第7章 专题3 相交线与平行线中的思想方法-【绿卡初中创新题】2024-2025学年新教材七年级下册数学习题课件(人教版2024)河北专版

专题3　相交线与平行线中的思想方法 1 思想1　方程思想 典例1　如图，BE平分∠DBC，A是BD上一点，过点A作AE⫽BC交BE于点E，∠ABC∶∠BAE=4∶5，求∠E的度数. 学霸说 在求角度时，可以把问题中的某一个量用未知数表示或直接看成未知数，找出等量关系，建立方程求解 . 本题可设∠ABC=4x，则∠BAE=________，利用平行线的性质建立方程求出x的值，再结合角的平分线的定义即可求得∠E的度数. 5x 典例1 典例2 典例3 典例4 变式1 变式2 变式3 变式4 变式5 2 【规范解答】 ∵∠ABC∶∠BAE=4∶5，∴设∠ABC=4x，则∠BAE=5x. ∵AE∥BC，∴∠ABC+∠BAE=180°，即4x+5x=180°， 解得 x=20°. ∴∠ABC=4x=80°. ∵BE平分∠DBC，∴∠CBE= ∠ABC=40°. 又AE∥BC，∴∠E=∠CBE=40°. 典例1 典例2 典例3 典例4 变式1 变式2 变式3 变式4 变式5 3 【变式训练】 1. 如图，已知∠1+∠2=160°，3∠1-2∠2=80°，∠BCF=60°，∠ACD=40°. （1）求∠1，∠2的度数. （2）CF与AD平行吗？为什么？ 解：（1）设∠1=x，则∠2=160°-x， ∵3∠1-2∠2=80°，∴3x-2（160°-x）=80°，解得x=80°. ∴∠2=160°-x=80°. ∴∠1=∠2=80°. （2）CF∥AD. 理由如下： ∵∠ACF=180°-∠BCF-∠ACD=180°-60°-40°=80°，∴∠2=∠ACF. ∴CF∥AD. 典例1 典例2 典例3 典例4 变式1 变式2 变式3 变式4 变式5 4 典例2　（新趋势 探究性问题） 如图，E是AB上一点，F是CD上一点，DE，BF分别交AC于点M，N，∠B=∠D，∠A=∠C，探究∠1与∠2之间的数量关系，并说明理由. 学霸说 涉及角的计算或证明时，常利用图形的性质将相关角 转化到已知角或题目中隐含的角的数量关系中去.本题中∠1与 ∠DMN是对顶角，∠DMN与∠2是________，所以∠1与∠2 之间的数量关系可转化为∠DMN与∠2之间的数量关系. 思想2　转化思想 同旁内角 典例1 典例2 典例3 典例4 变式1 变式2 变式3 变式4 变式5 5 【规范解答】 ∠1+∠2=180°.理由如下： ∵∠A=∠C，∴AB⫽CD. ∴∠AED=∠D. ∵∠B=∠D，∴∠AED=∠B， ∴ED⫽BF，∴∠DMN+∠2=180°. ∵∠DMN=∠1，∴∠1+∠2=180°. 典例1 典例2 典例3 典例4 变式1 变式2 变式3 变式4 变式5 6 【变式训练】 2.如图，多边形的相邻两边互相垂直，根据图中标注的数据，得这个多边形的周长为 （　　） A. 11 B. 21 C. 37 D. 42 D 典例1 典例2 典例3 典例4 变式1 变式2 变式3 变式4 变式5 7 3. 如图，已知∠1=80°，∠2=120°，将直线m平移到直线n的位置，则∠3的度数为________. 20° 典例1 典例2 典例3 典例4 变式1 变式2 变式3 变式4 变式5 8 典例3 （新趋势 跨学科融合）如图，汽车灯泡在点O处发出的光线经灯的反光罩反射后平行射出，如入射光线OA的反射光线为AB，∠OAB=75°. 在如图所示的截面内，若入射光线OD经反光罩反射后沿DE射出，且∠ODE=22°，则∠AOD=_________°. 学霸说 解决实际问题时，可以用数学语言进行抽象概括，建立数学模型，进而用数学知识进行解答. 本题由光线经灯的反光罩反射后平行射出可知________⫽________⫽________，再结合平行线的性质解答即可. 97 思想3　建模思想 DE CF AB DE CF AB 典例1 典例2 典例3 典例4 变式1 变式2 变式3 变式4 变式5 9 【变式训练】 4.（廊坊期中）滑雪运动深受年轻人的喜欢，滑雪时正确的滑雪姿势尤为重要. 如图1，正确的滑雪姿势是上身挺直略前倾，与小腿平行，使脚的根部处于微微受力的状态. 图2是其示意图，已知FG⫽AC，BD⫽EF，则当∠CBD=120°时，上身与水平线夹角∠EFG的度数为 （　　） A. 50° B. 60° C. 70° D. 80° B 典例1 典例2 典例3 典例4 变式1 变式2 变式3 变式4 变式5 10 典例4　已知∠A的两边与∠B的两边分别垂直，且∠A比∠B的倍少40°，则∠A的度数为__________. 学霸说 当题目给出的数量关系或者图形中的位置关系等不明确时，记得要分类讨论，综合考虑各种情况，以防漏解 . 本题由题意可得∠A 与∠B可能_________，也可能_________. 思想4　分类讨论思想 80°或92° 相等 互补 典例1 典例2 典例3 典例4 变式1 变式2 变式3 变式4 变式5 11 【变式训练】 5. 如图1，AD⫽BC，∠BAD的平分线交BC于点G，∠BCD=90°. （1）求证∠BAG=∠BGA. （2）如图2，线段AG上有一点P，满足∠ABP=2∠PBG，过点C作CH⫽AG. 若在直线AG上取一点M，使∠PBM=∠DCH，请直接写出的值. 典例1 典例2 典例3 典例4 变式1 变式2 变式3 变式4 变式5 12 解：（1）证明：∵AD∥BC， ∴∠GAD=∠BGA. ∵AG平分∠BAD， ∴∠BAG=∠GAD. ∴∠BAG=∠BGA. 典例1 典例2 典例3 典例4 变式1 变式2 变式3 变式4 变式5 （2）设∠PBG=x，∵∠ABP=2∠PBG，∴∠ABP=2x，∠ABC=3x. ∵AG∥CH，∴∠BCH=∠AGB==90°−x. ∵∠BCD=90°，∴∠PBM=∠DCH=90°- = x. 有两种情况： ①当M在BP的下方时，如图a. ∠ABM=∠ABP+∠PBM=2x+x=x， ∠GBM=∠PBM-∠PBG= x-x=x， ∴∠ABM∶∠GBM=x∶x=7； 典例1 典例2 典例3 典例4 变式1 变式2 变式3 变式4 变式5 ②当M在BP的上方时，如图b. ∠ABM=∠ABP-∠PBM=2x−x=x， ∠GBM=∠PBM+∠PBG= x+x=x， ∴∠ABM∶∠GBM= x∶x= . 综上所述，的值是7或. 典例1 典例2 典例3 典例4 变式1 变式2 变式3 变式4 变式5 16 $$