6.2.2 排列数（同步教学课件）-【大单元教学】高二数学同步备课系列（人教A版2019选择性必修第三册）

人教A版（2019）选择性必修第三册 第六章计数原理 6.2.2 排列数 目录 学习目标 01 情景导入 02 新知探究 03 课本例题 04 05 课本练习 06 题型探究 方法归纳 08 07 课本习题 课堂小结 1.能利用计数原理推导排列数公式，并掌握排列数公式及其变形，能运用排列数公式熟练地进行相关计算. 2.掌握几种有限制条件的排列，能应用排列数公式解决简单的实际问题. 学习目标 前面给出了排列的定义，下面探究计算排列个数的公式. 排列数： 我们把从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 表示. 排列的第一个字母 元素总数 取出元素数 m，n所满足的条件是： (1) m∈N*，n∈N* ； (2) m≤n . 例如，从3个不同元素中任取2个元素的排列为3×2＝6 ，可记作： 从4个不同元素中任取3个元素的排列数为4×3×2＝24 ，可记作： 符号 中的A是英文arrangement(排列)的第一个字母 情景导入 探究 从n个不同元素中取出m个元素的排列数 (m≤n)是多少? 我们先从特殊情况开始探究，思考从n个不同元素中任取2个元素的排列数 是多少？ 排列数 可以按依次填2个空位得到： 同理，排列数 可以按依次填3个空位得到： 那么排列数 就可以按依次填m个空位得到： ··· ? 例如： 新知探究 排列数公式的特点： 1. 公式中是m个连续正整数的连乘积； 2. 连乘积中最大因数为n，后面依次减1，最小因数是(n－m＋1). 全排列数： 1. 全排列：从n个不同素中取出n个元素的一个排列称为n个不同 元素的一个全排列 . 全排列数为: 排列数公式： 2.阶乘：正整数1到n的连乘积 1×2×···×n称为n的阶乘，用 表示, 即 概念归纳 例3 计算：（1） （2） （3） （4） 解：根据排列数公式可得 （1） =7 x 6 x 5 = 210 （2） =7 x 6 x 5 x 4 = 840 （3） ==7 x 6 x 5 = 210 （4） =6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 6! = 720 例题讲解 思考 由例3可以看到， 观察这两个结果，从中你发现它们的共性了吗？ 证明： 排列数公式的阶乘形式： 排列数公式的应用： 连乘形式一般用于的计算， 阶乘形式用于化简或证明. 例4 用0～9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数? 百位 十位 个位 图6.2-5 解法1：如图6.2-5所示，由于三位数的百位上的数字不能是0，所以可以分两步完成： 分析：在0~9这10个数字中，因为0不能在百位上，其他9个数字可以在任意数位上，因此0是一个特殊元素. 例题讲解 百位 十位 个位 百位 十位 个位 百位 十位 个位 0 0 对于例4这类计数问题，从不同的角度就有不同的解题方法．解法1根据百位数字不能是0的要求，按分步乘法计数原理完成从10个数中取出3个数组成没有重复数字的三位数这件事；解法2是以0是否出现以及出现的位置为标准，按分类加法计数原理完成这件事；解法3是一种间接法，先求出从10个数中取出3个数的排列数，然后减去其中百位是0的排列数(不是三位数的个数)，就得到没有重复数字的三位数的个数． 排队问题的解题策略（相邻、不相邻、定序等问题）： (1)对于相邻问题，可采用“捆绑法”解决.即将相邻的元素视为一个整体进行排列. (2)对于不相邻问题，可采用“插空法”解决.即先排其余的元素，再将不相邻的元素插入空中. (3)对于定序问题，可采用“除阶乘法”解决.即用不限制的排列数除以顺序一定元素的全排列数. (4)对于“在”与“不在”问题，可采用“特殊元素优先考虑，特殊位置优先安排”的原则解决. 概念归纳 解： 1. 计算： 课堂练习 2. 求证： 证明： 3. 一个火车站有8股岔道，如果每股道只能停放1列火车，现要停放4列不同的火车，共有多少种不同的停放方法? 解：不同的停放方法有 【答案】(1)D　(2)2 730　(3)(n＋1)！－1 题型1　排列数的计算 题型探究方法归纳 【例2】用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复数字的数？ (1)六位数且是奇数； (2)个位上的数字不是5的六位数； (3)不大于4 310的四位数且是偶数． 题型2　数字排列问题 数字排列问题需要注意的点 (1)首位数字不为0. (2)若所选数字中含有0，则可先排0，即“元素分析法”． (3)若排列的是特殊数字，如偶数，则先排个位数字，即“位置分析法”． (4)此类问题往往需要分类，可依据特殊元素、特殊位置分类． 【例3】 三个女生和五个男生排在一排． (1)如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？ (2)如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？ (3)如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？ 题型3　排队问题 【例题迁移】　(改变问法)例3的条件不变，将问题改为“如果两端不能都排女 生，可有多少种不同的排法？” 排队问题的相邻、不相邻、定序等问题 (1)对于相邻问题，可采用“捆绑法”解决．即将相邻的元素视为一个整体进行排列． (2)对于不相邻问题，可采用“插空法”解决．即先排其余的元素，再将不相邻的元素插入空中． 易错警示　考虑不周出现重复计算的情况 【例4】星期一排六节不同的课，若第一节排数学或第六节排体育，则有多少种 不同的课程排法？ 2. 全排列数: 1. 排列数公式： 3.阶乘：正整数1到n的连乘积 1×2×···×n称为n的阶乘，用 表示, 即 排列数公式的阶乘形式： 课堂小结 4.求解排列问题的主要方法： 直接法 把符合条件的排列数直接列式计算 优先法 优先安排特殊元素或特殊位置 捆绑法 把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列 课堂小结 插空法 对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空档中 定序问题 除法处理 对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列 间接法 正难则反，等价转化的方法 【例1】(1)不等式A＜6A的解集为 (　　) A．[2,8] B．[2,6] C．(7,12) D．{8} (2)计算：A＝________. (3)化简：1！＋2×2！＋3×3！＋…＋n×n！＝________. 【解析】(1)由A＜6A，得＜6×， ∴x2－19x＋84＜0，解得7＜x＜12.又x≤8，x－2≥0，∴7<x≤8. ∵x∈N*，∴x＝8. (2)A＝15×14×13＝2 730. (3)∵n×n！＝[(n＋1)－1]×n！＝(n＋1)！－n！， ∴原式＝(2！－1！)＋(3！－2！)＋(4！－3！)＋…＋[(n＋1)！－n！]＝(n＋1)！－1. 排列数公式的选择 (1)排列数的第一个公式A＝n(n－1)·…·(n－m＋1)适用于具体计算以及解当m较小时的含有排列数的方程和不等式，在运用该公式时要注意它的特点． (2)排列数的第二个公式A＝适用于与排列数有关的证明、解方程、解不等式等，在具体运用时，应注意先提取公因式，再计算，同时还要注意隐含条件“m≤n且n∈N*，m∈N*”的运用． 解：(1)方法一(位置分析法)　第一步，排个位，从1,3,5三个数字中选1个，有A种排法； 第二步，排十万位，有A种排法；第三步，排其他位，有A种排法． 故可以组成无重复数字的六位数且是奇数的共有AAA＝288(个)． 方法二(元素分析法)　0不在两端有A种排法； 从1,3,5中任选一个排在个位上，有A种排法；其他数字全排列有A种排法． 故可以组成无重复数字的六位数且是奇数的共有AAA＝288(个)． 方法三(排除法)　①从整体上排除：6个数字的全排列数为A，0,2,4在个位上的排列数为3A，而1,3,5在个位上，0在十万位上的排列数为3A，故符合题意的六位奇数共有A－3A－3A＝288(个)．②从局部上排除：1在个位上的排列有A个，其中0在十万位上的排列有A个，故1在个位上的六位奇数有(A－A)个，同理，3,5在个位上的六位奇数也各有(A－A)个，因此符合题意的六位奇数共有3(A－A)＝288(个)． (2)方法一(排除法)　6个数字的全排列有A个，0在十万位上的排列有A个，5在个位上的排列有A个，0在十万位上且5在个位上的排列有A个，故符合题意的六位数共有A－2A＋A＝504(个)． 方法二(直接法)　十万位上数字的排法因个位上排0与不排0而有所不同，因此需分两类：第一类，当个位上排0时，有A种排法；第二类，当个位上不排0时，有A·A·A种排法．故符合题意的六位数共有A＋A·A·A＝504(个)． (3)方法一(直接法)　①当千位上排1,3时，有A·A·A种排法．②当千位上排2时，有A·A种排法．③当千位上排4时，形如40□□，42□□的偶数各有A种排法，形如41□□的偶数有A·A种排法，形如43□□的偶数只有4 310和4 302这2个数．故符合条件的四位偶数共有A·A·A＋A·A＋2A＋A·A＋2＝110(个)． 方法二(排除法)　四位偶数中：①0在个位的有A个．②0在十位和百位的有A·A·A个．③不含0的有A·A个．故四位偶数有A＋A·A·A＋A·A＝156(个)．其中形如5□□□的偶数有A·A个，形如45□□的偶数有A·A个，形如435□的偶数有A个，形如432□的偶数有1个，形如431□而大于4 310的偶数只有4 312这1个数，故大于4 310的四位偶数共有A·A＋A·A＋A＋1＋1＝46(个)，因此符合题意的四位偶数共有156－46＝110(个)． 