6.4.3（1）余弦定理-2024-2025学年高一数学同步题型训练人教A版2019必修第二册

2024-2025学年高一数学同步题型训练（人教A版2019必修第二册） 6.4.3（1）余弦定理 题型一：余弦定理及辨析 【例1】设分别为内角的对边，则下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【例2】判断正误，正确的写正确，错误的写错误． （1）勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广.( ) （2）已知三角形的三边求三个内角时，解是唯一的．( ) （3）在△ABC中，若，则△ABC一定为钝角三角形.( ) （4）在△ABC中，若，则△ABC一定为锐角三角形.( ) （5）在三角形中，勾股定理是余弦定理针对直角三角形的一个特例．( ) （6）余弦定理只适用于已知三边和已知两边及夹角的情况．( ) （7）在△ABC中，若，则∠A为锐角．( ) 【变式1-1】若为钝角三角形，请写出三边a，b，c所满足的一个关系式 （答案不唯一）． 【变式1-2】余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，也是在勾股定理的基础上，增加了角度要素而成.而对三角形的边赋予方向，这些边就成了向量，向量与三角形的知识有着高度的结合.已知，，分别为内角，，的对边： (1)请用向量方法证明余弦定理； (2)若，其中为边上的中线，求的长度. 【变式1-3】在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则有 余弦定理 语言叙述 三角形中任何一边的平方，等于 公式表达 推论 ，， [微思考] （1）在中，若，公式会变成什么？ （2）若为钝角三角形，且，则三边a，b，c满足什么关系？ 题型二： 余弦定理解三角形 【例3】在中，，，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【例4】在梯形ABCD中，，则（    ） A． B．3 C． D． 【变式2-1】已知中，内角所对的边分别为，且满足． (1)求角的值； (2)若点为的中点，求的值． 【变式2-2】函数的的部分图象如图，且经过点，.    (1)求函数的解析式； (2)的内角，，所对的边分别为，，，若，，，求的值. 【变式2-3】如图，P为内一点，，则（   ） A． B． C． D． 题型三：余弦定理边角互化 【例5】在中，若，判断的形状． 【例6】中，角，，所对的边分别为，，，且，则的内切圆半径的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】已知内角所对的边长分别为，求. 【变式3-2】在中，若内角的对边分别为，，则的形状为（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 【变式3-3】如图，在中，、分别是、的中点，与的交点为，若，则的最小值为 . 1．在中，内角所对的边分别为，且满足，则（    ） A． B． C． D．2 2．在钝角中，内角的对边分别为，已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．如图，在平面四边形中，，，平分. (1)若，，求； (2)若，求. 4．在中，，，则的一个取值可以为 . 5．在中，角的对边分别为，已知. (1)求； (2)若，证明：是直角三角形. 6．如图，在四边形中，，且． (1)求的长； (2)求的长； (3)求． 7．如图A、B是半径为2，圆心在原点的圆O上的点，且点在第二象限． C是圆O与轴正半轴的交点，为等边三角形，以射线OB为终边的角为． (1)试用表示点B的坐标； (2)若，求及线段的长度 8．在中，角的对边分别为，为边上的中线. (1)证明：； (2)若，，求的最大值. 9．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求B； (2)设，，求的值. 10．如图是隋唐天坛，古叫圜丘，俗称天坛，它位于隋唐长安城明德门外东1千米处（今陕西省西安市雁塔区天坛路与雁展路之间），因古人认为天圆地方，所以天坛建成圆形丘状.天坛初建于隋而废弃于唐末，比北京明清天坛早一千多年，某数学兴趣小组为了测得天坛最底层的周长，在天坛外围测得米，米，米，，，据此可以估计天坛的最下面一层的圆的周长大约为（为最底层圆的直径，结果精确到米）（参考数据：，，，）（    ） A．166米 B．172米 C．178米 D．