高一数学月考卷（天津专用，人教A版2019，必修第二册第六章）-学易金卷：2024-2025学年高中下学期第一次月考

2024-2025学年高一下学期第一次月考卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版2019，必修第二册第六章。 5．难度系数：0.6。 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．化简：（    ） A． B． C． D． 2．已知向量在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则（ ） A． B．1 C． D．7 3．中，角所对的边分别为，若，则（   ） A． B． C． D．或 4．已知，，且与的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 5．如图所示，为测量某不可到达的竖直建筑物CO的高度，在此建筑物的同一侧且与此建筑物底部在同一水平面上选择相距60米的A，B两个观测点，并在A，B两点处测得建筑物顶部的仰角分别为45°和30°，且，则此建筑物的高度为（    ） A．45m B．60m C． D． 6．已知向量，且，则向量在向量上的投影向量坐标是（   ）． A． B． C． D． 7．已知在所在平面内，满足，，且，则点依次是的（    ） A．外心，重心，内心 B．重心，外心，垂心 C．重心，外心，内心 D．外心，重心，垂心 8．在中，，，为线段上的动点不包括端点，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 9．如图，直线，点是，之间的一个定点，点到，的距离分别为和．点是直线上一个动点，过点作，点在线段上运动（包括端点）且，若的面积为．则的最小值为（   ）    A． B． C． D． 第Ⅱ卷 2、 填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分． 10．已知，，，则向量与的夹角为 . 11．定义两个向量的运算“”与运算“”：，其中是的夹角.若，则 . 12．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则的外接圆半径为 . 13．若三角形的两个内角和满足，则称该三角形为“准互余三角形”．在中，，，，点是边上一点，若是准互余三角形，则 ；的面积为 ． 14．在中，D，E分别为BC，AC的中点，线段AD与BE相交于点，H，F分别为AB，AC边上一点，且G，H，F三点共线，若，其中为实数，则 ；的最小值为 . 15．在中，，，其中，均为边上的点，分别满足：，，则下列说法正确的是 ． ①为定值3                             ②面积的最大值为 ③的取值范围是                ④若为中点，则不可能等于 三、解答题：本题共5小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（14分） 已知向量，，． (1)求 (2)若，求实数的值． 17．（15分） 平面内给出三个向量，，，求解下列问题： (1)求向量在向量方向上的投影向量的坐标； (2)若向量与向量的夹角为锐角，求实数的取值范围； 18．（15分） 在三角形中，内角的对边分别为，已知 (1)求； (2)若 （i）求； （ii）求. 19．（15分） 的内角，，的边对分别为，，，已知. (1)求角； (2)若，的面积为 ①求； ②求. 20．（16分） 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)求角A的大小； (2)若，，求的面积； (3)若锐角三角形，且外接圆直径为，求的取值范围. 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( ) ( 学校 __________________ 班级 __________________ 姓名 __________________ 准考证号 __________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 密 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 封 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 线 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ ) ( ) 2024-2025学年高一数学下学期第一次月考卷 数 学·答题卡 姓名： ( 注 意 事 项 1 ．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2 ． 选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题， 不 得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3 ．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 ．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5 ．正确填涂 缺考标记 ) ( 贴条形码区 ) ( 准考证号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ) ( 一、 单项 选择题（每小题 5 分，共 45 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 二 、填空题（每小题 5 分，共 30 分） 10 ． ____________________ 11 ． ____________________ 12 ． ____________________ 13 ． ____________________ ____________________ 14 ． ____________________ ____________________ 15 ． ____________________ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 三 、解答题（ 共 7 5 分， 解答应写出文字说明 、 证明过程或演算步骤 ） 16 ．