第十七章 勾股定理（B卷·培优卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记·巧练（山西专用，人教版）

十七 第17章 勾股定理（B卷·培优卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 一、选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．若直角三角形的三边长为，则的值为（  ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，分情况讨论，避免遗漏． 分长为的边为斜边和直角边两种情况讨论，利用勾股定理分别求解即可． 【详解】解：当长为的边为斜边时，由勾股定理得：m2＝32+42＝25； 当长为的边为直角边时，由勾股定理得：； 综上所述，的值为或， 故选：D． 2．五根小木棒的长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，下列图形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用．欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 【详解】解：A、，，故A不正确； B、，，故B正确； C、，，故C不正确； D、，，故D不正确． 故选：B． 3．有下列条件不能判断是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查直角三角形的判定方法，掌握判定直角三角形的方法是解题的关键，可以利用定义也可以利用勾股定理的逆定理． 利用直角三角形的定义和勾股定理的逆定理逐项判断即可． 【详解】解：A、，且，可求得最大角，故不是直角三角形，符合题意； B、不妨设，，，此时，故是直角三角形，不符合题意； C、，且，可求得，故是直角三角形，不符合题意； D、变形为，满足勾股定理的逆定理，故是直角三角形，不符合题意； 故选：A． 4．如图所示，在的正方形网格图中，小正方形的顶点称为格点，的顶点都在格点上，每个小正方形的边长均为1，则的形状描述最准确的是（  ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理．利用勾股定理分别求出三角形三边的长度，再利用勾股定理的逆定理即可求解． 【详解】解：边长为1的正方形网格中，点A，B，C均在格点上， ， ， 且， 为等腰直角三角形， 故选：C． 5．如图，在离水面点A高度为的岸上点处，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为，此人以的速度收绳，后船移动到点的位置，则船向岸边移动了（   ）（假设绳子是直的） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理的运用，熟练掌握勾股定理，求出和的长是解题的关键．由勾股定理求出，再由勾股定理求出，即可解决问题． 【详解】解：在中，，，， ， 此人以的速度收绳，后船移动到点的位置， ， 在中，由勾股定理得：， ， 即船向岸边移动了， 故选：A． 6．如图，在灯塔O的北偏东方向处有一轮船A，在灯塔O的南偏东方向处有一渔船B，则A，B间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】该题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是读懂题意． 根据题意得出，，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：根据题意可得：，， ∴， 故选：B． 7．如图，在边长为1的小正方形网格中，若和的顶点都在小正方形网格的格点上，则（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理逆定理和网格，解题关键是熟练运用勾股定理和勾股定理逆定理进行推理，证明，得出等腰直角三角形即可． 【详解】解：连接， 由题意得：， ， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 8．如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地，测得，，，，且，则这块菜地的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理的实际应用，连接，利用勾股定理得到，进而利用勾股定理的逆定理证明，最后根据四边形的面积的面积的面积进行求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵，，， ∴． ∵，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴四边形的面积的面积的面积 故选：B． 