专题2 微专题15 三角函数的图象与性质-【步步高】2024年新高考数学考前三个月（京津琼鲁辽粤冀鄂湘渝闽苏浙黑吉晋皖云豫新甘贵赣桂）

微专题15　三角函数的图象与性质 [考情分析]　高考对此部分的命题主要集中于三角函数的图象与性质，主要考查图象的变换、函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性，常与三角恒等变换交汇命题．多以选择题和填空题的形式考查，也在解答题中出现，难度中等． 考点一　三角函数的图象与变换 典例1　(1)(2021·全国乙卷)把函数y＝f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数y＝sin的图象，则f(x)等于(　　) A．sin B．sin C．sin D．sin 答案　B 解析　依题意，将y＝sin的图象向左平移个单位长度，再将所得曲线上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，得到f(x)的图象，所以y＝sin y＝sin的图象f(x)＝sin的图象． (2)(2023·全国甲卷)函数y＝f(x)的图象由函数y＝cos的图象向左平移个单位长度得到，则y＝f(x)的图象与直线y＝x－的交点个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案　C 解析　y＝cos的图象向左平移个单位长度得到函数y＝cos＝cos＝－sin 2x的图象， 所以f(x)＝－sin 2x， 而y＝x－显然过与(1,0)两点， 作出y＝f(x)与y＝x－的大致图象如图所示， 考虑2x＝－，2x＝，2x＝， 即x＝－，x＝，x＝处f(x)与y＝x－的大小关系， 当x＝－时，f ＝－sin＝－1， y＝×－＝－<－1； 当x＝时，f ＝－sin ＝1， y＝×－＝<1； 当x＝时，f ＝－sin ＝1， y＝×－＝>1. 所以由图象可知，f(x)与y＝x－的交点个数为3. 跟踪训练1　(1)(2023·厦门模拟)已知函数f(x)＝A1sin(ω1x＋φ1)，g(x)＝A2sin(ω2x＋φ2)，其图象如图所示．为得到函数g(x)的图象，只需先将函数f(x)图象上各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，再(　　) A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 答案　A 解析　由图可知，f(x)的周期为2π，g(x)的周期为π，且f(x)图象上的点(0,0)在g(x)图象上对应的点为，为得到函数g(x)的图象， 只需先将函数f(x)图象上各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)， 平移后的图象依然过点(0,0)， 所以再向右平移个单位长度，即可得到函数g(x)的图象． (2)要得到函数y＝3sin的图象，只需要将函数y＝3cos 2x的图象(　　) A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 答案　A 解析　函数y＝3sin＝3cos＝3cos＝3cos＝3cos 2， 故把函数y＝3cos 2x的图象向右平移个单位长度，可得函数y＝3sin的图象． 考点二　三角函数的解析式 典例2　(1)(2023·全国乙卷)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)在区间上单调递增，直线x＝和x＝为函数y＝f(x)的图象的两条相邻对称轴，则f 等于(　　) A．－ B．－ C. D. 答案　D 解析　因为直线x＝和x＝为函数y＝f(x)的图象的两条相邻对称轴，且直线x＝和x＝为f(x)图象的两条相邻对称轴， 所以＝－＝，不妨取ω>0，则T＝π，ω＝＝2， 由题意知当x＝时，f(x)取得最小值，则2×＋φ＝2kπ－，k∈Z， 则φ＝2kπ－，k∈Z，不妨取k＝0， 则f(x)＝sin， 则f ＝sin＝. (2)(2023·新高考全国Ⅱ)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，如图，A，B是直线y＝与曲线y＝f(x)的两个交点，若|AB|＝，则f(π)＝________. 