10.2 二倍角的三角函数（3个知识点+8类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（苏教版2019必修第二册）

10.2 二倍角的三角函数 课程标准 学习目标 （1）会用两角和(差)的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式 （1）能熟练运用二倍角的公式进行简单的三角恒等变换并能灵活地将公式变形运用． 知识点01 二倍角公式的逆用及变形 1、公式的逆用 ；． ． ． 2、公式的变形 ； 降幂公式： 升幂公式： 【即学即练1】已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】， 故选：B 知识点02 升（降）幂缩（扩）角公式 升幂公式：， 降幂公式：， 知识点诠释： 利用二倍角公式的等价变形：，进行“升、降幂”变换，即由左边的“一次式”化成右边的“二次式”为“升幂”变换，逆用上述公式即为“降幂”变换． 【即学即练2】证明：． 【解析】. 知识点03 辅助角公式 1、形如的三角函数式的变形： 令，，则 （其中角所在象限由的符号确定，角的值由确定，或由和共同确定．） 2、辅助角公式在解题中的应用 通过应用公式（或），将形如（不同时为零）收缩为一个三角函数（或）．这种恒等变形实质上是将同角的正弦和余弦函数值与其他常数积的和变形为一个三角函数，这样做有利于函数式的化简、求值等． 【即学即练3】把下列各式化为的形式： (1)； (2)； (3). 【解析】（1） . （2） . （3）. 题型一：二倍角公式的简单应用 【典例1-1】角以为始边，它的终边与单位圆相交于点，且点的横坐标为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】角以为始边，它的终边与单位圆相交于点，且点的横坐标为， 所以，又. 故选：B 【典例1-2】已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】已知， . 故选：C. 【方法技巧与总结】 应用二倍角公式化简（求值）的策略：化简求值关注四个方向：分别从“角”“函数名”“幂”“形”着手分析，消除差异． 【变式1-1】已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为， 所以， 故选：B 【变式1-2】已知是第四象限角，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，， 是第四象限角，， ，. 故选：B. 【变式1-3】（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】， 因为，所以， 解得或（舍去） 故选:C. 题型二：给角求值 【典例2-1】 ． 【答案】 【解析】 . 故答案为： 【典例2-2】 ． 【答案】 【解析】原式， 故答案为：. 【方法技巧与总结】 对于给角求值问题，一般有两类 (1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角． (2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式． 【变式2-1】求 . 【答案】/0.5 【解析】 故答案为：. 【变式2-2】 ． 【答案】 【解析】 . 故. 故答案为：. 【变式2-3】的值是 . 【答案】 【解析】， 所以的值是. 故答案为： 题型三：给值求角 【典例3-1】若，，且为锐角，为钝角，则 ． 【答案】 【解析】由题意可知，，， 所有，，得， ，且，得，， ， ， ， 因为，所以. 故答案为： 【典例3-2】若，且，则的值为 ． 【答案】或. 【解析】由， 得， 即， 当时，，即，由，得； 当时，，所以， 即，由，得， 所以，所以． 故的值为或． 故答案为：或. 【方法技巧与总结】 解决三角函数给值求角问题的方法步骤 （1）给值求角问题的步骤． ①求所求角的某个三角函数值． ②确定所求角的范围（范围讨论得过大或过小，会使求出的角不合题意或漏解），根据范围找出角． （2）选取函数的原则． ①已知正切函数值，选正切函数． ②已知正余弦函数值，选正弦或余弦函数，若角的范围是，选正弦或余弦函数均可；若角的范围 是，选余弦较好；若角的范围是，选正弦较好． 【变式3-1】若，，，，则 . 【答案】 【解析】由，，则， ，所以或， ， ，则， 当时，，则， 当时，，则， 又，.故. 故答案为： 【变式3-2】已知，均为锐角，，，则 ， . 【答案】 【解析】因为， 所以， 又因，均为锐角，所以，则， 所以，所以，， 又因，所以， 则， 所以. 故答案为：；. 【变式3-3】已知，，，，则 ． 【答案】 【解析】因为，，则，，， 所以，，， 所以， ， 因此，. 故答案为：. 题型四：给值求值 【典例4-1】已知是第二象限角， (1)求和的值； (2)求和的值. 【解析】（1）因为是第二象限角，， 所以，； （2）， . 【典例4-2】已知锐角的终边与单位圆相交于点. (1)求实数及的值； (2)求的值； (3)若，且，求的值. 【解析】（1）由于点在单位圆上，且是锐角，可得，， 则，； （2）因为锐角的终边与单位圆相交于点，所以，， 可得，， 所以. （3）因为为锐角，所以，又，所以， 因为，所以， 所以. 【方法技巧与总结】 (1)条件求值问题常有两种解题途径 ①对题设条件变形，把条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢； ②对结论变形，将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢，以便将题设条件代入结论． (2)一个重要结论：. 【变式4-1】已知. (1)求的值； (2)求和的值. 【解析】（1）由诱导公式及同角函数的基本关系， 有 有.可得； （2）由，有， 有. 故有，. 【变式4-2】已知锐角，满足，. (1)求的值； (2)求的值. 【解析】（1）由为锐角，，可得. 又由、为锐角、有， 又由，有. 有 . （2）由， 又由， 可得. 【变式4-3】已知． (1)求； (2)若，且，求． 【解析】（1）因为， 所以． （2）因为， 所以．                  因为，① 两边平方得，所以，        又因为，所以， 所以，②                ①②联立，得， 所以，                     故． 题型五：利用倍角公式化简及证明 【典例5-1】公元前世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为，这一数值也可以表示为.三倍角公式是把形如，等三角函数用单倍角三角函数表示的恒等式，广泛应用于数学、物理、天文等学科. (1)记，试写出此三倍角公式的具体内容，并证明； (2)若角满足，求的值； (3)试用三倍角公式并结合三角函数相关知识，求出黄金分割值. 【解析】（1） . （2）由（1）及已知得：解得：， 又 . 由得：， . （3）即 两边除去得：即 化简得：，解得：（负舍） 由题意知黄金分割值为. 【典例5-2】某学习小组在一次研究性学习中发现，以下三个式子的值都等于同一个常数， ； ； . (1)求出这个常数； (2)结合（1）的结果，将该小组的发现推广为一个三角恒等式，并证明你的结论. 【解析】（1）因为 ， 故常数为； （2）推广：当时，． 证明：因为，则， ． 【方法技巧与总结】 三角函数式化简、证明的常用技巧 (1)特殊角的三角函数与特殊值的互化． (2)对于分式形式，应分别对分子、分母进行变形处理，有公因式的提取公因式后进行约分． (3)对于二次根式，注意二倍角公式的逆用． (4)利用角与角之间的隐含关系，如互余、互补等． (5)利用“1”的恒等变形，如，等． 【变式5-1】证明： (1)； (2)． 【解析】（1）左边右边， ∴原等式成立． （2）右边，分子，分母同除以， 得右边左边， 【变式5-2】证明： (1)； (2)． 【解析】（1） . 所以. （2）， 所以. 【变式5-3】（1）直接写出下列各式的值． ① ② ③ （2）结合（1）的结果，分析式子的共同特点，写出能反映一般规律的等式，并证明你的结论． 【解析】（1）① ， ② ， ③ ， （2）结合（1）的结果，分析式子的共同特点，写出能反映一般规律的等式为： ， 证明如下： . 题型六：辅助角公式的应用 【典例6-1】函数取得最大值时的值是 . 【答案】/ 【解析】令，， 则 ， 当时，即当时，函数取最大值， 此时，，其中. 故答案为：. 【典例6-2】已知角，满足，则的最大值是 ． 【答案】 【解析】由，展开得：， 移项整理得：， 由辅助角公式得： 整理得：， 当时，等式不成立，所以上式可变形为：， 所以有：，平方去分母整理可得：， 解得：，又，则， 所以的最大值为. 故答案为：. 【方法技巧与总结】 辅助角公式的应用策略 （1）进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用． （2）把形如化为，可进一步研究函数的周期、单调性． 【变式6-1】函数的最大值为 . 【答案】 【解析】由 当时，即 所以的最大值为： 故答案为： 【变式6-2】若函数在处取得最大值，则 . 【答案】 【解析】因为， 设，， 则，， 当，时， 即当，函数取最大值，最大值为， 所以， 所以. 故答案为：. 【变式6-3】函数的最大值与最小值之和为 ． 【答案】/ 【解析】函数的定义域为R，， 则，即， 解得，于是， 所以函数的最大值与最小值之和为. 故答案为： 题型七：三角函数的实际应用 【典例7-1】如图所示，某小区中心有一块圆心角为，半径为的扇形空地，现计划将该区域设计成亲子室外游乐区域，根据设计要求，需要铺设一块平行四边形的塑胶地面EFPQ（其中点E，F在边OA上，点在边OB上，点在AB上），其他区域地面铺设绿地，设. (1)表示绿地的面积； (2)若铺设绿地每平方米100元，要使得铺设绿地的出用最低，应取何值，并求出此时的值． 