专题1 微专题3 函数的零点问题-【步步高】2024年新高考数学考前三个月（京津琼鲁辽粤冀鄂湘渝闽苏浙黑吉晋皖云豫新甘贵赣桂）

微专题3　函数的零点问题 [考情分析]　本专题考查求函数零点、零点个数的判断以及零点所在区间、求参数取值范围等方面．常以选择题、填空题的形式出现，难度中等，有时难度较大． 考点一　函数零点个数的判断 典例1　(2023·扬州模拟)设函数f(x)的定义域为R，f(－x)＝f(x)，f(x)＝f(2－x)，当x∈[0,1]时，f(x)＝x3，则函数g(x)＝|cos πx|－f(x)在区间上零点的个数为(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 答案　D 解析　由f(－x)＝f(x)，得f(x)的图象关于y轴对称，由f(x)＝f(2－x)，得f(x)的图象关于直线x＝1对称， 令g(x)＝|cos πx|－f(x)＝0，得|cos πx|＝f(x)， 函数y＝|cos πx|是周期为1的偶函数，当x∈[0,1]时，f(x)＝x3， 在同一坐标系内作出函数y＝f(x)在[－1,2]上的图象，函数y＝|cos πx|在上的图象，如图， 观察图象知，函数y＝f(x)与y＝|cos πx|的图象在上有7个交点， 所以函数g(x)＝|cos πx|－f(x)在区间上零点的个数为7. 跟踪训练1　(2023·杭州模拟)已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋1)＝f(x－1)，当x∈[0,1]时，f(x)＝2x－1，则函数g(x)＝f(x)－lg x的零点个数为(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 答案　D 解析　由f(x＋1)＝f(x－1)，得f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是以2为周期的函数． 又函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，当x∈[0,1]时，f(x)＝2x－1， 根据已知，作出函数y＝f(x)的图象，以及y＝lg x的图象， 因为lg 10＝1，所以lg 8<lg 9<1，由图象可知，y＝f(x)与y＝lg x的交点共有9个， 所以函数g(x)＝f(x)－lg x的零点个数为9. 考点二　根据函数零点个数求参数取值范围 典例2　(2023·昆明模拟)已知函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，当x∈[－1,1]时，f(x)＝x2.函数g(x)＝ (a>0且a≠1)，若函数h(x)＝f(x)－g(x)在区间[－17,5]上恰有20个零点，则实数a的取值范围为______________． 答案　(2,4) 解析　因为函数h(x)＝f(x)－g(x)在区间[－17,5]上恰有20个零点， 则函数f(x)的图象与函数g(x)的图象在区间[－17,5]上有20个交点， 由f(x＋2)＝f(x)，知f(x)是周期为2的函数， 作出函数f(x)与函数g(x)的部分图象如图所示． 易知当x∈[－17,1]时，函数f(x)的图象与函数g(x)的图象有17个交点，故在(1,5]上有3个交点， 显然0<a<1不满足题意， 所以解得2<a<4. 跟踪训练2　(2023·银川模拟)已知函数f(x)满足f(x)＝f(x＋2)，且f(x)是偶函数，当x∈[－1,0]时，f(x)＝x2，若在区间[－1,3]内，函数g(x)＝f(x)－logax有2个零点，则实数a的取值范围是________． 答案　[3，＋∞) 解析　当x∈(0,1]时，－x∈[－1,0)，f(x)＝f(－x)＝(－x)2＝x2； 故x∈[－1,1]时，f(x)＝x2， 当x∈(1,3]时，x－2∈(－1,1]，即f(x)＝f(x－2)＝(x－2)2. g(x)＝f(x)－logax＝0，即f(x)＝logax，f(3)＝1， 画出函数图象，如图所示． 当0<a<1时，y＝f(x)与y＝logax的图象最多有一个交点，不满足题意； 当a>1时，要使y＝f(x)与y＝logax的图象在[－1,3]内有两个交点，则loga3≤1，即loga3≤logaa，a≥3. 综上所述，实数a的取值范围是[3，＋∞)． 