5 重难突破2 三角函数中与ω,φ相关的问题（课件）-【金版新学案】2025年高考数学大二轮专题复习与测试

重难突破2　三角函数中与ω,φ相关的问题 　 专题一　三角函数与解三角形、平面向量 　　三角函数中ω,φ的范围问题,是高考的重点和热点,主要考查由三角函数的最值(值域)、单调性、零点等求ω,φ的取值范围,难度中等偏上. 03 类型三　零点与ω、φ的取值范围 02 类型二　单调性与ω、φ的取值范围 类型一　最值(值域)与ω、φ的取值范围 01 内容索引 05 专题集训 类型一　最值(值域)与ω、φ的取值范围 返回 例1 (1)已知函数f(x)=sin 在上的值域为, 则实数ω的取值范围为　　　　.  当x∈时,ωx－∈,由f(x)在 ,知,解得≤ω≤,故实数ω的取值范围是. 由题意可知,是函数的最大值,则ω·+2kπ,k∈Z,得ω=+3k,k∈Z,且在区间上无最小值,所以≥π－,所以0<ω≤3,所以ω=. (2)(2024·湖北七市州调研)已知函数=sin (ω>0)满足 恒成立,且在区间上无最小值,则ω=　　　　.  领悟提升 　　极值、最值与ω结合的问题,可以画出简图,利用三角函数的最值或周期,列出关于ω的不等式,通过解不等式求参数的最值或范围. 由x∈,得ωx+∈, 画出函数y=sin x的图象,如图: 由图可知,,解得<ω≤.因为ω∈N,所以ω=3或ω=4. 对点练1.(1)(开放题)已知函数=sin (ω∈N)在上恰有一个最大值和一个最小值,则ω的可能取值是　　　　.(填一个即可).  3(或4) (2)已知函数f(x)=sin(ωx+φ) 的图象与直线y=1的相邻两个交点的距离为π,若对任意的x∈,不等式f(x)>恒成立,则φ的取值范围 为　　　　.  因为函数f(x)的图象与直线y=1的相邻两个交点的距离为π,所以函数f(x)的最小正周期为T=π,所以ω==2,所以f(x)=sin(2x+φ).当x∈时,+φ<2x+φ<+φ.因为－<φ<,所以－+φ<+φ<.又因为不等式f(x)>对任意的x∈恒成立,所以≤φ≤.因此φ的取值范围是. 返回 类型二　单调性与ω、φ的取值范围 返回 例2 因为y= ωx+cos ωx=2sin ,又ω>0,由－+2kπ≤ωx++ 2kπ,k∈Z,得到≤x≤,k∈Z,所以函数y= ωx+cos ωx的单调增区间为(k∈Z),依题有⊆ (k∈Z),则得到0<ω≤,所以ω的最大值为.故选B. (2024·江苏南通二模)已知函数y= ωx+cos ωx(ω>0)在区间上单调递增,则ω的最大值为 A. B. C. D. √ 领悟提升 　　若三角函数在区间[a,b]上单调递增,则区间[a,b]是该函数单调递增区间的子集,利用集合的包含关系即可求解. 对点练2.若直线x=是曲线y=si(ω>0)的一条对称轴,且函数y=si在区间上不单调,则ω的最小值为 A.9 B.7 C.11 D.3 因为直线x=是曲线y=si(ω>0)的一条对称轴,则=kπ+,k∈Z,即ω=4k+3,k∈Z,由－+2kπ≤ωx－+2kπ,k∈Z,得－≤x≤,k∈Z.则函数y=si上单调递增,而函数y=si上不单调,则,解得ω>9,所以ω的最小值为11.故选C. √ 返回 类型三　零点与ω、φ的取值范围 返回 例3 因为0≤x≤π,所以－≤ωx－≤ωπ－,因为函数=sin (ω>0)在有且仅有三个零点,结合正弦函数的图象可知2π≤ωπ－<3π,解得≤ω<,即ω∈.故选B. (2024·四川泸州三模)已知函数=sin (ω>0)在有且仅有三个零点,则实数ω的取值范围是 A. B. C. D. √ 领悟提升 已知三角函数的零点个数,求ω的取值范围的方法 1.对于区间长度为定值的动区间,若区间上至少含有k个零点,则需要确定含有k个零点的区间长度,一般和周期相关. 2.若在区间上至多含有k个零点,则需要确定包含k+1个零点的区间长度的最小值. 对点练3.(2024·宁夏银川一模)设函数=sin 2ωx－cos 2ωx+2 ωx cos ω,当x∈时,方程=2有且只有两个不相等的实数解,则实数ω的取值范围是 A. B. C. D. 由已知易知 2ωx－cos 2ωx=2sin ,当x∈时,2ωx－∈,所以要满足题意有≤πω－⇒ω∈.故选C. √ 返回 专 题 集 训 返回 1.(2024·安徽安庆二模)已知函数f(x)=2cos2ωx+sin 2ωx－1(ω>0)的图象关于点对称,且f(x)在上没有最小值,则ω的值为 A. B. C. D. f(x)=2cos2ωx+sin 2ωx－1=cos 2ωx+sin 2ωx=,因为对称,所以=0,故=kπ,k∈Z,即ω=2k－,k∈Z,当2ωx+=－+2kπ,即x=－,k∈Z时,函数取得最小值,因为上没有最小值,所以≥,即ω≤,由ω=2k－,解得k≤,又ω>0,故k=1,得ω=.故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 2.(2024·江苏连云港阶段性调研)已知函数=2si 的图象过点,且在区间上具有单调性,则ω的最大值为 A. B.4 C. D.8 因为函数,所以f(0)=2sin φ=1⇒sin φ=,因为0<φ<,所以φ=,所以f(x)=2sin ,当x∈时,ωx+∈ ,因为f(x)在区间上具有单调性, √ 1 2 3 4 5 6 7 8 所以⊆,k∈Z,即≥－+kπ且+kπ,k∈Z,则－+8k≤ω≤+4k,k∈Z,因为－+8k≤+4k,得k≤,因为ω>0,所以k≥0,当k=0时,ω∈,则ω∈(0,];当k=1时,ω∈,综上,ω∈(0,]∪,即ω的最大值为.