甘肃省酒泉市瓜州县2025届高三下学期一模考试数学试题

保密★启用前 2025年高三一模考试 数学试题 2025.02 注意事项： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必将姓名、考生号等个人信息填写在答题卡指定位置： 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上，进择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题 卡上对应题目的答策标号涂黑：非选择题请用直径05毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的 答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效， 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的 1.在复平面内，向量AB对应的复数为-1+3引，向量AC对应的复数为-2+i,则向量BC对 应的复数为 A.-3-41 B.-3+4i C.1+2i D.-1-2i 2.己知集合A={l,0,1},B={xxi<2},则A∩B= A.{0} ·B. C.(0,1 D.{1,0 3.已知△4BC的三个角A,B,C的对边分别为a,b,G,且osC=os4 3b-a 则tanC= A月 B.3 c.2 D.2√2 4 4.已知数列{a,},则“m,n∈N',amn=an+an”是“数列{an}为等差数列”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.若a∈(0，π)，tan2a= Sina.则sin(a+石户 cosa+l A.3 2 B.2 C. 2 D.3 2 1 6.曲线y(x+1)川在A(x,y),B(x,'y,)两点处的切线互相垂直，则一+一的值为 X X2 A.-1 B.0 C.1 D.e 7.已知△ABC的三个顶点都在抛物线y2=4x上，三边AB、BC、CA所在直线的斜率分别为k,, :店高方 =1,则点A的坐标为 A.(1,-2) B.(1,2) C.(2,-1) D.(2,I) 高三数学试题第1页（共4页） 扫描全能王创建 8.已知函数f(x),若存在实数1，使得f(x+)+1(x)=0对任意的实数x恒成立，则称f(x) 满足性质R(),下列说法正确的为 A,若f(x)的周期为I,则f(x)满足性质R(I) B.若f(x)=sinπx,则f(x)不满足性质R(2) C.若f(x)=a（a>0且a≠1)满足性质R(2),则1>0 D,若偶函数)满足性质(-)，则/)图关于直线x=对称 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知平面向量a=(2,sin),b=(cos8,),则下列说法正确的有 A.向量a,b不可能垂直 B.向量a,b不可能共线 C.Ia+b1不可能为3 D.若0=受，则a在6上的投影向量为6 10.若从正方体的八个顶点中任取四个顶点，则下列说法正确的有 A.若这四点不共面，则这四点构成的几何体的体积都相等 B.这四点能构成三棱锥的个数为58 C.若正方体棱长为a,则这四点能构成的所有三棱锥中表面积的最大值为23a2 D.若这四点分别记为A,B,C,D,则直线AB与CD所成的角不可以为30° 11.已知曲线C的方程为x2+y2-y=1,下列说法正确的有 A.曲线C关于直线y=x对称 B.-1sxs1,-l≤y≤1 C.曲线C被直线y=x+截得的弦长为 2 2 D.曲线C上任意两点距离的最大值为2√2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.若n是数据1,3,2,2,9,3,3,10的第75百分位数，则(x+2x-少展开式中x4y3 的系数为 13.已知函数/因=60sx在闭区间1上的最大值记为M,若实数k满足M2Ma,则 k= 14.如图，在AABC中，AB=BC=2√2，∠B=90°，E是AB的中 点，D是AC边上靠近A的四等分点，将△ADE沿DE翻折，使 A到点P处(P点在平面ABC上方)，得到四棱锥P-BCDE.则 ①PC的中点M运动轨迹长度为 ②四棱锥P-BCDE外接球表面积的最小值为 高三数学试题第2页（共4页） 扫描全能王创建 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)在春节联欢晚会上进行了机器人团体舞蹈表演，某机构随机抽取了100名观众进 行问卷调查，得到了如下数据： 喜欢 不喜欢 男性 40 10 女性 20 30 (1)依据α=0.001的独立性检验，试分析对机器人表演节目的喜欢是否与性别有关联？ (2)从这100名样本观众中任选1名，设事件A=“选到的观众是男性”，事件B=“选 到的观众喜欢机器人团体舞蹈表演节目”，比较P(B吲)和P(B的大小，并解释其 意义， 0.050 0.010 0.001 n(ad-bc)2 附：父a+be+a+eb+dn=a+b+c+d. 3.841 6.635 10.828 16.