188米 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高一数学同步题型训练（人教A版2019必修第二册） 6.4.3（1）余弦定理 题型一：余弦定理及辨析 【例1】设分别为内角的对边，则下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据余弦定理可知，. 故选：B 【例2】判断正误，正确的写正确，错误的写错误． （1）勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广.( ) （2）已知三角形的三边求三个内角时，解是唯一的．( ) （3）在△ABC中，若，则△ABC一定为钝角三角形.( ) （4）在△ABC中，若，则△ABC一定为锐角三角形.( ) （5）在三角形中，勾股定理是余弦定理针对直角三角形的一个特例．( ) （6）余弦定理只适用于已知三边和已知两边及夹角的情况．( ) （7）在△ABC中，若，则∠A为锐角．( ) 【答案】 正确 正确 正确 错误 正确 错误 正确 【详解】（1）由余弦定理，当时，则有，可知正确； （2）由余弦定理可知，，又在上单调，故正确； （3）由知，为钝角，故正确； （4）由可知，为锐角，不能说明其他角为锐角，故错误； （5）由（1）知，正确； （6）也可以解决已知两边与其中一边对角的三角形，故错误； （7）由（4）知，正确. 故答案为：正确；正确；正确；错误；正确；错误；正确. 【变式1-1】若为钝角三角形，请写出三边a，b，c所满足的一个关系式 （答案不唯一）． 【答案】（答案不唯一） 【详解】为钝角三角形，如为钝角， 由余弦定理得， 所以. 故答案为：（答案不唯一） 【变式1-2】余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，也是在勾股定理的基础上，增加了角度要素而成.而对三角形的边赋予方向，这些边就成了向量，向量与三角形的知识有着高度的结合.已知，，分别为内角，，的对边： (1)请用向量方法证明余弦定理； (2)若，其中为边上的中线，求的长度. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【详解】（1）如图，设，    则有，可得， ， . （2）由（1）知， ，    如图，则，， ， 在中， ， 解得. 【变式1-3】在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则有 余弦定理 语言叙述 三角形中任何一边的平方，等于 公式表达 推论 ，， [微思考] （1）在中，若，公式会变成什么？ （2）若为钝角三角形，且，则三边a，b，c满足什么关系？ 【答案】 其他两边平方的和减去这两边与它们夹角余弦乘积的两倍 【详解】略 题型二： 余弦定理解三角形 【例3】在中，，，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】解：中，， ， 即，化简得， 解得或（不合题意，舍去）， ， 故选：B． 【例4】在梯形ABCD中，，则（    ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【详解】如图， 在中，由余弦定理可得 ，即， 则， 因为，可得，故 由知，所以. 故选：A. 【变式2-1】已知中，内角所对的边分别为，且满足． (1)求角的值； (2)若点为的中点，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设，则，， 利用余弦定理可得， 又因为，所以． （2）设，则，， 因为点为的中点，所以， 两边平方可得， 即， 所以，可 得，所以． 【变式2-2】函数的的部分图象如图，且经过点，.    (1)求函数的解析式； (2)的内角，，所对的边分别为，，，若，，，求的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为图像经过，， 所以得周期，由得. 又得，，又因为， 所以，所以. （2）因为，又， 结合图像可知：，， 又，，由余弦定理可得. 在中，易求得， 由平方关系可得：. 所以. 【变式2-3】如图，P为内一点，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 如图，作于点，设，因， 可得，因则， 在中，由余弦定理，， 即，解得， 在中，，解得， 故. 故选：A. 题型三：余弦定理边角互化 【例5】在中，若，判断的形状． 【答案】为直角三角形或等腰三角形． 【详解】为直角三角形或等腰三角形．理由如下： ， 由余弦定理可得， 整理得， 即， 或．或． 故为直角三角形或等腰三角形． 【例6】中，角，，所对的边分别为，，，且，则的内切圆半径的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设的内切圆半径为，由题意可得， 由余弦定理可得， 而，故， 由余弦定理可得，则，当且仅当时等号成立， 而，则，其中， 故， 令，故. 