模拟卷10（全国高中数学联赛一试）-【竞赛】2024-2025学年高中数学竞赛能力培优全真模拟卷（全国通用）

2025年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛） 暨2025年全国高中数学联合竞赛 一试全真模拟试题10参考答案及评分标准 说明： 1．评阅试卷时，请依据本评分标准．填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次． 2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次． 一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分． 1．设正整数满足，则的最小值为_____． 【答案】90 【详解】由于，所以容易知道的最小值为90． 2．已知，则_____． 【答案】或 【详解】解得或者，从而为或． 3．设函数，其中实数，如果的值域为，则实数的取值范围为_____． 【答案】 【详解】画图转化为对勾函数，计算得到的取值范围为． 4．设分别投掷两颗骰子所得的点数顺次为，则使得关于的二次方程有实数解的概率为_____． 【答案】 【详解】投掷骰子共有36种可能的结果，考查方程没有实根的情况，当方程没有实数根的时候，判别式，即当点位于圆内部时方程没有实数根，结合圆的图形可知满足方程没有实根的数对为： 共有10对，则满足题意的数对共有个，从而概率为． 5．满足，点满足，则_____． 【答案】 【详解】注意到 由知道答案为． 6．在矩形中，为的中点，将和分别沿翻折，使点与点重合于点，若，则三棱锥的外接球体积为_____． 【答案】 【详解】显然有，且平面平面，所以平面． 设的外接圆的半径为，则由正弦定理可得，即，所以． 设三棱锥的外接球的半径为，则，所以，故外接球体积为． 7．设满足对，有且，则的最大值为_____． 【答案】1320 【详解】最大值是1320，过程如下：通过递推式容易得到，从而我们知道，再可以从条件式得到 从而我们讨论可知，其中正整数满足是10的因子，从而可以算出最大值． 8．已知为正整数，，其中，满足对任意，有，且任取，存在，使得，记，记，则_____． 【答案】5 【详解】构造应用模型“10个人去书店买种书，每人买3本书，并且其中任意两人所买的书至少有一本是相同的．求购买人数最多的那本书的销售量．” 设第种书共有个人购买，．则，且 考虑每两人之间的“同种书对”的总数，可得不等式 于是，由结论(1)和式(2)得 若，则所有，与矛盾．故． 下面构造当时，存在购买人数最多的一种书恰有5人购买的情形． 记书为个人购书情形如下： 1 6 2 7 3 8 4 9 5 10 故购买人数最多的一种书最少有5个人购买． 二、解答题：本大题共3小题，满分56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 9．（本题满分16分）是否存在实数使得，其中，表示不超过实数的最大整数，． 【详解】我们加强命题：求所有的非负实数，使得对于任意的实数．均有 其中，表示不超过实数的最大整数，． 解：考虑的取值范围．所求实数的全体即为设，当时，令，定义的函数 并补充定义 用表示的值域，根据的性质，有以下结论： 当时， 当时， 当时， 注意到恒等式 故对于任意的正整数，均有 又，从而 因此，所求实数为． 而没有整数解，故存在实数满足条件． 10．（本题满分20分）已知空间中五个点满足．且 中有四个是直角，试求最后一个角的所有可能大小． 【详解】不妨设．建立空间直角坐标系，使得，，由，我们知道在平面内，设．类似地，设，这里． 由，我们知道．由，得整理得 另一方面，由知整理得 联立消去知，不妨设(否则将图形沿-平面对称即可)，故．代回原式知 容易观察到是一组解，为求出另一组，整理得 注意它的两个解关于对称，故另一个解是．对应的分别是和． 当是时，是正三角形，从而． 当是时， 故答案为或． 11．（本题满分20分）平面上有两条抛物线和的焦点重合，它们的准线分别为和．已知和交于点和和交于点和．证明：四点共圆． 【详解】首先，这两条抛物线的对称轴不可能垂直，否则它们的准线就不会和另一条抛物线有两个交点． 建立平面直角坐标系，使得两条公共抛物线的焦点为原点，抛物线的两条对称轴和轴夹一个相同大小的锐角，则．进而可以设准线方程为 其中和是从准线到原点的有向距离．则抛物线的方程可以写成： 取一个待定的实数，考虑 注意对而言，和是0，从而的值是0，对也同理．整理可知它具有形式： 现在若令，则，代入有 这就是说，这时的两个二次项系数是两个相等的正数，从而的方程要么是圆，要么是退化成一个点，要么是虚圆，因为都满足这个方程，所以只能是第一种情况，我们完成了证明． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛） 暨2025年全国高中数学联合竞赛 一试全真模拟试题10 一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分． 1．设正整数满足，则的最小值为_____． 2．已知，则_____． 3．设函数，其中实数，如果的值域为，则实数的取值范围为_____． 4．设分别投掷两颗骰子所得的点数顺次为，则使得关于的二次方程有实数解的概率为_____． 5．满足，点满足，则_____． 6．在矩形中，为的中点，将和分别沿翻折，使点与点重合于点，若，则三棱锥的外接球体积为_____． 7．设满足对，有且，则的最大值为_____． 8．已知为正整数，，其中，满足对任意，有，且任取，存在，使得，记，记，则_____． 二、解答题：本大题共3小题，满分56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 9．（本题满分16分）是否存在实数使得，其中，表示不超过实数的最大整数，． 10．（本题满分20分）已知空间中五个点满足．且 中有四个是直角，试求最后一个角的所有可能大小． 11．（本题满分20分）平面上有两条抛物线和的焦点重合，它们的准线分别为和．已知和交于点和和交于点和．证明：四点共圆． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$