6.2.1 排列（同步教学课件）-【大单元教学】高二数学同步备课系列（人教A版2019选择性必修第三册）

人教A版（2019）选择性必修第三册 第六章计数原理 6.2.1 排 列 目录 学习目标 01 情景导入 02 新知探究 03 课本例题 04 05 课本练习 06 题型探究 方法归纳 08 07 课本习题 课堂小结 学习目标 1.通过实例理解排列的概念. 2.能应用排列知识解决简单的实际问题. 3.通过学习排列的概念，进一步提升数学抽象及逻辑推理素养 1. 分类加法计数原理：一般地，如果完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有m＋n种不同的方法. 2. 分步乘法计数原理：一般地，完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有m×n种不同的方法. 特别地，如果完成一件事有n类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法， ‧‧‧‧‧‧在第n类方案中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有m1+m2+ ‧‧‧ +mn种不同的方法. 特别地，如果完成一件事需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，‧‧‧‧‧，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有m1×m2×‧‧‧×mn种不同的方法. 复习导入 “排列三”是中国福利彩票的一种，它是使用摇奖机、摇奖球进行摇奖的，“排列三”，“排列五”共同摇奖，一次摇出5个号码，“排列三”的中奖号码为当期摇出的全部中奖号码的前3位，“排列五”的中奖号码为当期摇出的全部中奖号码，每日进行开奖． 情景导入 福彩3D即“排列三”摇出的号码的总的结果数是多少？ 提示　以第1位数为例，第1位的奖号是从0到9这10个数字中摇出一个，每个数字都有相同概率摇出，所以第1位上就有10种可能，同理第2位、第3位都各有10种可能，前3位总共就有1 000种组合方法． 问题1 从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动,其中1名同学参加上午的活动,另1名同学参加下午的活动,有几种不同的选法? 上午 下午 相应的选法 乙 丙 甲 乙 甲 丙 丙 甲 乙 甲乙 甲丙 乙甲 乙丙 丙甲 丙乙 我们把上面问题中被取出的对象叫做元素. 上述问题就是从3个不同的元素中任取2个，按照一定的顺序排成一列，求一共有多少种不同的排法． 共有6种选法. 新知探究 课堂练习 问题2. 从1，2，3，4这4个数中，每次取出3个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？ 因此可写出所有的三位数： 123，124，132，134，142，143; 213，214，231，234，241，243； 312，314，321，324，341，342; 412，413，421，423，431，432. 解析： 所以共可得到24个不同的三位数. 问题1和问题2都是研究从一些不同元素中取出部分元素，并按照一定的顺序排成一列的方法数． 思考：上述问题1，2的共同特点是什么?你能将它们推广到一般情形吗? 排列 一般地，从n个不同元素中取出m (m≤n)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. 判断一个问题是否是排列的标志 根据排列的定义，两个排列相同的充要条件是：两个排列的元素完全相同，且元素的排列顺序也相同． 例如，在问题1中，“甲乙”与“甲丙”的元素不完全相同，它们是不同的排列；“甲乙”与“乙甲”虽然元素完全相同，但元素的排列顺序不同，它们也是不同的排列．又如，在问题2中，123与134的元素不完全相同，它们是不同的排列；123与132虽然元素完全相同，但元素的排列顺序不同，它们也是不同的排列． 概念归纳 1.元素不能重复，n个元素中不能重复，m个元素中也不能重复. 2.“按一定顺序”，就是与位置有关，这是判断一个问题是否是排列问题的关键. 3.