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 3.(2024·浙江丽水二模)将函数=cos 2x的图象向右平移个单位后得到函数的图象,若对满足=2的x1,x2,有|x1－x2|min=,则φ= A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 因为函数f(x)=cos 2x的最小正周期为π,将 个单位后得到函数g(x)=cos (2x－2φ)的图象,可知两个函数的最大值与最小值的差为2,若对满足|f(x1)－g(x2)|=2的x1,x2,有,不妨令x1=0,则x2=±,即g(x)在x2=±取得最小值,当x2=时,cos =－1,此时－2φ=π+2kπ,φ=－－kπ,k∈Z,又0<φ<,故不符合题意.当x2=－时,cos =－1,此时－－2φ=π+2kπ,φ=－－kπ,k∈Z,当k=－1,φ=满足题意.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 4.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0),现有如下说法: ①若φ=,函数f(x)在上有最小值,无最大值,且,则ω=5; ②若直线x=为函数f(x)图象的一条对称轴,为函数f(x)图象的一个对称中心,且f(x)在上单调递减,则ω的最大值为; ③若f(x)=在x∈上至少有2个解,至多有3个解,则ω∈. 则正确的个数为 A.0 B.1 C.2 D.3 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 对于①,因为x=时,有最小值,所以sin =－1,所以=2kπ+,得到ω=8k+,因为上有最小值,无最大值,所以,即ω≤12,令k=0,得ω=,故①错误;对于②,根据题意,有 1 2 3 4 5 6 7 8 得出 即解得ω=,故②正确; 对于③,令ωx+φ=2kπ+或ωx+φ=2kπ+,则x=或x=, 1 2 3 4 5 6 7 8 故需要上述相邻三个根的距离不超过,相邻四个根(距离较小的四个)的距离超过,即解得ω∈,故③正确.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 5.(多选)(2024·辽宁大连一模)已知函数=2cos +2(ω>0)在区间上单调递减,且在区间上有且仅有一个零点,则ω的值可以为 A. B. C. D. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 由2kπ≤ωx+≤2kπ+π,k∈Z⇒≤x≤,k∈Z.又函数在区间上单调递减,所以⇒又因为k∈Z,ω>0,所以k=0,0<ω≤1,因为0≤x≤π,所以≤ωx+≤ωπ+,因为上有且仅有一个零点,所以cos =－1在区间上有且仅有一个实数根,所以π≤ωπ+<3π,解得≤ω<,综上,≤ω≤1,故B、C正确,A、D错误.故选BC. 1 2 3 4 5 6 7 8 6.(多选)(2024·浙江宁波二模)已知函数=sin(ωx+φ)(ω>0),下列说法正确的是 A.若ω=2,φ=,则是最小正周期为π的偶函数 B.若ω=2,x0为的一个零点,则x0+必为的一个极大值点 C.若φ=－,x=的一条对称轴,则ω的最小值为 D.若φ=－上单调,则ω的最大值为 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 若ω=2,φ=,则=sin =cos 2x,所以=π的偶函数,故A正确;若ω=2,则=π,若x0为的一个零点,则x0+的一个极大值点或极小值点,故B错误;若φ=－,x=的一条对称轴,则=sin=±1,所以+kπ(k∈Z),即ω=+2k(k∈Z),又ω>0,所以ω的最小值为,故C正确;若φ=－, 则=si(ω>0),由正弦函数的单调性,令－+kπ≤ωx－+kπ,k∈Z,解得－≤x≤,k∈Z,又上单调,所以当k=0时,⊆,即,解得ω≤,则ω的最大值为,故D正确.故选ACD. 1 2 3 4 5 6 7 8 设θ=ωx,x∈,则θ∈,所以问题转化为y=sin θ在θ∈上存在最大值和最小值, 7.(2024·浙江绍兴二模)已知函数=sin ω,若∃x1,x2∈ =－1,=1,则实数ω的取值范围是　　　　_____　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 由正弦函数图象可得,解得k+≤ω≤3k+,所以k≥0, k∈Z,当k=0时,≤ω≤,所以ω=;当k=1时,≤ω≤,当k=2时,≤ω≤,当k=3时,≤ω≤,当k=n,n∈N*时,n+≤ω≤3n+,当k=n+1时,n+≤ω≤3n+,而n+=－2n+1<0,即n+<3n+,所以k∈N*时,所有情况的ω范围的并集为;综上,实数ω的取值范围是 . 1 2 3 4 5 6 7 8 8.设函数=co在区间上恰有3个零点、2个极值点,则实 数ω的取值范围是　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 当ω<0时,无法满足函数上的零点比 极值点多,所以ω>0.函数=cos 上恰有3个零点、2个极值点,令t=ωx+∈,则相当于函数y=cos t在区间上恰有3个零点、2个极值点.如图,要使函数y=cos t恰有3个零点、2个极值点π,2π,则≤3π,所以<ω≤,即实数ω的取值范围是. 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 谢 谢 观 看！ $$