专题10.2 二倍角的三角函数（七个重难点突破）-2024-2025学年高一第二学期数学重难点突破及易错点分析（苏教版2019必修第二册）

专题10.2 二倍角的三角函数 一、二倍角的正弦公式应用 五、二倍角给值求角问题 二、二倍角的余弦公式应用 六、二倍角的化简证明问题 三、二倍角的正切公式应用 七、辅助角公式及其应用 四、二倍角给值求值问题 知识点1二倍角公式 （1） （2） （3） 知识点2公式的常用变形 （1）降幂公式：；； （2）辅助角公式：，其中，， 重难点一、二倍角的正弦公式应用 【例1】已知角的终边在直线上，则 . 【答案】/ 【详解】角的终边在直线， ，. 故答案为：. 【例2】 ． 【答案】/0.5 【详解】， 故答案为： 【变式1-1】已知是第四象限角，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，， 是第四象限角，， ，. 故选：B. 【变式1-2】若函数（，且）的图象恒过定点A，角的终边也过点A，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】函数的图象过定点，则， 所以. 故选：C 【变式1-3】已知，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由两角和的正切公式得， 由同角三角函数的基本关系得， ，故， 因为，所以， 因为，所以， 故，则得到， 解得，故， 而， 则，解得，故C正确. 故选：C 二倍角正弦公式的正用；看到同角的正弦和余弦相乘，可逆用 重难点二、二倍角的余弦公式应用 【例3】已知过原点的直线的倾斜角为，若点在直线上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意知，点到原点的距离为， 由三角函数定义可得， 所以. 故选：D. 【例4】“”是“”的（   ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】因为， 所以“”不能推出“”， “”能推出“”， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：A. 【变式2-1】已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解： 因为， 所以， 则 ， 即 ， 或 舍去 ， 故选：D 【变式2-2】已知钝角x满足：，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，得， 为钝角，则，则， 或舍， ，得， 即 故选：C. 【变式2-3】已知，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以， 即，即． 又因为，所以，所以， 即．又， 所以，所以， 所以， 故选：A． 二倍角余弦公式的正用；看到同角的正弦平方或者余弦平方，可逆用 重难点三、二倍角的正切公式应用 【例5】已知角的终边在直线上，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：依题意，在直线上任取一点（）， 可得， 故选：A． 【例6】（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】， 因为，所以， 解得或（舍去） 故选:C. 【变式3-1】已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，则，可得，故， 所以，， 因此，. 故选：A. 【变式3-2】已知，且，则（    ） A． B． C．7 D． 【答案】A 【详解】由，得， 即，由，得，则， 则，所以． 故选：A 【变式3-3】已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，则， 所以. 故选：A. 重难点四、二倍角给值求值问题 【例7】已知，则 . 【答案】 【详解】 . 故答案为：. 【例8】已知角满足则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由可得， 所以， ， 所以， 故选：A 【变式4-1】已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以， 故选：D. 【变式4-2】已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令则 故选：A. 【变式4-3】已知，则 ． 【答案】/ 【详解】因为，所以 则， 又因为， 所以． 故答案为：. （1）已知的某个三角函数值,求的三角函数值,应先根据的范围,求出的其他三角函数值,再根据二倍角公式求的三角函数值. （2）若已知与一个确定的角(如等)的和差三角函数值,求与一个确定角的三角函数值,应分析已知角与待求角之间的关系,根据式子特点,构造出二倍角的形式后,整体代入求解. 重难点五、二倍角给值求角问题 【例9】若，，且，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， 因为，所以， 所以，得. 故选：D 【例10】已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， 所以， 则， 即． 因为，所以， 所以， 解得． 故选：B． 【变式5-1】已知，，且，，求： (1)的值； (2)的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由， 解得， 所以； （2）， 由，，得， 所以 ， 因为，， 所以，所以， 又，， 所以，所以， 所以， 所以． 【变式5-2】已知. (1)求的值； (2)已知，，，求的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：由，得， 若，则，这与矛盾，故，则， . （2）解：由得或， 又，所以. 又，，所以，所以， 所以，所以. 【变式5-3】已知、，且，，求. 