6.4.1平面几何中的向量方法-2024-2025学年高一数学同步题型训练人教A版2019必修第二册

2024-2025学年高一数学同步题型训练（人教A版2019必修第二册） 6.4.1平面几何中的向量方法 题型一：用向量解决夹角问题 【例1】如图所示，在中，，，点在线段BC上，且． 求：(1)AD的长； (2)的大小． 【例2】在中，已知.点是边BC上靠近的三等分点.AD的长等于边AB上的高，则（    ） A．3 B． C． D． 【变式1-1】已知圆内接四边形中，是圆的直径，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】已知中，，，则此三角形为（　　） A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 【变式1-3】如图：已知树顶A离地面米，树上另一点离地面米，某人在离地面米的处看此树，则该人离此树（　　）米时，看A、的视角最大. A．4 B．5 C．6 D．7 题型二： 用向量解决线段长度问题 【例3】如图，在中，，，是边的中点，过点作于点，延长交于点，则（    ）    A． B． C． D． 【例4】如图，在中，已知边上的两条中线AM，BN相交于点.    (1)求AM的长度； (2)求∠MPB的正弦值. 【变式2-1】在△ABC中，，，，， . 【变式2-2】如图，在中，已知，，，，分别为，上的两点，，，相交于点．    (1)求的值； (2)求证：． 【变式2-3】在四边形中，，且，则（    ） A． B． C． D． 题型三：向量与几何最值 【例5】已知圆的半径为13，和是圆的两条动弦，若，，则的最大值是（   ） A．17 B．20 C．34 D．48 【例6】已知是单位圆上任意不同三点，则的取值范围是 . 【变式3-1】已知边长为2的菱形中，，点为线段（含端点）上一动点，点满足，则的取值范围为 ． 【变式3-2】A、B、C三点在半径为1的圆O上运动，且，M是圆O外一点，，则的最大值是 . 【变式3-3】如图，已知正方形ABCD的边长为2，若动点P在以AB为直径的半圆E（正方形ABCD内部，含边界），则的取值范围为 . 题型四： 解析法在向量中的应用 【例7】在边长为1的正方形中，点为线段的三等分点，为线段上的动点，为中点，则的最小值为 ． 【例8】在中，，，M是边上靠近A的一个三等分点，问：在线段上是否存在点，使得？ 【变式4-1】（多选）如图，正方形的边长为是中点，如图，点是以为直径的半圆上任意点；，则下列结论正确的有（    ） A．最大值为1 B．最大值为1 C．最大值是2 D．最大值是 【变式4-2】如图在平面四边形中，，点在线段上满足，若，则 ． 【变式4-3】如图，在等腰梯形中，，则（    ） A． B． C． D． 1．已知A，B，C是单位圆上不同的三点，，则的最小值为（   ） A．0 B． C． D． 2．在中，，，，D为AB的中点，P为CD上一点， 且，则（    ） A． B． C． D． 3．（多选）如图，正方形的是边长为2，E，F分别是边，的中点，则（   ） A． B． C． D． 4．在等腰梯形ABCD中，，，，P是腰AD上的动点，则的最小值为 . 5．如图，在正方形中，P是对角线AC上一点，垂直于点E，垂直于点F．求证：．    6．已知在四边形中，，，，则四边形为（    ） A．梯形 B．正方形 C．平行四边形 D．矩形 7．在中，，，点O是的外心，则 ． 8．平面四边形ABCD中，，，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 9．在平行四边形ABCD中，设，，已知，，，求的值． 10．在矩形中，，．边上的动点P（包含点D、C）与延长线上的动点Q（包含点B）满足，求的最小值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高一数学同步题型训练（人教A版2019必修第二册） 6.4.1平面几何中的向量方法 题型一：用向量解决夹角问题 【例1】如图所示，在中，，，点在线段BC上，且．求： (1)AD的长； (2)的大小． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设，， 则. ， ． （2）设，则向量与的夹角为． ， ，即． 【例2】在中，已知.点是边BC上靠近的三等分点.AD的长等于边AB上的高，则（    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，所以， 则，即， 由，所以， 所以，，可得或（舍），故， 所以. 故选：C. 【变式1-1】已知圆内接四边形中，是圆的直径，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 因为，所以，易知， 结合图形，，，则，故. 所以在直角三角形中可得，故. 故选：. 