6.4.3（2）正弦定理-2024-2025学年高一数学同步题型训练人教A版2019必修第二册

2024-2025学年高一数学同步题型训练（人教A版2019必修第二册） 6.4.3（2）正弦定理 题型一：正弦定理及辨析 【例1】扩充的正弦定理：设的边长分别为a，b，c，外接圆的半径为，则 ，这个结果称为扩充的正弦定理．该式表明三角形各边与它所对角的 的比值为一个常数，这个常数等于该三角形外接圆的 ． 【例2】在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】怎样证明正弦定理？ 【变式1-2】正弦定理的变形 ； ； 为外接圆的半径: 思考: (1)正弦定理的变形公式的作用是什么？正弦定理的适用范围是什么？ (2)利用正弦定理能解什么条件下的三角形？ (3)在中，与的关系怎样？ 【变式1-3】判断正误，正确的写正确，错误的写错误． （1）正弦定理不适用于直角三角形．( ) （2）在中必有．( ) （3）在中，若，则必有．( ) （4）在中，若，则必有.( ) （5）正弦定理只适用于锐角三角形.( ) （6）在中，等式总成立.( ) （7）在一确定的三角形中，各边与它所对角的正弦的比是一定值.( ) 题型二： 正弦定理解三角形 【例3】在中，内角、、所对的边分别为、、，，，若，则（   ） A． B． C． D． 【例4】如图，为测量河对岸A，B两点间的距离，沿河岸选取相距40m的C，D两点，测得，，，，则A，B两点的距离是 m. 【变式2-1】若在中，已知，，，解此三角形． 【变式2-2】在中，角所对的边分别为，已知，，． (1)求的值； (2)求的值． 【变式2-3】在中，的对边分别为，且，，． (1)求； (2)若为边上一点，且，求的长． 题型三：正弦定理判定三角形解的个数 【例5】中，内角的对边分别为，若已知，则“”是“有且仅有一解”的（   ）条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【例6】在中，，，若满足上述条件的恰有一解，则边长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】在中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，则满足条件的三角形有（   ） A．1个 B．2个 C．0个 D．无法确定 【变式3-2】在中，根据下列条件解三角形，其中恰有一解的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式3-3】已知的内角，，所对的边分别为，，，，，则使得有两组解的的值为 .（写出满足条件的一个整数值即可） 题型四： 正弦定理求外接圆半径 【例7】（多选）在中，内角所对的边分别为，若，，且，则（    ） A．的外接圆直径为 B． C．的面积为 D．的周长为 【例8】在中，内角、、所对的边分别为、、，且. (1)求； (2)若外接圆的面积为，求边长. 【变式4-1】若外接圆的半径为，且，则（    ） A．2 B． C．3 D． 【变式4-2】在中，内角所对的边分别为，且. (1)求； (2)记的面积为，其外接圆的面积为，求. 【变式4-3】（多选）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．点D满足，且，O是外心，则下列判断正确的是（   ） A． B．的外接圆半径是 C． D．CD的最大值为 题型五： 正弦定理边角互化的应用 【例9】在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求角B； (2)若的角平分线交AC于点D，，，求BD； (3)若的外接圆的半径为，求的取值范围． 【例10】已知的内角，，的对边分别为，，，且． (1)求边； (2)若，求面积的最大值． 【变式5-1】在锐角中，角所对的边分别为，，． (1)求； (2)记为的中点，求的取值范围． 【变式5-2】记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 (1)求 (2)若的面积为，求 【变式5-3】（多选）内角的对边分别为．已知，且，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．的周长为 D．的面积为 题型六： 三角形面积公式及其应用 【例11】在中，角的对边分别为，已知. (1)求角的大小； (2)若边上的高为3，求面积的最小值. 【例12】在中，已知. (1)求； (2)若为的平分线，面积为14，求. 【变式6-1】记的内角的对边分别为，已知. (1)求； (2)若，求的面积的最大值. 【变式6-2】（多选）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，则（    ） A． B． C．若为锐角三角形，且，则面积的取值范围为 D．若，的内心为I，则周长的取值范围为 【变式6-3】在以下两个条件中任选一个补充在下面问题中： ①，②． 问题：已知的内角的对边分别为，且______，角的平分线交于点． (1)求； (2)若，求面积的最小值． 1．已知，，分别为三个内角，，的对边，且． (1)求角； (2)若，且，求的面积． 