解：(1)(捆绑法)因为三个女生必须排在一起，所以可以先把她们看成一个整体，这样同五个男生合在一起共有六个元素，排成一排有A种不同的排法．对于其中的每一种排法，三个女生之间又有A种不同的排法．因此不同的排法共有A·A＝4 320(种)． (2)(插空法)要保证女生全分开，可先把五个男生排好，每两个相邻的男生之间留出一个空位，这样共有四个空位，加上两边男生外侧的两个位置，共有六个位置，再把三个女生插入这六个位置中，只要保证每个位置至多插入一个女生，就能保证任意两个女生都不相邻．由于五个男生排成一排有A种不同的排法，对于其中任意一种排法，从上述六个位置中选出三个让三个女生插入都有A种排法，因此不同的排法共有A·A＝14 400(种)． (3)方法一(位置分析法)　因为两端都不能排女生，所以两端只能挑选五个男生中的两个，有A种不同的排法，对于其中任意一种排法，其余六个位置都有A种不同的排法，所以不同的排法共有A·A＝14 400(种)． 方法二(间接法)　三个女生和五个男生排成一排共有A种不同的排法，从中扣除女生排在首位的A·A种排法和女生排在末位的A·A种排法，但两端都是女生的排法在扣除女生排在首位的情况时被扣去一次，在扣除女生排在末位的情况时又被扣去一次，所以还需加回来一次，由于两端都是女生有A·A种不同的排法．所以不同的排法共有A－2A·A＋A·A＝14 400(种)． 解：方法一(位置分析法)　因为只要求两端不都排女生，所以如果首位排了男生，那么末位就不再受条件限制了，这样可有A·A种不同的排法；如果首位排女生，有A种排法，那么末位就只能排男生，这样可有A·A·A种不同的排法，因此不同的排法共有A·A＋A·A·A＝36 000(种)． 方法二(间接法)　三个女生和五个男生排成一排共有A种不同的排法，从中扣除两端都是女生的排法A·A种，就得到两端不都是女生的排法种数．因此不同的排法共有A－A·A＝36 000(种)． (3)对于定序问题，可采用“除阶乘法”解决．即用不限制的排列数除以顺序一定元素的全排列数．例如，有2名男生，3名女生，其中3名女生高矮各不相同，将5名学生排成一行，要求从左到右，女生从矮到高排列，有＝20种排法． 错解：数学排在第一节的课程排法有A种，体育排在第六节的课程排法也有A种，由分类加法计数原理，得共有A＋A＝240种不同的课程排法． 易错防范：在数学排在第一节的A种排法中，有体育排在第六节的排法，而在体育排在第六节的排法中，也存在数学排在第一节的情形，因此A＋A中将数学排在第一节同时体育排在第六节的排法计算了两次，有重复． 正解：第一节排数学或第六节排体育的课程排法有A＋A－A＝2A－A＝216(种)． 易错辨析　忽略排列的有序性致错 【例5】8人站成前后两排，每排4人，其中甲、乙两人必须在前排，丙在后排，则共有________种排法． 解析：先排甲、乙，有A种排法，再排丙，有A种排法，其余5人有A种排法，故不同排法共有A·A·A＝5 760(种). 答案：5 760 【易错警示】求解本题时容易出现下列两种错解． 错解一　甲、乙两人在前排，前排还少2人，从余下5人(不含丙)中选2人排在前排，有A eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(5)) 种排法；丙在后排，余下的3人有A eq \o\al(\s\up1(3),\s\do1(3)) 种排法，故不同排法共有A eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(5)) ·A eq \o\al(\s\up1(3),\s\do1(3)) ＝120(种). 错解二　甲、乙两人在前排，有A eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)) 种排法，再从余下5人(不含丙)中选2人排在前排，有A eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(5)) 种排法；其余4人(含丙)在后排，有A eq \o\al(\s\up1(4),\s\do1(4)) 种排法，故不同排法共有A eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)) ·A eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(5)) ·A eq \o\al(\s\up1(4),\s\do1(4)) ＝960(种).导致错解的原因是甲、乙两人在前排，但甲、乙两人的位置不能确定，需对甲、乙两人的位置进行排列，同样，丙在后排，丙的位置也不能确定，丙的位置也需排列． 纠错心得 排列问题中，若对元素的位置没有要求，则各元素间是有顺序之分的，解题时要时刻把握这一“原则”． $$