（ 14 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 17 ．（ 15 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 18 ．（ 15 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 19 ．（ 15 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 20 ．（ 16 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页） 数 学 第1页（共6页） 数 学 第2页（共6页） 数 学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数 学 第 1 页（共 6 页） 数 学 第 2 页（共 6 页） 数 学 第 3 页（共 6 页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学 校 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 班 级 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 姓 名 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 准 考 证 号 __ __ __ __ __ __ __ __ __ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 密 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 封 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 线 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2024-2025 学年高一数学下学期第一次月考卷 数 学·答题卡 姓名： 注 意 事 项 1．答题前，考生先将自己的姓名、准 考证号填写清楚，并认真检查监考 员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选 择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答 题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字 体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域 内作答，超出区域书写的答案无 效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄 破。 5．正确填涂 缺考标记 贴条形码区 准考证号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 一、单项选择题（每小题 5 分，共 45 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题 5 分，共 30 分） 10．____________________ 11．____________________ 12．____________________ 13．____________________ ____________________ 14．____________________ ____________________ 15．____________________ 三、解答题（共 75 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（14 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数 学 第 4 页（共 6 页） 数 学 第 5 页（共 6 页） 数 学 第 6 页（共 6 页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（15 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（15 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（16 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2024-2025学年高一数学下学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版2019，必修第二册第六章。 5．难度系数：0.6。 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．化简：（    ） A． B． C． D． 2．已知向量在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则（ ） A． B．1 C． D．7 3．中，角所对的边分别为，若，则（   ） A． B． C． D．或 4．已知，，且与的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 5．如图所示，为测量某不可到达的竖直建筑物CO的高度，在此建筑物的同一侧且与此建筑物底部在同一水平面上选择相距60米的A，B两个观测点，并在A，B两点处测得建筑物顶部的仰角分别为45°和30°，且，则此建筑物的高度为（    ） A．