专题12 解三角形10大压轴考法-【常考压轴题】2024-2025学年高一数学压轴题攻略（人教A版2019必修第二册）

专题12 解三角形10大压轴考法 题型1 正、余弦定理解三角形 一、单选题 1．（24-25高一下·全国·课后作业）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，则（   ） A．120° B．45° C．60° D．30° 2．（23-24高一下·江苏无锡·期中）在中，角的对边分别为a，b，c．已知，，则角A的大小为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·浙江湖州·阶段练习）已知边长为3等边三角形中，点为边上一点，，，则下列结论一定正确的为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（23-24高一下·青海·期中）在中，，，，若满足条件的三角形有两个，则的取值可能为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 三、填空题 5．（23-24高一下·云南昭通·阶段练习）在中，内角所对的边分别为，若，则 . 四、解答题 6．（24-25高一上·甘肃白银·期中）在中，内角，，所对的边分别为，，，且. (1)求角的大小； (2)若，求. 7．（23-24高一·上海·课堂例题）在中，求证： (1)； (2)． 8．（24-25高一上·天津·期中）在中，角，，所对的边分别是，，，已知. (1)求角的大小； (2)设， （i）求的值； （ii）求的值. 题型2 三角形的面积问题 一、单选题 1．（23-24高一下·辽宁抚顺·期末）在中，已知，，，则的面积是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·吉林白城·期末）在中，角，，的对边分别为，，，，角的平分线交对边于点，且将的面积分成的两部分，则等于（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·云南楚雄·期末）如图，为正三角形，与是三个全等的三角形，若，则的面积为（    ） A．2 B．4 C． D． 4．（23-24高一下·辽宁锦州·期末）已知为的外心，，，，则的面积为（    ） A．5 B． C．6 D． 二、填空题 5．（23-24高一下·天津南开·阶段练习）在中，角的对边分别为，且的面积为，，则 ． 6．（23-24高一下·四川遂宁·阶段练习）在中，角对应的边分别为，已知，且，则的面积为 ． 三、解答题 7．（24-25高一上·云南昆明·期中）在中，角所对的边分别为是的面积，且满足. (1)证明：； (2)若，求角. 8．（24-25高一上·浙江杭州·阶段练习）记的内角的对边分别为，已知. (1)求的值； (2)若的面积为，求； (3)若，当角最大时，求的面积 题型3 判断三角形的形状 一、单选题 1．（23-24高一下·天津·阶段练习）在中，已知，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰或直角三角形 D．等边三角形 2．（23-24高一下·云南昆明·阶段练习）在中，角所对的边分别为，且，则的形状为（    ） A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 3．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在中，已知，且满足，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 4．（23-24高一下·北京海淀·期末）在中，已知．则下列说法正确的是（    ） A．当时，是锐角三角形 B．当时，是直角三角形 C．当时，是钝角三角形 D．当时，是等腰三角形 5．（23-24高一下·上海·期中）在△ABC中，三个角A、B、C所对的边分别为a、b、c，下列四个条件中有几个是△ABC为直角三角形的充分条件（    ） ①； ②； ③； ④. A．1 B．2 C．3 D．4 题型4 在实际生活的应用（高度、距离、角度测量问题） 一、单选题 1．（23-24高一下·浙江杭州·期末）如图，计划在两个山顶间架设一条索道.为测量间的距离，施工单位测得以下数据：两个山顶的海拔高，在同一水平面上选一点，在处测得山顶的仰角分别为和，且测得，则间的距离为（    ）    A． B． C． D． 2．（24-25高一下·全国·随堂练习）如图所示，在坡度一定的山坡处测得山顶上一建筑物的顶端对于山坡的斜度为，向山顶前进100m到达处，又测得对于山坡的斜度为，若，，且山坡对于地平面的坡度为，则等于（    ）    A． B． C． D． 3．（23-24高一上·山东泰安·阶段练习）公路北侧有一幢楼，高为60米，公路与楼脚底面在同一水平面上.某人在点处测得楼顶的仰角为，他在公路上自西向东行走，行走60米到点处，测得仰角为，沿该方向再行走60米到点处，测得仰角为.则（    ） A． B．3 C． D． 4．（23-24高一下·黑龙江大庆·期中）如图，无人机在离地面高的处，观测到山顶处的仰角为，山脚处的俯角为，已知，则山的高度为（    ）    A． B． C． D． 5．（23-24高一下·天津南开·期末）月明天是我校一位登山爱好者，某天傍晚，她登上一座山尖（图中点A处），刚好望到另一座远山，瞬间想起《送别》中“夕阳山外山”的歌词，在这诗意的时刻，她正眺望到远山上一座凉亭（位于点B处），于是她想测算出凉亭到那座山顶（点C处）的距离，她在点A处利用测角仪器测得点B的俯角为5°，点C的仰角为40°，此后，她沿山坡下行100米至点D处，测得点A，B，C的仰角分别为80°，25°，55°，根据这些数据，明天同学计算得到了凉亭到山顶的距离（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 题型5 面积、周长、边长的最值与范围问题 一、解答题 1．（24-25高一下·全国·课后作业）在中，角，，的对边分别为，，，且满足，． (1)求周长的取值范围； (2)求面积的最大值． 2．（23-24高一下·陕西铜川·期末）在中，角的对边分别为，且． (1)求； (2)若为锐角三角形，且，求的取值范围． 3．（2025·湖南永州·模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，. (1)求的外接圆半径； (2)若为锐角三角形，求周长的取值范围. 4．（24-25高一上·江西景德镇·期末）锐角面积为，角的对边分别为，且. (1)求证：； (2)求的取值范围． 5．（23-24高一下·浙江台州·期末）在中，角所对的边分别为，满足. (1)求的值； (2)当与边上的中线长均为2时，求的周长； (3)当内切圆半径为1时，求面积的最小值. 6．（2024高一·全国·专题练习）在中，角所对的边分别为，已知． (1)求； (2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围． 7．（23-24高一下·山东青岛·期中）已知的内角所对的边分别为，． (1)求角的大小； (2)若，外接圆的半径为，内切圆半径为，求的最小值． 8．（24-25高一上·河北保定·期末）在中，角，，的对边分别为，，，. (1)求角； (2)若，为边上一点（不同于，两点），，求的面积的取值范围. 题型6 结合中线、垂线、角平分线考查 一、解答题 1．（24-25高一上·广东深圳·期末）记的内角A，B，C的对边分别为. (1)求； (2)设AC边上的高为，若，且，求周长的取值范围. 