专题10练习江苏省2025年九年级下学期一轮复习——平移、旋转和对称练习

一轮复习——平移、旋转和翻折练习 1. （2024·江苏扬州·中考真题）在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据关于原点对称的点的坐标特征：横坐标、纵坐标都变为相反数，即可得答案. 【详解】∵点关于原点的对称点为， ∴的坐标为（-1，-2）， 故选D． 【点睛】本题考查关于原点对称的点的坐标，其坐标特征为：横坐标、纵坐标都变为相反数． 2. （2024·江苏盐城·中考真题）下列四幅图片中的主体事物，在现实运动中属于翻折的是（ ） A. 工作中的雨刮器 B. 移动中的黑板 C. 折叠中的纸片 D. 骑行中的自行车 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了折叠，根据折叠的定义逐项判断即可求解，掌握折叠的定义是解题的关键． 【详解】解：、工作中的雨刮器，属于旋转，不合题意； 、移动中的黑板，属于平移，不合题意； 、折叠中的纸片，属于翻折，符合题意； 、骑行中的自行车，属于平移，不合题意； 故选：． 3. （2023·无锡中考真题）将函数的图像向下平移2个单位长度，所得图像对应的函数表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题目条件函数的图像向下平移2个单位长度，则的值减少2，代入方程中即可． 【详解】解：∵函数的图像向下平移2个单位长度， ∴， 故答案为：A． 【点睛】本题主要考查函数平移，根据题目信息判断是沿轴移动还是沿轴移动是解题的关键． 4. （2023·徐州中考真题）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得拋物线对应的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数图象平移“左加右减，上加下减”可进行求解． 【详解】解：由二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得拋物线对应的函数表达式为； 故选B． 【点睛】本题主要考查二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移是解题的关键． 5. （2023·盐城中考真题）如图，关于的函数的图象与轴有且仅有三个交点，分别是，对此，小华认为：①当时，；②当时，有最小值；③点在函数的图象上，符合要求的点只有1个；④将函数的图象向右平移1个或3个单位长度经过原点.其中正确的结论有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】C 【解析】 【分析】结合函数图象逐个分析即可． 【详解】由函数图象可得： 当时，或；故①错误； 当时，有最小值；故②正确； 点在直线上，直线与函数图象有3个交点，故③错误； 将函数的图象向右平移1个或3个单位长度经过原点，故④正确； 故选：C． 【点睛】本题考查了函数的图象与性质，一次函数图象，解题的关键是数形结合． 6. （2023·无锡中考真题）如图，中，，将逆时针旋转得到，交于F．当时，点D恰好落在上，此时等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据旋转可得，再结合旋转角即可求解． 【详解】解：由旋转性质可得：，， ∵， ∴，， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了几何—旋转问题，掌握旋转的性质是关键． 7. （2023·泰州中考真题）菱形的边长为2，，将该菱形绕顶点A在平面内旋转，则旋转后的图形与原图形重叠部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分两种情况：①如图，将该菱形绕顶点A在平面内顺时针旋转，连接，相交于点O，与交于点E，根据菱形的性质推出的长，再根据菱形的性质推出与的长，再根据重叠部分的面积求解即可．②将该菱形绕顶点A在平面内逆时针旋转，同①方法可得重叠部分的面积． 【详解】解：①如图，将该菱形绕顶点A在平面内顺时针旋转30°， 连接，相交于点O，与交于点E， ∵四边形是菱形，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵菱形绕点A顺时针旋转得到菱形， ∴， ∴A，，C三点共线， ∴， 又∵， ∴，， ∵重叠部分的面积， ∴重叠部分面积； ②将该菱形绕顶点A在平面内逆时针旋转，同①方法可得重叠部分的面积， 故选：A． 