【解析】（1） 如图，分别过P，Q作于点，于点，则四边形MNPQ为矩形． 因为，则，， ， 由于，所以， 则， 设四边形EFPQ的面积为， 所以， 所以，． （2）要使铺设绿地的费用最低，即绿地面积最小，所以只需求出绿地面积的最小值， 因为，则，所以，则， 因此，即，此时，即， ， 所以当时，取得最小值元． 【典例7-2】如图，在扇形中，半径，圆心角.是扇形圆弧上的动点，矩形内接于扇形，记. (1)将矩形的面积表示成关于的函数的形式； (2)求的最大值，及此时的角. 【解析】（1）在中，，， ，， ， ， （）； （2）， ， ， 因为， ， 当，即时， 取得最大值. 【方法技巧与总结】 三角函数与平面几何有着密切联系，几何中的角度、长度、面积等问题，常借助三角变换来解决；实际问题的意义常反映在三角形的边、角关系上，故常用建立三角函数模型解决实际的优化问题． 【变式7-1】在校园美化､改造活动中，要在半径为，圆心角为的扇形空地的内部修建一矩形观赛场地，如图所示.取的中点，记. (1)写出矩形的面积与角的函数关系式； (2)求当角为何值时，矩形的面积最大？并求出最大面积. 【解析】（1）由题可知， 在中，， ， 在中，， （2） 当，即时， 故当时，矩形的面积最大，最大值为 【变式7-2】某地为庆祝中华人民共和国成立七十周年，在一个半径为米、圆心角为60°的扇形草坪上，由数千人的表演团队手持光影屏组成红旗图案，已知红旗图案为矩形，其四个顶点中有两个顶点、在线段上，另两个顶点、分别在弧、线段上.    (1)若，求此红旗图案的面积；（精确到） (2)求组成的红旗图案的最大面积.（精确到） 【解析】（1）由题意，则，，， ， ； （2）设，则，， ， ， ， 故当时，即时，取得最大值． 题型八：三角恒等变换与三角函数图象性质的综合 【典例8-1】已知函数. (1)求函数的最小正周期和单调减区间； (2)求在区间上的最大值和最小值. 【解析】（1）因为. 由，所以函数的最小正周期为. 由，得. 所以函数的单调减区间为. （2）因为，所以. 所以，函数在上的最小值为0，最大值为2. 【典例8-2】已知函数的最大值为2． (1)求常数a的值及函数的单调递减区间； (2)将函数图象向右平移个单位长度，再将图象上各点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象．若方程在上恰好有两个不同的根，求的值． 【解析】（1）由题意得 ，因为的最大值为2， 所以当时，，则， 故实数a的值为，则， 令， 解得， 即函数的单调递减区间为． （2）若将函数图象向右平移个单位长度， 得到函数， 再将图象上各点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变）， 得到函数， 令，则， 由，可得，所以， 由正弦函数的对称性可知，所以， 且，因为， 所以，因为， 可得， . 【方法技巧与总结】 应用公式解决三角函数综合问题的三个步骤：（1）运用和、差、倍角公式化简；（2）统一化成的形式；（3）利用辅助角公式化为的形式，研究其性质． 【变式8-1】已知． (1)求的最小正周期和单调递增区间； (2)求在上的值域； (3)将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若对任意的恒成立，求的取值范围． 【解析】（1） ． 最小正周期． 令，解得． 故的增区间为. （2）时，故． 即在上的值域为． （3），原不等式可化为对任意的恒成立对任意的恒成立， 对任意的恒成立且， 记，条件可化为对任意的成立， 设，则， 设， 则， 由在上递减，上递增可得，在上递减，在上递增， 即时，， 即时，， 因此的最大值为，由题意得，故． 【变式8-2】已知函数，其中，且的最大值为3． (1)求的值； (2)求函数在区间上的最值； (3)将函数的图象向右平移个长度单位，得到函数的图象．若为定值，求的最小值． 【解析】（1） ． 其中，． 因为的最大值为3， 所以， 所以． 因为，所以． （2）由（1）知，． 因为，， 所以． 所以． 因为，所以， 当即时，， 当即时，； （3）依题意， 设． 所以 ． 若，取，， ，， 则，即． 所以，当时，不为定值． 当，即时，． 此时，为定值2． 因为， 所以，的最小值为． 【变式8-3】已知函数的最小值为1． (1)求的值和的最小正周期； (2)求在上的单调递增区间； (3)若成立，求的取值范围． 【解析】（1）， 由题意，解得，的最小正周期． （2）令，则． 因为的单调递增区间是， 由，得； ，得； 所以，在的单调递增区间是． （3）由题意知，，即， 当时，， 所以当，即． 所以，即． 所以的取值范围是． 1．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】已知， 则， 所以， 联立，结合，解得， 则， 故. 故选：D. 2．