2．（23-24高一下·云南曲靖·期末）在中，角所对的边分别是，的面积为，若. (1)求角； (2)若，点是边的中点，求的最大值. 3．（23-24高一下·江苏无锡·阶段练习）在中，角，，的对边分别为，，，且. (1)求角的大小； (2)若，为边上的一点，且. ①若是的平分线，求的面积； ②若为线段的中点，求的面积. 4．（23-24高一上·湖北·阶段练习）已知的内角满足. (1)求角； (2)若，设是中边上的高，求的最大值. 5．（23-24高一下·广东广州·期中）在中，内角的对边分别是，，． (1)求角； (2)若，求边上的角平分线长； (3)若为锐角三角形，求边上的中线的取值范围． 6．（23-24高一下·江苏无锡·期末）三角形中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知 ，点D 是的中点，点E 在线段上，且，线段与线段交于点M. (1)求角B的大小; (2)若，求的值； (3)若点G是三角形的重心，求 的最小值. 7．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在锐角中，内角，，所对的边分别为，，，满足. (1)求证：； (2)若，求边的取值范围； (3)若角的平分线交边于，且，求边的取值范围. 题型7 解三角形结合三角函数考查 一、解答题 1．（2024·河南·模拟预测）已知函数，在中，角所对的边分别为，且. (1)求； (2)若，求的值. 2．（24-25高一上·海南·阶段练习）已知向量，，函数，将函数的图象向右平移个单位长度可得到的图象. (1)求函数的解析式； (2)设锐角的内角，，所对的边分别为，，，若，且，求周长的最大值. 3．（24-25高一上·湖南常德·期末）在中，内角，，对应的边分别为，，，. (1)求角的大小； (2)若，求面积的最大值. 4．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，. (1)求角A； (2)若，求的值； (3)若，求的取值范围. 5．（23-24高一下·黑龙江大庆·期末）代数式化简中常用到“配、凑、拆”等技巧，例如可以通过拆角转化为，这种技巧在一些三角函数化简问题中常被使用．已知在，角的对边分别为． (1)证明：； (2)求角的大小； (3)若点是边（不包含端点）上的一动点，过点向直线作垂线，垂足为，已知，求证：． 题型8 几何图形中解三角形 一、解答题 1．（23-24高一下·重庆·阶段练习）如图，已知在平面四边形中，，，． (1)若该四边形存在外接圆，且，求； (2)若，求． 2．（23-24高一下·吉林·期中）在中，与的角平分线交于点D，已知． (1)求角B的大小； (2)若，求面积的最大值． 3．（24-25高一上·安徽·期中）如图，在平面四边形中，与的交点为E，平分，，． (1)证明：； (2)若，求． 4．（2024·广东梅州·二模）在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，，， (1)求A的大小： (2)点D在BC上， （Ⅰ）当，且时，求AC的长； （Ⅱ）当，且时，求的面积． 5．（23-24高一下·上海·期末）某新能源汽车公司计划建设一个锂电池工厂，工厂必须建在河边，锂电池需要锂和钴两种矿产资源.如图，是锂矿，是钴矿，直线是一条河流.两点在直线上的投影分别为两点.已知，.假设工厂建在线段上（包含端点）的点处，设. (1)求的长. (2)若沿线段与建两条公路用于矿产运输，且要求是钝角，求的取值范围. (3)若要建设公路连接三点，假设公路建设成本和公路长度成正比，请你运用数学建模的思想设计一个最佳的工厂选址和公路建设方案.（已知的最大值约为.） 题型9 解三角形中的结构不良问题 一、解答题 1．（23-24高一下·湖南湘潭·期末）某城市计划新修一座城市运动主题公园，该主题公园为平面五边形（如图所示），其中三角形区域为儿童活动场所，三角形区域为文艺活动场所，三角形区域为球类活动场所，，，，，为运动小道（不考虑宽度），，，． 条件①：； 条件②：． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． (1)求的长度； (2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求的长度； (3)在（2）的条件下，应该如何设计，才能使儿童活动场所（即三角形）的面积最大？ 2．（23-24高一下·河北张家口·期末）请在①向量，，且；②这两个条件中任选一个，填入横线上并解答． 在中，内角，，的对边分别为，，，且满足_________． (1)求角的大小； (2)若为锐角三角形，，求面积的取值范围． （注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分） 3．（23-24高一下·四川攀枝花·期末）在①，②，③这三个条件中任选一个作为已知条件，补充在下面的问题中，然后解答补充完整的题. 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知___________（只需填序号）. (1)求角； (2)设是BC上一点，且，，求面积的最大值. 注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 4．（23-24高一下·河南郑州·期中）在钝角中，，． (1)求的大小； (2)在下列三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并求出边上的中线的长度． 条件①：； 条件②：的周长为； 条件③：的面积为． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 5．（23-24高一下·四川雅安·期末）从①；②；③．这三个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答该题． 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知________． (1)求角C的大小； (2)若点D在AB上，CD平分，，，求CD的长； (3)若该三角形为锐角三角形，且面积为，求a的取值范围． 注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分． 题型10 解三角形中的新定义问题 一、解答题 1．（23-24高一下·江苏苏州·期末）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得创作的一部传世巨著，该书以基本定义、公设和公理作为推理的出发点，第一次实现了几何学的系绕化、条理化，成为用公理化方法建立数学演绎体系的最早典范．书中第Ⅰ卷第47号命题是著名的毕达哥拉斯（勾股定理），证明过程中以直角三角形中的各边为边分别向外作了正方形（如图1）．某校数学兴趣小组对上述图形结构作拓广探究，提出了如下问题，请帮忙解答． 问题：如图2，已知满足，，设（），四边形、四边形、四边形都是正方形．    (1)当时，求的长度； (2)求长度的最大值． 2．（23-24高一下·福建龙岩·阶段练习）给出定义：对于函数，则称向量为函数的特征向量，同时称函数为向量的特征函数． (1)设向量分别为函数与函数的特征向量，求； (2)设向量的特征函数为，且，求的值； (3)已知分别为三个内角的对边，，设函数的特征向量为，且分别是边的中点，求的取值范围． 3．