高二数学月考卷（天津专用，人教A版2019选择性必修第二册第五章）-学易金卷：2024-2025学年高中下学期第一次月考

2024-2025学年高二数学下学期第一次月考卷 参考答案 第一部分（选择题 共45分） 一、单项选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 B B C D A A B C C 第二部分（非选择题 共105分） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分． 10． 11． 3 12． 25 13． 14． 15． 三、解答题：本题共5小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16（14分） 【解析】（1）当时，， ， ，，所以切点为， 切线方程即．（7分） （2）的定义域为，， 当时，由可得或；由可得， 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为； 当时，恒成立，函数的单调递增区间为； 当时，由可得或；由可得 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为．（14分） 17（15分） 【解析】（1）函数的定义域为，. 当时，，， 因而， 所以曲线在点处的切线方程为，即.（7分） （2）由， ①当时，，函数为上的增函数，函数无极值； ②当时，令，解得， 所以时，，在上的单调递减， 时，，在上的单调递增. 所以函数在处取得极小值，且极小值为，无极大值. 综上所述，当时，函数无极值； 当时，函数在处取得极小值，且极小值为，无极大值. （15分） 18（15分） 【解析】（1）当时，，， 所以当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以当时，取得极小值，极小值为.（6分） （2）因为对任意，恒成立， 即对任意，恒成立， 所以在上单调递减，（9分） 令，则， 所以在上恒成立， 又因为的对称轴为，（12分） 所以恒成立只需，解得， 所以的取值范围为.（15分） 19．（15分） 【解析】（1）当时，则， 可得， 即切点坐标为，切线斜率， 所以切线方程为，即.（5分） （2）的定义域为，而， 若，则， 此时函数在上单调递减，无最大值，不符合题意，故. 令，得，当时，在单调递增， 当时，在单调递减， 所以的最大值为. 的定义域为，而.（10分） 当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以的最大值为.（12分） 因为和有相同的最大值， 故，整理得到，其中， 设，则， 故为上的减函数，而， 故的唯一解为，故的解为. 综上所述，.（15分） 20．（16分） 【解析】（1）函数的定义域为,求导得, 令,, 若,解得或, 当时,有两个根,, 由,,得函数有两个极值点; （3分） 当时,因为函数的定义域为,所以, 故在恒成立,所以函数在 上单调递增,没有极值点; 当时,,函数,即,所以函数在 上单调递增,没有极值点. 综上:当时, 有两个极值点, 当时, 没有极值点. （7分） （2）因为,所以方程, 令,求导得, 当时,,在上单调递增,最多一个零点,不符合题意; 当时,在上单调递增,在上单调递减, （9分） 所以函数在时有极大值， 又因为当时,, 当时,, 所以要使方程有两个不同实根, 则,即,解得, 故的取值范围为: ;（12分） 由方程有两个不同实根, 得,, 所以, 由,得, , 令,则,（14分） 因为要证明,即要证明,也就是要证明, 即证明, 令,求导得, 所以在单调递增,所以,即, 整理得,,即,所以.（16分） 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( ) ( 学校 __________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 密 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 封 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 线 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ ) ( ) 2024-2025学年高二数学下学期第一次月考卷 数 学·答题卡 姓名： ( 注 意 事 项 1 ．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2 ． 选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3 ．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 ．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5 ．正确填涂 缺考标记 ) ( 贴条形码区 ) ( 准考证号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ) ( 一、 单项 选择题（每小题5分，共 45 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 二 、填空题（每小题5分，共 30 分） 10 ． ____________________ 11 ． ____________________ 12 ． ____________________ 13 ． ____________________ ____________________ 14 ． ____________________ ____________________ 15 ． ____________________ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 三 、解答题（共7 5 分， 解答应写出文字说明 、 证明过程或演算步骤 ） 16．（14分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 17．（15分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 18．（15分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 19．（15分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 20．（16分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页） 数 学 第1页（共6页） 数 学 第2页（共6页） 数 学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 高二数学第一次月考卷01 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版2019，选择性必修第二册第五章。 