27.4直线与圆的位置关系 同步练习2024－2025学年沪教版数学九年级下册

27.4直线与圆的位置关系 一、单选题 1．下列直线是圆的切线的是（  ） A．与圆有公共点的直线 B．到圆心的距离等于半径的直线 C．垂直于圆的半径的直线 D．过圆直径外端点的直线 2．在中，，，，以点C为圆心，2cm长为半径的圆与AB的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 3．下列说法中，正确的是（     ） A．垂直于半径的直线是圆的切线； B．经过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线； C．经过半径的端点且垂直于半径的直线是圆的切线； D．到圆心的距离等于直径的直线是圆的切线． 4．已知中，，若以2为半径作，则斜边与的位置关系是（    ） A．相交 B．相离 C．相切 D．无法确定 5．在平面直角坐标系中有点A(3，4)，以点A为圆心，5为半径画圆，在同一坐标系中直线y=－x与⊙A的位置关系是(    ) A．相离 B．相切 C．相交 D．以上都有可能 6．如图，若的直径为2，点到某条直线的距离为2，则这条直线可能是（） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 7．如图，已知的半径为5，直线经过上一点P，下列条件不能判定直线与相切的是（    ） A． B． C．点O到直线的距离是5 D． 8．如图所示，中，点M在上，点P在外，交于点N，以下条件不能判定是的切线的是（   ） A． B． C． D．点N是OP的中点 9．在平面直角坐标系中，以点为圆心、以R为半径作圆A与x轴相交，且原点O在圆A的外部，那么半径R的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．如图，在平面直角坐标系中， ⊙O的半径是1，直线AB与x轴交于点P(x，0)，且与x轴的正半轴夹角为45°，若直线AB与⊙O有公共点，则x值的范围是(　　) A． B． C． D． 二、填空题 11．已知的半径为5，圆心O到直线l的距离为d，若与直线l有公共点，则d的取值范围 ． 12．已知一条直线l与半径为r的⊙O相交，且点O到直线l的距离为2，则r的取值范围是 ． 13．已知，的半径为一元二次方程的两根，圆心O到直线l的距离，则直线l与的位置关系是 ． 14．已知，P是OA上的一点，cm，以r为半径作⊙P，若cm，则⊙P与的位置关系是 ，若⊙P与相离，则r满足的条件是 ． 15．如图，在矩形中，，，是以为直径的圆，则直线与的位置关系是 ． 16．如图已知的半径为，圆心在抛物线上运行，当与轴相切时，圆心的坐标为 ．    17．如图，半圆的圆心与坐标原点重合，半圆的半径，直线的解析式为．若直线与半圆有交点，则的取值范围是 ．    18．如图，直线AB，CD相交于点O，，圆P的半径为1cm，动点P在直线AB上从点O左侧且距离O点6cm处，以1cm/s的速度向右运动，当圆P与直线CD相切时，圆心P的运动时间为 s． 三、解答题 19．如图,在RT△ABC中,∠ABC=90°,∠BAC的平分线交BC于D,以D为圆心,DB长为半径作⊙D．求证:AC与⊙D相切.    20．如图，是上一点，点在直径的延长线上，的半径为，，. 求证：是的切线. 21．（1）如图1，点在圆上，在方格纸中，仅用无刻度直尺过点画出圆的切线； （2）如图2，点在圆O外，用圆规直尺作出过点的圆的一条切线． 22．如图，在中，是的弦，点A是的中点，过点A作直线．求证：是的切线． 23．如图，在中，，，．的平分线交于，经过、两点的交于，且点在上． (1)求证：是的切线； (2)求的长． 24．如图，在中，，点在上，以为圆心，为半径的半圆分别交于点，且点是弧的中点．求证：是的切线． 25．如图．的半径为，、是的两条弦，，，如果以为圆心，作一个与直线相切的圆，那么： (1)所作的圆的半径是多少？ (2)所作的圆与直线有怎样的位置关系？为什么？ 26．已知:如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于两点，是直线上一动点，⊙的半径为2． （1）判断原点与⊙的位置关系，并说明理由； （2）当⊙与轴相切时，求出切点的坐标．    27．如图，关于的二次函数图象的顶点为，图象交轴于、两点，交轴正半轴于点．以为直径作圆，圆心为．定点的坐标为，连接． （1）写出、、三点的坐标； （2）当为何值时点在直线上？判定此时直线与圆的位置关系； （3）当变化时，用表示的面积，并在给出的直角坐标系中画出关于的函数图象的示意图． 