（23-24高一下·湖南怀化·期末）射影几何学中，中心投影是指光从一点向四周散射而形成的投影，如图，为透视中心，平面内四个点经过中心投影之后的投影点分别为.对于四个有序点，定义比值叫做这四个有序点的交比，记作.    (1)若点分别是线段的中点，求； (2)证明：； (3)已知，点为线段的中点，，，求. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12 解三角形10大压轴考法 题型1 正、余弦定理解三角形 一、单选题 1．（24-25高一下·全国·课后作业）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，则（   ） A．120° B．45° C．60° D．30° 【答案】A 【分析】应用余弦定理结合角的范围计算求解. 【详解】因为，所以， 即，所以， 由余弦定理得． 因为，所以， 故选：A． 2．（23-24高一下·江苏无锡·期中）在中，角的对边分别为a，b，c．已知，，则角A的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用余弦定理化简已知条件可得，再利用正弦定理化边为角，可得，进而化简，得，由三角形内角和可解角. 【详解】由余弦定理得，即， ∵，∴，∴， 由正弦定理得， ∴， 即， ∴， ∵，∴，∴，∴， 又， 即，由得， ∵，，所以，即， 由，即， 所以. 故选：B 【点睛】关键点点睛：分别化简两个条件得和，由三角形内角和可解角. 3．（24-25高一上·浙江湖州·阶段练习）已知边长为3等边三角形中，点为边上一点，，，则下列结论一定正确的为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用余弦定理求出，从而求出，即可判断A、B，再由正弦定理判断C，利用余弦定理求出，，即可判断D. 【详解】依题意，，，且， 由余弦定理， 即，解得或， 当时，符合题意， 当时，不符合题意， 因此，，，，A错误，B正确； 又，， 因此，即，C错误； 又，， 所以，D错误. 故选：B 二、多选题 4．（23-24高一下·青海·期中）在中，，，，若满足条件的三角形有两个，则的取值可能为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】BC 【分析】利用正弦定理求得，再根据三角形有两解的条件可得，且，由此求出的范围即可得解. 【详解】在中，由正弦定理得， ， 因满足条件的三角形有两个，则必有，且， 即， 于是得，解得， 因为，所以的取值可能为8，9. 故选：BC. 三、填空题 5．（23-24高一下·云南昭通·阶段练习）在中，内角所对的边分别为，若，则 . 【答案】4 【分析】利用正弦定理，边角互化即可求解. 【详解】由正弦定理得， 则， 故答案为：4 四、解答题 6．（24-25高一上·甘肃白银·期中）在中，内角，，所对的边分别为，，，且. (1)求角的大小； (2)若，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理化边为角，再结合二倍角的正弦公式即可得解； （2）根据余弦定理结合已知求出之间的关系，再利用余弦定理即可得解. 【详解】（1）因为，所以由正弦定理得， 因为，所以， 所以，则， 因为，所以， 又因为，所以； （2），由余弦定理可得，， 又，，， ，即， . 7．（23-24高一·上海·课堂例题）在中，求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）根据给定条件的，利用正弦定理，二倍角的余弦公式化简计算即得. （2）利用余弦定理、正弦定理化简计算即得. 【详解】（1）在中，由正弦定理得，即， 所以. （2）在中，由余弦定理得，， 则 ， 由由正弦定理得，即， 所以. 8．（24-25高一上·天津·期中）在中，角，，所对的边分别是，，，已知. (1)求角的大小； (2)设， （i）求的值； （ii）求的值. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）由正弦定理进行边角互化，再运用正弦的和角公式求得，根据角的范围可求得答案； （2）（i）运用余弦定理求得；（ii）再运用正弦理求得，利用同角三角函数间的关系，正弦的二倍角公式，以及两角差的正弦公式可求得答案. 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得：， 则， 因为在中，， 所以， 则有， 因为，所以，， 故； （2）（i）由（1）知：，在中，因为，， 由余弦定理可得：， 则. （ii）在中，由正弦定理可得：， 即，所以， 因为，所以，则为锐角，所以， 则， ， 所以 题型2 三角形的面积问题 一、单选题 1．（23-24高一下·辽宁抚顺·期末）在中，已知，，，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意利用三角恒等变换以及正弦定理可得，，进而求，利用正弦定理可得，即可得面积. 【详解】因为，则， 且，则，可得，解得， 又因为，由正弦定理可得， 则， 且，则， 可得，即，可得， 则， 由正弦定理可得， 所以的面积是. 故选：A. 2．（23-24高一下·吉林白城·期末）在中，角，，的对边分别为，，，，角的平分线交对边于点，且将的面积分成的两部分，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，由三角形的面积公式可得，再由正弦定理代入计算，结合正弦函数的二倍角公式，即可得到结果. 【详解】因为，所以，结合题意得． 因为是角的平分线，所以，所以， 由正弦定理，得，即， 所以. 故选：C． 3．（23-24高一下·云南楚雄·期末）如图，为正三角形，与是三个全等的三角形，若，则的面积为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】由条件推理得到正三角形，根据线段比例关系，设出，求得,利用余弦定理求得的值，即可计算得到. 【详解】因与是三个全等的三角形，则得, 即得,故． 又设，则. 由余弦定理得，解得1，则， 所以的面积为． 故选：D. 4．（23-24高一下·辽宁锦州·期末）已知为的外心，，，，则的面积为（    ） A．5 B． C．6 D． 【答案】D 【分析】根据外心求出，利用条件得出，结合面积公式可得答案. 【详解】设的中点为，由为的外心可得，， ， 又， 所以， 又，可得， 故， 则的面积为. 故选：D. 二、填空题 5．（23-24高一下·天津南开·阶段练习）在中，角的对边分别为，且的面积为，，则 ． 【答案】 【分析】利用三角形的面积公式求出的值，再利用余弦定理可求得的值. 【详解】因为，且的面积为， 则，可得， 由余弦定理可得 ， 因此，. 故答案为: . 6．（23-24高一下·四川遂宁·阶段练习）在中，角对应的边分别为，已知，且，则的面积为 ． 【答案】/0.5 【分析】由正弦定理得，再结合余弦定理，得，利用正弦定理将转化为边，得到，又由余弦定理，结合解出，最后由三角形面积公式，代入数值得到答案. 【详解】因为， 在中，由正弦定理得，即， 由余弦定理得，因为，所以； 因为在中，由正弦定理，即， 所以，所以， 所以，所以， 所以或（舍）所以的面积为． 故答案为：. 三、解答题 7．（24-25高一上·云南昆明·期中）在中，角所对的边分别为是的面积，且满足. (1)证明：； (2)若，求角. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由三角形的面积公式和两角和的正弦公式化简已知式可得，再代入余弦定理可得，最后由正弦定理和两角和与差的正弦公式化简即可得出答案. （2）由得，代入，结合二倍角的正弦公式和余弦公式化简即可得出答案. 【详解】（1）因为，所以， ，，可得. 由余弦定理可得， 即.由正弦定理得， 即 所以， 因为，所以. （2）由得. 因为， 所以， 所以， 展开得， ，，， ， ， 可得. 8．（24-25高一上·浙江杭州·阶段练习）记的内角的对边分别为，已知. (1)求的值； (2)若的面积为，求； (3)若，当角最大时，求的面积 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由正弦定理结合得到，推导出； （2）方法：由三角形的面积可得，结合正弦定理和三角恒等变换可得，结合（1）可求； 方法：同方法1可得，结合（1），可得，进而可得，结合（1）可得，可求； （3）方法一：由余弦定理可得，可得，利用基本不等式可求的最大值，进而可求； 方法二：结合（1）可得，结合基本不等式求出的最大值，进而可求. 【详解】（1），由正弦定理可得：， ，， 两边同时除以，可得：. （2）方法1：，则， 结合正弦定理得，， 即， 则， 所以，即， 解得，又， 所以. 方法2：同方法可得， 由（1）可得，所以， 即，又， 所以，解得，， 所以. （3）方法1：，， ，， ， 当且仅当时等号成立，此时取到最大值， ，当最大时，. 方法2：由（1）知，则， 所以 ，当且仅当，即时，取“=”， 此时，则，. 题型3 判断三角形的形状 一、单选题 1．（23-24高一下·天津·阶段练习）在中，已知，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰或直角三角形 D．等边三角形 【答案】C 【分析】利用余弦定理边化角化简等式，再利用二倍角的正弦及正弦函数性质推理判断即可. 【详解】在中，由及余弦定理，得， 整理得，即， 而，因此或， 所以或，即为等腰三角形或直角三角. 故选：C 2．（23-24高一下·云南昆明·阶段练习）在中，角所对的边分别为，且，则的形状为（    ） A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【分析】利用正弦定理及三角恒等变换化简求出角即可得解. 【详解】因为， 所以，即，即， 所以， 在中，， 所以，所以， 所以， 因为，所以，则， 所以，所以为直角三角形， 故选：B． 3．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在中，已知，且满足，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】根据正弦定理和余弦定理得，再根据向量数量积得，则得到，即可判断三角形形状. 【详解】由题意得， 即，由正弦定理得， 即，则，因为，所以， 又， 所以, 故，因为，所以． 综上可知三角形为等边三角形． 故选：C. 4．（23-24高一下·北京海淀·期末）在中，已知．则下列说法正确的是（    ） A．当时，是锐角三角形 B．当时，是直角三角形 C．当时，是钝角三角形 D．当时，是等腰三角形 【答案】B 【分析】根据边长应用正弦定理计算分别判断各个选项. 【详解】对于A:因为由正弦定理, 当时，是钝角三角形, 当时，是钝角三角形,A选项错误； 对于B:因为,由, 所以是直角三角形,B选项正确； 对于C:因为,由 当时，,是锐角三角形,C选项错误； 对于D:因为,由,,, 因为，所以不是等腰三角形,D选项错误； 故选：B. 5．（23-24高一下·上海·期中）在△ABC中，三个角A、B、C所对的边分别为a、b、c，下列四个条件中有几个是△ABC为直角三角形的充分条件（    ） ①； ②； ③； ④. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】分别对各选项化简，分析是否能得出△ABC为直角三角形即可. 【详解】①由正弦定理，，则，即， 故或，即或， 故不能推出△ABC为直角三角形，故①错误； ②，则， 即，故. 因为，故或， 即（舍）或，则不能推出△ABC为直角三角形，故②错误； ③，则， 即， 故， 即， 即，故. 因为，故，即，则△ABC为直角三角形，故③正确； ④，则， 即， 故， 故， 即，故. 因为，故，即，则△ABC为直角三角形，故④正确. 综上有③④是△ABC为直角三角形的充分条件. 故选：B 题型4 在实际生活的应用（高度、距离、角度测量问题） 一、单选题 1．（23-24高一下·浙江杭州·期末）如图，计划在两个山顶间架设一条索道.为测量间的距离，施工单位测得以下数据：两个山顶的海拔高，在同一水平面上选一点，在处测得山顶的仰角分别为和，且测得，则间的距离为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，在直角和直角中，分别求得和，再在中，利用余弦定理，即可求解. 【详解】由题意，可得， 且， 在中，可得， 在中，可得， 在中，由余弦定理得 ， 所以. 故选：C. 2．（24-25高一下·全国·随堂练习）如图所示，在坡度一定的山坡处测得山顶上一建筑物的顶端对于山坡的斜度为，向山顶前进100m到达处，又测得对于山坡的斜度为，若，，且山坡对于地平面的坡度为，则等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出，在中由正弦定理求出，在中由正弦定理求出，再由求得的值. 【详解】因为，所以， 在中，由正弦定理可得：，解得：， 在中，由正弦定理可得，解得：， 即，所以； 故选：C 3．（23-24高一上·山东泰安·阶段练习）公路北侧有一幢楼，高为60米，公路与楼脚底面在同一水平面上.某人在点处测得楼顶的仰角为，他在公路上自西向东行走，行走60米到点处，测得仰角为，沿该方向再行走60米到点处，测得仰角为.则（    ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【分析】画出相应图形后计算出点到该楼的距离，结合勾股定理与正弦定义计算即可得. 【详解】如图所示，由题意有，， 则有，故， 则， 故， 则. 故选：A. 4．（23-24高一下·黑龙江大庆·期中）如图，无人机在离地面高的处，观测到山顶处的仰角为，山脚处的俯角为，已知，则山的高度为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题中条件，先得到，，在中，根据正弦定理可求得，进而在中，可求得. 【详解】因为，所以，又， 所以，所以，所以， 又，， 所以， 在中，由正弦定理可得， 所以， 在中，因为， 所以. 故选：B. 5．（23-24高一下·天津南开·期末）月明天是我校一位登山爱好者，某天傍晚，她登上一座山尖（图中点A处），刚好望到另一座远山，瞬间想起《送别》中“夕阳山外山”的歌词，在这诗意的时刻，她正眺望到远山上一座凉亭（位于点B处），于是她想测算出凉亭到那座山顶（点C处）的距离，她在点A处利用测角仪器测得点B的俯角为5°，点C的仰角为40°，此后，她沿山坡下行100米至点D处，测得点A，B，C的仰角分别为80°，25°，55°，根据这些数据，明天同学计算得到了凉亭到山顶的距离（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】先由正弦定理、三角恒等变换求出，，再由以及余弦定理即可求解. 【详解】由题意在三角形中，， ， 所以由正弦定理有，即， 解得， 在三角形中，， 所以由正弦定理有，即， 解得， 设， ，在三角形中，由余弦定理有 . 故选：C. 