【答案】 【详解】由，得，即， 由，得， 两式平方相加得，即， 则，又，于是， 因此 ，由，得， 所以. 转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，最后确定角. 已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数：若角的范围是，选正、余弦皆可； 若角的范围是，选余弦；若角的范围是，选正弦. 重难点六、二倍角的化简证明问题 【例11】（多选）下列式子化简后等于的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】对于选项A：因为，故A正确； 对于选项B：因为，故B正确； 对于选项C：因为，故C正确； 对于选项D：因为，故D错误； 故选：ABC. 【例12】已知． (1)若，，求的值； (2)证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）． ， ， ． . （2）要证， 即证， 即证， 即证， 即证， 即证， 即证，证毕． 【变式6-1】化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， 又由弧度的角位于第二象限，可得， 因为，所以为第三象限角， 所以， 所以， 故选：B. 【变式6-2】设，化简： . 【答案】 【详解】因为，所以. 故答案为： 【变式6-3】化简与证明： (1)化简：； (2)证明：． 【答案】(1)1 (2)证明见解析 【详解】（1）原式． （2）证明 ： 左边 ＝右边， 所以原等式成立． 重难点七、辅助角公式及其应用 【例13】已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得，即， 则， 故 ． 故选：A. 【例14】当时，函数取得最大值，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 ， 当，即时，取得最大值， 所以的值可能为C选项. 故选：C. 【变式7-1】已知，则的值是（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由可得： ， 即， 因此. 故选：D 【变式7-2】已知函数，且是偶函数，则实数（   ） A． B． C． D．2 【答案】B 【详解】，其中， ， 为偶函数，故，解得， 则. 故选：B 【变式7-3】已知函数，若在区间上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由， 因，得， 根据题意得，则， 因，则，． 故选：A． 一、单选题 1．角以为始边，它的终边与单位圆相交于点，且点的横坐标为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】角以为始边，它的终边与单位圆相交于点，且点的横坐标为， 所以，又. 故选：B 2．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】已知， . 故选：C. 3．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， 因为，所以. 由得， 即，解得. 故选：D. 4．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，则 . 故选：C. 5．已知，且，则的最大值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【详解】由，得， 即，则， 由，，得， 因此， 当且仅当时取等号，所以的最大值为. 故选：A 6．当，时，，则（   ） A． B．0 C． D．1 【答案】D 【详解】因为， 所以， 所以，因 所以， 所以，即 因为，时，， 所以，则. 故选：D. 二、多选题 7．下列等式成立的有（ ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】A选项，因为 所以，故A正确； B选项，，故B错； C选项，，故C错； D选项，，故D正确； 故选：AD 8．若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】对于A，，可得， 又因为，所以，可得，故A正确； 对于B，由得， 又因为，所以， 因为，，所以， ，再由得， 由得，故B错误； 对于C，因为，， 所以，故C正确； 对于D，因为，所以 , 所以，故D错误. 故选：AC. 三、填空题 9．已知，则 . 【答案】/0.625 【详解】. 故答案为： 10．已知，则 . 【答案】或 【详解】因为， 所以， 即， 所以， 即， 可得，即， 所以或. 故答案为：或 11．已知，．若，，则的值是 ． 【答案】/ 【详解】因为，所以. 已知， . 由两角和公式. 可得.   因为，则. 已知，可. ，. 又因为，，所以，. . 可得. 因为，，则,所以，又，所以.   故答案为：. 四、解答题 12．已知． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1） ． 同理． （2） ． 13．已知为锐角，为钝角，且，. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）由正弦二倍角公式，得， 又，所以； （2）因为为锐角，且，可得， 由，可得， 所以， 所以. 14．已知函数 (1)求的单调递增区间； (2)当时，求的值域； (3)已知为锐角，且，求的值. 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）. 令， 所以的单调递增区间为，； （2）当时，所以，所以，所以的值域为； （3）设，则， 由于，故， 所以，所以，， 故. 15．已知为锐角，在下面两个条件中任选一个作为已知条件： ①；②. (1)求； (2)已知，，. （i）求； （ii）求的最小值，并求出此时的值. 注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1)； (2)（i）; （ii），最小值为. 