答案 一、单选题 1．B 【分析】根据切线的判定对各个选项进行分析，从而得到答案． 【解析】解：A、割线与圆也有公共点但不是切线，故不正确； B、符合切线的判定，故正确； C、应为垂直于圆的半径的且过半径外端点的直线，故不正确； D、应为过圆的直径外端点并与该直径垂直的直线，故不正确； 故选B． 2．C 【分析】先利用勾股定理求得AB的长，再利用三角形的面积公式求得点C到AB的距离，进而判定圆与AB的位置关系. 【解析】解：在中，，，， ∴， ∴点C到AB的距离=， 则该圆与AB的位置关系是相离. 故选C. 3．B 【分析】根据切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，逐项分析即可． 【解析】由切线的判定定理得：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，得出只有答案B符合， 故选：B． 4．B 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，勾股定理等知识，熟练掌握直线与圆的位置关系是解题的关键． 过点C作于D，先利用勾股定理求出，然后利用等面积法求出，最后根据与半径的大小关系判断斜边与的位置关系即可． 【解析】解：过点C作于D， ∵，，， ∴， 又， ∴， ∵， ∴以2为半径作与斜边相离． 故选：B． 5．C 【分析】可作出图形，根据勾股定理可得AO=5，联系直角三角形斜边与直角边的大小关系可得到点A到直线的距离与圆的半径的大小关系，从而判断出直线和圆的位置关系. 【解析】如图， ∵A(3,4)，∴AO=5， ∵点A到直线y=−x的距离为AB的长小于圆的半径r，即AB<AO， ∴直线y=−x与A的位置关系是相交. 故选:C. 6．A 【分析】本题考查直线与圆的位置关系．熟练掌握圆心到直线的距离大于半径时，直线与圆相离，是解题的关键．根据圆心到直线的距离大于半径的长，即可得出判断． 【解析】解：∵的直径为2， ∴的半径为1， ∵点到某条直线的距离为， ∴直线与圆相离； ∴这条直线可能是； 故选：A． 7．A 【分析】依据切线的判定定理“经过半径的外端且垂直于这条半径的直线”或“圆心到直线的距离等于半径”进行判断即可． 【解析】解：A、，不能判定直线与相切，符合题意； B、由，得到，且点P在上，能判定直线与相切，不符合题意； C、点O到直线的距离是5，等于半径，能判定直线与相切，不符合题意； D、且点P在上，能判定直线与相切，不符合题意； 故选：A． 8．D 【分析】根据切线的判定定理进行判断即可． 【解析】解：A.∵，且，∴，可知是的切线，故选项A不符合题意； B. ∵，且，∴，可知是的切线，故选项B不符合题意； C.∵，∴是直角三角形，且，可知是的切线，故选项C不符合题意； D. 点N是OP的中点不能得出，即不能判断出是的切线，故选项D符合题意； 故选：D 9．C 【分析】分别根据原点O在圆A的外部，圆A与x轴相交，可得半径R的取值范围． 【解析】解：， ∴， ∵原点O在圆A的外部， ∴，即， ∵圆A与x轴相交， ∴， ∴， 故选C． 10．B 【分析】设直线AB的解析式为y=x+b，当直线与圆相切时切点为C，连接OC，则OC=1，由于直线AB与x轴正方向夹角为45°，所以△AOC是等腰直角三角形，故OC=PC=1再根据勾股定理求出OA的长即可． 【解析】∵直线AB与x轴正方向夹角为45°， ∴设直线AB的解析式为y=x+b，切点为C，连接OC， ∴， ∵⊙O的半径为1， ∴△AOC是等腰直角三角形， ∴OC=PC=1， ∴OA==， ∴P（，0）， 同理可得，当直线与x轴负半轴相交时，P（，0）， ∴． 故选：B． 二、填空题 11． 【分析】根据直线与圆的位置关系，即可求解． 【解析】解：∵的半径为5，圆心O到直线l的距离为d，若与直线l有公共点， ∴， 故答案为：． 12．r＞2 【分析】直接根据直线与圆的位置关系进行判断即可． 【解析】∵直线l与半径为r的⊙O相交，且点O到直线l的距离d＝2， ∴r＞2． 故答案为：r＞2． 13．相交 【分析】运用因式分解来解出的两根，舍去负数，再与比较，即可作答，此题考查了因式分解来解一元二次方程，以及判断圆与直线的关系：记圆心到直线的距离为，圆的半径为，如果，相离；如果，相切；如果，相交． 【解析】解：∵的半径分别为一元二次方程的两根， ∴ 则，（舍）， ∵圆心O到直线l的距离， ∴， ∴直线l与的位置关系是相交． 故答案为：相交 14． 相离 【分析】过点P作，利用的直角边是斜边的一半，求出，再根据圆心到直线的距离与圆的半径之间的大小关系进行判断即可． 