题型5 面积、周长、边长的最值与范围问题 一、解答题 1．（24-25高一下·全国·课后作业）在中，角，，的对边分别为，，，且满足，． (1)求周长的取值范围； (2)求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先应用余弦定理再结合基本不等式及两边之和大于第三边计算求解即可； （2）先应用余弦定理再结合基本不等式，最后应用面积公式计算即可. 【详解】（1）由余弦定理得， 即． 又，所以， 当且仅当时，等号成立， 所以，所以． 即． 所以，当且仅当时，等号成立． 即周长的取值范围为． （2）由余弦定理，得， 又，所以，即， 当且仅当时，等号成立， 所以， 即面积的最大值为． 2．（23-24高一下·陕西铜川·期末）在中，角的对边分别为，且． (1)求； (2)若为锐角三角形，且，求的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）由正弦定理可得，再利用辅助角公式可得； （2）利用正弦定理可得，再由并利用三角函数单调性可求得的取值范围． 【详解】（1）因为， 由正弦定理得， ， 所以， 因为，所以， 所以，即， 所以，因为， 所以，即， 可得． （2）由正弦定理得， 即，且， 所以． 因为为锐角三角形，，所以， 所以，即． 可得， 即的取值范围为． 3．（2025·湖南永州·模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，. (1)求的外接圆半径； (2)若为锐角三角形，求周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理边角互化可得，即可由余弦定理求解， （2）根据正弦定理以及三角恒等变换可得，即可利用三角形的边角关系求解. 【详解】（1）由可得， 故，由于，故 由余弦定理得 由于，所以， ，根据解得， 所以的外接圆半径为. （2）由（1）知，，，， 由正弦定理有， 所以 ， 因为为锐角三角形，所以，解得    ， 所以，则， 所以，则. 所以周长的取值范围为. 4．（24-25高一上·江西景德镇·期末）锐角面积为，角的对边分别为，且. (1)求证：； (2)求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据面积公式可得，即可根据余弦定理以及二倍角公式求解， （2）根据边角互化，结合三角恒等变换，结合三角函数以及二次函数的性质即可求解. 【详解】（1）由可得， ，故， ，， 由于， 由于为锐角三角形，因此，故. （2）, 由于，所以，故， . 5．（23-24高一下·浙江台州·期末）在中，角所对的边分别为，满足. (1)求的值； (2)当与边上的中线长均为2时，求的周长； (3)当内切圆半径为1时，求面积的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理化边为角，再根据三角形内角和定理及两角和得正弦公式化简即可得解； （2）利用余弦定理及向量化求出，即可得解； （3）先利用等面积法求出与的关系，再结合余弦定理可求出与的关系，再结合基本不等式及三角形的面积公式即可得解. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得， 又由，得. 因为，所以； （2）由余弦定理得， 即，① 设的中点为，则， 则， 则，② 由①②得， 联立，解得， 所以，即的周长为； （3）由（1）得， 由内切圆半径为1，得，即， 由余弦定理得，所以， 得，因为，所以， 解得或， 又因为的面积大于其内切圆面积，即， 得，所以， 当且仅当时，的面积取到最小值. 【点睛】方法点睛：解三角形的基本策略： （1）利用正弦定理实现“边化角”； （2）利用余弦定理实现“角化边”. 求三角形有关代数式的取值范围也是一种常见的类型，主要方法有两类： （1）找到边与边之间的关系，利用基本不等式来求解； （2）利用正弦定理，转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解. 6．（2024高一·全国·专题练习）在中，角所对的边分别为，已知． (1)求； (2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理和正弦定理边化角可化简已知边角关系式得到，由此可得； （2）利用正弦定理边化角，将所求面积表示为，根据的范围可求得结果. 【详解】（1）， ，即， 由正弦定理得：， ， ，，，又，. （2）由正弦定理得：，， ， ，为锐角三角形，，， ，， 即面积的取值范围为. 7．（23-24高一下·山东青岛·期中）已知的内角所对的边分别为，． (1)求角的大小； (2)若，外接圆的半径为，内切圆半径为，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理、诱导公式及两角和的正弦公式得，由，得到，可得. （2）利用余弦定理及基本不等式求得的最大值为，利用等面积法求得的最大值，利用正弦定理求得，求出的最小值. 【详解】（1）由正弦定理得， 由三角形内角和，所以， 因为，所以，可得. （2）结合（1）由正弦定理得， 由利用等面积法求得的最大值，易知， 故 由（1）和余弦定理可得，故， 且，即， 当且仅当时等号成立，故的最大值为． 故，故的最大值为， 则，的最小值为. 8．（24-25高一上·河北保定·期末）在中，角，，的对边分别为，，，. (1)求角； (2)若，为边上一点（不同于，两点），，求的面积的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用正弦定理边化角，然后利用两角和的正弦公式，将原式化为，进而可得结果； （2）设，，由正弦定理得，可得，根据余弦定理求得或，分类讨论可求出三角形面积，再根据的范围可得结果. 【详解】（1）因为， 所以由正弦定理可知， 因为， 整理得， 因为，所以，所以，即， 又因为，所以． （2）如图，设，，由正弦定理有，得， 因为，所以，所以， 在中，由余弦定理可知，， 即，解得或． 若，， 则的面积为：，即； 若，则， 则， 因为， 所以， 综上可得的面积的取值范围为. 题型6 结合中线、垂线、角平分线考查 一、解答题 1．（24-25高一上·广东深圳·期末）记的内角A，B，C的对边分别为. (1)求； (2)设AC边上的高为，若，且，求周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用正弦定理转化后，整理化简得从而求出角的大小； （2）利用余弦定理可得关系，利用等面积法可求出，由此可求周长的范围. 【详解】（1）由正弦定理得， 因为， 所以， 因为，，所以，， 又，解得； （2）∵，，即， 所以，即， 又，所以， 因为，所以，故， 所以，所以， 所以周长的范围为． 2．（23-24高一下·云南曲靖·期末）在中，角所对的边分别是，的面积为，若. (1)求角； (2)若，点是边的中点，求的最大值. 【答案】(1) (2)3 【分析】（1）根据余弦定理和面积公式即可求解； （2）由余弦定理结合不等式可得，点是边的中点，所以，两边同时平方即可求解. 【详解】（1）因为， 所以， 所以，因为， 所以； （2）由（1），根据余弦定理可得， 所以，所以， 又点是边的中点，所以， ， 所以， 当且仅当时等号成立， 所以的最大值为. 3．（23-24高一下·江苏无锡·阶段练习）在中，角，，的对边分别为，，，且. (1)求角的大小； (2)若，为边上的一点，且. ①若是的平分线，求的面积； ②若为线段的中点，求的面积. 