问题转化策略：特殊化 课件2024-2025学年北师大版数学七年级下册

问题解决策略： 特殊化 学习目标 1.经历具体解题思路的探究过程，了解“特殊化”策略的意义、适用条件和一般步骤。 2.能运用“特殊化”策略解决一些简单问题。 导入新课 面对一般性的问题时，可以先考虑特殊情形，借助特殊情形下获得的结论或方法解决一般性的问题，这就是特殊化策略。 特殊情形下，问题变得具体简单、易于解决;同时，它与一般性问题关系密切，特殊问题的解决经验有可能推广到一般性问题的解决中。因此，从特殊情形出发问题，有助于我们发现解决问题的思路。 讲授新课 问题 如图，有两个边长为1的正方形，其中正方形EFGH的顶点E与正方形ABCD的中心重合。在正方形EFGH绕点E旋转的过程中，两个正方形重叠部分的面积是多少? A B F M E G C N H D 理解问题 A B F M E G C N H D （1）在旋转过程中，两个正方形的重叠部分会呈现出哪些情形？ （2）对于这些不同情形，如何求两个正方形的重叠部分的面积？ 你遇到的困难是什么？ 拟定计划 （1）哪些特殊情形下，两个正方形重叠部分的面积容易求出? （2）其他情形能转化为容易求解的特殊情形吗? A B F M E G C N H D 实施计划 写出你的解决方案，并说明道理。 小明的思考过程如下。 （1）先考虑特殊情形。 A B F E G C H D ①如图，这两种情形下，重叠部分的面积容易求出，都是 A B F M E G C N H D （2）将一般情况转化为特殊情形。 A B F M E G C N H D 如图，连接EB，EC两个正方形重叠部分的面积记作，则=++。可以发现，，这时，此图的情形就转化为上图的情形，==。 因此，一般情形下，重叠部分的面积也是。 回顾反思 （1）回顾本题的解决过程，你有哪些感悟？ （2）具有什么特点的问题，可以从特殊情形入手？如何寻找特殊情形？与同伴进行交流。 在这个问题中，正方形EFGH的位置是变化的，所求重叠部分的面积有很多情形，因此，小明尝试从特殊情形入手，并借助特殊情形的经验解决了一般情形下的问题。因为某些因素(如形状、位置或数值等)不确定，使得问题有多种情形时，可以限制这个引起变化的因素，考虑最为特殊的情形，采用从特殊情形入手的策略解决问题。 当堂检测 请用特殊化策略解答下列问题。 1.如图，点P是等边三角形ABC内的任意一点，过点P向三边作垂线，垂足分别为D、E、F。小颖从特殊情况入手，认为PD+PE+PF等于△ABC的高，AF+BD+CE等于△ABC周长的。你知道她是怎么做的吗？ A B C D F P E 从特殊情况入手 点P在△ABC的一条角平分线上。 此时可以判断 △BFP≌△BDP，△BEA≌△BEC， 所以AF+BD+CE =AB+AC =×△ABC的周长 A B C D F P E 点P不在△ABC的一条角平分线上。 设PF与△ABC的角平分线BE´交于点P´，过点P´作BC的垂线，垂足为D´。 由上述特殊情形的结论可得 AF+BD´+CE´= ×△ABC的周长 A B C D F P E E´ D´ P´ 2.如图，四边形ABCD的面积是16，各边中点分别为M、N、P、Q，MP与NQ相交于点O，求图中阴影部分的面积。 A B C D M P Q N O A B C D M P Q N O 从特殊情况入手 四边形ABCD是正方形 此时，阴影部分的总面积等于四边形ABCD面积的一半。 A B C D M P Q N O 因为M,N,P,Q分别为各边的中点， 所以面积 S△AOQ=S△DOQ,S△AOM=S△BOM, S△BON=S△CON,S△COP=S△DOP. 因此，阴影部分的总面积等于四边形ABCD面积的一半。 3.甲、乙两人轮流在一张圆桌上放置同样大小的硬币，每人每次只能放置一枚硬币，且放置过程中不允许重叠与倾斜，硬币不能超出桌面的边界。规定谁在桌上放下最后一枚硬币，谁就获胜。你知道获胜的策略吗？ 先放者有必胜策略，只要将硬币置于桌面的圆心处即可。 4.一个三位数除以它的各位数字之和，商最大是多少？ 商最大是100. 先考虑特殊情形，如最小的三位数100和最大的三位数999. 100÷(1+0+0)=100，999÷(9+9+9)=37 事实上，设三位数为100a+10b+c，则 （100a+10b+c）÷(a+b+c)=100-（90b+99c)÷(a+b+c) 所以当b=c=0时，商最大，最大值是100. $$