【详解】（1）选①，因为，所以， 因为，所以，得， 故，则. 选②，因为，所以， 因为，所以， 所以，则. （2）（i）法一：因为， 由（1）知，则，解得. 法二：由（1）知，因为， 所以； （ii）法一： ， 当且仅当时，即时，的值最小，最小值为. 法二： 当且仅当时，即时，的值最小，最小值为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10.2 二倍角的三角函数 一、二倍角的正弦公式应用 五、二倍角给值求角问题 二、二倍角的余弦公式应用 六、二倍角的化简证明问题 三、二倍角的正切公式应用 七、辅助角公式及其应用 四、二倍角给值求值问题 知识点1二倍角公式 （1） （2） （3） 知识点2公式的常用变形 （1）降幂公式：；； （2）辅助角公式：，其中，， 重难点一、二倍角的正弦公式应用 【例1】已知角的终边在直线上，则 . 【例2】 ． 【变式1-1】已知是第四象限角，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】若函数（，且）的图象恒过定点A，角的终边也过点A，则（ ） A． B． C． D． 【变式1-3】已知，若，则（    ） A． B． C． D． 二倍角正弦公式的正用；看到同角的正弦和余弦相乘，可逆用 重难点二、二倍角的余弦公式应用 【例3】已知过原点的直线的倾斜角为，若点在直线上，则（    ） A． B． C． D． 【例4】“”是“”的（   ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2-1】已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】已知钝角x满足：，则（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】已知，若，则（    ） A． B． C． D． 二倍角余弦公式的正用；看到同角的正弦平方或者余弦平方，可逆用 重难点三、二倍角的正切公式应用 【例5】已知角的终边在直线上，则（   ） A． B． C． D． 【例6】（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】已知，且，则（    ） A． B． C．7 D． 【变式3-3】已知，则（   ） A． B． C． D． 重难点四、二倍角给值求值问题 【例7】已知，则 . 【例8】已知角满足则（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】已知，则 ． （1）已知的某个三角函数值,求的三角函数值,应先根据的范围,求出的其他三角函数值,再根据二倍角公式求的三角函数值. （2）若已知与一个确定的角(如等)的和差三角函数值,求与一个确定角的三角函数值,应分析已知角与待求角之间的关系,根据式子特点,构造出二倍角的形式后,整体代入求解. 重难点五、二倍角给值求角问题 【例9】若，，且，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【例10】已知，，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】已知，，且，，求： (1)的值； (2)的值． 【变式5-2】已知. (1)求的值； (2)已知，，，求的值. 【变式5-3】已知、，且，，求. 转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，最后确定角. 已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数：若角的范围是，选正、余弦皆可； 若角的范围是，选余弦；若角的范围是，选正弦. 重难点六、二倍角的化简证明问题 【例11】（多选）下列式子化简后等于的是（   ） A． B． C． D． 【例12】已知． (1)若，，求的值； (2)证明：． 【变式6-1】化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】设，化简： . 【变式6-3】化简与证明： (1)化简：； (2)证明：． 重难点七、辅助角公式及其应用 【例13】已知，则（    ） A． B． C． D． 【例14】当时，函数取得最大值，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】已知，则的值是（    ）. A． B． C． D． 【变式7-2】已知函数，且是偶函数，则实数（   ） A． B． C． D．2 【变式7-3】已知函数，若在区间上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 一、单选题 1．角以为始边，它的终边与单位圆相交于点，且点的横坐标为，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．已知，则（    ） A． B． C． D． 3．已知，则（    ） A． B． C． D． 4．已知，则（   ） A． B． C． D． 5．已知，且，则的最大值为（   ） A． B． C．1 D． 6．当，时，，则（   ） A． B．0 C． D．1 二、多选题 7．下列等式成立的有（ ） A． B． C． D． 8．若，，，则（   ） A． B． C． D． 三、填空题 9．已知，则 . 10．已知，则 . 11．已知，．若，，则的值是 ． 四、解答题 12．已知． (1)求的值； (2)求的值． 13．已知为锐角，为钝角，且，. (1)求的值； (2)求的值. 14．已知函数 (1)求的单调递增区间； (2)当时，求的值域； (3)已知为锐角，且，求的值. 15．已知为锐角，在下面两个条件中任选一个作为已知条件： ①；②. (1)求； (2)已知，，. （i）求； （ii）求的最小值，并求出此时的值. 注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$