【答案】(1)； (2)①；②. 【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式即可求解； （2）选择①，由平分得，分别用三角形面积公式求解可得，利用余弦定理可得，联立即可求解的值，即可求得的面积；选择②，利用平面向量的线性运算可得，求解向量的模可得，利用余弦定理可得，联立即可求解的值，即可求得的面积. 【详解】（1）由正弦定理知，由得， 所以， 所以， 所以， 所以， 又在三角形中， 所以， 又 所以. （2）①：由平分得，， ， 即. 在中，由余弦定理得， 又， 联立得， 解得（舍去）， . ②：因为， ，得， 在中，由余弦定理得， 即， 联立，可得， . 4．（23-24高一上·湖北·阶段练习）已知的内角满足. (1)求角； (2)若，设是中边上的高，求的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平方关系和条件可得，然后根据正余弦定理可得答案； （2）根据正弦定理可得，当角为锐角，，然后利用三角函数的知识可得的最大值，同理可分析当角为直角时、角为钝角时的情形. 【详解】（1） 由正弦定理得， 由余弦定理得， （2）在中，由得， ①当角为锐角时， 当，即时，. ②当角为直角时，， ③当角为钝角时， ， 当，即时， 综上：当时，. 5．（23-24高一下·广东广州·期中）在中，内角的对边分别是，，． (1)求角； (2)若，求边上的角平分线长； (3)若为锐角三角形，求边上的中线的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据正弦定理结合两角和的正弦公式化简求值即可； （2）根据余弦定理及已知得，然后利用面积分割法列方程求解即可； （3）利用向量加法运算及数量积以及模的运算得，利用正弦定理得，然后利用角的范围，结合正弦函数的性质求解范围即可. 【详解】（1）在中，由正弦定理及， 得 ， 即，而，， 解得，又，所以. （2）由及，余弦定理得， 又，解得， 由得， 即，则，所以. （3）因为是的中点，所以， 则， 由正弦定理得， 即， 为锐角三角形， ，所以，所以， 所以，所以， 所以， 所以，即边上的中线的取值范围为． 6．（23-24高一下·江苏无锡·期末）三角形中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知 ，点D 是的中点，点E 在线段上，且，线段与线段交于点M. (1)求角B的大小; (2)若，求的值； (3)若点G是三角形的重心，求 的最小值. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理进行边角互化，由三角函数值求角即得； （2）利用两组三点共线，列出向量方程，由平面向量基本定理即可求得的值； （3）结合图形和条件将化简成，通过两边取平方，将化为，结合基本不等式即可求解. 【详解】（1）因为， 所以由正弦定理可得，整理得， 故， 因为，所以. （2）如图， 由题意可得， 因为三点共线，故可设 ， 又因三点共线，故， 所以，故. （3）因为 所以， 因为，所以， 于是，两边平方化简得： ，当且仅当时取等号， 所以，即. 所以的最小值为. 7．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在锐角中，内角，，所对的边分别为，，，满足. (1)求证：； (2)若，求边的取值范围； (3)若角的平分线交边于，且，求边的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）由，进而得到，再利用正弦定理将边转化为角，利用两角和的正弦公式求解； （2）由（1）知，进而得到，再根据为锐角三角形，得到，再由，利用正弦定理求解； （3）在中，利用正弦定理及三角恒等变换得，由（2）知，令，，利用函数单调性即可求解范围. 【详解】（1）因为， 所以，由正弦定理可得， 又因为， 代入可得，即， 因为，，则，故， 所以或，即或（舍去）， 所以. （2）因为为锐角三角形，，所以， 由，解得，所以， 又，故． （3）在中，，，， 由正弦定理得即，所以 ，由（2）知， 令，则，因为在上单调递增， 所以，所以，即边的取值范围为. 题型7 解三角形结合三角函数考查 一、解答题 1．（2024·河南·模拟预测）已知函数，在中，角所对的边分别为，且. (1)求； (2)若，求的值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据题干条件将函数解析式通过二倍角公式和辅助角公式化简，再代入求得的值； （2）由（1）中求得的和条件利用余弦定理建立关系式即可求得的值. 【详解】（1）由题意得，因为， 所以由，得. 又因为，所以， 所以，. （2）由（1）得，.所以由余弦定理可得，， 又因为，所以， 所以，即， 即，故. 把代入，可得， 所以. 2．（24-25高一上·海南·阶段练习）已知向量，，函数，将函数的图象向右平移个单位长度可得到的图象. (1)求函数的解析式； (2)设锐角的内角，，所对的边分别为，，，若，且，求周长的最大值. 【答案】(1) (2)12 【分析】（1）利用平面向量数量积的计算公式，结合辅助角公式，求出的解析式，再根据图象的平移，可求的解析式. （2）由和为锐角三角形，求出角，再利用余弦定理结合基本（均值）不等式，可求周长的最大值. 【详解】（1）因为. 所以. （2）由， 所以或，所以或， 又因为为锐角三角形，所以. 由余弦定理：. 又，所以（当且仅当时取“”）， 此时，的周长取得最大值，为. 3．（24-25高一上·湖南常德·期末）在中，内角，，对应的边分别为，，，. (1)求角的大小； (2)若，求面积的最大值. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）利用正弦定理把边化成角可得，再利用和差公式及辅助角公式可得，结合角的范围即可求解. （2）利用余弦定理及基本不等式，结合三角形的面积公式即可求解. 【详解】（1）， ， ， ， . ，， . ，，. （2）， 由余弦定理知， 当且仅当时等号成立，所以. ，所以面积的最大值为. 4．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，. (1)求角A； (2)若，求的值； (3)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2)1 (3) 【分析】（1）利用辅助角公式得到，结合，求出； （2）由余弦定理列出方程，求出，故，求出答案； （3）由正弦定理，表达出，结合，求出的取值范围. 【详解】（1），故， 因为，所以， 故，解得； （2）由余弦定理得， 又，，所以， 故，所以， 故，； （3）由正弦定理得，为外接圆半径， 故， 又，故， 因为，故， 故， 又， 则 ， 因为，所以，故， . 5．（23-24高一下·黑龙江大庆·期末）代数式化简中常用到“配、凑、拆”等技巧，例如可以通过拆角转化为，这种技巧在一些三角函数化简问题中常被使用．已知在，角的对边分别为． (1)证明：； (2)求角的大小； (3)若点是边（不包含端点）上的一动点，过点向直线作垂线，垂足为，已知，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）将和代入，根据两角和与差的正弦公式即可证明； （2）由得出，由得出，根据（1）的结论及二倍角公式化简即可求解； （3）根据余弦定理求出和，设，则，，根据三角形面积公式及余弦定理表示出和，进而表示出，再根据基本不等式即可证明． 