【点睛】本题考查了旋转的性质，菱形的性质，正确作出图形是解题的关键． 8. （2024·江苏徐州·中考真题） 在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向下平移5个单位长度，所得抛物线与x轴有两个公共点P、Q，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数平移规律，抛物线与x轴的交点，两点间的距离公式，解题关键是熟练掌握二次函数图象的平移规律，求出抛物线的解析式．根据二次函数图象的平移规律，求出抛物线的解析式，然后令，列出关于x的方程，解方程求出x，再根据两点间的距离公式求出答案即可． 【详解】解：将二次函数的图象向下平移5个单位长度，所得抛物线的解析式为： ， 令，则， 或， 解得：或， ， 故答案为：1． 9. （2024·江苏连云港·中考真题） 如图，将一张矩形纸片上下对折，使之完全重合，打开后，得到折痕EF，连接BF．再将矩形纸片折叠，使点B落在BF上的点H处，折痕为AG．若点G恰好为线段BC最靠近点B的一个五等分点，，则BC的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查矩形折叠，勾股定理，解直角三角形，设与交于点，，则：，勾股定理求出，等积法求出，根据，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设与交于点， ∵矩形， ∴， ∵翻折， ∴，， 设，则：， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：，经检验是原方程的解， ∴； 故答案为：． 10. （2023·扬州中考真题）如图，已知正方形的边长为1，点E、F分别在边上，将正方形沿着翻折，点B恰好落在边上的点处，如果四边形与四边形的面积比为3∶5，那么线段的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，过点作于点，设，则，则，根据已知条件，分别表示出，证明，得出，在中，，勾股定理建立方程，解方程即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，过点作于点， ∵正方形的边长为1，四边形与四边形的面积比为3∶5， ∴， 设，则，则 ∴ 即 ∴ ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∵， ∴， 又, ∴， ∴ 在中， 即 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 11. （2023·泰州中考真题）如图，中，，，射线从射线开始绕点C逆时针旋转角，与射线相交于点D，将沿射线翻折至处，射线与射线相交于点E．若是等腰三角形，则的度数为______________． 【答案】或或 【解析】 【分析】分情况讨论，利用折叠的性质知，，再画出图形，利用三角形的外角性质列式计算即可求解． 【详解】解：由折叠的性质知，， 当时，， 由三角形的外角性质得，即， 此情况不存在； 当时， ，， 由三角形的外角性质得， 解得； 当时，， ∴， 由三角形的外角性质得， 解得； 当时，， ∴， ∴； 综上，的度数为或或． 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形的外角性质，等腰三角形的性质，画出图形，数形结合是解题的关键． 12. （2023·淮安中考真题）在四边形中，为内部的任一条射线（不等于），点关于的对称点为，直线与交于点，连接，则面积的最大值是_________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，根据轴对称的性质可得，进而可得在半径为的上，证明是等边三角形，当取得最大值时，面积最大，根据圆的直径最大，进而得出最大值为，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵点关于的对称点为， ∴， ∵， ∴在半径为的上， 在优弧上任取一点，连接, 则， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， 当取得最大值时，面积最大， ∵在上运动，则最大值为， 则面积的最大值是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，圆周角定理，圆内接四边形对角互补，等边三角形的性质，得出最大值为是解题的关键． 