答案　－ 解析　设A，B， 由|AB|＝可得x2－x1＝， 由sin x＝可知， x＝＋2kπ，k∈Z或x＝＋2kπ，k∈Z， 由图可知， ωx2＋φ－(ωx1＋φ)＝－＝， 即ω(x2－x1)＝，所以ω＝4. 因为f ＝sin＝0， 所以＋φ＝kπ，k∈Z， 即φ＝－＋kπ，k∈Z. 所以f(x)＝sin，k∈Z， 所以f(x)＝sin或f(x)＝－sin， 又因为f(0)<0， 所以f(x)＝sin， 所以f(π)＝sin＝－. 跟踪训练2　(1)设函数f(x)＝cos在[－π，π]的图象大致如图，则f(x)的最小正周期为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　由图象知π<T<2π， 即π<<2π，所以1<|ω|<2. 因为图象过点， 所以cos＝0， 所以－ω＋＝kπ＋，k∈Z， 所以ω＝－k－，k∈Z. 因为1<|ω|<2，故k＝－1，得ω＝. 故f(x)的最小正周期为T＝＝. (2)(2022·新高考全国Ⅰ)记函数f(x)＝sin＋b(ω>0)的最小正周期为T.若<T<π，且y＝f(x)的图象关于点中心对称，则f 等于(　　) A．1 B. C. D．3 答案　A 解析　因为<T<π，所以<<π， 解得2<ω<3. 因为y＝f(x)的图象关于点中心对称，所以b＝2，且sin＋b＝2，即sin＝0，所以ω＋＝kπ(k∈Z)， 又2<ω<3，所以<ω＋<， 所以ω＋＝4π，解得ω＝， 所以f(x)＝sin＋2， 所以f ＝sin＋2＝sin ＋2＝1. 考点三　三角函数的性质 典例3　(1)(2023·天津模拟)将函数f(x)＝2sin xcos x－2cos2x＋1，x∈R的图象向左平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，则下列结论正确的是(　　) A．g(x)是最小正周期为2π的奇函数 B．g(x)是最小正周期为2π的偶函数 C．g(x)在(π，2π)上单调递减 D．g(x)在上的最小值为－ 答案　D 解析　f(x)＝2sin xcos x－2cos2x＋1＝sin 2x－cos 2x＝sin， 将函数f(x)的图象向左平移个单位长度，得到函数g(x)＝sin＝ sin＝cos 2x的图象． 对于A，g(－x)＝cos(－2x)＝cos 2x＝g(x)，所以g(x)是偶函数，故A错误； 对于B，g(x)的最小正周期为＝π，故B错误； 对于C，当x∈(π，2π)时，2x∈(2π，4π)， 所以g(x)在(π，2π)上不单调，故C错误； 对于D，当x∈时，2x∈[0，π]，所以cos 2x∈[－1,1]，所以g(x)∈[－，]， 所以g(x)在上的最小值为－，故D正确． (2)(多选)(2022·新高考全国Ⅱ)已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)(0<φ<π)的图象关于点中心对称，则(　　) A．f(x)在区间上单调递减 B．f(x)在区间上有两个极值点 C．直线x＝是曲线y＝f(x)的对称轴 D．直线y＝－x是曲线y＝f(x)的切线 答案　AD 解析　因为函数f(x)的图象关于点中心对称，所以sin＝0，可得＋φ＝kπ(k∈Z)，结合0<φ<π，得φ＝，所以f(x)＝sin. 对于A，当x∈时，2x＋∈，所以函数f(x)在区间上单调递减，故A正确； 对于B，当x∈时，2x＋∈，所以函数f(x)在区间上只有一个极值点，故B不正确； 对于C，因为f ＝sin＝sin 3π＝0，所以直线x＝不是曲线y＝f(x)的对称轴，故C不正确； 对于D，因为f′(x)＝2cos，若直线y＝－x为曲线y＝f(x)的切线， 则由2cos＝－1，得2x＋＝2kπ＋(k∈Z)或2x＋＝2kπ＋(k∈Z)， 所以x＝kπ(k∈Z)或x＝kπ＋(k∈Z)． 当x＝kπ(k∈Z)时，f(x)＝， 则由＝－kπ(k∈Z)，解得k＝0； 当x＝kπ＋(k∈Z)时，f(x)＝－， 方程－＝－kπ－(k∈Z)无解． 综上所述，直线y＝－x是曲线y＝f(x)的切线，故D正确． 