专题06练习江苏省2025年九年级下学期一轮复习——全等三角形、相似三角形练习

一轮复习——全等三角形、相似三角形练习 1. （2023上·江苏扬州·九年级校考阶段练习）如图，已知，，将以点O为位似中心，相似比为，放大得到，则顶点B的对应点的坐标为 ．    【答案】或/或 【分析】利用位似图形坐标变化特征解答即可． 【详解】解：由位似图形坐标变化的特征可知： 或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查位似图形坐标变化特征：一般地，在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为k，那么与原图形上的点对应的位似图形上的点的坐标为或． 2. （2023上·江苏常州·九年级统考期末）已知点P在内，连接，在中，如果存在一个三角形与相似，那么就称点P为的自相似点，如图，在直角中，，如果点P为直角的自相似点，那么 ． 【答案】 【分析】先找到的内相似点，再根据三角函数的定义计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 故可在内作， 又∵点P为的自相似点， ∴过点C作，并延长交于点D，    则， ∴点P为的自相似点， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，利用条件先确定出P点的位置是解题的关键． 3. （2023上·江苏扬州·九年级校联考阶段练习）将一张以为边的矩形纸片，先沿一条直线剪掉一个直角三角形，在剩下的纸片中，再沿一条直线剪掉一个直角三角形（剪掉的两个直角三角形相似），剩下的是如图所示的四边形纸片，其中，，，，，则该矩形与相邻的另一条边长是 .（剪法不止一种） 【答案】或 【分析】分情况讨论，根据相似三角形的性质求得的值，即可求解． 【详解】解：如图所示矩形， 设，， ∵， ∴， 即：， ∴，， ∴， 则； 如图所示矩形， 设，， ∵， ∴， 即：， ∴，， ∴， ∴； 故答案为：或． 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键． 4. （2023下·江苏南通·八年级校联考阶段练习）如图，已知矩形，长，宽，P、Q分别是、上运动的两点．若P自点A出发，以1cm/s的速度沿AB方向运动，同时，Q自点B出发以2cm/s的速度沿方向运动，则经过 秒，以P、B、Q为顶点的三角形与相似．    【答案】或 【分析】要使以P、B、Q为顶点的三角形与相似，则要分两种情况进行分析．分别是或，利用相似的性质得出比例线段并建立方程即可． 【详解】解：设经x秒后，以P、B、Q为顶点的三角形与相似， 则，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，，，    ①当时，有， ∴，即， 解得； ②当时，有， ∴，即， 解得， ∴经过2秒或秒时,以P、B、Q为顶点的三角形与相似． 故答案为：2或． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，正确分类是解题的关键． 5. （2024·江苏连云港·模拟预测）如图，在等腰中，，，F是边上的中点，点D、E分别在边上运动，且保持．连接． 在此运动变化的过程中，下列结论： ①是等腰直角三角形； ②四边形不可能为正方形， ③长度的最小值为4； ④四边形的面积保持不变； ⑤面积的最大值为8． 其中正确的结论是 ． 【答案】①④⑤ 【知识点】旋转模型(全等三角形的辅助线问题)、用勾股定理解三角形 【分析】解答此题的关键是在于判断是否等腰直角三角形；做常规辅助线，连接，由定理可得，从而可证可得，可得是等腰直角三角形正确；②再由补割法可证④是正确的．判断③与⑤，是等腰直角三角形；可得，当时，最小，取最小值，故③错误，最大的面积等于四边形的面积减去的最小面积，由③可知⑤是正确的，故①④⑤正确． 【详解】解；连接． 为等腰直角三角形， ，， ， ， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ∴①正确； 当D、E分别为，的中点时，四边形是正方形， 因此②错误； ， ， ∴④是正确的； 是等腰直角三角形， ∴当最小时，也最小， 即当时，最小，此时， ， ∴③错误； 当面积最大时，由④知， 此时的面积最小， 此时，， ∴⑤正确．综上所述正确的有①④⑤． 故答案为①④⑤． 【点睛】本题是三角形的综合题，难度适中，此题考查了全等三角形的判定与性质，以及等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键，在第③问中，由的最值来确定的最值，这在讨论最值问题中经常运用，要熟练掌握． 此题考查的知识点有等腰直角三角形，全等三角形的判定与性质等知识点，综合性强，难度较大，是一道难题． 6. （2024·江苏常州·模拟预测）如图，在四边形中，对角线平分，，点在上，．若，，，则的长为 ． 【答案】/ 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、全等三角形的性质、角平分线的性质定理 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识，解题关键是注意探究题中的隐含条件，通过适当添加辅助线构造全等三角形和相似三角形； 根据角平分线的特点，在上截取，连结，构造全等三角形和相似三角形，由相似三角形的性质求出的长； 【详解】解：如图，在上取一点，使，连接， 平分， ， ， ， ，，， ， ， 即， ，即， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为： 7. （2024·江苏镇江·中考真题）如图，的边的垂直平分线交于点，连接．若，，则 ． 