9．如图，在一个长为，宽为的长方形草地上放着一根长方体木块，已知该木块的较长边和场地宽平行，横截面是边长为的正方形，若点A处有一只蚂蚁，它从点A处爬过木块到达点C处去吃面包碎，则它需要走的最短路程是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平面展开最短路径问题，两点之间线段最短，有一定的难度，要注意培养空间想象能力，将木块展开，然后根据两点之间线段最短解答，解题的关键是能将侧面展开成长方形，从而用勾股定理求解． 【详解】解：由题意可知，将木块展开，相当于是个正方形的边长， ∴长为米；宽为米． 于是最短路径为：米． 故选：B．    10．如图，桌上有一个圆柱形盒子（盒子厚度忽略不计），高为，底面周长为，在盒子外壁离上沿的点处有一只蚂蚁，此时，盒子内壁离底部的点处有一滴蜂蜜，蚂蚁沿盒子表面爬到点处吃蜂蜜，求蚂蚁爬行的最短距离（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平面展开之最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．将容器侧面展开，得到关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图是侧面展开图的一半，作点关于的对称点，连接，作交的延长线于点，由题意可知，为所求 高为，底面周长为，在盒子外壁离上沿的点处有一只蚂蚁，此时，盒子内壁离底部的点处有一滴蜂蜜 ，，， 故选：D． 二、填空题：共5题，每题3分，共15分。 11．如图，数轴上点表示的数是，点表示的数是1，且．以为圆心，长为半径画弧交数轴原点右边于点，则点表示的数是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．先根据勾股定理求出的长，再根据同圆的半径相等即可得出结论． 【详解】解：∵数轴上点所表示的数分别是和， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴点所表示的数是． 故答案为：． 12．如图，某城市接到台风警报，在该市正南方向的B处有一台风中心，沿方向以的速度移动，已知城市A到的距离．已知在距台风中心的圆形区域内都会受到不同程度的影响，若在点D的工作人员早上接到台风警报，台风开始影响到台风结束影响要做预防工作，则他们要在 时间段内做预防工作． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的应用，理解题意是解答的关键．根据勾股定理求得的长，进而分别求得台风开始影响到台风结束影响时的时间，然后可求解． 【详解】解：由题意，，，， ∴， ∵距台风中心的圆形区域内都会受到不同程度的影响，且台风速度为， ∴台风开始影响点D的时刻为（时）， 台风结束影响点D的时间为（时）， 故台风开始影响到台风结束影响，则他们要在时间段内做预防工作， 故答案为：． 13．为了强化实践育人，开展劳动教育和综合实践活动，某中学现有一块四边形的空地，如图，学校决定开发该空地作为学生的综合实践基地．经学校课外实践小组测量得，米，米，米，米，则四边形的面积为 平方米． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理及逆定理是解本题的关键．在中，利用勾股定理求出，再利用勾股定理的逆定理判断得到，最后利用即可解答． 【详解】解：在中， ∵，米，米， ∴（米）， 在中， ∵， ∴ ∴是直角三角形，且 ∴（平方米） 故答案为：． 14．《九章算术》中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高二十五尺，末折抵地，去本五尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高25尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为5尺，问折处高几尺？即：如图，尺，尺，则 尺． 【答案】12 【分析】本题考查勾股定理与实际问题，熟练掌握勾股定理是解此题的关键，利用竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面尺，则斜边为尺，利用勾股定理解题即可． 【详解】解：设竹子折断处离地面尺，则斜边为尺， 根据勾股定理得：， 解得：， 故答案为：12． 15．如图，已知Rt△ABD≌Rt△BAC，AD＝3，AB＝4，∠DAB＝∠CBA＝90°，点P在这两个三角形的边上运动，若，则PA的长为 ． 【答案】1或或． 【分析】根据勾股定理求出AC，再分三种情况：当点P在这AB边上时，当点P在这AD边上时，当点P在这AC边上时，进行讨论即可求解． 