跟踪训练3　(1)(多选)已知函数f(x)＝|cos x|－|sin|x||，下列说法正确的是(　　) A．f(x)是偶函数 B．f(x)是周期为π的函数 C．f(x)在区间上单调递减 D．f(x)的最大值为 答案　ABC 解析　函数f(x)的定义域为R，由f(－x)＝|cos(－x)|－|sin|－x||＝|cos x|－|sin|x||＝f(x)，知f(x)是偶函数，故A正确；f(x＋π)＝|cos(x＋π)|－|sin|x＋π||＝|cos x|－|sin|x||＝f(x)，所以f(x)是周期为π的函数，故B正确；当x∈时，f(x)＝－cos x＋sin x＝sin，f(x)在区间上单调递减，故C正确；当x∈时，f(x)＝cos x－sin x＝－sin∈[－1,1]，当x∈时，f(x)＝－cos x－sin x＝－sin∈(－1,1)．又f(x)是周期为π的函数，所以f(x)的值域为[－1,1]，故D不正确． (2)(多选)(2023·沈阳模拟)将函数y＝3tan图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向右平移个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，下列结论正确的是(　　) A．函数y＝g(x)的图象关于点中心对称 B．若g(x1)＝g(x2)，x1≠x2，则|x1－x2|的最小值为π C．函数y＝g(x)的图象关于直线x＝对称 D．函数y＝g(x)的图象在上单调递增 答案　AD 解析　将函数y＝3tan图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)， 可得y＝3tan的图象； 再把得到的图象向右平移个单位长度， 得到函数y＝g(x)＝3tan ＝3tan的图象． 由于当x＝时，2x－＝，故A正确； y＝g(x)的最小正周期T＝，若g(x1)＝g(x2)，x1≠x2， 则|x1－x2|的最小值为一个周期，即，故B错误； y＝g(x)＝3tan无对称轴，故C错误； 当x∈时，t＝2x－∈，且t单调递增， 又函数y＝3tan t在t∈单调递增，由复合函数的单调性， 得函数y＝g(x)的图象在上单调递增，故D正确． [总结提升] 1．三角函数的常用结论 (1)y＝Asin(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数；当φ＝kπ＋(k∈Z)时为偶函数； 对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)求得． (2)y＝Acos(ωx＋φ)，当φ＝kπ＋(k∈Z)时为奇函数；当φ＝kπ(k∈Z)时为偶函数； 对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求得． (3)y＝Atan(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数． 2．有关三角函数综合问题的求解策略 熟练应用三角函数的图象与性质，结合数形结合法的思想研究函数的性质(如：单调性、奇偶性、对称性、周期性与最值等)，进而加深理解函数的极值点、最值点、零点及有界性等概念与性质，但解答中注意角的范围的判定，防止错解． 1．下列函数中，以为周期且在区间上单调递增的是(　　) A．f(x)＝|cos 2x| B．f(x)＝|sin 2x| C．f(x)＝cos|x| D．f(x)＝sin|x| 答案　A 解析　A中，函数f(x)＝|cos 2x|的周期为，当x∈时，2x∈，函数f(x)单调递增，故A正确；B中，函数f(x)＝|sin 2x|的周期为，当x∈时，2x∈，函数f(x)单调递减，故B不正确；C中，函数f(x)＝cos|x|＝cos x的周期为2π，故C不正确；D中，f(x)＝sin|x|＝由正弦函数图象知，在x≥0和x<0时，f(x)均以2π为周期，但在整个定义域上f(x)不是周期函数，故D不正确． 2.已知函数f(x)＝4sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，其中A(0,2)，B，则函数f(x)的单调递增区间为(　　) A.(k∈Z) B.