两个排列相同，当且仅当这两个排列中的元素完全相同，而且元素的排列顺序也完全相同. 概念剖析 例1 某省中学生足球预选赛每组有6支队，每支队都要与同组的其他各队在主、客场分别比赛1场，那么每组共进行多少场比赛？ 分析：每组任意2支队之间进行的1场比赛，可以看作是从该组6支队中选取2支，按“主队、客队”的顺序排成的一个排列. 解：先从这6支队中选1支为主队，然后从剩下的5支队中选1支为客队，按照分步乘法计数原理，每组进行的比赛场数为：6x5=30 例题讲解 例2 （1）一张餐桌上有5盘不同的菜，甲、乙、丙3名同学每人从中各取 1盘菜，共有多少种不同的取法？ 解： 可以先从这5盘菜中取1盘给同学甲，然后从剩下的4盘菜中取1盘给同学乙，最后从剩下的3盘菜中取1盘给同学丙.按分步乘法计数原理，共有 5 x 4 x 3 = 60 种不同的取法. （2）学校食堂的一个窗口共卖5种菜，甲、乙、丙3名同学每人从中选一种，共有多少种不同的选法？ 解： 可以先让同学甲从5种菜中选1种，有5种选法；再让同学乙从5种菜中选1种，也有5种选法；最后让同学丙从5种菜中选1种，同样有5种选法.根据分步乘法计数原理，不同的选法种数为 5 x 5 x 5 = 125 例题讲解 课堂练习 1．写出： （1）用0～4这5个自然数组成的没有重复数字的全部两位数； （2）从a，b，c，d中取出2个字母的所有排列． 解：（1）10，12，13，14，20，21，23，24，30，31，32，34，40，41，42，43． （2）ab，ba，ac，ca，ad，da，bc，cb，bd，db，cd，dc． 2．一位老师要给4个班轮流做讲座，每个班讲1场，有多少种轮流次序? 解:4×3×2×1=24 3.学校乒乓团体比赛采用5场3胜制（5场单打），每支球队派3名运动员参赛，前3场比赛每名运动员各出场1次，其中第1,2位出场的运动员在后2场比赛中还将各出场1次。 （1）从5名运动员中选3名参加比赛，前3场比赛有几种出场情况？ 解：5×4×3=60 （2）甲、乙、丙3名运动员参加比赛，写出所有可能的出场情况。 解：①比3场结束，有甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲6种情况； ②比4场结束，有甲乙丙甲，甲乙丙乙，甲丙乙甲，甲丙乙丙，乙丙甲乙，乙丙甲丙，乙甲丙甲，乙甲丙乙，丙甲乙丙，丙甲乙甲，丙乙甲丙，丙乙甲乙12种情况； ③比5场结束，有甲乙丙甲乙，甲乙丙乙甲，甲丙乙甲丙，甲丙乙丙甲，乙甲丙乙甲，乙甲丙甲乙，乙丙甲乙丙，乙丙甲丙乙，丙甲乙丙甲，丙甲乙甲丙，丙乙甲丙乙，丙乙甲乙丙共12种。 【例1】(1)在各国举行的足球联赛中，一般采取“主客场制”(即每两个球队之间分为主队和客队各赛一场)．若共有12支球队参赛，则需进行多少场比赛？ (2)在“世界杯”足球赛中，由于有东道主国家承办，故无法实行“主客场制”，而采用“分组循环淘汰制”．若共有32支球队参加，分为八组，每组4支球队进行小组循环赛，则在小组循环赛中需进行多少场比赛？ 题型1　排列的概念 题型探究方法归纳 (3)在乒乓球单打比赛中，由于参赛选手较多，故常采取“抽签组对淘汰制”决出冠军，若共有100名选手参赛，待冠军产生时，共需举行多少场比赛？ 在上述三个问题中，是排列问题的是________(填序号)． 【解析】对于(1)，同样是甲、乙两队比赛，甲作为主队和乙作为主队是两场不同的比赛，故与顺序有关，是排列问题；对于(2)，由于是组内循环，故甲、乙两队之间只需要进行一场比赛，与顺序无关，不是排列问题；对于(3)，由于两名选手一旦比赛后就淘汰其中一位，故也与顺序无关，不是排列问题．故填(1). (1) 确认一个具体问题是否为排列问题，一般从两个方面确认 (1)要保证元素的无重复性，否则不是排列问题． (2)要保证选出的元素被安排的有序性，否则不是排列问题．而检验它是否有顺序的标准是变换某一结果中两元素的位置，看结果是否变化，有变化就是有顺序，无变化就是无顺序． 【例2】(1)从1,2,3,4四个数字中任取两个数字组成两位不同的数，一共可以组成 多少个？ (2)写出从4个元素a，b，c，d中任取3个元素的所有排列． 解：(1)由题意作“树状图”，如下． 故组成的所有两位数为12,13,14,21,23,24,31,32,34,41,42,43，共有12个． 题型2　排列中的树状图法 (2)由题意作“树状图”，如下． 