2．（多选）在中，角、、的对边分别为、、，若，，，则（    ） A． B．外接圆半径 C．， D．若是边中点，则 3．（多选）在中，内角所对的边分别为，且，则（    ） A．若，则 B．若为锐角，则 C．若，则 D．若为锐角三角形，则 4．（多选）记的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知则下列说法正确的是（    ） A．a可能是最大边 B．b可能是最大边 C．a可能是最小边 D．c可能是最小边 5．（多选）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则下列说法正确的是（   ） A． B．若的周长为6，内切圆半径为，则为正三角形 C．若，，则有两解 D．在C选项的条件下，的取值范围为 6．记的内角所对的边分别为，且． (1)求； (2)若，求外接圆面积的最小值． 7．在中，内角，所对的分别为，下列结论错误的是（   ） A．若，则为钝角三角形 B．若，则是等腰三角形 C．若，则中最小的内角为，且 D．若，则 8．的内角所对的边分别为，， (1)求角的大小; (2)若，的延长线交于点，且，求的面积. 9．如图，在平面四边形中， 点E在上，且 (1)求; (2)求的面积. 10．已知的内角，，的对边分别是 ，，，已知 ． (1)求角; (2)若为外一点，在四边形中，边长 ， 求边的最小值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高一数学同步题型训练（人教A版2019必修第二册） 6.4.3（2）正弦定理 题型一：正弦定理及辨析 【例1】扩充的正弦定理：设的边长分别为a，b，c，外接圆的半径为，则 ，这个结果称为扩充的正弦定理．该式表明三角形各边与它所对角的 的比值为一个常数，这个常数等于该三角形外接圆的 ． 【答案】 2R 正弦 直径 【详解】略. 【例2】在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由正弦定理可得，对比选项可知只有B正确． 故选：B． 【变式1-1】怎样证明正弦定理？ 【答案】答案见解析 【详解】方法一：利用三角形的高证明正弦定理 当是直角三角形、锐角三角形时（参见课本）． 当是钝角三角形时，不妨设为钝角．如图，过点C作AB边上的高，交AB的延长线于点D．根据锐角三角函数的定义及正弦函数的性质，有． 由此，得①同理，得．② 故由①②得． 综上可知，在中，成立． 从而得到：在任意一个三角形中，正弦定理都成立． 方法二：利用三角形面积证明正弦定理 在中，分为锐角、直角、钝角三种情况证明，以锐角三角形为例进行证明． 如图，在锐角三角形ABC中，设，作，垂足为D． 在中，． ． 同理，可得． ． 同除以abc，可得． 方法三：利用向量法证明正弦定理 当为锐角三角形时，如图①，过点A作与垂直的单位向量，则与的夹角为，则与的夹角为． 因为，所以． 由分配律，得， 即， 即，所以． 同理，过点C作与垂直的单位向量，可得． 因此． 当为钝角三角形时，不妨设A为钝角． 如图②，过点A作与垂直的单位向量， 则与的夹角为，与的夹角为． 同理，可得． 当为直角三角形时，不妨设． 在的方向上，过点A作与垂直的单位向量，则与的夹角为与的夹角为．同理，可得． 综上，在任意一个三角形中，正弦定理都成立 【变式1-2】正弦定理的变形 ； ； 为外接圆的半径: 思考: (1)正弦定理的变形公式的作用是什么？正弦定理的适用范围是什么？ (2)利用正弦定理能解什么条件下的三角形？ (3)在中，与的关系怎样？ 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【详解】（1）由正弦定理的变形公式可以实现三角形中边与角之间的相互转化，正弦定理对任意的三角形都成立． （2）知两角及一边可解三角形；知两边及一边的对角也可解三角形． （3）在中，若，则， 由正弦定理得，即； 若，则（为的外接圆半径）， 由正弦定理得，则； 综上所述，在中，与等价. 【变式1-3】判断正误，正确的写正确，错误的写错误． （1）正弦定理不适用于直角三角形．( ) （2）在中必有．( ) （3）在中，若，则必有．( ) （4）在中，若，则必有.( ) （5）正弦定理只适用于锐角三角形.( ) （6）在中，等式总成立.( ) （7）在一确定的三角形中，各边与它所对角的正弦的比是一定值.( ) 【答案】 错误 错误 正确 正确 错误 错误 正确 【详解】正弦定理适用于任意三角形，故（1）错误； 正弦定理结构为：，故（2）错误； 正弦定理结构为：，若，则必有，故（3）正确； 正弦定理结构为：，若，则，即，故（4）正确； 正弦定理适用于任意三角形，故（5）错误； 正弦定理结构为：，故（6）错误； 正弦定理结构为：，故（7）正确. 题型二： 正弦定理解三角形 【例3】在中，内角、、所对的边分别为、、，，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为为的内角，则， 由二倍角的余弦公式可得，解得， 由正弦定理可得，所以，. 故选：A. 【例4】如图，为测量河对岸A，B两点间的距离，沿河岸选取相距40m的C，D两点，测得，，，，则A，B两点的距离是 m. 