能力和创新应用能力. 通过导数与几何(2024·新课标Ⅰ卷)、导数与三角(2023·新课标Ⅱ卷)、数列与概率统计(2024·新课标Ⅰ卷、2023·新课标Ⅰ卷)等彰显综合性考查要求. (2024·新课标Ⅰ卷,T18)已知函数f(x)=ln +ax+b(x－1)3. (1)若b=0,且f'(x)≥0,求a的最小值; (2)证明:曲线y=f(x)是中心对称图形; (3)若f(x)>－2当且仅当1<x<2,求实数b的取值范围. 解:(1)f(x)的定义域为(0,2), 若b=0,则=l+ax,f'·+a=+a, 当x∈(0,2)时,∈,f'=2+a≥0,则a≥－2, 故a的最小值为－2. (2)证明:因为x∈(0,2),f(2－x)=l+a(2－x)+b(1－x)3=－l－ax－b(x－1)3+2a=－f(x)+2a, 故曲线y=f(x)关于点(1,a)中心对称. (3)因为f(x)>－2当且仅当1<x<2,所以f(1)=a=－2, 此时=l－2x+, f'·－2+3－2+3b(x－1)2=(x－1)2. 记+3b,x∈,易知g(x)在(0,1)上单调递减,在(1,2)上单调递增,g(1)=2+3b, 当b≥－时,g(x)≥0,f'(x)≥0,f(x)在(0,2)上单调递增, 又f(1)=－2,故符合题意. 当b<－时,<0,+3b=, 令g(x)=0,得x=1± , 因为b<－,所以 ∈, 故1+ ∈,1－ ∈, 所以当x∈时,g(x)<0,f'(x)<0,f(x)在上单调递减,故f<=－2,不符合题意. 综上,实数b的取值范围为. 　　新课标卷试题强化综合性考查,强调对原理、方法的深入理解和综合应用,考查知识之间的内在联系,引导学生重视对学科理论本质属性和相互关联的深刻理解与掌握,引导中学通过深化基础知识、基本原理方法的教学,培养学生形成完整的知识体系和网络结构.再如2024年新课标Ⅰ卷第5题将圆柱与圆锥结合,综合考查侧面积、体积的计算;又如2024年新课标Ⅱ卷第6题,综合考查幂函数和余弦函数的性质. 体现6　突出创新思维能力,体现创新性考查 　　新课标卷试题突出创新导向,突出创新能力的考查,通过命题创新,设计全新的试题情境、呈现方式和设问方式,情境新、内容安排新、内容组合新等体现创新性考查要求. (2024·新课标Ⅰ卷,T19)设m为正整数,数列a1,a2,…,a4m+2是公差不为0的等差数列,若从中删去两项ai和a后剩余的4m项可被平均分为m组,且每组的4个数都能构成等差数列,则称数列a1,a2,…,a4m+2是－可分数列. (1)写出所有的,1≤i<j≤6,使数列a1,a2,…,a6是－可分数列; (2)当m≥3时,证明:数列a1,a2,…,a4m+2是－可分数列; (3)从1,2,…,4m+2中一次任取两个数i和,记数列a1,a2,…,a4m+2是－可分数列的概率为Pm,证明:Pm>. 解:(1)符合题意的(i,j)有(1,2),(1,6),(5,6). (2)证明:当m=3时,删去a2,a13,其余项可分为以下3组:a1,a4,a7,a10为第1组,a3,a6,a9,a12为第2组,a5,a8,a11,a14为第3组, 当m>3时,删去a2,a13,其余项可分为以下m组:a1,a4,a7,a10为第1组,a3,a6,a9,a12为第2组,a5,a8,a11,a14为第3组,a15,a16,a17,a18为第4组,a19,a20,a21,a22为第5组,…,a4m－1,a4m,a4m+1,a4m+2为第m组,可知每组的4个数都能构成等差数列,故数列a1,a2,…,a4m+2是(2,13)－可分数列. (3)证明:若数列a1,a2,…,a4m+2是(i,j)－可分数列,即1,2,…,4m+2是(i,j)－可分数列. 