13. （2023·连云港中考真题）以正五边形的顶点C为旋转中心，按顺时针方向旋转，使得新五边形的顶点落在直线上，则正五边旋转的度数至少为______°． 【答案】 【解析】 【分析】依据正五边形的外角性质，即可得到的度数，进而得出旋转的角度． 【详解】解：∵五边形是正五边形， ∴， ∴新五边形的顶点落在直线上，则旋转的最小角度是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正多边形、旋转性质，关键是掌握正多边形的外角和公式的运用． 14. （2023·宿迁中考真题）如图，是正三角形，点A在第一象限，点、．将线段　绕点C按顺时针方向旋转至；将线段绕点B按顺时针方向旋转至；将线段绕点A按顺时针方向旋转至；将线段绕点C按顺时针方向旋转至；……以此类推，则点的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】首先画出图形，然后得到旋转3次为一循环，然后求出点在射线的延长线上，点在x轴的正半轴上，然后利用旋转的性质得到，最后利用勾股定理和含角直角三角形的性质求解即可． 【详解】如图所示， 由图象可得，点，在x轴的正半轴上， ∴．旋转3次为一个循环， ∵ ∴点在射线的延长线上， ∴点在x轴的正半轴上， ∵，是正三角形， ∴由旋转的性质可得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴同理可得，，， ∴， ∴， ∴， ∴由旋转的性质可得，， ∴如图所示，过点作轴于点E， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴点的坐标是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化-旋转，勾股定理，等边三角形的性质．正确确定每次旋转后点与旋转中心的距离长度是关键． 15. （2024·江苏扬州·中考真题）如图1，将两个宽度相等的矩形纸条叠放在一起，得到四边形． （1）试判断四边形的形状，并说明理由； （2）已知矩形纸条宽度为，将矩形纸条旋转至如图2位置时，四边形的面积为，求此时直线所夹锐角的度数． 【答案】（1）四边形是菱形，理由见详解 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，含的直角三角形的性质 ，掌握菱形的判定和性质是解题的关键． （1）根据矩形的性质可得四边形是平行四边形，作，可证，可得，由此可证平行四边形是菱形； （2）作，根据面积的计算方法可得，结合菱形的性质可得，根据含的直角三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 解：四边形是菱形，理由如下， 如图所示，过点作于点，过点作于点， 根据题意，四边形，四边形是矩形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵宽度相等，即，且， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形； 【小问2详解】 解：如图所示，过点作于点， 根据题意，， ∵， ∴， 由（1）可得四边形是菱形， ∴， 在中，， ∴． 16. （2024·江苏无锡·中考真题）【操作观察】 如图，在四边形纸片中，，，，，． 折叠四边形纸片，使得点的对应点始终落在上，点的对应点为，折痕与分别交于点． 【解决问题】 （1）当点与点重合时，求的长； （2）设直线与直线相交于点，当时，求的长． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，正切的相关应用，结合题意画出图形是解题的关键． （1）过点C作，则，，再求出，根据勾股定理求出，当点与点A重合时，由折叠的性质可得出垂直平分，N与D重合， 则有，设，则，再利用勾股定理即可得出． （2）分两种情况，当点F在上时和当点F在的延长线上时，设，，则 ，利用三个角的正切值相等表示出个线段的长度，最后利用线段的和差关系求解即可． 