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A，由，得，故A错误； 对于B、C，由，得，又， 所以，故B正确，C错误； 对于D，，故D错误. 故选：B 3．已知角的终边按逆时针方向旋转后落在射线（）上，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】在角的终边所在的射线上任意取一点， 所以，所以，解得， 所以. 故选： 4．已知，且，则的最大值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【解析】由，得， 即，则， 由，，得， 因此， 当且仅当时取等号，所以的最大值为. 故选：A 5．已知函数在区间上是增函数，且在上恰好取得一次最大值，则的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】， 当时，由在区间上单调递增可得，，解得． 当时，，由恰好在区间上取得一次最大值可得，解得， 综上所述，， 故选：D． 6．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以， 故选：D. 7．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，得， 所以， 所以，解得或（舍）， 所以． 故选：A． 8．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，得 . 故选：B 9．（多选题）下列选项中与的值相等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】，故A错误; ，故B正确; ，故C正确; ，故D错误. 故选：BC 10．（多选题）下列化简正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】对于A，易知，可得A错误； 对于B，易知，即B正确； 对于C，易知 ，即可得C错误； 对于D，，可得D正确. 故选：BD 11．（多选题）已知，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．的最大值为 D． 【答案】ABD 【解析】对于A，若，则，， ∴，故A正确； 对于B，若，则， 由得，，故，解得， ∴，，故，故B正确； 对于C，， 当且仅当时等号成立，故C错误； 对于D，由得，即. ∴，故D正确. 故选：ABD. 12．若，且，则 . 【答案】 【解析】由可得， 因为，所以， 所以，解得， 所以由，解得， 所以， 故答案为： 13．已知，．若，，则的值是 ． 【答案】/ 【解析】因为，所以. 已知， . 由两角和公式. 可得.   因为，则. 已知，可. ，. 又因为，，所以，. . 可得. 因为，，则,所以，又，所以.   故答案为：. 14．已知，则 ． 【答案】/ 【解析】因为，所以 则， 又因为， 所以． 故答案为：. 15．已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)求函数的单调递增区间； (3)当时，求函数的最值. 【解析】（1） ， 所以函数的最小正周期为. （2）令且，得， 所以函数的单调递增区间为. （3）由，得， 当，即时，取得最大值为1； 当，即时，取得最小值为. 16．已知函数的最小正周期为． (1)求； (2)求的对称中心； (3)将的图象向右平移个单位长度得到函数，求的单调递增区间． 【解析】（1）， 因为的最小正周期为，所以，解得. （2）由于，令， 因为的对称中心为，令，得， 所以的对称中心为． （3）将函数的图象向右平移个单位长度， 可得函数， 令，因为的单调递增区间为， 由，解得， 的单调递增区间为. 17．已知角顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边过点． (1)求； (2)求的值； (3)若角是三角形内角，且，求的值． 【解析】（1）因为角终边过点， 所以点P到原点的距离为， 所以； （2）由（1）知：， 所以， ； （3）因为是三角形内角，且， 所以， 由（1）知：， 所以， 当时，， ； 当时，， . 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 10.2 二倍角的三角函数 课程标准 学习目标 （1）会用两角和(差)的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式 （1）能熟练运用二倍角的公式进行简单的三角恒等变换并能灵活地将公式变形运用． 知识点01 二倍角公式的逆用及变形 1、公式的逆用 ；． ． ． 2、公式的变形 ； 降幂公式： 升幂公式： 【即学即练1】已知，则（    ） A． B． C． D． 