27.5圆与圆的位置关系 同步练习2024－2025学年沪教版数学九年级下册

27.5圆与圆的位置关系 一、单选题 1．如果两圆的半径长分别为6与2，圆心距为4，那么这两个圆的位置关系是（　　） A．内含 B．内切 C．外切 D．相交 2．如果与内含，，的半径是3，那么的半径可以是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 3．已知⊙A 与⊙B 外切，⊙C 与 ⊙A、⊙B 都内切，且 AB=7，AC=8，BC=9，那么⊙C 的半径长是（    ） A．12 B．11 C．10 D．9 4．如图，在一个边长为3的正方形内有两个互相外切的圆，且两圆都与正方形的两邻边相切，两圆心距为（    ） A． B． C． D． 5．已知⊙A、⊙B、⊙C的半径分别为2、3、4，且AB＝5，AC＝6，BC＝6，那么这三个圆的位置关系（　　）． A．⊙A与⊙B、⊙C外切，⊙B与⊙C相交 B．⊙A与⊙B、⊙C相交，⊙B与⊙C外切 C．⊙B与⊙A、⊙C外切，⊙A与⊙C相交 D．⊙B与⊙A、⊙C相交，⊙A与⊙C外切 6．如果⊙O1和⊙O2内含，圆心距O1O2=4，⊙O1的半径长是6，那么⊙O2的半径r的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 7．已知在等腰梯形ABCD中，对角线AC将这个梯形分成面积之比为的两个三角形，的余弦值为，分别以腰AB、CD为直径作圆，那么这两圆的位置关系是（    ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 8．在∆ABC中，，且两边长分别为4和5，若以点为圆心，3为半径作⊙，以点为圆心，2为半径作⊙，则⊙和⊙位置关系是（ ） A．只有外切一种情况； B．只有外离一种情况； C．有相交或外切两种情况； D．有外离或外切两种情况． 9．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=3，DE∥BC，且AD=2CD，那么以点C为圆心、DC长为半径的圆C和以点E为圆心、EB长为半径的圆E的位置关系是（ ） A．外离 B．外切 C．相交 D．不能确定 10．如图，已知中，，．、分别是边、上的点，DE∥AC，且．如果经过点，且与外切，那么与直线的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定 二、填空题 11．两圆的半径分别为3和5，当这两圆相切时，圆心距为 ． 12．已知圆O1与⊙O2外切，它们的圆心距为16cm，⊙O1的半径是12cm，则⊙O2的半径是 cm． 13．两圆的圆心距，两圆的半径长分别是方程的两根．则两圆的位置关系为 ． 14．已知两圆的半径长分别为1和3，两圆的圆心距为d，如果两圆没有公共点，那么d的取值范围是 ． 15．在Rt∆ABC中，，，分别以点为圆心画圆，如果点在上，与相交，且点在外，那么的半径长的取值范围是 ． 16．如图，Rt∆ABC中, ，，与AB相切，若与相交，则半径的取值范围是 ． 17．在平面直角坐标系中，我们把半径相等且外切、连心线与直线平行的两个圆，称之为“孪生圆”；已知圆的圆心为，半径为，那么圆的所有“孪生圆”的圆心坐标为 ． 18．如图，在正方形ABCD中，AB＝10，点E在正方形内部，且AE⊥BE，cot∠BAE＝2，如果以E为圆心，r为半径的⊙E与以CD为直径的圆相交，那么r的取值范围为 ． 三、解答题 19．如图，⊙A、⊙B、⊙C两两外切，AB＝10，BC＝21，sinB＝． （1）求AC的长； （2）求⊙A、⊙B、⊙C半径． 20．如图，⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，O1O2与AB交于点C，O2A的延长线交⊙O1于点D，点E为AD的中点，AD＝AB，联结O1E． （1）求证：O1E＝O1C； （2）如果O1O2＝10，O1E＝6，求AB的长． 21．如图，等圆⊙O1、⊙O2相交于AB，圆心O1、O2分别在另一个圆上 （1）求∠O1AB的大小； （2）若圆的半径为2cm，求公共弦AB的长． 22．如图，⊙和⊙相交于A、B两点，与AB交于点C，的延长线交⊙于点D，点E为AD的中点，AE=AC，连接． （1）求证：； （2）如果＝10，，求⊙的半径长． 