考点三　嵌套函数的零点 典例3　已知函数f(x)＝若关于x的方程f(f(x))＝0有且仅有一个实数根，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，0) B．(－∞，0)∪(0,1) C．(0,1) D．(0,1)∪(1，＋∞) 答案　B 解析　令u＝f(x)，则f(u)＝0. ①当a＝0时，若u≤0，f(u)＝0； 若u>0，由f(u)＝log2u＝0，得u＝1. 所以由f(f(x))＝0可得f(x)≤0或f(x)＝1. 如图所示， 满足f(x)≤0的x有无数个，方程f(x)＝1只有一个解，不满足题意； ②当a≠0时，若u≤0，则f(u)＝a·2u≠0；若u>0，由f(u)＝log2u＝0，得u＝1. 所以由f(f(x))＝0可得f(x)＝1， 当x>0时，由f(x)＝log2x＝1，可得x＝2， 因为关于x的方程f(f(x))＝0有且仅有一个实数根，则方程f(x)＝1在(－∞，0]上无解， 若a>0且x≤0，f(x)＝a·2x∈(0，a]，故0<a<1； 若a<0且x≤0，f(x)＝a·2x<0，满足题意． 综上所述，实数a的取值范围是(－∞，0)∪(0,1)． 跟踪训练3　已知函数f(x)＝若关于x的方程f2(x)＋f(x)＋t＝0有三个不同的实数根，则t的取值范围为(　　) A．(－∞，－2] B．[1，＋∞) C．[－2,1] D．(－∞，－2]∪[1，＋∞) 答案　A 解析　作出f(x)的图象，如图所示，令f(x)＝m， 当m<1时，y＝f(x)与y＝m的图象有1个交点，即f(x)＝m有1个根， 当m≥1时，y＝f(x)与y＝m的图象有2个交点，即f(x)＝m有2个根， 则关于x的方程f 2(x)＋f(x)＋t＝0转化为m2＋m＋t＝0， 由题意得Δ＝12－4t>0，解得t<， 方程m2＋m＋t＝0的两根为m1＝，m2＝， 因为关于x的方程f 2(x)＋f(x)＋t＝0有三个不同的实数根， 则解得t≤－2，满足题意． [总结提升] 关于已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： (1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围． (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决． (3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解． 1．已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是(　　) A．[－1,0) B．[0，＋∞) C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞) 答案　C 解析　令h(x)＝－x－a， 则g(x)＝f(x)－h(x)． 在同一坐标系中画出y＝f(x)，y＝h(x)图象的示意图，如图所示． 若g(x)存在2个零点，则y＝f(x)的图象与y＝h(x)的图象有2个交点，平移y＝h(x)的图象可知，当直线y＝－x－a过点(0,1)时，有2个交点， 此时1＝－0－a，a＝－1. 当y＝－x－a在y＝－x＋1上方，即a<－1时，仅有1个交点，不符合题意； 当y＝－x－a在y＝－x＋1下方，即a>－1时，有2个交点，符合题意． 综上，a的取值范围为[－1，＋∞)． 2．(2023·成都模拟)已知定义域为R的奇函数f(x)满足f(x＋4)－f(x)＝f(2)，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2－3x＋1，则函数y＝f(x)在[－4,4]上零点的个数为(　　) A．10 B．11 C．12 D．13 答案　D 解析　因为f(x)是定义域为R的奇函数， 所以f(0)＝0. 因为f(x＋4)－f(x)＝f(2)， 令x＝－2，得f(－2＋4)＝f(－2)＋f(2)， 即f(2)＝f(－2)＋f(2)，所以f(－2)＝0. 又因为f(x)为奇函数， 所以f(2)＝－f(－2)＝0， 所以f(x＋4)＝f(x)＋f(2)＝f(x)， 所以f(x)是以4为周期的周期函数． 根据周期性及奇函数的性质画出函数y＝f(x)在[－4,4]上的图象，如图． 