第10章 三角恒等变换单元测试卷（能力篇）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（苏教版2019必修第二册）

第10章 三角恒等变换单元测试卷（能力篇） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知过原点的直线的倾斜角为，若点在直线上，则（    ） A． B． C． D． 2．（    ） A． B． C． D． 3．.已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．函数在上的值域为（    ） A． B． C． D． 5．已知，则（    ） A． B． C． D． 6．已知函数，设，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 7．若函数()图象的一个对称中心为点，则ω的最小值为（   ） A． B． C．2 D． 8．已知函数的图象关于直线对称，且在上有最大值没有最小值，则的值为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列式子化简后等于的是（   ） A． B． C． D． 10．已知，分别为第一、第三象限角，且，则（   ）． A． B． C． D． 11．已知函数，则下列关于函数的说法正确的是（    ） A．在上单调递增 B．对任意，都有 C．的图象可以由的图象向左平移个单位长度得到 D．函数在上的值域为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，，则 . 13． ． 14．已知，且，则的最大值是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 在平面直角坐标系中，角的始边与轴的非负半轴重合，角的终边与单位圆交于点，已知. (1)若的纵坐标为，求的值； (2)若，求的值. 16．（15分） 已知． (1)求的最小正周期与单调递增区间； (2)已知，角的终边与单位圆交于点，求． 17．（15分） 已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)求函数的单调递增区间； (3)当时，求函数的最值. 18．（17分） 某公园计划在一个扇形草坪内建设矩形花园，为了充分利用这块草坪，要求该矩形的四个顶点都落在边界上.经过测量，在扇形中，，，记，共设计了两个方案： 方案一:如图1，点在半径上，点在半径上，是扇形弧上的动点，此时矩形的面积记为； 方案二:如图2，点分别在半径和上，点，在扇形弧上，，记此时矩形的面积为.    (1)分别用表示两个方案中矩形的面积,； (2)分别求出,的最大值，并比较二者最大值的大小. 19．（17分） 已知函数. (1)当时，求的值域； (2)若在上单调递增，求的取值范围； (3)若对任意均成立，求的取值范围. 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10章 三角恒等变换单元测试卷（能力篇） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知过原点的直线的倾斜角为，若点在直线上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意知，点到原点的距离为， 由三角函数定义可得， 所以. 故选：D. 2．（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 , 故选：D 3．.已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由， 得， ∴． 故选：A． 4．函数在上的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 ， 当时，，故， 故的值域为. 故选：A 5．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由， 得，所以， 又，所以， 即， 整理得，即， 所以一个钝角一个锐角，所以， 所以， 所以. 故选：C 6．已知函数，设，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由于函数均为上的单调递增函数， 故在单调递增，， 所以， 所以. 故选：D． 7．若函数()图象的一个对称中心为点，则ω的最小值为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【解析】由题设， 因为， 所以，则，． 因为，所以. 故选：A. 8．已知函数的图象关于直线对称，且在上有最大值没有最小值，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 ，， 则， 因为在既没有最大值也没有最小值，所以，， 又因为的图象关于直线对称，则，， 解得，，所以当时，符合要求. 故选：A． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列式子化简后等于的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】对于选项A：因为，故A正确； 对于选项B：因为，故B正确； 对于选项C：因为，故C正确； 对于选项D：因为，故D错误； 故选：ABC. 10．已知，分别为第一、第三象限角，且，则（   ）． A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】已知为第一象限角，且， 则，所以， 同理为第三象限角，则， 所以，，C正确，D错误， ，A错误； ，B正确. 故选：BC 11．已知函数，则下列关于函数的说法正确的是（    ） A．在上单调递增 B．对任意，都有 C．的图象可以由的图象向左平移个单位长度得到 D．函数在上的值域为 【答案】AC 【解析】因为， 对于A，令，则，即的一个单调增区间为，则在上单调递增，故选项A正确； 对于C，图象向左平移个单位长度得到，，故选项C正确； 对于B，由于，所以，故选项B错误； 对于D，当，则 所以，故选项D错误. 故选：AC． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，，则 . 【答案】/ 【解析】. 故答案为：. 13． ． 【答案】 【解析】∵ ， ， ∴． 故答案为：4. 14．已知，且，则的最大值是 . 【答案】/ 【解析】因为， 所以， 即，即. 又， 等号当且仅当时成立，所以的最大值是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 在平面直角坐标系中，角的始边与轴的非负半轴重合，角的终边与单位圆交于点，已知. (1)若的纵坐标为，求的值； (2)若，求的值. 【解析】（1） ， ， 若的纵坐标为，则， 当时，时，； 当时，； 综上，或； （2）因为， 所以， ， . 16．（15分） 已知． (1)求的最小正周期与单调递增区间； (2)已知，角的终边与单位圆交于点，求． 【解析】（1）， 故的最小正周期为， 令，，解得，， 故单调递增区间为 （2），即， 因为，所以， 故，解得， 角的终边与单位圆交于点，故， 所以 . 17．（15分） 已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)求函数的单调递增区间； (3)当时，求函数的最值. 【解析】（1） ， 所以函数的最小正周期为. （2）令且，得， 所以函数的单调递增区间为. （3）由，得， 当，即时，取得最大值为1； 当，即时，取得最小值为. 18．（17分） 某公园计划在一个扇形草坪内建设矩形花园，为了充分利用这块草坪，要求该矩形的四个顶点都落在边界上.经过测量，在扇形中，，，记，共设计了两个方案： 方案一:如图1，点在半径上，点在半径上，是扇形弧上的动点，此时矩形的面积记为； 方案二:如图2，点分别在半径和上，点，在扇形弧上，，记此时矩形的面积为.    (1)分别用表示两个方案中矩形的面积,； (2)分别求出,的最大值，并比较二者最大值的大小. 【解析】（1）如图1，在中，，， 所以，. 在中，，. 则，. 如图2，过点作于点，过点作的垂线，交弧于点， 在中，，，所以，. 由扇形和矩形的对称性可得，， 则在中， ，则， ，. 则，. （2）由，得，. 方案一： 当时，即时，取最大值，最大值为. 方案二： 所以当时，即时，取最大值，最大值为. 因为， 所以. 19．（17分） 已知函数. (1)当时，求的值域； (2)若在上单调递增，求的取值范围； (3)若对任意均成立，求的取值范围. 【解析】（1）当时，， 令，则，， 所以，， 则，即的值域为. （2）， 令，则， 则， 当时，，则，且t关于x单调递增， 因为在是单调递增的，所以在单调递增， 则有，解得. （3）对于任意的，，均有， 则有， 即，，有， ①当，则有， 即，解得，又因为，则无解； ②当，则有， 即，解得，又因为，则无解； ③当，即时，则有， 即，解得， ④当，即时，则有， 即，解得， 综上，. 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$