【小问1详解】 解：如图1，过点C作， 则，， ∴， ∴ ， ， 当点与点A重合时，由折叠的性质可得出垂直平分，N与D重合， 则有， 设，则， ∵ ∴在中， 解得：， 故 【小问2详解】 如图2，当点F在上时，如下图： 由(1)可知， ∵ ∴， 设，，则 ， 根据折叠的性质可得出：，． ∵， ∴， ∵ ∴在中，， 则， 解得：， 如图3，当点F在的延长线上时， 同上， 在中， 设，，， ， 在中， ， 则 解得， 则， 综上：的值为：或． 17. （2024·江苏宿迁·中考真题） 如图①，已知抛物线与x轴交于两点，将抛物线向右平移两个单位长度，得到抛物线，点P是抛物线在第四象限内一点，连接并延长，交抛物线于点Q． （1）求抛物线的表达式； （2）设点P的横坐标为，点Q的横坐标为，求的值； （3）如图②，若抛物线与抛物线交于点C，过点C作直线，分别交抛物线和于点M、N（M、N均不与点C重合），设点M的横坐标为m，点N的横坐标为n，试判断是否为定值．若是，直接写出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1）； （2）； （3）是定值，． 【解析】 【分析】此题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式、函数图象的交点问题、一元二次方程根与系数关系等知识，准确利用待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法求出，再根据平移规律即可求出抛物线的表达式； （2）设点P的坐标为，待定系数法求出直线的解析式为，联立与得到，解得，即可求出答案； （3）由（1）可得，，与联立得到，求出点C的坐标为，又由点M的坐标为，利用待定系数法求出直线的解析式为，与联立得到，则，得到，即可得到，得到定值． 【小问1详解】 解：∵抛物线与x轴交于两点， ∴， 解得， ∴， ∵抛物线向右平移两个单位长度，得到抛物线， ∴ 即 【小问2详解】 解：设点P的坐标为，设直线的解析式为，把点A和点P的坐标代入得到， 则 解得， ∴直线的解析式为， 联立与得到 ， 解得， 则 【小问3详解】 解：由（1）可得，，与联立得到，， 解得， 此时 ∴点C的坐标为， ∵点M的横坐标为m，且在上， ∴ 即点M的坐标为 设直线的解析式为，把点C和点M的坐标代入得到， 则 解得， ∴直线的解析式为， 与联立得到， ， 整理得到， 则， 即， 即， 即为定值． 18. （2023·镇江中考真题）已知，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C与点B关于原点对称，直线分别与y轴交于点E，F，点F在点E的上方，． （1）分别求点E，F的纵坐标（用含m，n的代数式表示），并写出m的取值范围． （2）求点B的横坐标m，纵坐标n之间的数量关系．（用含m的代数式表示n） （3）将线段绕点顺时针旋转，E，F的对应点分别是，．当线段与点B所在的某个函数图象有公共点时，求m的取值范围． 【答案】（1），， （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据直线与y轴交于E，得到，根据点C与点B关于原点对称，求得，得到，设直线的解析式为，将，代入得解方程即可得到结论； （2）根据题意列方程即可得到结论； （3）根据n与m的关系式为，得到在函数的图象上，由旋转得，，当在点B所在的函数图象上时，解方程得到，根据线段与点B所在的函数图象有公共点，列不等式组即可得到结论． 【小问1详解】 由直线与y轴交于E，得， ∵点C与点B关于原点对称，， ∴， 由直线与y轴交于点F，得，即， 综上所述，， 设直线对应的一次函数解析式为， 将，代入，得： ， 解得， ∴， 同理； 由点F在点E上边知: ，且， ∴，即； 【小问2详解】 由题意得，， 整理得，； 【小问3详解】 ∵n与m的关系式为， ∴在函数的图象上， 由旋转得，， 当在点B所在的函数图象上时，， 解得， ∵线段与点B所在函数图象有公共点， ∴或， 由旋转得，且； ∵或． ∵， ∴或． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查了轴对称的性质，旋转的性质，待定系数法求函数的解析式，正确地求得n与m的关系式是解题的关键． 19. （2024·江苏南通·中考真题）在中，，，垂足为H，D是线段上的动点（不与点H，C重合），将线段绕点D顺时针旋转得到线段．两位同学经过深入研究，小明发现：当点E落在边上时，点D为的中点；小丽发现：连接，当的长最小时，．请对两位同学的发现作出评判（    ） A．小明正确，小丽错误 B．小明错误，小丽正确 C．