由图可知，函数y＝f(x)在[－4,4]上的零点有－4，－3.5，－3，－2，－1，－0.5,0,0.5,1,2,3,3.5,4，共13个零点． 3．(2023·蚌埠二中模拟)已知x1＋＝0，x2＋log2x2＝0,－log2x3＝0，则(　　) A．x1<x2<x3 B．x2<x1<x3 C．x1<x3<x2 D．x2<x3<x1 答案　A 解析　设函数f(x)＝x＋2x，易知f(x)在R上是增函数， f(－1)＝－，f(0)＝1， 即f(－1)f(0)<0， 由零点存在定理可知－1<x1<0； 设函数g(x)＝x＋log2x， 易知g(x)在(0，＋∞)上单调递增， g＝－，g(1)＝1， 即gg(1)<0， 由零点存在定理可知<x2<1； 设函数h(x)＝x－log2x， 易知h(x)在(0，＋∞)上单调递减， h(1)＝，h(x3)＝0， 因为h(1)>h(x3)， 由函数单调性可知1<x3， 即－1<x1<0<x2<1<x3. 4．已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－|kx2－2x|(k∈R)恰有4个零点，则k的取值范围是(　　) A.∪(2，＋∞) B.∪(0,2) C．(－∞，0)∪(0,2) D．(－∞，0)∪(2，＋∞) 答案　D 解析　方法一　注意到g(0)＝0，所以要使g(x)恰有4个零点，只需方程|kx－2|＝恰有3个实根即可． 令h(x)＝，即y＝|kx－2|与h(x)＝的图象有3个交点． h(x)＝＝ 当k＝0时，此时y＝|kx－2|＝2，如图①，y＝2与h(x)＝的图象有1个交点，不满足题意； 当k<0时，如图②，此时y＝|kx－2|与h(x)＝的图象恒有3个交点，满足题意； 当k>0时，如图③，由y＝kx－2与y＝x2联立，得x2－kx＋2＝0，令Δ>0，得k2－8>0，解得k>2或k<－2(舍去)，此时y＝|kx－2|与h(x)＝的图象有3个交点． 综上，k的取值范围为(－∞，0)∪(2，＋∞)． 方法二　由方法一知y＝|kx－2|与h(x)＝的图象有3个交点，令k＝－，检验知符合题意，可排除选项A，B；令k＝1，检验知不符合题意，可排除选项C. 方法三　函数g(x)有4个零点，即y＝f(x)与y＝|kx2－2x|的图象有4个交点，函数y＝f(x)的图象如图④. ①若k＝0，则y＝|kx2－2x|＝|－2x|＝|2x|，两函数图象不可能有4个交点，∴k≠0. ②若k>0，令y＝|kx2－2x|＝0，解得x＝0或x＝，如图⑤. 当x<0时，－x＝kx2－2x无解，此时两函数图象无交点． 当x>时，由kx2－2x＝x3，得x2－kx＋2＝0. 由Δ>0，得k2－8>0，解得k>2或k<－2(舍去)， 此时有两实根x＝. ∴当k>2时，两函数图象有2个交点． 当0≤x≤时，由－kx2＋2x＝x3， 得x(x2＋kx－2)＝0， 此时有两实根x1＝0，x2＝，两函数图象有2个交点． 因此，当k>2时，两函数图象有4个交点，排除B，C. ③若k<0，取k＝－验证，如图⑥，两函数图象有4个交点，排除A. 5．(多选)已知定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，f(2－x)＝－f(x)，且当x∈[－1,0]时，f(x)＝－1－x，则(　　) A．f(x)的图象关于点(－1,0)对称 B．f(x)在区间[5,6]上单调递减 C．若关于x的方程f(x)＝m在区间[0,6]上的所有实数根的和为，则m＝－ D．函数y＝f(x)－ln|x|有4个零点 答案　ACD 解析　方法一　由f(－x)＝f(x)可得函数f(x)为偶函数，图象关于y轴对称， 由f(2－x)＝－f(x)可得f(x)图象关于点(1,0)对称， ∵点(1,0)关于y轴的对称点为(－1,0)， ∴A正确； 函数f(x)的周期为T＝4|1－0|＝4，可得f(x)的图象如图，f(x)在区间[5,6]上单调递增，B错误； 对于C，由题意可知m的取值范围只可能是0<m<1或－1<m<0， 由图知方程f(x)＝m在区间[0,6]上有3个实数根，设从小到大依次为x1，x2，x3， 当0<m<1时，＝2，x3∈(5,6)， ∴x1＋x2＋x3＝2×2＋x3， 由2×2＋x3＝，解得x3＝∉(5,6)，则不符合题意， 当－1<m<0时，＝4，x1∈(0,1)， ∴x1＋x2＋x3＝2×4＋x1， 由2×4＋x1＝，解得x1＝∈(0,1)， ∴m＝f ＝f ＝－，C正确； 对于D，易知y＝x－1为y＝ln x在点(1,0)处的切线， 数形结合可判断f(x)的图象与y＝ln|x|共有4个交点，D正确． 