(k∈Z) C.(k∈Z) D.(k∈Z) 答案　C 解析　由题意得，＝，则T＝， ∴ω＝＝3，∴f(x)＝4sin(3x＋φ)． ∵f(0)＝4sin φ＝2，∴sin φ＝， 又|φ|＜，∴φ＝， ∴f(x)＝4sin， 令2kπ－≤3x＋≤2kπ＋(k∈Z)， 解得－≤x≤＋(k∈Z)， ∴f(x)的单调递增区间为(k∈Z)． 3．(2023·淄博模拟)已知函数f(x)＝Asin(ω>0)的图象与x轴的两个相邻交点间的距离为，要得到函数g(x)＝Acos ωx的图象，只需将f(x)的图象(　　) A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 答案　C 解析　由题意知，f(x)的周期T＝2×＝＝， ∴ω＝3， ∴f(x)＝Asin＝Acos＝Acos＝Acos， ∴只需将f(x)的图象向左平移个单位长度即可得到函数g(x)＝Acos ωx的图象． 4．已知函数f(x)＝sin 2x－2sin2x，给出下列结论，正确的是(　　) A．函数f(x)的最小正周期是2π B．函数f(x)在区间上单调递减 C．函数f(x)的图象关于点中心对称 D．函数f(x)的图象可由函数y＝sin 2x的图象向右平移个单位长度，再向下平移1个单位长度得到 答案　B 解析　由题意，得函数f(x)＝sin 2x－2sin2x ＝sin 2x＋cos 2x－1＝sin－1， 所以函数f(x)的最小正周期T＝＝π，所以A错误； 由x∈， 可得2x＋∈， 所以函数f(x)在区间上单调递减，所以B正确； 由函数f(x)＝sin－1， 令2x＋＝kπ，k∈Z，得x＝－＋，k∈Z， 当k＝0时，可得x＝－， 所以函数f(x)图象的一个对称中心为，所以C错误； 由函数y＝sin 2x的图象向右平移个单位长度， 得到y＝sin＝sin， 再向下平移1个单位长度， 得到y＝sin－1的图象，所以D错误． 5．若f(x)＝cos x－sin x在[－a，a]上单调递减，则a的最大值是(　　) A. B. C. D．π 答案　A 解析　f(x)＝cos x－sin x ＝－sin， 当x∈，即x－∈时， y＝sin单调递增， 则f(x)＝－sin单调递减． ∵函数f(x)在[－a，a]上单调递减， ∴[－a，a]⊆， ∴0<a≤，∴a的最大值为. 6．(2023·北京模拟)已知函数f(x)＝sin，则下列结论正确的是(　　) A．函数f(x＋π)的一个周期为 B．函数f(x＋π)的一个零点为 C．y＝f(x)的图象可由y＝sin 2x的图象向右平移个单位长度得到 D．y＝f(x)的图象关于直线x＝对称 答案　B 解析　因为f(x)＝sin， 所以f(x＋π)＝sin＝sin， 由正弦型函数的周期公式可得，函数f(x＋π)的最小正周期为＝π，A错误； 当x＝时，sin＝sin 0＝0， 所以函数f(x＋π)的一个零点为，B正确； 将函数y＝sin 2x的图象向右平移个单位长度得到函数y＝sin的图象， C错误； 由2x－＝kπ＋，k∈Z可得x＝＋，k∈Z， 所以函数f(x)＝sin的对称轴方程为x＝＋，k∈Z，D错误． 7．(多选)(2023·沈阳模拟)已知函数f(x)＝tan x＋sin x＋|tan x－sin x|，则(　　) A．f(x)的最小正周期为π B．f(x)在上单调递减 C．f(x)的图象关于原点中心对称 D．f(x)的值域为(－2，＋∞) 答案　BD 解析　因为tan x－sin x＝tan x(1－cos x)， 当x为第一或第三象限角时，tan x>0， 又1－cos x>0，可得tan x－sin x>0， 所以f(x)＝2tan x； 当x为第二或第四象限角时，tan x<0， 又1－cos x>0，可得tan x－sin x<0， 所以f(x)＝2sin x； 当x＝kπ，k∈Z时，f(x)＝0. 综上，f(x)＝ 作出f(x)的部分图象如图所示． 对于A，结合图象可得f(x)的最小正周期为2π，A错误； 对于B，f(x)在上单调递减，B正确； 对于C，f(x)的图象不关于原点中心对称，C错误； 对于D，f(x)的值域为(－2，＋∞)，D正确． 8．(多选)已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)的图象关于直线x＝对称，则(　　) A．