23．设点、点，分别以O、A为圆心，半径为2r、r作圆，两圆在第一象限的交点为P． (1)当时，求点P的坐标； (2)当时，能否找到一定点Q，使为定值？若能找到，请求出Q点的坐标及定值；若不能找到，请说明理由． 24．二次函数的图像的顶点为，与轴交于点，以为边在第二象限内作等边三角形．    （1）求直线的表达式和点的坐标； （2）点在第二象限，且△的面积等于△的面积，求点的坐标； （3）以轴上的点为圆心，1为半径的圆，与以点为圆心，的长为半径的圆相切，直接写出点的坐标． 25．如图，已知Rt△ABC 中，∠ACB=90°，BC=2，AC=3，以点C为圆心、CB为半径的圆交AB于点D，过点A作AE∥CD，交BC延长线于点E. （1）求CE的长； （2）P是 CE延长线上一点，直线AP、CD交于点Q. ①如果△ACQ ∽△CPQ，求CP的长； ②如果以点A为圆心，AQ为半径的圆与⊙C相切，求CP的长. 答案 一、单选题 1．B 【分析】根据数量关系来判断两圆的位置关系．设两圆的半径分别为R和r，且，圆心距为d：外离，则；外切，则；相交，则；内切，则；内含，则． 【解析】解：∵两圆半径之差圆心距， ∴两个圆的位置关系是内切． 故选：B． 2．D 【分析】由题意知与内含，则知两圆圆心距，代入数值进行计算即可． 【解析】解：根据题意两圆内含，则知两圆圆心距， ， 解得， 故选：D． 3．A 【分析】设⊙A 的半径为x，⊙B的半径为y，⊙C的半径为z，构建方程组即可解答． 【解析】解：设⊙A 的半径为x，⊙B的半径为y，⊙C的半径为z， 由题意得 ⊙C的半径为12， 故选：A． 4．A 【分析】作OE⊥AB于E，O′F⊥BC于F，如图，设⊙O的半径为R，⊙O′的半径为r，利用切线的性质得到OE=R，O′F=r，再根据正方形的性质得到∠BAC=∠BCA=45°，AC=3，所以OA=R，O′C=r，利用两圆外切性质得到OO′=R+r，从而得到R+R+r+r=3，然后求出R+r即可． 【解析】解：如图，作OE⊥AB于E，O′F⊥BC于F，如图，设⊙O的半径为R，⊙O′的半径为r，则OE=R，O′F=r， ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠BAC=∠BCA=45°，AC=AB=3， ∴OA=R，O′C=r， ∵⊙O与⊙O′外切， ∴OO′=R+r， ∴R+R+r+r=3， ∴R+r==6-3， 即两圆心距为6-3． 故选：A． 5．A 【分析】结合题意，根据圆与圆位置关系的性质计算，即可得到答案． 【解析】∵⊙A、⊙B、⊙C的半径分别为2、3、4， ∴AB＝5＝2+3，AC＝6＝2+4，BC＝6＜3+4 根据圆与圆之间的位置关系可知：⊙A与⊙B、⊙C外切，⊙B与⊙C相交． 故选：A． 6．D 【分析】根据⊙O1和⊙O2内含，分两种情况讨论，根据半径差大于圆心距列出不等式，解不等式求解即可 【解析】解：∵⊙O1和⊙O2内含，圆心距O1O2=4，⊙O1的半径长是6，么⊙O2的半径为r 当时，，则 当时，，则 综上所述，或 故选D 7．B 【分析】过点A作AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E，F，利用三角函数求得AB的长度，利用梯形中位线定理，两圆的位置关系判断即可． 【解析】过点A作AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E，F， ∵AD∥BC， ∴AE=DF， ∵对角线AC将这个梯形分成面积之比为的两个三角形， ∴AD：BC=2：3， 设AD=2k，则BC=3k， ∵cosB=， ∴AB=5BE． ∵四边形ABCD是等腰梯形， ∴AB=DC， ∴△ABE≌△DCF(HL) ∴BE=CF． ∵AE⊥BC，DF⊥BC，AE∥DF，AE=DF， ∴四边形AEFD是矩形， ∴AD=EF=2k， ∴BE=， ∴AB=5BE==CD． 设AB的中点为M，CD的中点为N，连接MN， 则MN是等腰梯形ABCD的中位线， ∴BE=， ∵AB=5BE==CD， ∴圆M的半径等于圆N的半径， ∴圆M的半径+圆N的半径==MN， 故两个圆外切， 故选B． 8．D 【分析】本题中给出的∆ABC两边长分别为4和5，则存在两种情况，一种情况是直角边中的一边长为4cm，斜边长为5cm；另一种情况是两直角边长分别为4cm和5cm. 