小明、小丽都正确 D．小明、小丽都错误 【答案】C 【知识点】等腰三角形的性质和判定、根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】旋转得到，当点E落在边上时，利用三角形的外角推出，进而得到，推出，判断小明的说法，连接，等边对等角，求出，进而求出，推出点在射线上运动，根据垂线段最短，得到时，的长最小，进而推出，判断小丽的说法即可． 【详解】解：∵将线段绕点D顺时针旋转得到线段， ∴， 当点E落在边上时，如图： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴为的中点，故小明的说法是正确的； 连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点在射线上运动， ∴当时，的长最小， ∴当的长最小时，， 又∵， ∴， ∴， ∴；故小丽的说法正确； 故选C． 【点睛】本题考查旋转的性质，三角形的外角，等腰三角形的判定和性质，垂线段最短，相似三角形的判定和性质，熟练掌握旋转的性质，根据题意，正确的作图，确定点的轨迹，是解题的关键． 20. （2024·江苏徐州·三模）如图，四边形为一个矩形纸片，，动点P自D点出发运动至C点后停止．以直线为轴翻折，点D落到点E的位置设，与原纸片重叠部分的面积为y． (1)如图1，请求出当x为何值时，直线过点C； (2)如图2，点F在线段上，，当x为何值时，直线经过点F； (3)求出y与x的函数关系式． 【答案】(1) (2) (3)当时，；当时， 【知识点】矩形与折叠问题、用勾股定理解三角形、根据等角对等边证明边相等、函数解析式 【分析】（1）由勾股定理得，，由翻折的性质可知，，，则，由直线过点C，可知，，由勾股定理得，，即，计算求解即可； （2）如图2，连接，由勾股定理得，，同理（1）可知，，，，由题意得，，由勾股定理得，，即，，即，则，计算求解即可； （3）由题意知，①当时，与原纸片重叠部分的面积为的面积．如图3，则；②当时，点E在矩形的外部，如图4，记交于H，则，，如图4，作于G，则四边形是矩形，则，设，则，由勾股定理得，，即，可得，根据，求解作答即可． 【详解】（1）解：∵矩形， ∴，， 由勾股定理得，， 由翻折的性质可知，，， ∴， ∵直线过点C， ∴，， 由勾股定理得，，即， 解得，， ∴当时，直线过点C； （2）解：如图2，连接， 由勾股定理得，， 同理（1）可知，，，， 由题意得，， 由勾股定理得，，即， ，即， ∴， 解得， 当时，直线经过点F； （3）解：由题意知，①当时，与原纸片重叠部分的面积为的面积．如图3， ∴； ②当时，点E在矩形的外部，如图4，记交于H， ∵， ∴， 由折叠可知，， ∴， ∴， 如图4，作于G，则四边形是矩形， ∴， 设，则， 由勾股定理得，，即， 解得：， ∴， 综上所述，当时，；当时，． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，折叠的性质，等角对等边，勾股定理，函数解析式等知识．熟练掌握矩形的判定与性质，折叠的性质，等角对等边，勾股定理，函数解析式是解题的关键． 21. （2024·江苏南通·二模）问题情境：如图，对折矩形纸片，使与重合，折痕为；再一次对折纸片，使与重合，折痕为；把纸片展平，也为折痕；点P为线段上一点，再次沿折叠矩形纸片，使点A落在原矩形所在平面的点Q处． 问题解决： (1)如图1，若点Q在线段上，延长交于点W，求证：为等边三角形； (2)如图2，若点Q在线段上，求的值； (3)矩形中，，，直线交的延长线于点K．若，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【知识点】等边三角形的判定、用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）由矩形的性质得，，由折叠的性质得，由等腰三角形的判定及性质得，由平行线分线段成比例定理得，从而可得，由线段垂直平分线的性质定理得，即可得证； （2）设交于点R，，则，由勾股定理得 ，由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得， 由此可求，由正切的定义即可求解； （3）设直线PK交边BC于点T，相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，设，则，，由勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：四边形为矩形． ，， ， 由折叠得到， ， ， ， ， 由题意可知，， ， ， ， 又， ， 垂直平分， ， ， 是等边三角形． （2）解：设交于点R，，则， 由折叠得： ， ∴ ， 由（1）同理可证：， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：如图，设直线PK交边BC于点T， ， ， ， 设，则， ， 同（1）可得， ， 在中，， ， 解得：（舍去），， ． 