【详解】∵Rt△ABD≌Rt△BAC，AD＝3，AB＝4， ∴AC＝BD＝＝5， 当点P在这AB边上时，∵，AB＝4， ∴PA＝1； 当点P在这AD边上时，∵， ∴PA2+42＝PB2，即PA2+42＝（3PA）2， 解得PA＝； 当点P在这AC边上时， PE＝AP，AE＝AP，BE＝4﹣AP， ∵， ∴， ∴5PA2+4PA﹣10＝0， 解得PA＝（舍去），PA＝． 故PA的长为1或或． 故答案为：1或或． 【点睛】此题考查了勾股定理，勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．注意分类思想的应用． 三、解答题：共8题，共75分。 16．（8分）在 中，． (1)若，，求 的长． (2)若，，求 的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理以及含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）利用勾股定理求解即可； （2）根据“直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半”求解即可． 【详解】（1）解：如图， ∵，，， ∴； （2）如图， ∵，，， ∴在中，． 17．（9分）如图①、②、③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1．请仅用无刻度的直尺按要求画出符合的图形．    (1)请在图①中，找一格点C，使是直角三角形，且为斜边，两直角边、长度均为有理数． (2)请在图②中，找一格点C，使是直角三角形，且为直角边． (3)请在图③中，找一格点C，使是直角三角形，且为斜边，两直角边、长度均为无理数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了三角形的分类，勾股定理与网格的计算，掌握三角形的分类，勾股定理的运用是解题的关键． （1）根据三角形的分类进行作图即可； （2）根据等腰三角形的定义，勾股定理逆定理的运用进行作图； （3）根据等腰三角形的定义，钝角三角形的定义作图即可． 【详解】（1）解：如图，点C为所求作的点；    （2）解：如图，点C为所求作的点；    （3）解：如图，点C为所求作的点；    18．（8分）如图，某测量员测量公园内一棵树的高度，他们在这棵树左侧一斜坡上端点A处测得树顶端D的仰角为，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得树顶端D的仰角为．已知A点的高度为3米，台阶的坡度为（即），且B、C、E三点在同一条直线上． （1）求斜坡的长； （2）请根据以上条件求出树的高度．（侧倾器的高度忽略不计） 【答案】（1）米；（2）树高为9米． 【分析】（1）过点A作于F，构造矩形，设，在中，利用正切定义解得，在中，由正切定义解得，利用勾股定理解得； （2）在中，设，，由正切定义解得，结合线段和差解题即可． 【详解】解：（1）如图，过点A作于F， 则四边形为矩形， ∴米， 设， 在中，， 在中，， ∵，， ∴， （米）； （2）在中，， ∴， ∵， ∴， 解得， 答：树高为9米． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，涉及正切、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 19．（8分）菊花作为“花中四君子”之一，象征着高雅和刚正不阿的品质，尤其在秋寒时节盛开，象征着坚韧不拔的精神．第十三届国际菊花展于2024年10月15日在河南开封清明上河园举办．本届菊花展有近800个菊花品种参展．为增进学生对菊花及其文化的了解，学校欲购进一批菊花盆栽放置在如图所示的区域供同学们观赏．已知，，，．求放置菊花盆栽区域的面积． 【答案】 【分析】该题主要考查了勾股定理和勾股定理逆定理，根据题意求出，再根据勾股定理逆定理得出，再求解即可． 【详解】解：如图，连接． ∵，，， ∴． ∵，， ∴， ∴． 则放置菊花盆栽区域的面积为： ． 20．（8分）如图，两条公路、交于点，在公路旁有一学校，与点的距离为，点（学校）到公路的距离为，一大货车从点出发，行驶在公路上，汽车周围范围内有噪音影响． (1)货车开过学校是否受噪音影响？为什么？ (2)若汽车速度为，则学校受噪音影响多少秒钟？ 【答案】(1)受噪音影响，见解析； (2)秒 【分析】本题考查了勾股定理的应用，等腰三角形的性质，熟练掌握勾股定理和等腰三角形的性质是解题的关键 （1）根据点（学校）到公路的距离为，一大货车从点出发，行驶在公路上，汽车周围100m范围内有噪音影响，即可得出结论； （2）设货车开过，在点至点学校受噪音影响，则，由等腰三角形的性质得，再由勾股定理得，则，即可解决问题． 【详解】（1）解：货车开过学校受噪音影响，理由如下： 点（学校）到公路的距离为，一大货车从点出发，行驶在公路上，汽车周围范围内有噪音影响， ， ∴货车开过学校受噪音影响； （2）如图，设货车开过，在点至点学校受噪音影响，则， ， ， 由勾股定理得： ， ∵汽车速度为 ∴影响时间（秒）， 答：学校受噪音影响秒钟． 