故所有的排列为abc，abd，acb，acd，adb，adc，bac，bad，bca，bcd，bda，bdc，cab，cad，cba，cbd，cda，cdb，dab，dac，dba，dbc，dca，dcb. 【例2】(1)从1,2,3,4四个数字中任取两个数字组成两位不同的数，一共可以组成多少个？ (2)写出从4个元素a，b，c，d中任取3个元素的所有排列． 利用“树状图”法解决简单排列问题的适用范围及策略 (1)适用范围：“树状图”在解决排列元素个数不多的问题时，是一种比较有效的表示方式． (2)策略：在操作中先将元素按一定顺序排出，然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类，再安排第二个元素，并按此元素分类，依次进行，直到完成一个排列，这样能做到不重不漏，然后再按树状图写出排列． 【例3】(1)从100个两两互质的数中取出2个数，求其商的个数； (2)求由0,1,2,3组成的能被5整除且没有重复数字的四位数的个数； (3)有4名大学生可以到5家单位实习，若每家单位至多招1名新员工，每名大学生至多到1家单位实习，且这4名大学生全部被分配完毕，求分配方案的个数． 题型3　排列的简单应用 解：(1)从100个两两互质的数中取出2个数，分别作为商的分子和分母，其排列有100×99＝9 900. (2)因为组成的没有重复数字的四位数能被5整除，所以这个四位数的个位数字一定是“0”，故确定此四位数，只需确定千位数字、百位数字、十位数字即可，共有3×2×1＝6(个)． (3)可以理解为从5家单位中选出4家单位，分别把4名大学生安排到4家单位，有5×4×3×2＝120(个)． 【例题迁移1】　(变换条件)将例3(3)中的条件变为“有7本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本”，共有多少种不同的送法？ 解：从7本不同的书中选3本送给3名同学，相当于从7个元素中任取3个元素的一个排列，所以共有7×6×5＝210种不同的送法． 【例题迁移2】　(变换条件)将例题迁移1中的条件变为“有7种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各1本”，共有多少种不同的送法？ 解：从7种不同的书中买3本书，这3本书并不要求都不相同，根据分步乘法计数原理知，共有7×7×7＝343种不同的送法． 要想正确地表示排列问题的排列数，应弄清这件事中谁是分步的主体，分清m个元素和n(m≤n)个不同的位置各是什么． 【例4】有6个人站成前后两排照相，要求前排2人，后排4人，问有多少种不同的排法？ 错解：前排共两人有6×5＝30(种)排法，后排有4×3×2×1＝24(种)排法，故共有30＋24＝54(种)排法． 易错防范：只有当元素完全相同，并且排列顺序也完全相同时，才是同一排列．元素完全不同，或元素部分相同，或元素完全相同而顺序不同的排列都不是同一排列． 正解：本题实际上和6个人站成一排照相共有多少种不同排法的问题完全相同，所以不同的排法总数为6×5×4×3×2×1＝720(种)． 易错警示　分不清分类还是分步计数致误 1.排列的基本概念:一般地，从n个不同的元素中取出m（m≤n）个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同的元素中取出m个元素的一个排列 2.排列问题种要完成“一件事情”包含两个基本步骤：一是取出元素；二是按一定顺序排列 课堂小结 易错辨析　混淆排列问题和分步问题 【例5】】6个人走进只有3把不同椅子的屋子，若每把椅子必须且只能坐一人，共有________种不同的坐法． 解析：坐在椅子上的3个人是走进屋子的6个人中的任意3个人，若把人看成元素，将3把不同的椅子当成不同的位置，则原问题抽象为从6个元素中取3个元素占据3个不同的位置，显然是从6个元素中任取3个元素的排列问题，从而，不同的坐法共有：6×5×4＝120(种). 答案：120 【易错警示】 易错原因 纠错心得 本题容易错认为不是排列问题，得到错解：6个人坐3把不同的椅子，相当于从含6个元素的集合到含3个元素的集合的映射，故有36种不同的坐法． 排列问题中元素不能重复选取，而在用分步乘法计数原理解决的问题中，元素是可以重复选取的． $$