【解析】（1）在第一种情况下，AB边长为5cm，以点为圆心，3为半径作⊙，以点为圆心，2为半径作⊙，两圆心的距离为5 cm，由d=r1+r2可得，两圆位置关系为外切． （2）在第二种情况下，两直角边分别为4cm和5cm，则AB长为＝, 以点为圆心，3为半径作⊙，以点为圆心，2为半径作⊙，两圆心的距离为cm，由d>r1+r2可得，两圆位置关系为外离. 故选D. 9．C 【分析】根据勾股定理求得的长，根据AD=2CD，求得的长，根据DE∥BC，证明，求得，进而求得的长，勾股定理求得CE的长，进而比较圆心距与半径和，根据圆与圆的位置关系进行判断即可． 【解析】解：连接， ∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=3， ∴， AD=2CD，AC=6， ，． DE∥BC， ， ， ． ， ． 在中，． >． 以点C为圆心、DC长为半径的圆C和以点E为圆心、EB长为半径的圆E的位置关系是相交． 故选C． 10．B 【分析】设圆E交DE于点F，则EF=AE，设CD=x，可得BD=2x，BC=3x，再由．可得AC=4x，AB=5x，然后根据，可得，EF=AE=，从而得到的半径为x，即可求解． 【解析】解：如图，设圆E交DE于点F，则EF=AE， 设CD=x， ∵． ∴BD=2x，BC=3x， ∵． ∴AC=4x， ∴AB=5x， ∵， ∴，． ∴BE=2AE，， ∴EF=AE=， ∴， ∴CD=DE， ∵经过点，且与外切， ∴的半径为x， ∵，即AC⊥BC， ∴与直线相切． 故选：B 二、填空题 11．2或8 【分析】分两圆内切和外切两种情况，两圆内切时，圆心距为两圆半径之差，两圆外切时，圆心距为两圆半径之和，据此可求得结果． 【解析】当两圆内切时，圆心距为，两圆外切时，圆心距为； 故答案为；2或8． 12．4. 【解析】试题分析：根据两圆外切时，圆心距=两圆半径的和求解． 试题解析：根据两圆外切，圆心距等于两圆半径之和，得该圆的半径是16-12=4cm． 故答案为4． 13．外离 【分析】：本题可将方程的两个根求出来，若d＞R＋r则两圆相离；若d＝R＋r则两圆外切；若d＝R−r则两圆内切；若R−r＜d＜R＋r则两圆相交． 【解析】解：原方程可以变形为（x−3）（x−4）＝0， 解得x1＝3，x2＝4． ∵x1＋x2＝7＜8， ∴两圆外离． 故填：外离. 14．或 【分析】先确定两圆的位置关系再求范围，由两圆没有公共点，可得两圆内含或外离，再列不等式即可． 【解析】解：∵两圆没有公共点， ∴两圆内含或外离． 当两圆内含时，，即， 当两圆外离时，， ∴d的取值范围是：或． 故答案为：或． 15． 【分析】根据勾股定理求出斜边，根据点和圆的位置关系求出的半径，再求出的半径的取值范围即可． 【解析】解：在Rt∆ABC中，，，由勾股定理得：， 点在上， 的半径是6， 设交于，则， ∵与相交， ∴， 点在外，， ∴的半径小于10， 即的取值范围是， 故答案为：． 16． 【分析】过点作于点，利用勾股定理计算出的长度，再利用等面积法计算出的长度，再根据切线的性质得到为圆的半径，然后利用两圆相交的性质得到，最后解不等式即可． 【解析】解：过点作于点，如图， ，， ， ， ， 与AB相切， 为的半径，即的半径为2.4， 与相交， ， 解得：， 故答案为：． 17． 【分析】如图，与外切半径相等且连心线与直线平行的两个圆分别为，运用两圆外切的性质和点的坐标特点，数形结合求出图形中的长，进而得到两圆心的坐标． 【解析】解：画出图如图所示： 点的坐标为过点的直线与平行并过点， 过点的直线与平行， 过点的直线与两坐标轴围成等腰直角三角形， 与外切半径相等且连心线与直线平行的两个圆分别为，， 如图，，都是等腰直角三角形，， ， ， 故答案为：． 18． 【分析】设AB的中点为G，连接EG，延长BE交CD于H，根据直角三角形的性质得到EG＝AB＝5，根据三角函数的定义得到CH＝BC＝CD＝5，推出点H是以CD为直径的圆的圆心，设BE＝k，AE＝2k，得到BE＝2，根据勾股定理得到BH＝＝5，求得EH＝BH﹣BE＝3，于是得到结论． 