【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，等腰三角形的判定及性质，等边三角形的判定，平行线分线段成比例定理，勾股定理，相似三角形的判定及性质，正切函数等，掌握相关的判定方法及性质，利用辅助未知数用方程思想进行求解是解题的关键． 22. （2024·江苏盐城·三模）综合实践课上，老师让同学们准备矩形纸片，开展数学活动． (1)折一折、画一画： 操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：如图1，P为上一点，沿折叠，使点A落在上的点M处，连接并延长交于点Q．由上述操作后探究可得：______°，的形状是______三角形． (2)剪一剪，移一移： 操作三：把纸片展平，沿剪开； 操作四：如图2，将沿方向平移得到，若交于点G，交于点H．连接，若，平移距离为x． ①当为直角三角形时，求出x的值； ②设四边形的面积为y，请直接写出y与x的函数关系式，并指出当x为何值时，y取最大值，y的最大值为多少？ 【答案】(1)30°，等边 (2)①x的值为或；②y与x的函数关系式为；当时，y取最大值，y的最大值为． 【知识点】解直角三角形的相关计算、矩形与折叠问题、等边三角形的判定和性质、y=ax²+bx+c的最值 【分析】（1）设与的交点是点N，根据折叠的性质得四边形都是矩形，根据性质证明，即可证明相关结论． （2）①根据矩形的性质，分，两种情况计算即可． ②设四边形的面积为y，根据构造二次函数，利用二次函数性质求最值即可． 【详解】（1）设与的交点是点N，根据折叠的性质得四边形都是矩形， ∴，，且， ∴，，，， ∴，， ∴， ∵ ∴， ∴，， ∴，， ∴是等边三角形，， ∴， 故答案为：30，等边． （2）①根据前面的解答，得到，，，是等边三角形， ∴是等边三角形，， ∵，平移距离为x． ∴，，， 如图，当时， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得． 当时， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得． ②设四边形的面积为y， 根据题意，得 根据前面的解答，得到是等边三角形，， ∵，平移距离为x． ∴，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴y有最大值，且当时，有最大值为． 【点睛】本题考查了矩形都会选择，折叠的性质，平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形的相关计算，构造二次函数求最值，分类思想，熟练掌握折叠的性质，解直角三角形的相关计算，构造二次函数求最值，分类思想是解题的关键． 23. (2023年江苏省盐城市中考数学真题) 综合与实践 【问题情境】 如图1，小华将矩形纸片先沿对角线折叠，展开后再折叠，使点落在对角线上，点的对应点记为，折痕与边，分别交于点，. 【活动猜想】 （1）如图2，当点与点重合时，四边形是哪种特殊的四边形？答：_________. 【问题解决】 （2）如图3，当，，时，求证：点，，同一条直线上. 【深入探究】 （3）如图4，当与满足什么关系时，始终有与对角线平行？请说明理由. （4）在（3）的情形下，设与，分别交于点，，试探究三条线段，，之间满足的等量关系，并说明理由. 【答案】（1）菱形；（2）证明见解答；（3），证明见解析；（4），理由见解析 【解析】 【分析】（1）由折叠可得：，，再证得，可得，利用菱形的判定定理即可得出答案； （2）设与交于点，过点作于，利用勾股定理可得，再证明，可求得，进而可得，再由，可求得，，，运用勾股定理可得，运用勾股定理逆定理可得，进而可得，即可证得结论； （3）设，则，利用折叠的性质和平行线性质可得：，再运用三角形内角和定理即可求得，利用解直角三角形即可求得答案； （4）过点作于，设交于，设，，利用解直角三角形可得，，即可得出结论． 