21．（9分）教材中的探究：如图，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，用所得到的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形．由此，得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法（数轴的单位长度为1）． 阅读理解： （1）图1中大正方形的边长为 ，图2中点A表示的数为 __________； 迁移应用： （2）请你参照上面的方法，把5个小正方形按图3位置摆放，并将其进行裁剪，拼成一个大正方形． ①请在图3中画出裁剪线，并在图3中画出所拼得的大正方形的示意图（画出一种即可）． ②利用①中的成果，在图4的数轴上分别标出表示数与2﹣的点，并比较它们的大小． 【答案】（1），；（2）①见解析；②见解析，． 【分析】（1）根据小正方形的对角线长等于大正方形的边长，即可解决问题； （2）①先根据图3的面积为5，可得所拼得的大正方形边长为，进而在图3中画出裁剪线和所拼得的正方形即可； ②在两条数轴上分别找到表示数与2−的点即可得知它们的大小． 【详解】解：（1）图中大正方形的面积为1+1=2 ∴边长为， 由图可得，点A到原点的距离为：，点A在原点右侧， ∴点A表示的实数为， 故答案为：，； （2）①如图所示： ②表示数与2﹣的点如图所示： ∴＜2﹣． 【点睛】本题主要考查了实数与数轴，任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数． 22．（13分）综合与实践 问题情境：第二十四届国际数学家大会合徽的设计基础是多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图1，在综合实践课上，同学们绘制了“弦图”并进行探究，获得了以下结论：该图是由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形拼成的大正方形，且． 特殊化探究：连接．设，． “运河小组”从线段长度的特殊化提出问题： (1)若，，求的面积． “武林小组”从a与b关系的特殊化提出问题： (2)若，求证：． 深入探究：老师进一步提出问题： (3)如图2，连接，延长到点I，使，作矩形．设矩形BFIJ的面积为，正方形的面积为，若平分，求证：． 请你解答这三个问题． 【答案】(1)6 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据 “弦图”关系，设参数，利用勾股定理建立方程求解即可； （2）由可知E是中点，从而可证，得到，再证即可得证； （3）用代数法思路证：设，正方形的边长为b，，先将表示出来，再证得到的表示，从而达到和的关系． 【详解】（1）解：设，则， ∵， ∴， ∵， ∴在中，， 即， 解得（负值舍去）， ∴，， ∴． （2）证明：∵， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）证明：设，正方形的边长为b，， 如图，过E分别作，的垂线，垂足分别为M、N， ， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴． 23．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，取斜边AB的中点E，易得△BCE是等边三角形，从而得到“直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”利用这个结论解决问题： 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4，若动点P从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动．过点P作PD⊥AC于点D（点P不与点A．B重合），作∠DPQ=60°，边PQ交射线DC于点Q．设点P的运动时间为t秒． （1）用含t的代数式表示线段DC的长； （2）当线段PQ的垂直平分线经过△ABC一边中点时，直接写出t的值． 【答案】（1）；（2）t的值为或或 【分析】（1）在Rt△ABC中，利用结论可得，可由勾股定理求出AC，在Rt△ADP中，由题意AP=2t，PD=t，用勾股定理可表示出AD，再用DC=AC-AD即可; （2）分三种情况讨论，①当PQ的垂直平分线与PQ交于点G，且经过AB的中点F时，易证△PAD≌QPD，△PFG≌PAD，可得PF=AP=2t，而F为AB的中点，利用AP+PF=AB可求t； ②当PQ的垂直平分线经过AC的中点M时，可在Rt△MGQ中，求出MQ，然后利用AM+MQ=2AD可求出t； ③当PQ的垂直平分线经过BC的中点N，与AB的延长线交于H点时， 易证△PHG≌△PAD，则PH=AP=2t，然后利用等角对等边得到BH=BN=1，再由AH=AB+BN可求出t. 