易知1,2,…,4m+2是(4p+1,4q+2)－可分数列,其中p,q∈{0,1,…,m}. 当0≤p≤q≤m时,删去4p+1,4q+2, 其余项从小到大,每4项分为1组,可知每组的4个数都能构成等差数列, 故数列1,2,…,4m+2是(4p+1,4q+2)－可分数列,可分为(1,2,3,4),…,(4p－3,4p－2,4p－1,4p),…,(4(q+1)－1,4(q+1),4(q+1)+1,4(q+1)+2),…,(4m－1,4m,4m+1,4m+2). 则p,q的可能取值方法数为+m+1=. 易知a1,a2,…,a4m+2是(i,j)－可分数列⇒1,2,…,4m+2是(4p+2,4q+1)－可分数列,其中p,q∈{0,1,…,m}. 当q－p>1时,删去4p+2,4q+1, 将1~4p与4q+3~4m+2从小到大,每4项分为1组,可知每组的4个数成等差数列. 考虑4p+1,4p+3,4p+4,…,4q,4q+2是否可分,等同于考虑1,3,4,…,4t,4t+2是否可分,其中t=q－p>1,可分为(1,t+1,2t+1,3t+1),(3,t+3,2t+3,3t+3), (4,t+4,2t+4,3t+4),…,(t,2t,3t,4t),(t+2,2t+2,3t+2,4t+2),每组4个数都能构成等差数列. 故数列1,2,…,4m+2是(4p+2,4q+1)－可分数列,则p,q(q－p>1)的可能取值方法数为－m=. 从而Pm≥. 　　加强解答题部分对创新能力的考查,提升压轴题的思维量,突出理性思维和数学探究,考查学生运用数学思维和数学方法发现问题、分析问题和解决问题的能力.正如本例以等差数列为知识背景,创新设问方式,设置数学新定义,搭建思维平台,引导学生积极思考,在思考过程中领悟数学方法,自主选择路径和策略分析问题、解决问题.同时本题分层设问,环环相扣,三个小问可以通过基本方法大幅度简化计算过程.试题充分体现了“多想少算”的设计理念,引导中学教学充分重视思维能力、探究能力和解决问题能力的培养. 学生用书⬇第4页 新趋势三　加强考教衔接,引导中学教学 体现7　重视教材,考教衔接落地 　　近两年的新课标卷试题一再彰显越来越多题目出现教材的影子,教材是高考题的源和流,回归教材才是“以不变应万变”的最佳复习策略. (1)(2024·新课标Ⅰ卷,T4)已知cos(α+β)=m,tan αtan β=2,则cos(α－β)=(　　) A.－3m B.－ C. D.3m (2)(2024·新课标Ⅰ卷,T7)当x∈[0,2π]时,曲线y=sin x与y=2sin的交点个数为(　　) A.3 B.4 C.6 D.8 (3)(2024·新课标Ⅱ卷,T5)已知曲线C:x2+y2=16(y>0),从C上任意一点P向x轴作垂线段PP',P'为垂足,则线段PP'的中点M的轨迹方程为(　　) A.=1(y>0) B.=1(y>0) C.=1(y>0) D.=1(y>0) 答案:(1)A　(2)C　(3)A 解析:(1)由cos(α+β)=m得cos αcos β－sin αsin β=m…①,由tan αtan β=2得=2…②,由①②得所以cos (α－β)=cos αcos β+sin αsin β=－3m.故选A. (2)因为函数y=2si的最小正周期T=,所以函数y=2sin在[0,2π]上的图象恰好是三个周期的图象,所以作出函数y=2sin与y=sin x在[0,2π]上的图象如图所示, 由图可知,这两个图象共有6个交点.