【详解】解：（1）当点与点重合时，四边形是菱形． 理由：设与交于点，如图， 由折叠得：，， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， 四边形是菱形． 故答案为：菱形． （2）证明：四边形是矩形，，，， ，，， ， ， 如图，设与交于点，过点作于， 由折叠得：，，， ， ， ， ，即， ， ， ，， ， ，即， ，， ， ， ，， ， ， ， 点，，在同一条直线上． （3）当时，始终有与对角线平行． 理由：如图，设、交于点， 四边形是矩形， ，， ， 设， 则， 由折叠得：，， ，， ， ， ， ， ，即， ， ， ， ； （4），理由如下： 如图，过点作于，设交于， 由折叠得：，，， 设，， 由（3）得：， ， ， ，， ， 四边形是矩形， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质和判定，菱形的判定，勾股定理，直角三角形性质，等腰三角形性质，平行线性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等，涉及知识点多，综合性强，难度较大． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 一轮复习——平移、旋转和翻折练习 1. （2024·江苏扬州·中考真题）在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标是( ) A. B. C. D. 2. （2024·江苏盐城·中考真题）下列四幅图片中的主体事物，在现实运动中属于翻折的是（ ） A. 工作中的雨刮器 B. 移动中的黑板 C. 折叠中的纸片 D. 骑行中的自行车 3. （2023·无锡中考真题）将函数的图像向下平移2个单位长度，所得图像对应的函数表达式是（ ） A. B. C. D. 4. （2023·徐州中考真题）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得拋物线对应的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 5. （2023·盐城中考真题）如图，关于的函数的图象与轴有且仅有三个交点，分别是，对此，小华认为：①当时，；②当时，有最小值；③点在函数的图象上，符合要求的点只有1个；④将函数的图象向右平移1个或3个单位长度经过原点.其中正确的结论有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 6. （2023·无锡中考真题）如图，中，，将逆时针旋转得到，交于F．当时，点D恰好落在上，此时等于（ ） A. B. C. D. 7. （2023·泰州中考真题）菱形的边长为2，，将该菱形绕顶点A在平面内旋转，则旋转后的图形与原图形重叠部分的面积为（ ） A. B. C. D. 8. （2024·江苏徐州·中考真题） 在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向下平移5个单位长度，所得抛物线与x轴有两个公共点P、Q，则______ 9. （2024·江苏连云港·中考真题） 如图，将一张矩形纸片上下对折，使之完全重合，打开后，得到折痕EF，连接BF．再将矩形纸片折叠，使点B落在BF上的点H处，折痕为AG．若点G恰好为线段BC最靠近点B的一个五等分点，，则BC的长为__________． 10. （2023·扬州中考真题）如图，已知正方形的边长为1，点E、F分别在边上，将正方形沿着翻折，点B恰好落在边上的点处，如果四边形与四边形的面积比为3∶5，那么线段的长为________． 11. （2023·泰州中考真题）如图，中，，，射线从射线开始绕点C逆时针旋转角，与射线相交于点D，将沿射线翻折至处，射线与射线相交于点E．若是等腰三角形，则的度数为______________． 12. （2023·淮安中考真题）在四边形中，为内部的任一条射线（不等于），点关于的对称点为，直线与交于点，连接，则面积的最大值是_________． 13. （2023·连云港中考真题）以正五边形的顶点C为旋转中心，按顺时针方向旋转，使得新五边形的顶点落在直线上，则正五边旋转的度数至少为______°． 14. （2023·宿迁中考真题）如图，是正三角形，点A在第一象限，点、．