【解析】解：设AB的中点为G， 连接EG，延长BE交CD于H， ∵AE⊥BE， ∴∠AEB＝90°， ∴EG＝AB＝5， ∵在正方形ABCD中，∠C＝∠ABC＝90°， ∴∠BAE+∠ABE＝∠ABE+∠CBH＝90°， ∴∠CBH＝∠BAE， ∴cot∠BAE＝cot∠CBH＝＝2， ∴CH＝BC＝CD＝5， ∴点H是以CD为直径的圆的圆心， 设BE＝k，AE＝2k， ∴AB＝k＝10， ∴k＝2， ∴BE＝2， ∵∠C＝90°，BC＝10，CH＝5， ∴BH＝ ＝5， ∴EH＝BH﹣BE＝3 ， ∵r为半径的⊙E与以CD为直径的圆相交， ∴r的取值范围为， 故答案为：． 三、解答题 19． 解：（1）如上图作AH⊥BC于H， 在中，∵AB＝10，＝， ∴AH＝8，BH＝6， ∵BC＝21， ∴CH＝15， 在中，AC＝＝＝17． ∴AC＝17 （2）如图设切点分别为D、E、F，AE＝AD＝x，BE＝BF＝y，CF＝CD＝z， 则有，解得 ∴＝3，＝7，＝14． 20．（1）证明：联结O1A， ∵点E为AD的中点， ∴O1E⊥AD，AE＝， ∵⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，O1O2与AB交于点C， ∴O1C⊥AB， ∴AC＝AB， ∵AB＝AD， ∴AE＝AC， 在Rt△O1EA和Rt△O1CA中， ∴Rt△O1EA≌Rt△O1CA（HL） ∴O1E＝O1C； （2）解：设⊙O2的半径长为r， ∵O1E＝O1C＝6， ∴O2C＝10﹣6＝4， 在Rt△O1EO2中，O2E＝＝8， ∵Rt△O1EA≌Rt△O1CA， ∴AC＝AE＝8﹣r， 在Rt△ACO2中，O2A2＝AC2+O2C2，即r2＝（8﹣r）2+42， 解得，r＝5， ∴AC＝8﹣5＝3， ∴AB＝2AC＝6． 21．解：（1）连接AO2，O1O2，设AB交O1O2于点D，如图所示． ∵⊙O1、⊙O2为等圆， ∴AO1＝AO2＝O1O2， ∴△AO1O2为等边三角形， ∴∠O1AO2＝60°． 又∵O1O2⊥AB， ∴BA平分∠O1AO2， ∴∠O1AB＝∠O1AO2＝30°． （2）在Rt△O1AD中，O1A＝2，∠O1AD＝30°， ∴AD＝O1A•cos∠O1AD＝． ∵O1O2⊥AB， ∴AB＝2AD＝2． 22．（1）⊙和⊙相交于A、B两点， ∴是AB的垂直平分线， ∴∠CA=90°， ∵E为AD的中点， ∴E⊥AD， ∴∠EA=90°， ∴∠CA=∠EA， 如图,连接 ∵AE＝AC，A=A ∴△E≌△C， ∴E＝C. （2）∵E⊥AD， ∴∠E＝90°， 在Rt△E中，∠E＝90°，＝10，E＝6， ∵， ∴， ∴E＝8， ∵∠E＝∠CA＝90°，∠＝∠， ∴△E∽△CA， ∴, ∵＝10，AC＝AE＝E－A＝8－A，E＝6， ， ∴＝5， 即⊙的半径长为5. 故答案为5. 23．（1）设， 由勾股定理，得， 解得（舍去负值） ∴； （2）设， 由题意，得， 化简，得， 即， ∴定点为，定值为． 24．解：（1）二次函数的图像的顶点，与轴的交点， 设直线的表达式为， 可求得，．所以直线的表达式为． 可得，∵， ∴． 在Rt△中，由勾股定理得：． ∴．点． （2）∵点、都在第二象限，且△的面积等于△的面积， ∴∥． 设直线的表达式为，点在直线上， 可得． ∴直线的表达式为． 可得点的坐标：． （3）由、M（-5，1）可得： CM= ①当⊙C与⊙N外切时，CN=CM+1=7； 在Rt△CAN中，AN=； ∴ON=AN+OA=+2 或ON=AN-OA=-2 即：点N的坐标为：（--2，0）（-2，0）． ②当⊙C与⊙N内切时，CN=CM-1=5； 在Rt△CAN中，CN=5，CA=4，则AN=3； ∴ON=AN+OA=3+2 或ON=OA-AN=2-3 即：点N的坐标为：（-3-2，0），（3-2，0）． 综上可知：点的坐标，，，． 25．详解：（1）∵AE∥CD， ∴． ∵BC=DC， ∴BE=AE． 设CE=x，则AE=BE=x+2． ∵ ∠ACB=90°， ∴ ， 即， ∴，即． （2）①∵△ACQ ∽△CPQ，∠QAC>∠P， ∴∠ACQ=∠P． 又∵AE∥CD， ∴∠ACQ=∠CAE， ∴∠CAE=∠P， ∴△ACE ∽△PCA， ∴， 即， ∴ ． ②设CP=t，则 ． ∵∠ACB=90°，∴ ． ∵AE∥CD， ∴，即， ∴． 若两圆外切，那么，此时方程无实数解． 若两圆内切，那么， ∴  ， 解得． 又∵， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$