【答案】 【详解】在中，，， ， ，. 在中，，， . 由正弦定理，得. 在中，由余弦定理，得，， 故A，B两点之间的距离为. 故答案为： 【变式2-1】若在中，已知，，，解此三角形． 【答案】答案见解析 【详解】由正弦定理，知， ，，， ． 【变式2-2】在中，角所对的边分别为，已知，，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为， 由余弦定理可得， 因，所以， 由，则， 由正弦定理得  则. （2）因， . 【变式2-3】在中，的对边分别为，且，，． (1)求； (2)若为边上一点，且，求的长． 【答案】(1) (2)1 【详解】（1）解：由正弦定理， 得， 所以， 因为，所以，则， 所以，． （2）由余弦定理，得， 则，即， 解得（负根已舍去）， 所以， 所以． 题型三：正弦定理判定三角形解的个数 【例5】中，内角的对边分别为，若已知，则“”是“有且仅有一解”的（   ）条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】D 【详解】判断充分性， 由正弦定理可得. 已知，即（因为），由于，所以. 当时，，此时可能有两个值（一个锐角和一个钝角），那么可能有两解，所以由不能推出有且仅有一解，充分性不成立.   判断必要性， 若有且仅有一解，有两种情况： 情况一：且，此时由正弦定理，可得，因为，所以. 情况二：且或，当时，；当时，.   所以由有且仅有一解不能推出，必要性不成立.   则“”是“有且仅有一解”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 【例6】在中，，，若满足上述条件的恰有一解，则边长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】若满足条件的恰有一解，如图 则，或， 当时，， 当时，， 所以AC的取值范围是. 故选：D 【变式3-1】在中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，则满足条件的三角形有（   ） A．1个 B．2个 C．0个 D．无法确定 【答案】B 【详解】． 满足条件的三角形有2个． 故选：B. 【变式3-2】在中，根据下列条件解三角形，其中恰有一解的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】BC 【详解】A中，因为，有，所以该三角形无解，故A错误； B中，因为，为锐角，有， 所以该三角形有一解，故B正确； C中，因为，为锐角，有， 所以该三角形有一解，故C正确； D中，因为，为锐角，有， 所以该三角形有两解，故D错误. 故选：BC. 【变式3-3】已知的内角，，所对的边分别为，，，，，则使得有两组解的的值为 .（写出满足条件的一个整数值即可） 【答案】6（答案不唯一，6,7,8,9任意一个均可） 【详解】由正弦定理，已知，，可得. 因为，，要使有两组解，则有两个值. 因为，当时，，此时. 要使有两个值，则且，即. 所以满足条件的一个整数值（答案不唯一，只要满足的整数均可）. 故答案为：6 （答案不唯一，6,7,8,9任意一个均可） 题型四： 正弦定理求外接圆半径 【例7】（多选）在中，内角所对的边分别为，若，，且，则（    ） A．的外接圆直径为 B． C．的面积为 D．的周长为 【答案】ABD 【详解】因为，由正弦定理可得外接圆直径，故A正确； 由易得， 所以等价于， 所以， 由正弦定理得，故B正确； 由余弦定理可得，代入， 解得， 的面积为，故C错误， 所以的周长为，D正确. 故选：ABD. 【例8】在中，内角、、所对的边分别为、、，且. (1)求； (2)若外接圆的面积为，求边长. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，由正弦定理可得， 由余弦定理可得， 因为，则，故. （2）设外接圆的半径为，则，可得， 由正弦定理可得，故. 【变式4-1】若外接圆的半径为，且，则（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】A 【详解】根据正弦定理，，即， 又，则， 又， 所以，则， 根据同角基本关系式，， 则， 根据正弦定理，即， 在中，由余弦定理, 所以，所以. 故选：A 【变式4-2】在中，内角所对的边分别为，且. (1)求； (2)记的面积为，其外接圆的面积为，求. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由余弦定理可得， 即，解得， 由余弦定理可得. （2）由正弦定理可得，其中为三角形外接圆半径， 因为，所以， 所以，， 所以. 【变式4-3】（多选）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．点D满足，且，O是外心，则下列判断正确的是（   ） A． B．的外接圆半径是 C． D．CD的最大值为 【答案】ABC 【详解】选项A，因为，由正弦定理得， 又，所以，而，所以，A正确； 选项B，因为，所以，所以，B正确； 选项C，取中点，如图所示，在中， ， 在中，，，C正确； 选项D，，当且仅当圆心在上时取等号，所以，D错误． 故选：ABC． 题型五： 正弦定理边角互化的应用 【例9】在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求角B； (2)若的角平分线交AC于点D，，，求BD； (3)若的外接圆的半径为，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为， 可得， 由正弦定理得，则， 且，所以． （2）由题意可知：， 因为， 则， 即，可得． （3）由正弦定理可得， 则， 可得， 又因为，则， 可得，即， 所以的取值范围为. 【例10】已知的内角，，的对边分别为，，，且． (1)求边； (2)若，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）法一：因为， 可得， 由正弦定理可得：  所以； 法二：因为，由正弦定理可得， 由余弦定理得： 化简得：，即，所以. （2）法一：因为，即，则， 可得 由正弦定理可得：， 又因为，所以， 所以面积为：， 当且仅当，即时，等号成立， 所以面积的最大值为； 法二：因为，则， 可得 又因为 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以面积的最大值为； 法三：因为，可知，都为锐角， 如图，作边上的高， 则， 因为  则，即， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以面积的最大值为； 法四：因为，则， 由正弦定理可得：， 由余弦定理可得，即， 由余弦定理可得：， 则，化简可得，即， 可得 当时，面积的取到最大值为； 法五：因为，则， 由正弦定理可得：， 由余弦定理可得，即， 如图过点作底边的高， 不妨设，，， 则有，， 则， 整理可得，则，即， 当且仅当时，等号成立， 所以面积的最大值为. 【变式5-1】在锐角中，角所对的边分别为，，． (1)求； (2)记为的中点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，由正弦定理可得， 由， 则，， 则， 整理得， 且，，故， 又，故． （2）在中，由余弦定理可得， 又， 因为为锐角三角形，所以， 解得．所以， 所以． 故的取值范围为． 【变式5-2】记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 (1)求 (2)若的面积为，求 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由正弦定理得， 因为， 所以，解得， （2）由，得， 再由面积，得， 根据余弦定理得，解得 【变式5-3】（多选）内角的对边分别为．已知，且，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．的周长为 D．的面积为 【答案】ABD 【详解】对于A，因为， 由正弦定理得，整理得，即，A正确； 对于B，由可得， 则，故B正确； 对于C，由余弦定理得， 又，可得， 整理得的周长为，故C错误； 对于D，由上知：，，可得， 则的面积为，故D正确． 故选：ABD. 题型六： 三角形面积公式及其应用 【例11】在中，角的对边分别为，已知. (1)求角的大小； (2)若边上的高为3，求面积的最小值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得， 整理得，由余弦定理可得， 又因为，所以； （2）因为边上的高为3，所以， 又因为， 所以，由（1）知， 所以， 得，所以. 【例12】在中，已知. (1)求； (2)若为的平分线，面积为14，求. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）在中，，所以， 因为，所以， 因为，所以， 所以. 所以， 所以， 又因为，所以. （2）由，所以， 所以. 记中角A、B、C所对的边为a、b、c， 由正弦定理可得，所以， 所以， 解得（负值舍去），所以. 又由，得， 所以由，得， 所以，解得. 【变式6-1】记的内角的对边分别为，已知. (1)求； (2)若，求的面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由结合正弦定理边化角可得： ， 即，又, 所以，又， 所以， 所以； （2）由余弦定理，得， 所以. 由基本不等式知， 于是. 当且仅当时等号成立. 所以的面积， 当且仅当时，面积取得最大值. 【变式6-2】（多选）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，则（    ） A． B． C．若为锐角三角形，且，则面积的取值范围为 D．若，的内心为I，则周长的取值范围为 【答案】ACD 【详解】∵， ∴，整理得， ∴， ∵，∴，选项A正确，选项B错误. C.的面积. 由正弦定理得，， ∴， ∵为锐角三角形，∴，解得， ∴，∴， ∴，故，选项C正确. D.∵，∴， ∵的内心为I，∴，故. 设，则， 在中，由正弦定理得，， ∴， ∴的周长为， ∵，∴， ∴，∴，选项D正确. 故选：ACD. 【变式6-3】在以下两个条件中任选一个补充在下面问题中： ①，②． 问题：已知的内角的对边分别为，且______，角的平分线交于点． (1)求； (2)若，求面积的最小值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）若选①：∵ ∴即 故， 又∴． 若选②：∵ ∴即， ∴或（舍去）， 又∴． （2）∵平分且 ∴． 又∵， ∴． 又∵≥ ∴≥即≥当且仅当时等号成立， ∴≥， 故面积的最小值为． 1．已知，，分别为三个内角，，的对边，且． (1)求角； (2)若，且，求的面积． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以， 所以，由正弦定理可得， 因为，所以，所以， 所以，所以， 又因为，所以； （2）因为，且，所以由余弦定理， 可得，所以，， 所以的面积为． 2．（多选）在中，角、、的对边分别为、、，若，，，则（    ） A． B．外接圆半径 C．， D．若是边中点，则 【答案】ABD 【详解】对于A选项，因为，则，所以，，故，A对； 对于B选项，由正弦定理可知，B对； 对于C选项，因为，所以，设，则， 由余弦定理可知， 所以，，C错； 对于D选项，因为为的中点，则， 所以，，则， 所以 ，则，D对. 故选：ABD. 3．（多选）在中，内角所对的边分别为，且，则（    ） A．若，则 B．若为锐角，则 C．若，则 D．若为锐角三角形，则 【答案】BCD 【详解】由得，由余弦定理得，即， 由正弦定理得，所以， 若，则，易知，从而，所以，A错误； 若为锐角，由及得，所以，由正弦定理得，B正确； 因为，所以为锐角，，C正确； 当为锐角三角形时，由，得， 所以，D正确. 故选：BCD. 4．（多选）记的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知则下列说法正确的是（    ） A．a可能是最大边 B．b可能是最大边 C．a可能是最小边 D．c可能是最小边 【答案】BCD 【详解】由题意可得 所以 由正弦定理可得 所以 即 即 等价于 所以则或即 若则c是最大边，a，b可能是最小边； 若则b是最大边，a，c可能是最小边. 综上，选项B，C，D正确. 故选：BCD 5．（多选）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则下列说法正确的是（   ） A． B．若的周长为6，内切圆半径为，则为正三角形 C．若，，则有两解 D．在C选项的条件下，的取值范围为 【答案】ABC 【详解】由，可得， 所以， 所以， 所以， 因为，所以，所以， 所以，所以， 因为，所以，所以，所以，故A正确； 若的周长为6，内切圆半径为，所以， 所以， 在中，由余弦定理可得， 所以，所以，解得， 所以，又，解得，所以为正三角形，故B正确； 当时，满足，有两解， 所以，即，有两解，故C正确； ， 又，即，又， 所以，解得或， 所以，故D错误； 故选：ABC. 6．记的内角所对的边分别为，且． (1)求； (2)若，求外接圆面积的最小值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由整理得：， 由正弦定理，可得 即， 因为，所以，即， 又因为，所以． （2）由正弦定理，外接圆的半径， 要使外接圆的半径最小，只需最小， 由余弦定理，， 当且仅当时取等号，此时，则． 故外接圆面积的最小值为． 7．在中，内角，所对的分别为，下列结论错误的是（   ） A．若，则为钝角三角形 B．若，则是等腰三角形 C．若，则中最小的内角为，且 D．若，则 【答案】B 【详解】在中，最大的内角为，，故为钝角三角形，A正确． 因为，所以或，即或，故是等腰三角形或直角三角形，B错误． 设中最小的内角为，由余弦定理知． 因为，所以，故中最小的内角为，且，C正确． ．因为，所以或． 又因为，所以．则不符合题意，舍去， 故，D正确． 故选：B 8．的内角所对的边分别为，， (1)求角的大小; (2)若，的延长线交于点，且，求的面积. 【答案】(1) (2) 【详解】（1），，， 所以原式可化为， 由正弦定理得：，由余弦定理得：， （2）设中点为，则， 且三点共线， 同理可得点为三条中线的交点，点为的重心， 为中点，， ，平方得：， ①， 又由余弦定理得：，即② 由①②得：， 9．如图，在平面四边形中， 点E在上，且 (1)求; (2)求的面积. 【答案】(1)3 (2) 【详解】（1）在中，由余弦定理得. ， 即 整理得 ， 所以（负值舍去）. （2）在中，由余弦定理得 ， 所以 所以的面积为 10．已知的内角，，的对边分别是 ，，，已知 ． (1)求角; (2)若为外一点，在四边形中，边长 ， 求边的最小值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为， 由余弦定理， 所以，即， 由正弦定理可得， 即，所以， 又，所以，所以，即， 又，所以； （2）在和中，由正弦定理可得，， 设，，则，，， 故两式相除可得， 即， 因此， 故当时，即时，此时取最大值1，故取最小值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$