5．难度系数：0.65。 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．已知函数的导函数是，若，则（ ） A． B．1 C．2 D．4 2．函数的导数为（    ） A． B． C． D． 3．已知函数的图象如下图所示（其中是函数的导函数），下面四个图象中的图象大致是（    ） A． B． C． D． 4．若函数 恰好有三个单调区间，则实数的取值范围是（       ） A． B． C． D． 5．已知函数，则（    ） A． B． C． D． 6．已知函数在处有极大值，则的值为（    ） A．6 B．6或2 C．2 D．4或2 7．已知函数，若对任意，有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．我们熟悉的网络新词，有“yyds”、“内卷”、“躺平”等，定义方程的实数根叫做函数的“躺平点”．若函数，，的“躺平点”分别为，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 9．已知，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 2、 填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分． 10．函数的单调递减区间为 . 11．曲线在点在时的切线斜率为 . 12．已知，直线与曲线相切，则的最小值是 ． 13．已知函数，设，则和的大小关系为 ；和的大小关系为 ． 14．已知关于的方程恰有三个不同的实数根，则当函数时，函数 的极大值为 ，实数的取值范围是 . 15．已知两个函数和.（其中为实数），若对，，使成立，则的取值范围为 . 三、解答题：本题共5小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（14分） 已知函数． (1)当时，求在点处的切线方程； (2)若，试讨论的单调性． 17．（15分） 已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的极值. 18．（15分） 设函数，. (1)当（为自然对数的底数）时，求的极小值； (2)若对任意，恒成立，求的取值范围. 19．（15分） 已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若函数和有相同的最大值，求的值. 20．（16分） 已知函数． (1)讨论的极值点个数； (2)若关于的方程有两个不同实根，求的取值范围，并证明：． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二数学第一次月考卷01 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版2019，选择性必修第二册第五章。 5．难度系数：0.65。 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．已知函数的导函数是，若，则（ ） A． B．1 C．2 D．4 2．函数的导数为（    ） A． B． C． D． 3．已知函数的图象如下图所示（其中是函数的导函数），下面四个图象中的图象大致是（    ） A． B． C． D． 4．若函数 恰好有三个单调区间，则实数的取值范围是（       ） A． B． C． D． 5．已知函数，则（    ） A． B． C． D． 6．已知函数在处有极大值，则的值为（    ） A．6 B．6或2 C．2 D．4或2 7．已知函数，若对任意，有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．我们熟悉的网络新词，有“yyds”、“内卷”、“躺平”等，定义方程的实数根叫做函数的“躺平点”．若函数，，的“躺平点”分别为，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 9．已知，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 2、 填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分． 10．函数的单调递减区间为 . 11．曲线在点在时的切线斜率为 . 12．已知，直线与曲线相切，则的最小值是 ． 13．已知函数，设，则和的大小关系为 ；和的大小关系为 ． 14．已知关于的方程恰有三个不同的实数根，则当函数时，函数 的极大值为 ，实数的取值范围是 . 15．已知两个函数和.（其中为实数），若对，，使成立，则的取值范围为 . 三、解答题：本题共5小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（14分） 已知函数． (1)当时，求在点处的切线方程； (2)若，试讨论的单调性． 17．（15分） 已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的极值. 18．（15分） 设函数，. (1)当（为自然对数的底数）时，求的极小值； (2)若对任意，恒成立，求的取值范围. 19．（15分） 已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若函数和有相同的最大值，求的值. 20．（16分） 已知函数． (1)讨论的极值点个数； (2)若关于的方程有两个不同实根，求的取值范围，并证明：． 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学下学期第一次月考卷（天津） 全解全析 一、单项选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．已知函数的导函数是，若，则（ ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】B 【解析】因为， 所以， 故选B． 2．函数的导数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】函数，求导得. 故选B 3．已知函数的图象如下图所示（其中是函数的导函数），下面四个图象中的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由图可得，当时，时，，为减函数， 时，，为增函数； 当时，时，，为减函数， 时，，为增函数； 结合选项可知C符合题意. 故选C 4．若函数 恰好有三个单调区间，则实数的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意知， 有两个不相等的零点， 故， 解得且 . 