【变式1-2】已知中，，，则此三角形为（　　） A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【详解】如下图所示：    设M为AC中点，则， 所以，即为等腰三角形， 又，所以， 即， 所以，可得， 综上可知三角形为等边三角形. 故选：B. 【变式1-3】如图：已知树顶A离地面米，树上另一点离地面米，某人在离地面米的处看此树，则该人离此树（　　）米时，看A、的视角最大. A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【详解】如图建立平面直角坐标系，则，设， 则， 则 又，且余弦函数在单调递减， 则当，即时最大. 即该人离此树6米时，看A、的视角最大. 故选：C 题型二： 用向量解决线段长度问题 【例3】如图，在中，，，是边的中点，过点作于点，延长交于点，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】方法一：设，∵，∴， 又是边的中点，所以， ∴，∴， ∴， ∵，，所以，且， ∴，，， 代入得，解得， ∴，∴. 方法二：因为，，所以为等腰直角三角形， 又因为，为中线，所以，， 所以. 因为，所以， 所以，即， 所以. 过点作交于点，所以， 因为，设，则， 所以，解得，∴.    故选：C 【例4】如图，在中，已知边上的两条中线AM，BN相交于点.    (1)求AM的长度； (2)求∠MPB的正弦值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：因为AM是中线， 所以， 所以， 则； （2）由图象知：为向量的夹角， 因为， 所以， ，则， 又， ， 所以， 因为， 所以. 【变式2-1】在△ABC中，，，，， . 【答案】/ 【详解】由题意可得：， 故. 故答案为： 【变式2-2】如图，在中，已知，，，，分别为，上的两点，，，相交于点．    (1)求的值； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）因为， 所以， 所以， 所以； （2）因为， 所以， 所以， 所以，即，所以． 【变式2-3】在四边形中，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以且， 故四边形为平行四边形， 设都是单位向量，且， 两边平方得，即， 所以，解得， 故， 又均为单位向量，故， 即，且平分， 故四边形为菱形，且， 故为等边三角形，， ，两边平方得 ， 故. 故选：A 题型三：向量与几何最值 【例5】已知圆的半径为13，和是圆的两条动弦，若，，则的最大值是（   ） A．17 B．20 C．34 D．48 【答案】C 【详解】设是圆的圆心，连接，作，垂足分别为， 则分别是的中点，由勾股定理得， ， ， 故, 当反向时等号成立， 所以的最大值是. 故选：C 【点睛】方法点睛： 解决圆中向量问题，垂径定理是一个重要的工具，通过垂径定理找到弦的中点，将向量与圆心和中点联系起来，便于进行向量的运算和转化. 对于求向量和的模的最值问题，利用向量的线性运算将其转化为已知向量的运算形式，再结合绝对值三角不等式（当且仅当与同向或反向时取等号）来求解，是一种常用的方法. 【例6】已知是单位圆上任意不同三点，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】等价于在上的投影， 如图1，在单位圆圆上任取两点、， 则对任意的，当与反向共线时，在上的投影取最小， 作于点，设，取中点，有， 则，，则， 由，故； 如图2，在单位圆圆上任取两点、， 则对任意的，当与同向共线时，在上的投影取最大， 作于点，设，取中点，有， 则，，则， 由，故； 综上所述，. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于得到表示在上的投影，从而数形结合，借助投影性质解题. 【变式3-1】已知边长为2的菱形中，，点为线段（含端点）上一动点，点满足，则的取值范围为 ． 【答案】 【详解】设，其中， 已知边长为2的菱形中，， 则为等边三角形，又， 则 又，故 故． 故答案为：    【变式3-2】A、B、C三点在半径为1的圆O上运动，且，M是圆O外一点，，则的最大值是 . 【答案】14 【详解】连接，如下图所示： 因为，则为圆的一条直径，故为的中点， 所以，， 所以 ， ， 当且仅当共线且同向时，等号成立． 故答案为： 【变式3-3】如图，已知正方形ABCD的边长为2，若动点P在以AB为直径的半圆E（正方形ABCD内部，含边界），则的取值范围为 . 【答案】 【详解】因为正方形的边长为2，取的中点，连接， 当在点或点时，， 当在弧中点时，， 所以的取值范围为， 因为，， 所以 ， 因为，所以，故， 所以，即的取值范围为. 故答案为：. 题型四： 解析法在向量中的应用 【例7】在边长为1的正方形中，点为线段的三等分点，为线段上的动点，为中点，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解法一：由题意可知：， 因为为线段上的动点，设， 则， 又因为为中点，则， 可得 ， 又因为，可知：当时，取到最小值． 