由f(x1)＝f(x2)＝，可得x1－x2是π的整数倍 B．函数f 为偶函数 C．函数f(x)在上单调递减 D．函数f(x)在区间(0,10π)上有19个零点 答案　BC 解析　因为函数f(x)的图象关于直线x＝对称， 所以2×＋φ＝kπ＋，k∈Z， 可得φ＝kπ－，k∈Z， 又－<φ<，所以φ＝－， 所以f(x)＝sin. 对于A，当x1＝，x2＝时， f(x1)＝f(x2)＝，但x1－x2＝－不是π的整数倍，故A错误； 对于B，f ＝sin＝sin＝cos 2x是偶函数，故B正确； 对于C，当x∈时，2x－∈，由正弦函数性质知f(x)在上单调递减，故C正确； 对于D，令f(x)＝sin＝0，则2x－＝kπ，k∈Z， 即x＝＋，k∈Z， 所以0<＋<10π，解得－<k<20－， 因为k∈Z，所以k＝0,1,2，…，18,19，共20个，故D错误． 9．(2023·聊城模拟)若G(x，y)是函数y＝cos x图象上的任意一点，则K是函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<π)图象上的相应的点，那么f ＝________. 答案　0 解析　由题意可得y＝cos x，2y＝Acos， 所以2cos x＝Acos， 由已知2cos x＝Acos恒成立，又A>0，ω>0， 所以A＝2，ω＝1，即cos x＝cos恒成立， 所以φ－＝2kπ，k∈Z，又0<φ<π， 所以φ＝， 所以f(x)＝2cos， 于是f ＝0. 10．(2021·全国甲卷)已知函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则满足条件>0的最小正整数x为________． 答案　2 解析　由题图可知，T＝－＝(T为f(x)的最小正周期)， 得T＝π，所以ω＝2， 所以f(x)＝2cos(2x＋φ)．点可看作“五点作图法”中的第二个点， 则2×＋φ＝，得φ＝－， 所以f(x)＝2cos， 所以f ＝2cos ＝2cos＝2cos ＝1， f ＝2cos＝2cos ＝0， 所以>0， 即[f(x)－1]·f(x)>0， 可得f(x)>1或f(x)<0， 所以cos>或cos<0. 当x＝1时，2x－＝2－∈， cos∈，不符合题意； 当x＝2时，2x－＝4－∈，cos<0，符合题意． 所以满足题意的最小正整数x为2. 11．(2023·临沂模拟)将函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象向左平移θ个单位长度得到函数g(x)的图象，如图所示，图中阴影部分的面积为，则φ＝________. 答案　 解析　如图所示，根据三角函数图象的对称性，可得阴影部分的面积等于矩形ABCD和EFGH的面积之和，即S＝S矩形ABCD＋S矩形EFGH＝2S矩形ABCD， 因为函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象向左平移θ个单位长度得到函数g(x)的图象， 所以S矩形ABCD＝θ×1＝θ， 又因为图中阴影部分的面积为， 所以2θ＝，解得θ＝， 又由图象可得θ＝，可得＝， 所以T＝π，所以ω＝＝2， 所以f(x)＝sin(2x＋φ)， 因为f ＝sin＝1，可得＋φ＝＋2kπ，k∈Z， 即φ＝＋2kπ，k∈Z， 因为|φ|<，所以φ＝. 12．已知函数f(x)＝sin ωx，g(x)＝cos ωx，其中ω>0，A，B，C是这两个函数图象的交点，且不共线． (1)当ω＝1时，△ABC面积的最小值为________； (2)若存在△ABC是等腰直角三角形，则ω的最小值为________． 答案　(1)2π　(2) 解析　(1)当ω＝1时，f(x)＝sin x，g(x)＝cos x，如图所示， 所以AB＝2π，高为×＋×＝2， 所以S△ABC＝×2π×2＝2π. (2)若存在△ABC是等腰直角三角形，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半， 则＝2， 解得ωmin＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$