【详解】（1）证明： ． （2）因为，所以， 因为，所以，所以， 因为， 所以，由正弦定理得，， 由（1）得， ， 所以，即， 因为，所以，所以，即． （3）证明：设，，则， 由余弦定理得，， 整理得，，代入， 得，解得，或 因为，所以， 设，则，， 则， 在中，由余弦定理得，，即， 整理得，， 所以 ， 因为， 当且仅当时，即时等号成立， 又 ， 所以， 即，所以， 所以． 题型8 几何图形中解三角形 一、解答题 1．（23-24高一下·重庆·阶段练习）如图，已知在平面四边形中，，，． (1)若该四边形存在外接圆，且，求； (2)若，求． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据外接圆得到，在中，有余弦定理得，在中，利用余弦定理求出； （2）设，则，由正弦定理得到方程组，求出，由正弦定理求出答案. 【详解】（1）因为四边形存在外接圆，则， 在中，由余弦定理可得， 在中，由余弦定理可得， 解得； （2）设，则， 分别在、中用正弦定理可得 ，则， ，则， ，则或（舍）， 故. 2．（23-24高一下·吉林·期中）在中，与的角平分线交于点D，已知． (1)求角B的大小； (2)若，求面积的最大值． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）结合角的关系利用二倍角公式及余弦差角公式化简即可； （2）由（1）可知，由余弦定理及基本不等式可得，再根据三角形面积公式求最值即可. 【详解】（1）由题意可知， 由， 可知 ， 所以， ． 因为， 所以．因为，所以． （2）因为，所以， 所以，所以． 由余弦定理得， 所以， 所以，当且仅当时，等号成立． 因为， 所以△ACD面积的最大值为． 3．（24-25高一上·安徽·期中）如图，在平面四边形中，与的交点为E，平分，，． (1)证明：； (2)若，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由可得，结合余弦定理证明即可. （2）由、及，可证得四边形是等腰梯形，进而可得，进而可求得，在中，由正弦定理可得，再结合、可得即可. 【详解】（1）如图， 由题意知，则， 由余弦定理得， 即，整理得， 因为，所以． （2）因为，所以， 因为，所以，所以． 又因为，，所以四边形是等腰梯形，所以． 设，则，解得． ． 在中，由正弦定理可得， 又因为，所以． 4．（2024·广东梅州·二模）在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，，， (1)求A的大小： (2)点D在BC上， （Ⅰ）当，且时，求AC的长； （Ⅱ）当，且时，求的面积． 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得的值，结合即可求解的值； （2）（Ⅰ）根据锐角三角函数和差角公式可得正弦定理即可求解. （Ⅱ）采用面积分割的方法以及正弦定理即可解决． 【详解】（1）因为， 所以由正弦定理可得， 又， 所以， 因为为三角形内角，， 所以，可得， 因为，所以； （2）（Ⅰ）此时，， 所以，所以， 在中，由正弦定理可得； （Ⅱ）设，由， 可得，化简可得 有， 由于，所以， 所以， 则． 5．（23-24高一下·上海·期末）某新能源汽车公司计划建设一个锂电池工厂，工厂必须建在河边，锂电池需要锂和钴两种矿产资源.如图，是锂矿，是钴矿，直线是一条河流.两点在直线上的投影分别为两点.已知，.假设工厂建在线段上（包含端点）的点处，设. (1)求的长. (2)若沿线段与建两条公路用于矿产运输，且要求是钝角，求的取值范围. (3)若要建设公路连接三点，假设公路建设成本和公路长度成正比，请你运用数学建模的思想设计一个最佳的工厂选址和公路建设方案.（已知的最大值约为.） 【答案】(1)； (2)； (3)答案见解析. 【分析】（1）作于，利用直角三角形结合已知求出. （2）利用余弦定理建立不等式求解即得. （3）根据给定条件，可得公路连接点到点的距离和最小，推得，通过旋转确定点位置并计算得解. 【详解】（1）依题意，，则，由，得， 作于，则，， 所以. （2）在中，， 由是钝角及余弦定理，得， 即，于是，整理得， 解得，所以的取值范围是. （3）最佳方案：工厂建在处，，中间有一个三岔路口，，且. 由公路建设成本和公路长度成正比，得当且仅当公路长度最短时，公路建设成本最低， 即三岔路口到点的距离和最小，此时必有，否则令点在上的投影为， 则有与最小矛盾， 将绕点逆时针旋转得，则为正三角形， ，显然， 则，当且仅当点共线时取等号， 此时必有，， 显然，由（1）得， ，而， 令交直线于点，则，， ， 所以工厂建在处，，中间有一个三岔路口，，且. 题型9 解三角形中的结构不良问题 一、解答题 1．（23-24高一下·湖南湘潭·期末）某城市计划新修一座城市运动主题公园，该主题公园为平面五边形（如图所示），其中三角形区域为儿童活动场所，三角形区域为文艺活动场所，三角形区域为球类活动场所，，，，，为运动小道（不考虑宽度），，，． 条件①：； 条件②：． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． (1)求的长度； (2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求的长度； (3)在（2）的条件下，应该如何设计，才能使儿童活动场所（即三角形）的面积最大？ 【答案】(1) (2) (3)当时，儿童活动场所（即三角形）的面积最大 【分析】（1）利用余弦定理计算可得； （2）若选①，利用余弦定理计算可得；若选②，首先求出，再由勾股定理计算可得； （3）在中利用余弦定理及基本不等式求出的最大值，即可求出面积的最大值. 【详解】（1）在中，由余弦定理得： ， ∴． （2）若选条件①，由（1）知：， 在中，由余弦定理得：， 解得（舍）或，∴； 若选条件②，∵，，∴， ∴，∴． （3）在中，由余弦定理得： ， ∵（当且仅当时取等号）， ∴，∴（当且仅当时取等号）， ∴； 即当时，儿童活动场所（即三角形）的面积最大． 2．（23-24高一下·河北张家口·期末）请在①向量，，且；②这两个条件中任选一个，填入横线上并解答． 在中，内角，，的对边分别为，，，且满足_________． (1)求角的大小； (2)若为锐角三角形，，求面积的取值范围． （注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）若选①由向量共线的坐标表示得到，再由正弦定理将边化角，利用两角和的正弦公式计算可得；若选②利用正弦定理将角化边，再由余弦定理计算可得； （2）由（1）及已知，利用正弦定理可得，再利用三角形面积公式及和差角的正弦化简，借助三角函数性质求出范围. 【详解】（1）若选①向量，，且， 则， 由正弦定理可得， 即， 即， 即，因为，所以， 所以，又，所以； 若选②， 由正弦定理可得， 由余弦定理，又，所以； （2）由（1）得，又，由正弦定理， 所以，， 所以的面积 ， 由为锐角三角形，而，所以，所以， 则，所以， 则， 所以面积的取值范围是. 3．（23-24高一下·四川攀枝花·期末）在①，②，③这三个条件中任选一个作为已知条件，补充在下面的问题中，然后解答补充完整的题. 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知___________（只需填序号）. (1)求角； (2)设是BC上一点，且，，求面积的最大值. 