精品解析：湖南省长沙市部分学校2024-2025学年高二下学期开学联考数学试题

2024-2025学年湖南省长沙市部分学校高二下学期开学联考数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解不等式得到，利用交集概念求出答案. 【详解】， 故. 故选：C 2. 在数列中，若，则（ ） A. B. 1 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】求出为一个周期为2的周期数列，故. 【详解】，，，……， 故为一个周期为2的周期数列，故. 故选：D 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】指数函数的单调性及对数函数的单调即可判断； 【详解】， ，因为函数单调递减； 所以， 所以， 故选：A 4. 若球被一个平面所截，所得截面的面积为，且球心到该截面的距离为2，则球的表面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出截面圆的半径，再利用勾股定理求得球的半径，再根据球的表面积公式即可得出答案. 【详解】因为球的一截面的面积为，所以截面圆的半径为， 又因为球心到该截面的距离为2，所以球的半径为， 所以球的表面积为. 故选：C. 5. 已知函数是定义在上奇函数，在上单调递减，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 分析】由奇偶性得到，当时，，结合单调性，求出，同理得到当时，，故， 【详解】因为是定义在上的奇函数，， 所以， 因为在上单调递减，当时，， 故， 因为是定义在上的奇函数，故在上单调递减， 又，当时，， 故， 综上，的解集为. 故选：D 6. 函数在上的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用三角恒等变换化简得到，整体法得到，结合图象求出函数值域. 【详解】 ， 当时，，故， 故的值域为. 故选：A 7. 过点作的切线，切点分别为，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】求出和的长以及夹角即可求解数量积. 【详解】由题可知，，， 则， 故 故选：B. 8. 已知数列满足，设数列的前项和为，若，，成等差数列，则（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 【答案】B 【解析】 【分析】由累加法可求得，进而利用裂项相消法可求前项和，进而结合已知可得，求解即可. 【详解】因为，且， 所以当时，． 因为也满足，所以． 因为， 所以． 若成等差数列，则，即，得． 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 在空间直角坐标系中，已知点，，，，则（ ） A. B. 与夹角的余弦值为 C. 在上的投影向量为 D. 点到直线BC的距离为 【答案】ABD 【解析】 【分析】依次计算、即可判断AB；由投影向量定义求出投影向量即可判断C；依次求出直线BC的方向向量和，接着计算即可判断D. 【详解】因为，，所以，故A正确； 因为，，所以，故B正确； 因为，，所以在上的投影向量为，故C错误； 因为，所以的一个单位方向向量为， 因为，所以点到直线BC的距离为，故D正确． 故选：ABD. 10. 已知等比数列的公比不为1，设的前项和为，若，且成等差数列，则下列说法正确的是（ ） A. B. 数列为等比数列 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项，设出公比，根据得到方程，求出，故A错误；B选项，求出，故，B正确；C选项，，，当为奇数时，，当为偶数时，，得到，CD正确. 【详解】A选项，设的公比为，， 成等差数列，故， 又，所以，即， 所以，又，解得， 所以，A错误； B选项，， 故， 所以，又,所以数列为等比数列，B正确； CD选项，， 故， 当为奇数时，，故， 当为偶数时，，故， 所以，CD正确. 故选：BCD 11. 已知是抛物线上不同的动点，为抛物线的焦点，直线为抛物线的准线，线段的中点为，则（ ） A. 当时，的最大值为32 B. 当时，的最小值为22 C. 当时，直线的斜率为 D. 当三点共线时，点到直线的距离的最小值为14 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用抛物线的定义，结合线段和差关系求出的最大值判断A；利用抛物线的定义转化，结合几何图形求出最小值判断B；利用点差法求出直线的斜率判断C；设出直线的方程并与抛物线联立，求出最小值即可判断D. 【详解】设．因为， 所以当三点共线时，有最大值32，故A正确； 因为点在抛物线内侧，准线为，过作于， 由抛物线的定义可得，所以， 的最小值为点到准线的距离，所以，故B错误； 由，得， 所以，故C正确； 当三点共线时，点到直线的距离， 设直线的方程为，， 由，消去得，， 所以，则 ， 所以当时，，所以，故D正确． 