【答案】3 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，关键是由线段垂直平分线的性质推出． 求出，由线段垂直平分线的性质推出． 【详解】解：，， ， 在的垂直平分线上， ． 故答案为：3． 8. （2024·江苏南京·模拟预测）如图，点C是上一动点，B为一定点，D随着C点移动而移动，为的垂直平分线，，若半径为2，点B到点A的距离为4，则在C点运动过程中，的最大值为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、求一点到圆上点距离的最值、线段垂直平分线的性质、根据正方形的性质与判定证明 【分析】该题主要考查了勾股定理，正方形的性质和判定，垂直平分线的定义，圆中相关知识点，解题的关键是找到取得最大值时点C的位置． 过点作交所在直线于点，证明四边形是正方形，设，则，勾股定理得出，确定出时最大，求解即可； 【详解】解：过点作交所在直线于点， ∵为的垂直平分线， ， ∴， ∵， ∴四边形是正方形， 设，则， 在中，， 故当最大时，最大， ∵， ∴时最大，即最大， 此时， 故答案为：． 9. （2024·江苏常州·中考真题）如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交边于点E、F．若，，则 ． 【答案】 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、线段垂直平分线的性质、求角的正切值 【分析】本题主要考查三角形相似的判定和性质以及勾股定理，熟练掌握三角形的判定和性质是解题的关键．设与相交于点，证明，根据相似的性质进行计算即可； 【详解】解：的垂直平分线分别交边于点E、F． ，， ， ， ， ， ，，， ， ， ， 令， ， 解得或（舍去）， ． 故答案为：． 10. （2024·江苏南京·三模）如图，在中，，是角平分线，的垂直平分线分别交、于点E、F．若，，则的长为 ． 【答案】 【知识点】解直角三角形的相关计算、线段垂直平分线的性质、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】过作于点，于点，过作于点，则有四边形是矩形，，，再由角平分线性质得，，证明，，，即，设，则，，，，再由，求出，，最后由勾股定理即可求解． 【详解】如图，过作于点，于点，过作于点， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵平分， ∴由角平分线性质得：，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， 设，则， ∴，，， ∵， ∴，解得， ∴，， 在中，由勾股定理得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，勾股定理和解直角三角形，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 11. （2024·江苏徐州·中考真题）如图，是的直径，点在的延长线上，与相切于点，若，则 °． 【答案】35 【知识点】切线的性质定理、直角三角形的两个锐角互余、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题利用了切线的性质，三角形的外角与内角的关系，等边对等角求解．连接，构造直角三角形，利用，从而得出的度数． 【详解】解：连接， 与相切于点， ， ， ； ， ， 故答案为：35 12. （2023年江苏省泰州市中考数学真题）如图，中，，，射线从射线开始绕点C逆时针旋转角，与射线相交于点D，将沿射线翻折至处，射线与射线相交于点E．若是等腰三角形，则的度数为______________． 【答案】或或 【解析】 【分析】分情况讨论，利用折叠的性质知，，再画出图形，利用三角形的外角性质列式计算即可求解． 【详解】解：由折叠的性质知，， 当时，， 由三角形的外角性质得，即， 此情况不存在； 当时， ，， 由三角形的外角性质得， 解得； 当时，， ∴， 由三角形的外角性质得， 解得； 当时，， ∴， ∴； 综上，的度数为或或． 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形的外角性质，等腰三角形的性质，画出图形，数形结合是解题的关键． 13. （2023年江苏省宿迁市中考数学真题）如图，在矩形中，，，垂足分别为E、F．求证：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】根据定理证出，再根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】证明：四边形是矩形， ， ， ，， ， 在和中，， ， ． 14. （2024·江苏盐城·二模）如图，在中，，，点O为边中点，以点O为圆心的圆与相切于点D． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为2，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 15. （2024·江苏无锡·中考真题）如图，在中，． (1)尺规作图：作的角平分线，在角平分线上确定点，使得；（不写作法，保留痕迹） (2)在（1）的条件下，若，，，则的长是多少？（请直接写出的值） 【答案】(1)见详解 (2) 【知识点】作角平分线(尺规作图)、根据正方形的性质与判定求线段长、角平分线的性质定理、作垂线(尺规作图) 【分析】（1）作的角平分线和线段的垂直平分线相交于点D，即为所求． （2）过点D作交与点E，过点D作交与点F，先利用角平分线的性质定理证明四边形为正方形，设，则，，以为等量关系利用勾股定理解出x，在利用勾股定理即可求出． 