知识点02 升（降）幂缩（扩）角公式 升幂公式：， 降幂公式：， 知识点诠释： 利用二倍角公式的等价变形：，进行“升、降幂”变换，即由左边的“一次式”化成右边的“二次式”为“升幂”变换，逆用上述公式即为“降幂”变换． 【即学即练2】证明：． 知识点03 辅助角公式 1、形如的三角函数式的变形： 令，，则 （其中角所在象限由的符号确定，角的值由确定，或由和共同确定．） 2、辅助角公式在解题中的应用 通过应用公式（或），将形如（不同时为零）收缩为一个三角函数（或）．这种恒等变形实质上是将同角的正弦和余弦函数值与其他常数积的和变形为一个三角函数，这样做有利于函数式的化简、求值等． 【即学即练3】把下列各式化为的形式： (1)； (2)； (3). 题型一：二倍角公式的简单应用 【典例1-1】角以为始边，它的终边与单位圆相交于点，且点的横坐标为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【典例1-2】已知，则（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 应用二倍角公式化简（求值）的策略：化简求值关注四个方向：分别从“角”“函数名”“幂”“形”着手分析，消除差异． 【变式1-1】已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】已知是第四象限角，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（    ） A． B． C． D． 题型二：给角求值 【典例2-1】 ． 【典例2-2】 ． 【方法技巧与总结】 对于给角求值问题，一般有两类 (1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角． (2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式． 【变式2-1】求 . 【变式2-2】 ． 【变式2-3】的值是 . 题型三：给值求角 【典例3-1】若，，且为锐角，为钝角，则 ． 【典例3-2】若，且，则的值为 ． 【方法技巧与总结】 解决三角函数给值求角问题的方法步骤 （1）给值求角问题的步骤． ①求所求角的某个三角函数值． ②确定所求角的范围（范围讨论得过大或过小，会使求出的角不合题意或漏解），根据范围找出角． （2）选取函数的原则． ①已知正切函数值，选正切函数． ②已知正余弦函数值，选正弦或余弦函数，若角的范围是，选正弦或余弦函数均可；若角的范围 是，选余弦较好；若角的范围是，选正弦较好． 【变式3-1】若，，，，则 . 【变式3-2】已知，均为锐角，，，则 ， . 【变式3-3】已知，，，，则 ． 题型四：给值求值 【典例4-1】已知是第二象限角， (1)求和的值； (2)求和的值. 【典例4-2】已知锐角的终边与单位圆相交于点. (1)求实数及的值； (2)求的值； (3)若，且，求的值. 【方法技巧与总结】 (1)条件求值问题常有两种解题途径 ①对题设条件变形，把条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢； ②对结论变形，将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢，以便将题设条件代入结论． (2)一个重要结论：. 【变式4-1】已知. (1)求的值； (2)求和的值. 【变式4-2】已知锐角，满足，. (1)求的值； (2)求的值. 【变式4-3】已知． (1)求； (2)若，且，求． 题型五：利用倍角公式化简及证明 【典例5-1】公元前世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为，这一数值也可以表示为.三倍角公式是把形如，等三角函数用单倍角三角函数表示的恒等式，广泛应用于数学、物理、天文等学科. (1)记，试写出此三倍角公式的具体内容，并证明； (2)若角满足，求的值； (3)试用三倍角公式并结合三角函数相关知识，求出黄金分割值. 【典例5-2】某学习小组在一次研究性学习中发现，以下三个式子的值都等于同一个常数， ； ； . (1)求出这个常数； (2)结合（1）的结果，将该小组的发现推广为一个三角恒等式，并证明你的结论. 【方法技巧与总结】 三角函数式化简、证明的常用技巧 (1)特殊角的三角函数与特殊值的互化． (2)对于分式形式，应分别对分子、分母进行变形处理，有公因式的提取公因式后进行约分． (3)对于二次根式，注意二倍角公式的逆用． (4)利用角与角之间的隐含关系，如互余、互补等． (5)利用“1”的恒等变形，如，等． 【变式5-1】证明： (1)； (2)． 【变式5-2】证明： (1)； (2)． 【变式5-3】（1）直接写出下列各式的值． ① ② ③ （2）结合（1）的结果，分析式子的共同特点，写出能反映一般规律的等式，并证明你的结论． 题型六：辅助角公式的应用 【典例6-1】函数取得最大值时的值是 . 【典例6-2】已知角，满足，则的最大值是 ． 