【解析】解：过点P作，垂足为D，则， ∵，cm， ∴． 当cm时，， ∴⊙P与相离， 即⊙P与位置关系是相离． 当⊙P与相离时，， ∴r需满足的条件是：． 故答案为：相离；． 15．相交 【分析】此题主要考查了直线与圆的位置关系，本题先求解圆心到直线的距离与圆的半径，再根据可得答案；熟记直线和圆的位置关系的判定方法是解题关键． 【解析】解：根据题意，得圆心到直线的距离等于，圆的半径是， ∴圆心到直线的距离小于半径，得直线和圆相交． 故答案为：相交． 16．或 【解析】当与轴相切时可求得点的横坐标，代入抛物线解析式可求得点坐标． 【解答】解：∵与轴相切，的半径为， ∴到轴的距离等于半径， ∴点的横坐标为或， 当时，代入可得，此时点坐标为； 当时，代入可得，此时点坐标为； 综上可知点坐标为或， 故答案为：或． 17． 【分析】此题考查了直线和圆的位置关系，以及用待定系数法求解直线的解析式等方法，若直线与半圆有交点，则直线和半圆相切于点开始到直线过点结束（不包括直线过点），当直线和半圆相切于点时，根据直线的解析式知直线与x轴所形成的的锐角是，从而求得，即可得出点的坐标，进一步得出t的值；当直线过点时，直线根据待定系数法求得的值，进而即可求解． 【解析】若直线与半圆有交点，则    直线和半圆相切于点开始到直线过点结束，当直线和半圆相切于点时，直线与轴所形成的锐角是， ∴， 又∵半圆的半径， ∴， ∴代入解析式，得， 当直线过点时，把代入直线解析式，得， 即当，直线和半圆有交点． 18．4或8 【分析】求得当⊙P位于点O的左边与CD相切时t的值和⊙P位于点O的右边与CD相切时t的值即可． 【解析】解：当点P在射线OA时⊙P与CD相切，如图1，过P作PE⊥CD于E ∴PE＝1cm， ∵∠AOC＝30° ∴OP＝2PE＝2cm ∴⊙P的圆心在直线AB上向右移动了（6﹣2）cm后与CD相切 ∴⊙P移动所用的时间＝＝4（秒）； 当点P在射线OB时⊙P与CD相切，如图2，过P作PE⊥CD于E ∴PF＝1cm ∵∠AOC＝∠DOB＝30° ∴OP＝2PF＝2cm ∴⊙P的圆心在直线AB上向右移动了（6+2）cm后与CD相切， ∴⊙P移动所用的时间＝＝8（秒） ∴当⊙P的运动时间为4或8秒时，⊙P与直线CD相切． 故答案为：4或8． 三、解答题 19．证明：过点D作DF⊥AC于F，如图所示： ∵AB为⊙D的切线， ∴∠B=90°， ∴AB⊥BC， ∵AD平分∠BAC，DF⊥AC， ∴BD=DF， ∴AC与⊙D相切．    20．证明：如图，连接， ∵的半径为，， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴是的切线． 21．（1）如图1所示， 即为圆的切线， （2）如图所示，即为所求的切线 22．证明：如图，连接， ∵点A是的中点， ， ， ， 是的半径， 是的切线． 23．（1）证明：如图所示，连接， ∵， ∴， ∵的平分线交于， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：如图所示，过点O作于M，连接， 在中，，，， ∴，， ∴， 设，则， 在中，， ∴， ∵，， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴． 24．证明：如图，连接， ， ， ， ， ， 点是弧的中点， ， ， ， 是的半径， 是的切线． 25．（1）作于，连接， 则， 则， 答：以为圆心，作一个与直线相切的圆，所作的圆的半径是2； （2）作于， 则， ， ， 所作的圆与直线相离． 26．解（1）令x=0，= ∴， 令y=0，=0，解得x=3 ∴ ∴AO=3，OB= ，∠ABO＝30 过作D⊥AB, 设到直线的距离为， ∴d== ∴原点在的外部    （2）如图，当⊙P与x轴相切时，且位于x轴下方时，设切点为D， 在PD⊥x轴， ∴PD∥y轴， ∴∠APD＝∠ABO＝30， ∴在Rt△DAP中，AD＝DP•tan∠DPA＝2×tan30＝， ∴OD＝OA−AD＝3-， ∴此时点D的坐标为：（3-，0）； 当⊙P与x轴相切时，且位于x轴上方时，根据对称性可以求得此时切点的坐标为：（3+，0）； 综上可得：当⊙P与x轴相切时，切点的坐标为：或．    27．解：（1）令，则， 解得，； 令，则． 故，，． （2）设直线的解析式为，将，代入得： 解得，，． 直线的解析式为． 将化为顶点式：． 顶点的坐标为．代入得： ， ．所以，当时，点在直线上． 连接，为中点，点坐标为． ，， ，点在圆上 又，， ，， ． 直线与相切． （3）当时， ． 当时，． 即． 关于的函数图象的示意图如右： 学科网（北京）股份有限公司 $$