故选D. 5．已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，则， 所以，，解得，所以，， 因此，. 故选A. 6．已知函数在处有极大值，则的值为（    ） A．6 B．6或2 C．2 D．4或2 【答案】A 【解析】因为函数， 所以， 因为在处有极大值， 所以， 即，解得或， 当时，， 令，解得或 ， 当时， ，即在单调递减， 当时，，即在单调递增， 所以时取得极小值，不合题意，舍去； 当时，， 令，解得或 当时，，即在单调递增， 当时，，即在单调递减， 所以时取得极大值，符合题意. 所以的值为6， 故选A． 7．已知函数，若对任意，有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以, 令, 因为，，所以单调递减， 单调递减， 因为，所以为偶函数， 因为，所以， 当时， 单调递增， 单调递增， 所以. 故选B. 8．我们熟悉的网络新词，有“yyds”、“内卷”、“躺平”等，定义方程的实数根叫做函数的“躺平点”．若函数，，的“躺平点”分别为，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据题意，，又， 则，解得； 同理，即，令， 则，所以在上单调递增， 又，，所以在上存在唯一零点， ； 又，则，解得； 所以. 故选C. 9．已知，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】， 构造函数， 令，则在上单调递减， ， 故，所以在上单调递减， ， ， 构造函数， 令，则在上单调递减， ， 故，所以在上单调递减， ， 故． 故选C. 二．填空题（共6小题，满分30分，每小题5分） 10．函数的单调递减区间为 . 【答案】 【解析】，， 由，即，解得 ， ，即函数的单调减区间为， 故答案为： 11．曲线在点在时的切线斜率为 . 【答案】3 【分析】求导，将代入导函数即可求解. 【解析】，当时，，故曲线在点在时的切线斜率为3. 故答案为：3 12．已知，直线与曲线相切，则的最小值是 ． 【答案】25 【解析】根据题意，设直线与曲线的切点为， 因为，直线的斜率为， 所以，，， 所以， 因为， 所以，当且仅当时等号成立. 所以的最小值是25. 故答案为：25. 13．已知函数，设，则和的大小关系为 ；和的大小关系为 ． 【答案】 【解析】由函数，可得， 所以在内单调递减，因为 ，所以； 设函数，可得， 当时，，所以在内单调递增， 因为，所以，即，所以． 故答案为：；． 14．已知关于的方程恰有三个不同的实数根，则当函数时，函数 的极大值为 ，实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】（１）定义域为R，求导，令，解得． 分类讨论 极大值 极小值 则极大值为． （２）当根据（１）表格可以大概画出图像如下．    关于的方程恰有三个不同的实数根，即恰有三个不同的实数根， 则与恰有三个不同交点，则. 故答案为：；． 15．已知两个函数和.（其中为实数），若对，，使成立，则的取值范围为 . 【答案】 【解析】由题设，则在上，在上， 所以在上单调递减，在上单调递增， 而， 由，则在、上，在上， 所以在、上单调递增，在上单调递减， 而， 要使对，，使成立， 所以，只需在上，则，可得. 故答案为： 三．解答题（共5小题，满分75分） 16．（14分） 已知函数． (1)当时，求在点处的切线方程； (2)若，试讨论的单调性． 【解析】（1）当时，， ， ，，所以切点为， 切线方程即． （2）的定义域为，， 当时，由可得或；由可得， 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为； 当时，恒成立，函数的单调递增区间为； 当时，由可得或；由可得 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为． 17．（15分） 已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的极值. 【解析】（1）函数的定义域为，. 当时，，， 因而， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）由， ①当时，，函数为上的增函数，函数无极值； ②当时，令，解得， 所以时，，在上的单调递减， 时，，在上的单调递增. 所以函数在处取得极小值，且极小值为，无极大值. 综上所述，当时，函数无极值； 当时，函数在处取得极小值，且极小值为，无极大值. 18．（15分） 设函数，. (1)当（为自然对数的底数）时，求的极小值； (2)若对任意，恒成立，求的取值范围. 【解析】（1）当时，，， 所以当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以当时，取得极小值，极小值为. （2）因为对任意，恒成立， 即对任意，恒成立， 所以在上单调递减， 令，则， 所以在上恒成立， 又因为的对称轴为， 所以恒成立只需，解得， 所以的取值范围为. 19．（15分） 已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若函数和有相同的最大值，求的值. 【解析】（1）当时，则， 可得， 即切点坐标为，切线斜率， 所以切线方程为，即. （2）的定义域为，而， 若，则， 此时函数在上单调递减，无最大值，不符合题意，故. 令，得，当时，在单调递增， 当时，在单调递减， 所以的最大值为. 的定义域为，而. 当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以的最大值为. 因为和有相同的最大值， 故，整理得到，其中， 设，则， 故为上的减函数，而， 故的唯一解为，故的解为. 综上所述，. 20．（16分） 已知函数． (1)讨论的极值点个数； (2)若关于的方程有两个不同实根，求的取值范围，并证明：． 【解析】（1）函数的定义域为,求导得, 令,, 若,解得或, 当时,有两个根,, 由,,得函数有两个极值点; 当时,因为函数的定义域为,所以, 故在恒成立,所以函数在 上单调递增,没有极值点; 当时,,函数,即,所以函数在 上单调递增,没有极值点. 综上:当时, 有两个极值点, 当时, 没有极值点. （2）因为,所以方程, 令,求导得, 当时,,在上单调递增,最多一个零点,不符合题意; 当时,在上单调递增,在上单调递减, 所以函数在时有极大值， 又因为当时,, 当时,, 所以要使方程有两个不同实根, 则,即,解得, 故的取值范围为: ; 由方程有两个不同实根, 得,, 所以, 由,得, , 令,则, 因为要证明,即要证明,也就是要证明, 即证明, 令,求导得, 所以在单调递增,所以,即, 整理得,,即,所以. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$