解法二：以为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示， 则， 可得， 因为点在线段上，设， 且为中点，则， 可得 则，且， 所以当时，取到最小值为． 故答案为：． 【例8】在中，，，M是边上靠近A的一个三等分点，问：在线段上是否存在点，使得？ 【答案】不存在，理由见解析 【详解】如图所示，以为原点，建立平面直角坐标系，过点作于点， 由题可知，， 所以，假设在线段上存在点使得，则， 由与共线及得，，解得， 因为，所以线段上不存在点使得． 【变式4-1】（多选）如图，正方形的边长为是中点，如图，点是以为直径的半圆上任意点；，则下列结论正确的有（    ） A．最大值为1 B．最大值为1 C．最大值是2 D．最大值是 【答案】ACD 【详解】以中点为原点，建立平面直角坐标系， 则，，， 设，则，,， 所以，，， 由，得，且，,， 对于A，当时，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确． 故选：ACD． 【变式4-2】如图在平面四边形中，，点在线段上满足，若，则 ． 【答案】/ 【详解】以A为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，不妨设， 则有， ，过D作轴于F，， ，所以， ，，， 因为， 所以， 所以，，解得：， 则的值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：建系用坐标表示是解题的关键. 【变式4-3】如图，在等腰梯形中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】以的中点O为原点，建立平面直角坐标系，如图所示： 依题意可得， 所以， 故. 故选：B 1．已知A，B，C是单位圆上不同的三点，，则的最小值为（   ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【详解】不妨令，，又，则， 所以 ， 当时，的最小值为. 故选：C 2．在中，，，，D为AB的中点，P为CD上一点， 且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为D为AB的中点，所以， 又，所以， 因为三点共线，设， 即， 故，所以， 解得， 两边平方得 ， 故. 故选：A 3．（多选）如图，正方形的是边长为2，E，F分别是边，的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】如图建立直角坐标系， 则, 所以，故A错， ，故B对； ，故C对； ，故D对； 故选：BCD 4．在等腰梯形ABCD中，，，，P是腰AD上的动点，则的最小值为 . 【答案】 【详解】等腰梯形ABCD中，，，， 故梯形的高为， 根据题意，以为坐标原点，射线为轴正半轴建立直角坐标系，如图所示， 则，，设，其中， ， 则， 则， 则当时，取得最小值27， 则的最小值． 故答案为：． 5．如图，在正方形中，P是对角线AC上一点，垂直于点E，垂直于点F．求证：．    【答案】证明见解析 【详解】设，由为正方形，则有，， 则， ， 故 ，故. 6．已知在四边形中，，，，则四边形为（    ） A．梯形 B．正方形 C．平行四边形 D．矩形 【答案】A 【详解】因为，，， 所以. 所以. 所以且， 所以四边形为梯形.. 故选：A. 7．在中，，，点O是的外心，则 ． 【答案】/ 【详解】 如图所示，分别为边中点，则 易知， 由平面向量数量积的几何意义可知， 所以. 故答案为： 8．平面四边形ABCD中，，，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，，， 可得，故， 又，所以， 以为直径作圆，则，，，四点共圆， 如图所示，故点的轨迹是以为弦，圆周角为的劣弧（不含，两点）， 则， 又表示在上的投影， 由图可知，，， 故（此时点在劣弧的中点位置）， 即的最小值为． 故选：D． 【点睛】关键点点睛：①由，得到，，，四点在以为直径的圆上， ②看作是在上的投影,结合图形特征可得投影的取值范围. 9．在平行四边形ABCD中，设，，已知，，，求的值． 【答案】13 【详解】因为在平行四边形ABCD中，，， 所以，，， 因为，，且， 所以，所以， 所以四边形ABCD为矩形，所以， 即． 10．在矩形中，，．边上的动点P（包含点D、C）与延长线上的动点Q（包含点B）满足，求的最小值． 【答案】 【详解】以A为坐标原点，分别以、所在直线为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则， 设，，由题意知，，． 因为，所以，所以． 因为，， 所以 ， 所以当时，取得最小值为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$