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 用这三个数字组成一个三位数（每个数字只能用一次），则这个三位数是偶数的概率为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】将所有情况列出即可求解. 【详解】0不能在首位，则三个数可组成的三位数总数为：个(102,120,201,210)， 其中是偶数的有：102,120,210共三个，所以三位数为偶数的概率为. 故答案为：. 13. 已知分别是双曲线的左、右焦点，直线经过，且与的右支交于两点，若，则的离心率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】设，则，根据双曲线定义得到，从而表达出各边长，在和，由余弦定理及得到方程，求出，得到离心率. 【详解】设，则， 由双曲线定义知，即，解得， 故，，则， 又， 在中，由余弦定理得 ， 在中，由余弦定理得 ， 因为，所以， 即，解得， 故离心率为. 故答案为： 14. 如图，正八面体的每条棱长均为与交于点为正八面体内部或表面上的动点.若，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据正八面体的性质建立空间直角坐标系，利用数量积的坐标运算求解最值即可. 【详解】连接CE，由正八面体性质得两两互相垂直，故以O为坐标原点， 分别以所在直线为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系， 由正八面体的各棱长均为，根据正八面体的对称性， 可得， 则， 又，所以，， 设点，则，因为，所以， 即，又， 所以 ， 故当，，即时，取到最小值为． 故答案为： 【点睛】关键点睛：本题的关键是建立空间直角坐标系，利用数量积的坐标运算结合函数性质求解最值. 四、解答题：本题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 记的内角的对边分别为，已知. （1）求； （2）若，求的面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）边化角结合即可求解； （2）由余弦定理、基本不等式结合三角形面积公式即可求解； 【小问1详解】 由结合正弦定理边化角可得： ， 即，又, 所以，又， 所以， 所以； 【小问2详解】 由余弦定理，得， 所以. 由基本不等式知， 于是. 当且仅当时等号成立. 所以的面积， 当且仅当时，面积取得最大值. 16. 在直三棱柱中，是的中点，. （1）证明：平面. （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明过程见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）作出辅助线，由中位线得到线线平行，进而得到线面平行； （2）建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，利用面面角的法向量夹角公式求出答案 【小问1详解】 连接，与相交于点，连接， 因为直三棱柱中，， 所以四边形为正方形，故为的中点， 因为是的中点，所以， 因为平面，平面， 所以平面； 【小问2详解】 以为坐标原点，所在直线分别为轴， 垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系， 过点作⊥轴于点， 因，所以， 又， 故， ， 设平面的法向量为， 则， 令，则，故， 设平面的法向量为， 则， 解得，令，则， 故， 设平面与平面夹角为， 则， 故平面与平面夹角余弦值为. 17. 已知正项数列的前项和为，且满足. （1）证明：为等差数列. （2）求的值和的通项公式. （3）若数列满足，其前项和为，证明：. 【答案】（1）证明过程见解析； （2），； （3）证明过程见解析 【解析】 【分析】（1）根据时，得到，证明出为等差数列； （2）利用等差数列性质及得到，结合求出，并得到通项公式； （3），利用错位相减法求和，得到. 【小问1详解】 ①， 当时，②， 式子①-②得， 故，故， 为正项数列，故，所以， 即，为公差为2的等差数列； 【小问2详解】 由（1）知，为公差为2的等差数列， ，故， 中，令得， 即， 将代入上式得，解得， 的通项公式为； 【小问3详解】 ， ③， 故④， 式子③-④得 ， 故. 18. 已知椭圆的短轴长为，且离心率为. （1）求C的方程. （2）过点作斜率不为0的直线与椭圆C交于S，T不同的两点，再过点作直线ST的平行线与椭圆C交于G，H不同的两点. ①证明：为定值. ②求面积的取值范围. 【答案】（1）； （2）①证明见解析； ②. 【解析】 【分析】（1）利用椭圆参数的关系即可求解椭圆方程； （2）①利用设的直线与椭圆联立方程组，利用纵坐标与斜率关系计算线段长度，，即可得到线段之积与直线系数的关系，同理计算出，再作比值，即可得到定值； ②利用弦长公式和面积公式可计算出，再利用换元法,化归到对钩函数来求值域即可. 【小问1详解】 由已知得， 因为，又由， 可解得， 所以椭圆方程为：. 