故选：B 【变式3-1】已知内角所对的边长分别为，求. 【答案】 【详解】因为， 由余弦定理得，即， 可得， 又因为，则. 【变式3-2】在中，若内角的对边分别为，，则的形状为（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【详解】在中，由已知得，所以， 根据余弦定理，得 所以，即， 因此是直角三角形. 故选：B. 【变式3-3】如图，在中，、分别是、的中点，与的交点为，若，则的最小值为 . 【答案】 【详解】， ， ， ， ， ， 当且仅当时取等号，即时取等号， 故答案为： 1．在中，内角所对的边分别为，且满足，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【详解】因为，所以， 由余弦定理得， ，， ，则. 故选：C. 2．在钝角中，内角的对边分别为，已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当为钝角时，由余弦定理得， 所以，解得， 因为，所以，所以； 当为钝角时，由余弦定理得， 所以，解得， 因为，所以，所以， 故选：D 3．如图，在平面四边形中，，，平分. (1)若，，求； (2)若，求. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）∵平分，∴，故， ∵，， ∴，， 在中，由余弦定理得. （2）设，则. 设，则，， 在中，由余弦定理得， ∵，∴， ∴，， ∴. 4．在中，，，则的一个取值可以为 . 【答案】（答案不唯一） 【详解】因为，， 所以，所以，且， 所以，且， 所以. 故答案为：（答案不唯一）. 5．在中，角的对边分别为，已知. (1)求； (2)若，证明：是直角三角形. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）， 可得， 即， 也即， 解得； （2）由余弦定理可得， 因为，所以， 代入上式可得， 化简得. ， 则， 故是直角三角形. 6．如图，在四边形中，，且． (1)求的长； (2)求的长； (3)求． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为， 所以． （2）因为，所以， 所以． 又，所以． 由余弦定理得， 则． （3）在中，， 所以． 7．如图A、B是半径为2，圆心在原点的圆O上的点，且点在第二象限． C是圆O与轴正半轴的交点，为等边三角形，以射线OB为终边的角为． (1)试用表示点B的坐标； (2)若，求及线段的长度 【答案】(1)； (2)，. 【详解】（1）因为圆的半径为，为等边三角形，所以， 以射线为终边的角，由三角函数的定义可得， ，所以. （2）因为三角形为等边三角形，所以， ，且为第二象限角，所以， 则， 所以 在中，由余弦定理可得， ， . 8．在中，角的对边分别为，为边上的中线. (1)证明：； (2)若，，求的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）方法一：为边上中线，， ， 在中，由余弦定理得：， ， ， . 方法二：为边上中线， 在中，， 在和中，由余弦定理得： ， 即， ， 即； （2），，由余弦定理可得， 故，即， 当且仅当时，即时等号成立， 所以， 所以取得最小值为. 9．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求B； (2)设，，求的值. 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）因为，所以， 所以，所以， 化简得，所以由余弦定理，得， 又，所以. （2）由（1）知，，且，， 则由余弦定理，得，即，解得或. 当时，，则， 又，，所以； 当时，，则， 又，，所以. 综上所述，或. 10．如图是隋唐天坛，古叫圜丘，俗称天坛，它位于隋唐长安城明德门外东1千米处（今陕西省西安市雁塔区天坛路与雁展路之间），因古人认为天圆地方，所以天坛建成圆形丘状.天坛初建于隋而废弃于唐末，比北京明清天坛早一千多年，某数学兴趣小组为了测得天坛最底层的周长，在天坛外围测得米，米，米，，，据此可以估计天坛的最下面一层的圆的周长大约为（为最底层圆的直径，结果精确到米）（参考数据：，，，）（    ） A．166米 B．172米 C．178米 D．188米 【答案】A 【详解】连接， 因为米，米，， 所以为等边三角形，故米，又， 所以，又米， 在中， 由余弦定理可得（米）， 所以天坛最下面一层的圆的周长为（米） 故选：A. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$