【详解】（1）在Rt△ABC中，利用结论可得, ∴ 在Rt△ADP中，由题意AP=2t，PD=t， ∴， ∴ ∵点P不与点A.B重合，∴ 故. （2）①当PQ的垂直平分线与PQ交于点G，且经过AB的中点F时，如图1， 在△APD和△QPD中， ∴ ∴PA=PQ，∠PQD=∠A=30°，AD=QD= ∵GF是PQ的中垂线，∴， 在△APD和△FPG中， ∴ ∴PA=PF=2t ∵F为AB中点，∴AF=PA+PF=AB， 即2t+2t=2，解得t= ②当PQ的垂直平分线经过AC的中点M时，如图2， 由①可知PG=QG=PQ=t， 在Rt△MGQ中，设MG=x，∵∠MQG=30°，∴MQ=2x 由勾股定理得 即，解得或（舍去） ∴， ∵M为AC的中点，∴AM=AC=， AM+MQ=2AD，即+=，解得t= ③当PQ的垂直平分线经过BC的中点N，与AB的延长线交于H点时，如图3， 在Rt△PFG中，， ∵∠ABC=∠H+∠BNH=60°，∴∠BNH=∠H=30°，∴BH=BN==1 同①可证△PHG≌△PAD，∴PH=PA=2t， 由AB+BH=PA+PH=2PA得4+1=4t，解得t= 综上，当线段PQ的垂直平分线经过△ABC一边中点时，t的值为或或. 【点睛】本题考查了勾股定理、中垂线以及全等三角形的判定和性质，关键是根据不同情况作出相应的图形，然后运用勾股定理计算出相关线段长度，最后根据线段关系建立方程求解. 2 / 23 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第17章 勾股定理（B卷·培优卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 一、选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．若直角三角形的三边长为，则的值为（  ） A． B． C． D．或 2．五根小木棒的长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，下列图形正确的是（   ） A． B． C． D． 3．有下列条件不能判断是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 4．如图所示，在的正方形网格图中，小正方形的顶点称为格点，的顶点都在格点上，每个小正方形的边长均为1，则的形状描述最准确的是（  ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 5．如图，在离水面点A高度为的岸上点处，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为，此人以的速度收绳，后船移动到点的位置，则船向岸边移动了（   ）（假设绳子是直的） A． B． C． D． 6．如图，在灯塔O的北偏东方向处有一轮船A，在灯塔O的南偏东方向处有一渔船B，则A，B间的距离为（   ） A． B． C． D． 7．如图，在边长为1的小正方形网格中，若和的顶点都在小正方形网格的格点上，则（  ） A． B． C． D． 8．如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地，测得，，，，且，则这块菜地的面积是（   ） A． B． C． D． 9．如图，在一个长为，宽为的长方形草地上放着一根长方体木块，已知该木块的较长边和场地宽平行，横截面是边长为的正方形，若点A处有一只蚂蚁，它从点A处爬过木块到达点C处去吃面包碎，则它需要走的最短路程是（   ）    A． B． C． D． 10．如图，桌上有一个圆柱形盒子（盒子厚度忽略不计），高为，底面周长为，在盒子外壁离上沿的点处有一只蚂蚁，此时，盒子内壁离底部的点处有一滴蜂蜜，蚂蚁沿盒子表面爬到点处吃蜂蜜，求蚂蚁爬行的最短距离（   ） A． B． C． D． 二、填空题：共5题，每题3分，共15分。 11．如图，数轴上点表示的数是，点表示的数是1，且．以为圆心，长为半径画弧交数轴原点右边于点，则点表示的数是 ． 12．如图，某城市接到台风警报，在该市正南方向的B处有一台风中心，沿方向以的速度移动，已知城市A到的距离．已知在距台风中心的圆形区域内都会受到不同程度的影响，若在点D的工作人员早上接到台风警报，台风开始影响到台风结束影响要做预防工作，则他们要在 时间段内做预防工作． 13．为了强化实践育人，开展劳动教育和综合实践活动，某中学现有一块四边形的空地，如图，学校决定开发该空地作为学生的综合实践基地．经学校课外实践小组测量得，米，米，米，米，则四边形的面积为 平方米． 14．