【小问2详解】 ①设斜率不为0的直线的方程为， 联立直线和椭圆方程可得，化简得， 由于椭圆与直线交于两点，， 因此，所以或， 根据韦达定理可得，， 又因为，， 因此， 令的方程为，椭圆与直线交于两点， 联立直线和椭圆方程，化简得， 同理：，， ， 因此（为定值）． ②由于，又由于， 因此， 化简可得，设，由于，因此， 因此， 又由于当时，，因此， 因此， 所以面积的取值范围为． 19. 在数列中，若存在项之和等于中的某一项，则称是“和数列”. （1）若，判断是否为“3和数列”，是否为“4和数列”，并说明理由. （2）在正项数列中，，且. 证明：①可能等比数列； ②若为等比数列，则不是“和数列”. 【答案】（1）是“3和数列”，不是“4和数列”，理由见解析 （2）①证明过程见解析；②证明过程见解析 【解析】 【分析】（1）举出实例得到是“3和数列”中每一项均为奇数，故中的任意4项之和肯定为偶数，故不是“4和数列”； （2）①若为等比数列，求出公比，验证满足； ②由①可知，假设是“和数列”，则存在，使得，不妨令，分和两种情况，推出矛盾，证明出不是“和数列”. 【小问1详解】 是“3和数列”，不是“4和数列”， 理由如下：因为，所以， 又，所以是“3和数列”， 由通项公式可知，中每一项均为奇数，故中的任意4项之和肯定为偶数， 与中的任何一项均不相等， 故不是“4和数列”； 【小问2详解】 证明：①，且， 故， 若为等比数列，则的公比， 则，，， 故可能是以2为公比的等比数列； ②由①可知，假设是“和数列”， 则存在，使得， 不妨令， 若，则，且， 则， 因为，所以为正偶数， 则为大于1的正奇数， 所以，这与矛盾，从而假设不成立， 所以不是“和数列”， 若，则， 则， 由得， 显然，则， 则， 即， 由可得为正偶数， 则为正奇数，为正偶数， 则不可能成立，从而假设不成立， 则不是“和数列”. 【点睛】新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年湖南省长沙市部分学校高二下学期开学联考数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 在数列中，若，则（ ） A. B. 1 C. 3 D. 4 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 若球被一个平面所截，所得截面的面积为，且球心到该截面的距离为2，则球的表面积是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数是定义在上的奇函数，在上单调递减，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 6. 函数在上的值域为（ ） A B. C. D. 7. 过点作的切线，切点分别为，则（ ） A B. C. D. 2 8. 已知数列满足，设数列的前项和为，若，，成等差数列，则（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 在空间直角坐标系中，已知点，，，，则（ ） A. B. 与夹角的余弦值为 C. 在上的投影向量为 D. 点到直线BC的距离为 10. 已知等比数列的公比不为1，设的前项和为，若，且成等差数列，则下列说法正确的是（ ） A. B. 数列为等比数列 C D. 11. 已知是抛物线上不同的动点，为抛物线的焦点，直线为抛物线的准线，线段的中点为，则（ ） A. 当时，的最大值为32 B. 当时，的最小值为22 C. 当时，直线的斜率为 D. 当三点共线时，点到直线的距离的最小值为14 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 用这三个数字组成一个三位数（每个数字只能用一次），则这个三位数是偶数的概率为__________. 13. 已知分别是双曲线的左、右焦点，直线经过，且与的右支交于两点，若，则的离心率为__________. 14. 如图，正八面体的每条棱长均为与交于点为正八面体内部或表面上的动点.若，则的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 记的内角的对边分别为，已知. （1）求； （2）若，求的面积的最大值. 16. 在直三棱柱中，是的中点，. （1）证明：平面. （2）求平面与平面夹角余弦值. 17. 已知正项数列的前项和为，且满足. （1）证明：为等差数列. （2）求的值和的通项公式. （3）若数列满足，其前项和为，证明：. 18. 已知椭圆短轴长为，且离心率为. （1）求C的方程. （2）过点作斜率不为0的直线与椭圆C交于S，T不同的两点，再过点作直线ST的平行线与椭圆C交于G，H不同的两点. ①证明：为定值. ②求面积的取值范围. 19. 在数列中，若存在项之和等于中的某一项，则称是“和数列”. （1）若，判断是否为“3和数列”，是否为“4和数列”，并说明理由. （2）在正项数列中，，且. 证明：①可能是等比数列； ②若为等比数列，则不是“和数列”. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $