6.3.5平面向量数量积的坐标表示课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第六章 平面向量 6.3 平面向量基本定理及坐标表示 6.3.5 平面向量数量积的坐标表示 学习目标 1、掌握平面向量数量积的坐标表示及其运算; 2、会运用向量的坐标运算求解向量垂直、夹角等相关问题; 3、能够区分向量平行与直线垂直的坐标表示; 4、能用向量法证明两角差的余弦公式. 新知讲解 探究 设如何用的坐标表示呢? 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和. 新知讲解—数量积的性质 “对应相乘和为0” (1)若则 若表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为,那么 (2)若则 (3)若则 典例分析—数量积 练习1:已知向量,求 ① ② 解:①; ② ; 典例分析—数量积 变式:如图,在矩形中,,,点为的中点,点在边上.若,则 解:以为原点,、为、轴建系, 则,,,. 可设,因为, 所以,即. 所以. 典例分析—数量积 练习2:已知与同向,,. ①求的坐标;②若,求及. 解:①设,则有 ∴∴ ②∵ ∴ 典例分析—数量积 例10 已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5),则 ABC是什么形状?证明你的猜想. A(1,2) C(-2,5) x 0 y ∴ ABC是直角三角形 证明:方法1 向量的数量积是否为零,是判断相应的两条线段或直线是否垂直的重要方法之一 典例分析—数量积 巩固练习——P36习题6.3 T8 T8、判断并证明的形状. ; ; ; 典例分析—数量积 例11:设a=(5,-7),b=(-6,-4),求a b及a、b间的夹角 (精确到1 ) a b = 5 (-6)+(-7) (-4) = -30+28 = -2 学以致用—数量积 练习1.(1)已知,. 则( ) A. B. C. D. (2)已知正方形的边长为,为的中点,点在上,,则 =_. 学以致用—数量积 练习2.(1)已知,若则( ) A. B. C. D.2 (2)已知,则( ) A. B. C. D.1 (3)已知,若则( ) A.或 B. 或 C.或 D.或 典例分析—模长 例.(1)已知,.若与反向,则的值为( ) A. B. C. D. (2)已知平面向量和的夹角为,,则( ) A. B. C. D.12 且 典例分析—夹角 例.已知点. (1)求向量与夹角的余弦值; (2)向量,求实数的值. 因为点A(2,-1),B(3,1),C(1,-2), 学以致用—夹角 练习3.(1)已知,,若与垂直,则与夹角的余弦值为( ) A. B. C. D. (2)已知,,若则( ) A. B. C.5 D. 典例分析—综合应用 1:已知向量,求: ①求,; ②求,, ③求 ④求,的夹角的正弦值. 解:①; ; ; ②; ③; ; 典例分析—综合应用 解:④ , ; , 1:已知向量,求: ①求,; ②求xx,, ③求 ④求,的夹角的正弦值. 典例分析—综合应用 2:设平面上向量(),.求证:与垂直. 证明:∵ ∴. 典例分析—综合应用 3:已知,则在方向上的投影向量为_. 【答案】: 典例分析—证明两角差的余弦公式 例12:用向量方法证明两角差的余弦公式 解:如图,在平面直角内作单位圆,以轴的非负半轴为始边作角,,它们的终边与单位圆的交点分别为,. 则 所以 设与的夹角为,则 所以 典例分析—证明两角差的余弦公式 例12:用向量方法证明两角差的余弦公式 解:由图1可知, 由图2可知,. 于是 所以 于是, 图1 图2 典例分析—证明两角差的余弦公式 例12:用向量方法证明两角差的余弦公式 课堂小结 1.平面向量数量积的坐标表示 设 2.平面向量数量积的运算性质 (1)若则 若表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为,那么 (2)若则 (3)若则 由题意得m2=3,解得m= , 又a与b反向共线,故m=-, 故|a-b|==4. 所以=(3,1)-(2,-1)=(1,2), 所以cos〈,〉==-. 由(1)得+t=(1,2)+t(-1,-1)=(1-t,2-t), 又因为⊥(+t), 解得t=. $$