《九章算术》中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高二十五尺，末折抵地，去本五尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高25尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为5尺，问折处高几尺？即：如图，尺，尺，则 尺． 15．如图，已知Rt△ABD≌Rt△BAC，AD＝3，AB＝4，∠DAB＝∠CBA＝90°，点P在这两个三角形的边上运动，若，则PA的长为 ． 三、解答题：共8题，共75分。 16．（8分）在 中，． (1)若，，求 的长． (2)若，，求 的长． 17．（9分）如图①、②、③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1．请仅用无刻度的直尺按要求画出符合的图形．    (1)请在图①中，找一格点C，使是直角三角形，且为斜边，两直角边、长度均为有理数． (2)请在图②中，找一格点C，使是直角三角形，且为直角边． (3)请在图③中，找一格点C，使是直角三角形，且为斜边，两直角边、长度均为无理数．    18．（8分）如图，某测量员测量公园内一棵树的高度，他们在这棵树左侧一斜坡上端点A处测得树顶端D的仰角为，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得树顶端D的仰角为．已知A点的高度为3米，台阶的坡度为（即），且B、C、E三点在同一条直线上． （1）求斜坡的长； （2）请根据以上条件求出树的高度．（侧倾器的高度忽略不计） 19．（8分）菊花作为“花中四君子”之一，象征着高雅和刚正不阿的品质，尤其在秋寒时节盛开，象征着坚韧不拔的精神．第十三届国际菊花展于2024年10月15日在河南开封清明上河园举办．本届菊花展有近800个菊花品种参展．为增进学生对菊花及其文化的了解，学校欲购进一批菊花盆栽放置在如图所示的区域供同学们观赏．已知，，，．求放置菊花盆栽区域的面积． 20．（8分）如图，两条公路、交于点，在公路旁有一学校，与点的距离为，点（学校）到公路的距离为，一大货车从点出发，行驶在公路上，汽车周围范围内有噪音影响． (1)货车开过学校是否受噪音影响？为什么？ (2)若汽车速度为，则学校受噪音影响多少秒钟？ 21．（9分）教材中的探究：如图，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，用所得到的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形．由此，得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法（数轴的单位长度为1）． 阅读理解： （1）图1中大正方形的边长为 ，图2中点A表示的数为 __________； 迁移应用： （2）请你参照上面的方法，把5个小正方形按图3位置摆放，并将其进行裁剪，拼成一个大正方形． ①请在图3中画出裁剪线，并在图3中画出所拼得的大正方形的示意图（画出一种即可）． ②利用①中的成果，在图4的数轴上分别标出表示数与2﹣的点，并比较它们的大小． 22．（13分）综合与实践 问题情境：第二十四届国际数学家大会合徽的设计基础是多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图1，在综合实践课上，同学们绘制了“弦图”并进行探究，获得了以下结论：该图是由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形拼成的大正方形，且． 特殊化探究：连接．设，． “运河小组”从线段长度的特殊化提出问题： (1)若，，求的面积． “武林小组”从a与b关系的特殊化提出问题： (2)若，求证：． 深入探究：老师进一步提出问题： (3)如图2，连接，延长到点I，使，作矩形．设矩形BFIJ的面积为，正方形的面积为，若平分，求证：． 请你解答这三个问题． 23．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，取斜边AB的中点E，易得△BCE是等边三角形，从而得到“直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”利用这个结论解决问题： 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4，若动点P从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动．过点P作PD⊥AC于点D（点P不与点A．B重合），作∠DPQ=60°，边PQ交射线DC于点Q．设点P的运动时间为t秒． （1）用含t的代数式表示线段DC的长； （2）当线段PQ的垂直平分线经过△ABC一边中点时，直接写出t的值． 2 / 7 科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$