45m B．60m C． D． 6．已知向量，且，则向量在向量上的投影向量坐标是（   ）． A． B． C． D． 7．已知在所在平面内，满足，，且，则点依次是的（    ） A．外心，重心，内心 B．重心，外心，垂心 C．重心，外心，内心 D．外心，重心，垂心 8．在中，，，为线段上的动点不包括端点，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 9．如图，直线，点是，之间的一个定点，点到，的距离分别为和．点是直线上一个动点，过点作，点在线段上运动（包括端点）且，若的面积为．则的最小值为（   ）    A． B． C． D． 第Ⅱ卷 2、 填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分． 10．已知，，，则向量与的夹角为 . 11．定义两个向量的运算“”与运算“”：，其中是的夹角.若，则 . 12．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则的外接圆半径为 . 13．若三角形的两个内角和满足，则称该三角形为“准互余三角形”．在中，，，，点是边上一点，若是准互余三角形，则 ；的面积为 ． 14．在中，D，E分别为BC，AC的中点，线段AD与BE相交于点，H，F分别为AB，AC边上一点，且G，H，F三点共线，若，其中为实数，则 ；的最小值为 . 15．在中，，，其中，均为边上的点，分别满足：，，则下列说法正确的是 ． ①为定值3                             ②面积的最大值为 ③的取值范围是                ④若为中点，则不可能等于 三、解答题：本题共5小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（14分） 已知向量，，． (1)求 (2)若，求实数的值． 17．（15分） 平面内给出三个向量，，，求解下列问题： (1)求向量在向量方向上的投影向量的坐标； (2)若向量与向量的夹角为锐角，求实数的取值范围； 18．（15分） 在三角形中，内角的对边分别为，已知 (1)求； (2)若 （i）求； （ii）求. 19．（15分） 的内角，，的边对分别为，，，已知. (1)求角； (2)若，的面积为 ①求； ②求. 20．（16分） 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)求角A的大小； (2)若，，求的面积； (3)若锐角三角形，且外接圆直径为，求的取值范围. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高一数学下学期第一次月考卷 参考答案 第一部分（选择题 共45分） 一、单项选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 D A B C B C B A B 第二部分（非选择题 共105分） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分． 10． 11． 8 12． 1 13． ； 14． 15． ①②④ 三、解答题：本题共5小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16（14分） 【详解】（1）因为，，, 所以；（6分） （2），，（8分） 因为， 所以，（10分） 解得.（14分） 17（15分） 【详解】（1）向量在向量方向上的投影向量为；（6分） （2）若向量与向量的夹角为锐角， 则， ，得，（12分） 若向量，则，得，经验证满足同向共线， 所以且.（15分） 18（15分） 【详解】（1）因为， 所以由正弦定理得，即， 又，则，所以.（5分） （2）（i）由（1）可得， 若，则由正弦定理得即， 所以.（10分） （ii）因为，，， 所以，故， 所以， 所以 .（15分） 19（15分） 【详解】（1）在中， ， 由正弦定理得， 则， 即， 即， 因为，所以，即， 因为，所以.（6分） （2）①由（1）知，所以，即， 又，所以， 由余弦定理得，， 所以；（11分） ②由正弦定理，得，则， 由知，所以，则为锐角， 所以， 所以，， 所以.（15分） 20（16分） 【详解】（1）由及正弦定理得： ， 因为， 所以，又，， ，又，故；（5分） （2）由余弦定理，又， 所以，所以， 由可得， 故的面积；（10分） （3）由正弦定理可知，故， 因为是锐角三角形， 所以， 所以， 令，，， 由对勾函数的性质可知，当时，y单调递增；当，y单调递减； 当时，；当时，；当时，； 因为，所以， 故.（16分） 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高一数学下学期第一次月考卷 全解全析 一、单项选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．化简：（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】. 故选D. 2．已知向量在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则（ ） A． B．1 C． D．7 【答案】A 【解析】 如图，建立平面直角坐标系.由图可知，, ， 故. 故选A. 3．中，角所对的边分别为，若，则（   ） A． B． C． D．或 【答案】B 【解析】由题意在中，由正弦定理， 则，所以，因为， 所以或，又因为，，所以，所以. 故选B. 4．已知，，且与的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵，，且与的夹角为， ∴， ∴， 故． 故选C. 5．如图所示，为测量某不可到达的竖直建筑物CO的高度，在此建筑物的同一侧且与此建筑物底部在同一水平面上选择相距60米的A，B两个观测点，并在A，B两点处测得建筑物顶部的仰角分别为45°和30°，且，则此建筑物的高度为（    ） A．