【方法技巧与总结】 辅助角公式的应用策略 （1）进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用． （2）把形如化为，可进一步研究函数的周期、单调性． 【变式6-1】函数的最大值为 . 【变式6-2】若函数在处取得最大值，则 . 【变式6-3】函数的最大值与最小值之和为 ． 题型七：三角函数的实际应用 【典例7-1】如图所示，某小区中心有一块圆心角为，半径为的扇形空地，现计划将该区域设计成亲子室外游乐区域，根据设计要求，需要铺设一块平行四边形的塑胶地面EFPQ（其中点E，F在边OA上，点在边OB上，点在AB上），其他区域地面铺设绿地，设. (1)表示绿地的面积； (2)若铺设绿地每平方米100元，要使得铺设绿地的出用最低，应取何值，并求出此时的值． 【典例7-2】如图，在扇形中，半径，圆心角.是扇形圆弧上的动点，矩形内接于扇形，记. (1)将矩形的面积表示成关于的函数的形式； (2)求的最大值，及此时的角. 【方法技巧与总结】 三角函数与平面几何有着密切联系，几何中的角度、长度、面积等问题，常借助三角变换来解决；实际问题的意义常反映在三角形的边、角关系上，故常用建立三角函数模型解决实际的优化问题． 【变式7-1】在校园美化､改造活动中，要在半径为，圆心角为的扇形空地的内部修建一矩形观赛场地，如图所示.取的中点，记. (1)写出矩形的面积与角的函数关系式； (2)求当角为何值时，矩形的面积最大？并求出最大面积. 【变式7-2】某地为庆祝中华人民共和国成立七十周年，在一个半径为米、圆心角为60°的扇形草坪上，由数千人的表演团队手持光影屏组成红旗图案，已知红旗图案为矩形，其四个顶点中有两个顶点、在线段上，另两个顶点、分别在弧、线段上.    (1)若，求此红旗图案的面积；（精确到） (2)求组成的红旗图案的最大面积.（精确到） 题型八：三角恒等变换与三角函数图象性质的综合 【典例8-1】已知函数. (1)求函数的最小正周期和单调减区间； (2)求在区间上的最大值和最小值. 【典例8-2】已知函数的最大值为2． (1)求常数a的值及函数的单调递减区间； (2)将函数图象向右平移个单位长度，再将图象上各点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象．若方程在上恰好有两个不同的根，求的值． 【方法技巧与总结】 应用公式解决三角函数综合问题的三个步骤：（1）运用和、差、倍角公式化简；（2）统一化成的形式；（3）利用辅助角公式化为的形式，研究其性质． 【变式8-1】已知． (1)求的最小正周期和单调递增区间； (2)求在上的值域； (3)将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若对任意的恒成立，求的取值范围． 【变式8-2】已知函数，其中，且的最大值为3． (1)求的值； (2)求函数在区间上的最值； (3)将函数的图象向右平移个长度单位，得到函数的图象．若为定值，求的最小值． 【变式8-3】已知函数的最小值为1． (1)求的值和的最小正周期； (2)求在上的单调递增区间； (3)若成立，求的取值范围． 1．已知，则（    ） A． B． C． D． 2．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 3．已知角的终边按逆时针方向旋转后落在射线（）上，则的值是（    ） A． B． C． D． 4．已知，且，则的最大值为（   ） A． B． C．1 D． 5．已知函数在区间上是增函数，且在上恰好取得一次最大值，则的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 6．已知，则（    ） A． B． C． D． 7．已知，则（   ） A． B． C． D． 8．已知，则（    ） A． B． C． D． 9．（多选题）下列选项中与的值相等的是（   ） A． B． C． D． 10．（多选题）下列化简正确的是（   ） A． B． C． D． 11．（多选题）已知，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．的最大值为 D． 12．若，且，则 . 13．已知，．若，，则的值是 ． 14．已知，则 ． 15．已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)求函数的单调递增区间； (3)当时，求函数的最值. 16．已知函数的最小正周期为． (1)求； (2)求的对称中心； (3)将的图象向右平移个单位长度得到函数，求的单调递增区间． 17．已知角顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边过点． (1)求； (2)求的值； (3)若角是三角形内角，且，求的值． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$