【详解】（1）解：如下图：即为所求． （2）过点D作交与点E，过点D作交与点F， 则， 又∵ ∴四边形为矩形， ∵是的平分线， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， 设， ∴，， 在中，， 在中，， ∵ ∴ ∴ 解得：， ∴． 【点睛】本题主要考查了作角平分线以及垂直平分线，角平分线的性质定理，正方形的判定以及勾股定理的应用，作出图形以及辅助线是解题的关键． 16. （2024·江苏南京·二模）如图，、是的两条弦，与相交于点E，． (1)求证：； (2)连接 作直线求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】线段垂直平分线的判定、利用弧、弦、圆心角的关系求证 【分析】本题考查了垂直平分线的判定与性质，利用弧、弦、圆心角的关系求证，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据利用弧、弦、圆心角的关系得出，进而可得； （2）因为所以，即结合，得出E、O都在的垂直平分线上，即可作答． 【详解】（1）证明：∵， ∴ ∴， 即． ∴． （2）证明：连接 ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴E、O都在的垂直平分线上． ∴ 17. （2024·江苏苏州·二模）如图，圆O半径，互相垂直，弦，过点C 的直线， (1)求证： 是圆O的切线； (2)求 的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】证明某直线是圆的切线、解直角三角形的相关计算、线段垂直平分线的判定 【分析】本题考查垂直平分线的判定，平行线的性质，等腰三角形的性质和解直角三角形，掌握相关定理是解题的关键． （1）连接并延长交于点D，则得到，然后根据两直线平行，内错角相等解题即可； （2）设圆的半径为r，根据三线合一得到，然后利用解直角三角形得到，然后解题即可． 【详解】（1）证明：连接并延长交于点D， ∵，， ∴点C，O在线段的垂直平分线上， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴是圆O的切线； （2）解：设圆的半径为r，则， ∵，， ∴， ∴， ∴，     ∴． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 一轮复习——全等三角形、相似三角形练习 1. （2023上·江苏扬州·九年级校考阶段练习）如图，已知，，将以点O为位似中心，相似比为，放大得到，则顶点B的对应点的坐标为 ．    2. （2023上·江苏常州·九年级统考期末）已知点P在内，连接，在中，如果存在一个三角形与相似，那么就称点P为的自相似点，如图，在直角中，，如果点P为直角的自相似点，那么 ． 3. （2023上·江苏扬州·九年级校联考阶段练习）将一张以为边的矩形纸片，先沿一条直线剪掉一个直角三角形，在剩下的纸片中，再沿一条直线剪掉一个直角三角形（剪掉的两个直角三角形相似），剩下的是如图所示的四边形纸片，其中，，，，，则该矩形与相邻的另一条边长是 .（剪法不止一种） 4. （2023下·江苏南通·九年级校联考阶段练习）如图，已知矩形，长，宽，P、Q分别是、上运动的两点．若P自点A出发，以1cm/s的速度沿AB方向运动，同时，Q自点B出发以2cm/s的速度沿方向运动，则经过 秒，以P、B、Q为顶点的三角形与相似．    5. （2024·江苏连云港·模拟预测）如图，在等腰中，，，F是边上的中点，点D、E分别在边上运动，且保持．连接． 在此运动变化的过程中，下列结论： ①是等腰直角三角形； ②四边形不可能为正方形， ③长度的最小值为4； ④四边形的面积保持不变； ⑤面积的最大值为8． 其中正确的结论是 ． 6. （2024·江苏常州·模拟预测）如图，在四边形中，对角线平分，，点在上，．若，，，则的长为 ． 7. （2024·江苏镇江·中考真题）如图，的边的垂直平分线交于点，连接．若，，则 ． 8. （2024·江苏南京·模拟预测）如图，点C是上一动点，B为一定点，D随着C点移动而移动，为的垂直平分线，，若半径为2，点B到点A的距离为4，则在C点运动过程中，的最大值为 ． 9. （2024·江苏常州·中考真题）如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交边于点E、F．若，，则 ． 10. （2024·江苏南京·三模）如图，在中，，是角平分线，的垂直平分线分别交、于点E、F．若，，则的长为 ． 11. （2024·江苏徐州·中考真题）如图，是的直径，点在的延长线上，与相切于点，若，则 °． 12. （2023年江苏省泰州市中考数学真题）如图，中，，，射线从射线开始绕点C逆时针旋转角，与射线相交于点D，将沿射线翻折至处，射线与射线相交于点E．若是等腰三角形，则的度数为______________． 13. （2023年江苏省宿迁市中考数学真题）如图，在矩形中，，，垂足分别为E、F．求证：． 14. （2024·江苏盐城·二模）如图，在中，，，点O为边中点，以点O为圆心的圆与相切于点D． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为2，求图中阴影部分的面积． 15. （2024·江苏无锡·中考真题）如图，在中，． (1)尺规作图：作的角平分线，在角平分线上确定点，使得；（不写作法，保留痕迹） (2)在（1）的条件下，若，，，则的长是多少？（请直接写出的值） 16. （2024·江苏南京·二模）如图，、是的两条弦，与相交于点E，． (1)求证：； (2)连接 作直线求证：． 17. （2024·江苏苏州·二模）如图，圆O半径，互相垂直，弦，过点C 的直线， (1)求证： 是圆O的切线； (2)求 的值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$