45m B．60m C． D． 【答案】B 【解析】由题意可得：，在Rt中，由可得； 在Rt中，由可得； 在中，由余弦定理， 即，整理得, 解得或（舍去）， 所以此建筑物的高度为60m. 故选B. 6．已知向量，且，则向量在向量上的投影向量坐标是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为向量， 所以， 因为，则，解得， 所以， 所以向量在向量上的投影向量为. 故选C. 7．已知在所在平面内，满足，，且，则点依次是的（    ） A．外心，重心，内心 B．重心，外心，垂心 C．重心，外心，内心 D．外心，重心，垂心 【答案】B 【解析】由，可得到三个顶点的距离相等，所以为的外心； 因为，所以，为的中点， 所以所在直线经过中点，与中线共线， 同理可得，分别与边的中线共线，所以是三角形中三条中线的交点，所以是重心； 因为，所以， 所以，所以，所以， 同理得到另外两个向量都与相应边垂直，得到是三角形的垂心. 故选B. 8．在中，，，为线段上的动点不包括端点，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，由正弦定理可得：， 再由余弦定理可得：， 所以，三角形为直角三角形，角为直角， 因为， 由三角形面积公式， 所以，又，则， 由余弦定理可得，化简得：， 所以，， 因为，所以可得，， 因为， 又，，三点共线，所以，且，， 所以，当且仅当时取等号. 故选A. 9．如图，直线，点是，之间的一个定点，点到，的距离分别为和．点是直线上一个动点，过点作，点在线段上运动（包括端点）且，若的面积为．则的最小值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，设，则，    所以， 得，又， 所以，得，解得， 所以，故，， 设，则， 所以， 则 ， 当时，取得最小值，且为. 故选B 二、填空题（共6小题，满分30分，每小题5分） 10．已知，，，则向量与的夹角为 . 【答案】 【解析】设向量与的夹角为， ， 因为，此处改为0≤≤π所以. 故向量与的夹角为. 故答案为：． 11．定义两个向量的运算“”与运算“”：，其中是的夹角.若，则 . 【答案】8 【解析】由得， 所以，所以. 故答案为：. 12．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则的外接圆半径为 . 【答案】1 【解析】因为且， 所以由正弦定理可得， 整理得，可得， 因为，所以， 所以，所以. 故答案为:1. 13．若三角形的两个内角和满足，则称该三角形为“准互余三角形”．在中，，，，点是边上一点，若是准互余三角形，则 ；的面积为 ． 【答案】 ； 【解析】，，，由勾股定理得， 易知，所以，又易知， 所以在准互余三角形中，， 又因为， 所以，所以为的平分线， 如图，过点作的垂线交于点， 则，，， 因为，所以，则， 所以．因为， 所以的面积为．    故答案为：， 14．在中，D，E分别为BC，AC的中点，线段AD与BE相交于点，H，F分别为AB，AC边上一点，且G，H，F三点共线，若，其中为实数，则 ；的最小值为 . 【答案】 【解析】由题意作图如下： 由为的中点，则，即， 由图可得，， 由为的两条中线与的交点，则， 由共线，则，即， ， 当且仅当，即时，等号成立. 故答案为：；. 15．在中，，，其中，均为边上的点，分别满足：，，则下列说法正确的是 ． ①为定值3                             ②面积的最大值为 ③的取值范围是                ④若为中点，则不可能等于 【答案】①②④ 【解析】设. 对于①:因为，所以D为BC的中点. 因为，所以， 即，所以. 因为，所以， 所以.故①正确； 对于②：， 又，当且仅当“"时,取“=” 此时， 所以.故②正确； 对于③：因为，所以， 所以. 当时，D、E重合，取得最大值3. 可知为锐角，当最大锐角时，最大，但无法取到.故③错误； 对于④：若为中点，则 .故④正确. 故答案为：①②④. 三．解答题（共5小题，满分75分） 16．（14分） 已知向量，，． (1)求 (2)若，求实数的值． 【解析】（1）因为，，, 所以 （2），， 因为， 所以， 解得. 17．（15分） 平面内给出三个向量，，，求解下列问题： (1)求向量在向量方向上的投影向量的坐标； (2)若向量与向量的夹角为锐角，求实数的取值范围； 【解析】（1）向量在向量方向上的投影向量为； （2）若向量与向量的夹角为锐角， 则， ，得， 若向量，则，得，经验证满足同向共线， 所以且. 18．（15分） 在三角形中，内角的对边分别为，已知 (1)求； (2)若 （i）求； （ii）求. 【解析】（1）因为， 所以由正弦定理得，即， 又，则，所以. （2）（i）由（1）可得， 若，则由正弦定理得即， 所以. （ii）因为，，， 所以，故， 所以， 所以 . 19．（15分） 的内角，，的边对分别为，，，已知. (1)求角； (2)若，的面积为 ①求； ②求. 【解析】（1）在中， ， 由正弦定理得， 则， 即， 即， 因为，所以，即， 因为，所以. （2）①由（1）知，所以，即， 又，所以， 由余弦定理得，， 所以； ②由正弦定理，得，则， 由知，所以，则为锐角， 所以， 所以，， 所以. 20．（16分） 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)求角A的大小； (2)若，，求的面积； (3)若锐角三角形，且外接圆直径为，求的取值范围. 【解析】（1）由及正弦定理得： ， 因为， 所以，又，， ，又，故； （2）由余弦定理，又， 所以，所以， 由可得， 故的面积； （3）由正弦定理可知，故， 因为是锐角三角形， 所以， 所以， 令，，， 由对勾函数的性质可知，当时，y单调递增；当，y单调递减； 当时，；当时，；当时，； 因为，所以， 故. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$