注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由三角恒等变换结合正弦定理即可逐一化简求解； （2）分解向量得到，平方得条件等式，结合基本不等式以及三角形面积公式即可求解. 【详解】（1）若选①，则， 因为，所以，即， 因为，所以， 所以，即； 若选②，则， 因为，所以， 因为，所以， 而， 所以，即； 若选③，则， 因为，所以， 所以， 因为， 所以； 综上所述，无论选择①，②还是③，都有； （2）    由题意， 所以，即， 所以，即，等号成立当且仅当， 从而面积，等号成立当且仅当， 综上所述，面积的最大值为. 4．（23-24高一下·河南郑州·期中）在钝角中，，． (1)求的大小； (2)在下列三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并求出边上的中线的长度． 条件①：； 条件②：的周长为； 条件③：的面积为． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1)； (2)答案见解析 【分析】（1）由正弦定理可解得； （2）利用第一问可判定条件①不符合题意；选择条件②，可先确定三边长，再由余弦定理计算即可求中线；若选择条件③，可由由三角形的面积公式和余弦定理计算中线． 【详解】（1）在中，由正弦定理知：， 又因为，， 所以，则或， 又因为为钝角三角形， 所以； （2）由（1）可知， 所以， 所以， 故条件①：，不符合题意； 若选择条件②：因为中，，， 所以，即为等腰三角形，其中， 因为， 所以， 所以， 设点为线段的中点，在中，，    由余弦定理知：中， ， 所以， 即边上的中线的长度为， 若选择条件③：因为中，，，， 所以，即为等腰三角形，其中， 因为的面积为， 即，即， 设点为线段的中点，在中，， 由余弦定理知：中， ， 所以， 即边上的中线的长度为. 5．（23-24高一下·四川雅安·期末）从①；②；③．这三个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答该题． 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知________． (1)求角C的大小； (2)若点D在AB上，CD平分，，，求CD的长； (3)若该三角形为锐角三角形，且面积为，求a的取值范围． 注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分． 【答案】(1) (2) (3)． 【分析】（1）若选条件①，根据正弦定理边化角，再化简得，可解角C；若选条件②．根据正弦定理边化角，再利用三角函数恒等变形化简得可解角C；若选条件③，直接由，结合三角函数恒等变形化简得可解角C； （2）在中，根据余弦定理，解得，又，得，从而得解； （3）利用三角形的面积公式求得，结合正弦定理，用表示出并求得的取值范围，进而求得的取值范围. 【详解】（1）若选条件①， 依题意，得，根据正弦定理得， 因为，所以，则，即， 即，所以． 又，则， 所以； 若选条件②， 由正弦定理得， 所以 ， 即， 即，整理得，即． 因为，所以， 所以． 若选条件③， 在中，因为，， 所以， 即， 化简得． 又，则，故． 因为，所以． （2）在中，根据余弦定理， 有， 即，解得或（舍去）， 依题意，， ， 即，则， 所以． （3）依题意，的面积，所以． 又为锐角三角形，且， 则，所以． 又，则，所以． 由正弦定理，得， 所以， 所以，即， 所以a的取值范围为． 题型10 解三角形中的新定义问题 一、解答题 1．（23-24高一下·江苏苏州·期末）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得创作的一部传世巨著，该书以基本定义、公设和公理作为推理的出发点，第一次实现了几何学的系绕化、条理化，成为用公理化方法建立数学演绎体系的最早典范．书中第Ⅰ卷第47号命题是著名的毕达哥拉斯（勾股定理），证明过程中以直角三角形中的各边为边分别向外作了正方形（如图1）．某校数学兴趣小组对上述图形结构作拓广探究，提出了如下问题，请帮忙解答． 问题：如图2，已知满足，，设（），四边形、四边形、四边形都是正方形．    (1)当时，求的长度； (2)求长度的最大值． 【答案】(1)6 (2)6 【分析】（1）利用锐角三角函数的定义及诱导公式，结合余弦定理即可求解； （2）利用余弦定理和正弦定理，结合三角函数的性质即可求解. 【详解】（1）在中，，，，则，， 因为，所以 在中，，， 由余弦定理所以的长度为. （2）在中，由余弦定理得，所以， 设，在中，由余弦定理得， 所以  ① 在中，由正弦定理得， 所以， 代入①可得, 因为, 所以， 当即时，的最大值为， 所以长度的最大值为6． 2．（23-24高一下·福建龙岩·阶段练习）给出定义：对于函数，则称向量为函数的特征向量，同时称函数为向量的特征函数． (1)设向量分别为函数与函数的特征向量，求； (2)设向量的特征函数为，且，求的值； (3)已知分别为三个内角的对边，，设函数的特征向量为，且分别是边的中点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据特征向量定义可得的坐标，利用数量积的坐标公式计算即得； （2）利用特征函数定义可得，由条件求得，继而求出，最后利用与和角的正弦公式即可求得； （3）由可推得，设利用余弦定理求得和，得，最后利用余弦函数的值域求得的取值范围. 【详解】（1）依题，，则； （2）依题，，由整理得， 因，则，故， 因, 则 ； （3） 如图，由题意，，且，由可得，， 不妨设则，， 由余弦定理，,， 于是，, 因，则，于是，有， 则得，即的取值范围为. 【点睛】思路点睛：本题主要考查新定义函数与新定义向量在求值上的应用，属于难题. 在求解（2）时，注意运用进行拆角变换；在求时，要通过设，将相关边长用表示，便于应用余弦定理时的化简，最后运用常数分离法和余弦函数的值域即可求解. 3．（23-24高一下·湖南怀化·期末）射影几何学中，中心投影是指光从一点向四周散射而形成的投影，如图，为透视中心，平面内四个点经过中心投影之后的投影点分别为.对于四个有序点，定义比值叫做这四个有序点的交比，记作.    (1)若点分别是线段的中点，求； (2)证明：； (3)已知，点为线段的中点，，，求. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据条件，可求得，，即可求出结果； （2）根据条件，将边长之比转化成面积之比，再结合题设定义，即可证明结果； （3）方法一：根据条件得到，再利用几何关系得到，设，，利用有，再利用余弦定理和正弦定理，建立方程，即可求解；方法二：设，根据条件，得到，再利用及余弦定理，建立方程，即可求解. 【详解】（1）由已知，，所以. （2）在，，，中， ，同理， 所以， 又在，，，中， ，同理， 所以， 又，，，， 所以，所以. （3）方法一： 由，可得，即，所以， 又点B为线段AD的中点，即，所以， 又，所以，，， 又已知，所以. 设，，由，得， 即，解得，…① 在中，由正弦定理可得，得，…② 在中，由正弦定理可得，得，…③ 又， 得，即，…④ 由①④解得，（负值舍去），即，， 所以. 方法二： 因为，所以，设，则， 又B为线段AD的中点，所以， 又已知，，所以， 所以，得， 所以，， 由，得， 所以，设，则， 由，互补得 ，即， 解得，所以，， 所以. 【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的．遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$