故选C. (3)设M(x0,y0),则P(x0,2y0),因为点P在曲线C上,所以=16(y0>0),即=1(y0>0),所以线段PP'的中点M的轨迹方程为=1(y>0).故选A. 本例(1)题源为“人教A必修一P255，T15”、本例(2)题源为“人教A必修一P237，例1”、本例(3)题源为“人教A选择性必修一P108，例2”，通过这些真题与题源母题的对比，再次说明教材是学生发展成长之源，是学习之本．只有回归了教材，才能跳出“题海战术、题型套路、机械刷题”的旧误区，走进“素养导向、整体回归、教材为本”的新时代. 同时增加基础题比例、降低初始题起点，增强试题的灵活性和开放性，不考死记硬背、不出偏题怪题，引导中学把教学重点从总结解题技巧转向培养学生学科核心素养． 体现8　回归课标,引导依标教学 (1)(多选)(2024·新课标Ⅱ卷,T10)抛物线C:y2=4x的准线为l,P为C上动点.过P作☉A:x2+(y－4)2=1的一条切线,Q为切点.过P作l的垂线,垂足为B.则(　　) A.l与☉A相切 B.当P,A,B三点共线时,|PQ|= C.当|PB|=2时,PA⊥AB D.满足|PA|=|PB|的点P有且仅有2个 (2)(多选)(2024·新课标Ⅰ卷,T11)设计一条美丽的丝带,其造型可以看作图中的曲线C的一部分.已知C过坐标原点O,且C上的点满足横坐标大于－2,到点F(2,0)的距离与到定直线x=a(a<0)的距离之积为4,则(　　) A.a=－2 B.点(2,0)在C上 C.C在第一象限的点的纵坐标的最大值为1 D.当点(x0,y0)在C上时,y0≤ 答案:(1)ABD　(2)ABD 解析:(1)对于A,易知l:x=－1,故l与☉A相切,故A正确;对于B,A(0,4),☉A的半径r=1,当P,A,B三点共线时,P(4,4),所以|PA|=4,|PQ|=,故B正确;对于C,当|PB|=2时,P(1,2),B(－1,2)或P(1,－2),B(－1,－2),易知PA与AB不垂直,故C错误;对于D,记抛物线C的焦点为F,连接AF,PF(图略),易知F(1,0),由抛物线定义可知|PF|=|PB|,因为|PA|=|PB|,所以|PA|=|PF|,所以点P在线段AF的中垂线上,线段AF的中垂线方程为y=,即x=4y－,代入y2=4x可得y2－16y+30=0,解得y=8±,易知满足条件的点P有且仅有2个,故D正确.故选ABD. (2)因为坐标原点O在曲线C上,所以2×|a|=4,又a<0,所以a=－2,故A正确;因为点(2,0)到点F(2,0)的距离与到定直线x=－2的距离之积为=4,所以点(2,0)在曲线C上,故B正确;设P(x,y)(x>0,y>0)是曲线C在第一象限的点,则有·=4,所以y2=,令f(x)=,则f'=－－2,因为f(2)=1,且f'(2)<0,所以函数f(x)在x=2附近单调递减,即必定存在一小区间(2－ε,2+ε)使得f(x)单调递减,所以在区间(2－ε,2)上均有f(x)>1,所以P(x,y)的纵坐标的最大值一定大于1,故C错误;因为点(x0,y0)在C上,所以x0>－2且=4,得,所以y0≤|y0|≤ ,故D正确.故选ABD. 　　课程标准是教师教学的依据,是教书育人之本. 2024年新课标卷试题立足课程标准,考查的内容依据学业质量标准和课程内容,注重考查学生对基础知识和基本技能的熟练掌握和灵活应用,强调知识的整体性和连贯性,引导教学以课程目标和核心素养为指引,避免超纲教学,注重内容的基础性和方法的普适性,避免盲目钻研套路和机械训练. 学生用书⬇第5页 学科网（北京）股份有限公司 $$