方法二　f(－x)＝f(x)，则f(x)为偶函数，f(2－x)＝－f(x)，则f(2－x)＋f(x)＝0，① 则f(－2＋x)＋f(－x)＝0，可知f(x)关于点(－1,0)对称，A对； ∵f(2－x)＝－f(x)＝－f(－x)， ∴f(2＋x)＝－f(x)， ∴f(4＋x)＝－f(2＋x)＝f(x)，则f(x)是以4为周期的周期函数， f(x)在[－1,0]上单调递减，则f(x)在[0,1]上单调递增， 又由①知f(x)关于点(1,0)对称，则f(x)在[1,2]上单调递增，则f(x)在[5,6]上单调递增，B错； 当0≤x≤2时，f(x)＝x－1； 当2≤x≤4时，f(x)＝－x＋3； 当4≤x≤6时，f(x)＝x－5， 当－1<m<0时，方程f(x)＝m有三个根x1，x2，x3， x2＋x3＝8，x1＝， ∴m＝－1＝－， 当0<m<1时，f(x)＝m有三个根x4，x5，x6， x4＋x5＝4，∴x6＝，不满足题意，∴m＝－，C对； y＝x－1与y＝ln x相切，只有一个交点，y＝－x＋3与y＝ln x有且仅有一个交点， ∴f(x)与y＝ln|x|在(0，＋∞)上有且仅有两个交点， ∴y＝f(x)－ln|x|有且仅有四个零点，D对． 6．(多选)已知函数f(x)＝以下结论正确的是(　　) A．f(－3)＋f(2 019)＝－3 B．f(x)在区间[4,5]上单调递增 C．若方程f(x)＝kx＋1恰有3个实数根，则k∈ D．若函数y＝f(x)－b在(－∞，4)上有6个零点xi(i＝1,2,3,4,5,6)，则xif(xi)的取值范围是(0,6) 答案　BCD 解析　因为f(－3)＝－3，f(2 019)＝f(1＋2 018)＝f(1)＝f(－1)＝1， 所以f(－3)＋f(2 019)＝－2，所以A错误； 作出函数图象如图所示， 由图象知选项B正确； 若方程f(x)＝kx＋1恰有3个实数根，则函数f(x)的图象与直线y＝kx＋1有3个交点， 又直线y＝kx＋1过点(0,1)，所以当直线位于过点(2,0)与点(4,0)之间(不含端点)时，有3个交点， 又过点(2,0)时，k＝＝－，过点(4,0)时，k＝＝－， 所以若方程f(x)＝kx＋1恰有3个实数根，则k∈，所以C正确； 函数y＝f(x)－b在(－∞，4)上有6个零点，即函数f(x)的图象与直线y＝b在(－∞，4)上有6个交点， 由函数f(x)图象知0<b<1，x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6＝2×(－1)＋2×1＋2×3＝6， 所以xif(xi)＝6b∈(0,6)，所以D正确． 7．设f(x)，g(x)是定义在R上的两个周期函数，f(x)的周期为4，g(x)的周期为2，且f(x)是奇函数．当x∈(0,2]时，f(x)＝，g(x)＝其中k>0.若在区间(0,9]上，关于x的方程f(x)＝g(x)有8个不同的实数根，则k的取值范围是________． 答案　 解析　当x∈(0,2]时，令y＝，则(x－1)2＋y2＝1，y≥0，即f(x)的图象是以(1,0)为圆心，1为半径的上半圆，利用f(x)是奇函数，且周期为4，画出函数f(x)在(0,9]上的图象，再在同一坐标系中作出函数g(x)(x∈(0,9])的图象，如图，关于x的方程f(x)＝g(x)在(0,9]上有8个不同的实数根，即两个函数的图象有8个不同的交点，数形结合知g(x)(x∈(0,1])与f(x)(x∈(0,1])的图象有2个不同的交点时满足题意，当直线y＝k(x＋2)经过点(1,1)时，k＝，当直线y＝k(x＋2)与半圆(x－1)2＋y2＝1(y≥0)相切时，＝1，k＝或k＝－(舍去)，所以k的取值范围是. 8．已知函数f(x)＝若方程f2(x)＋2m·f(x)＋m2－1＝0恰有4个不同的实数根，则实数m的取值范围是________________． 答案　(－2，－1) 解析　∵f2(x)＋2m·f(x)＋m2－1＝0⇒(f(x)＋m＋1)(f(x)＋m－1)＝0， ∴f(x)＝－m－1或f(x)＝－m＋1， 作出函数f(x)的图象如图所示， 当x＝1时，f(x)极大值＝1， ∴解得－2<m<－1. 学科网（北京）股份有限公司 $$