将线段　绕点C按顺时针方向旋转至；将线段绕点B按顺时针方向旋转至；将线段绕点A按顺时针方向旋转至；将线段绕点C按顺时针方向旋转至；……以此类推，则点的坐标是________． 15. （2024·江苏扬州·中考真题）如图1，将两个宽度相等的矩形纸条叠放在一起，得到四边形． （1）试判断四边形的形状，并说明理由； （2）已知矩形纸条宽度为，将矩形纸条旋转至如图2位置时，四边形的面积为，求此时直线所夹锐角的度数． 16. （2024·江苏无锡·中考真题）【操作观察】 如图，在四边形纸片中，，，，，． 折叠四边形纸片，使得点的对应点始终落在上，点的对应点为，折痕与分别交于点． 【解决问题】 （1）当点与点重合时，求的长； （2）设直线与直线相交于点，当时，求的长． 17. （2024·江苏宿迁·中考真题） 如图①，已知抛物线与x轴交于两点，将抛物线向右平移两个单位长度，得到抛物线，点P是抛物线在第四象限内一点，连接并延长，交抛物线于点Q． （1）求抛物线的表达式； （2）设点P的横坐标为，点Q的横坐标为，求的值； （3）如图②，若抛物线与抛物线交于点C，过点C作直线，分别交抛物线和于点M、N（M、N均不与点C重合），设点M的横坐标为m，点N的横坐标为n，试判断是否为定值．若是，直接写出这个定值；若不是，请说明理由． 18. （2023·镇江中考真题）已知，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C与点B关于原点对称，直线分别与y轴交于点E，F，点F在点E的上方，． （1）分别求点E，F的纵坐标（用含m，n的代数式表示），并写出m的取值范围． （2）求点B的横坐标m，纵坐标n之间的数量关系．（用含m的代数式表示n） （3）将线段绕点顺时针旋转，E，F的对应点分别是，．当线段与点B所在的某个函数图象有公共点时，求m的取值范围． 19. （2024·江苏南通·中考真题）在中，，，垂足为H，D是线段上的动点（不与点H，C重合），将线段绕点D顺时针旋转得到线段．两位同学经过深入研究，小明发现：当点E落在边上时，点D为的中点；小丽发现：连接，当的长最小时，．请对两位同学的发现作出评判（    ） A．小明正确，小丽错误 B．小明错误，小丽正确 C．小明、小丽都正确 D．小明、小丽都错误 20. （2024·江苏徐州·三模）如图，四边形为一个矩形纸片，，动点P自D点出发运动至C点后停止．以直线为轴翻折，点D落到点E的位置设，与原纸片重叠部分的面积为y． (1)如图1，请求出当x为何值时，直线过点C； (2)如图2，点F在线段上，，当x为何值时，直线经过点F； (3)求出y与x的函数关系式． 21. （2024·江苏南通·二模）问题情境：如图，对折矩形纸片，使与重合，折痕为；再一次对折纸片，使与重合，折痕为；把纸片展平，也为折痕；点P为线段上一点，再次沿折叠矩形纸片，使点A落在原矩形所在平面的点Q处． 问题解决： (1)如图1，若点Q在线段上，延长交于点W，求证：为等边三角形； (2)如图2，若点Q在线段上，求的值； (3)矩形中，，，直线交的延长线于点K．若，求线段的长． 22. （2024·江苏盐城·三模）综合实践课上，老师让同学们准备矩形纸片，开展数学活动． (1)折一折、画一画： 操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：如图1，P为上一点，沿折叠，使点A落在上的点M处，连接并延长交于点Q．由上述操作后探究可得：______°，的形状是______三角形． (2)剪一剪，移一移： 操作三：把纸片展平，沿剪开； 操作四：如图2，将沿方向平移得到，若交于点G，交于点H．连接，若，平移距离为x． ①当为直角三角形时，求出x的值； ②设四边形的面积为y，请直接写出y与x的函数关系式，并指出当x为何值时，y取最大值，y的最大值为多少？ 23. (2023年江苏省盐城市中考数学真题) 综合与实践 【问题情境】 如图1，小华将矩形纸片先沿对角线折叠，展开后再折叠，使点落在对角线上，点的对应点记为，折痕与边，分别交于点，. 【活动猜想】 （1）如图2，当点与点重合时，四边形是哪种特殊的四边形？答：_________. 【问题解决】 （2）如图3，当，，时，求证：点，，同一条直线上. 【深入探究】 （3）如图4，当与满足什么关系时，始终有与对角线平行？请说明理由. （4）在（3）的情形下，设与，分别交于点，，试探究三条线段，，之间满足的等量关系，并说明理由. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$