(15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，CD∥BE,∠BED=60°，BC=CD=1,AE=2ED=2, PB=2√2，PE=EB,F为PB的中点. (1)求证：CF∥平面PAD: (2)若平面PBE⊥平面ABCD,求DF与平面ABP 所成角的正弦值。 17.(15分)已知函数f(x)=ae-x. (1)求f(x)的单调区间： (2)当a>0时，存在x∈[-l,l],使得引f(x)22,求a的取值范围. 高三数学试题第3页（共4页） 扫描全能王创建 18.(17分)定义正方形数阵{au}满足au,)=2-,其中i,jeN. (1)若i+j=100,求数阵{a,}所有项的和T: (2)若m,m,p,g∈N”，求证：aaw也是数阵{a,}中的项： (3)若i,jel,2,3,,n川，i≠j且n23,求a,)的值为奇数的概率Pn. 19(17分)已知双值线C:号-卡=1(a>06>0)的清近线方程为y士x,点5， 在双曲线C上 (1)求双曲线C的标准方程： (2)如图，过双曲线C右支上一点P作圆0：x2+y2=2的切线交双曲线C左支于2，右 支于R,直线P?与圆O切于点M. ①求证：Q、R两点关于原点O对称： ②判断MP.M0是否为定值，如果是，求出该定值： 如果不是，求MP.MO的取值范围. 高三数学试题第4页（共4页） 扫描全能王创建 2025年高三一模考试 数学试题参考答案及评分标准 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的. 题号 2 5 7 8 答案 D D C A B D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 题号 9 10 11 答案 BD BCD ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.8013. 号碳号注：马对-个不得分）14受10出第一空2分第二空3分) 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.（13分)解：(1)零假设H。:与性别无关 根据列联表中的数据得z2=100×(40×30-10×20)3 50 3 =16.667>10.828-x0m1 …5分 50×50×60×40 依据α=0.001的独立性检验，可以推断H。不成立，对机器人表演节目的喜欢与性别有关联 6分 (2)依题意得，P(B1A)=4®)_40_4 4…8分 n(4)505 P(B10=n48)=202 503 …10分 n(A) 则P()>P(司 11分 意义：该样本中男性对机器人团体舞蹈表演节目喜欢的概率比女性对机器人团体舞蹈表演节目喜欢概 率大；或者男性对机器人团体舞蹈表演节目喜欢的人数比女性对机器人团体舞蹈表演节目喜欢多等 等 …13分 16.(15分) (1)证明：由CD∥BE,BC=CD=DE=1,∠DEB=60°，易求BE=2 …1分 取PE的中点M,连结NMF,F为PB的中点 高二数学试愿参考答案第1页（共6页） 扫描全能王创建 所以MFII BE,MF=二BE,所以MF=l,MFIICD 2 所以四边形CDMF为平行四边形， …4分 所以，CF∥DM,又CD文平面PAD,DMc平面PAD 所以CF∥平面PAD 44…6分 (2)由PE=EB=2,PB=2V5,所以PE2+EB2=PB2 所以PE⊥EB,又平面PBE⊥平面ABCD所以PE⊥平面ABCD8分 以E为原点，EB所在直线为x轴，过E与EB垂直的直线为y轴，EP所在直线为：轴，建立如图所示的空 间直角坐标系，则 9g0. P(0,0,2),B0,2,0),F(0l),A-3,-1,0), …10分 i-(-h2历-02-.示-9 设平面ABP的法向量为n=(x,y,:),则n⊥，nLPB nPi=0,所以 n.PB=0 5x-y-2:=0,取：=-1，则x=5,y= 2y-2s=0 所以平面ABP的一个法向量为n=(N5,-1,-) …3分 设DF与平面ABP所成角为日，则 血0：h丽上别 一= InlDFI 5210 所以直线DF与平面ABP所成角的正弦值为 310 …15分 10 17.(15分) (1)解：f(x)=ae-l 当as0时，∫(x)<0恒成立，此时f(x)在R上单调递减 4*4*84848448*4…2分 当a>0时，令f(x)=0，则x=-lna x∈(-o,-lna,∫(x)<0,f(x)单调递减， x∈(-lna,+o),f(x)>0,f(x)单谓递增 综上所述，当a≤0时，f(x)的减区间为(-o,+∞)，无增区间： 高二数学试愿参考答案第2页（共6页） 扫描全能王创建 m2- 故化刀的取值情视有些宁2-号和，故月=子贯 2_n+l: 4444…14分 2 当n23且n为偶数时，，2,3，中有？个奇数，个偶数， n 故化，》的取值情况有号×号×2=号种，故P= 22 2 2(n-1) 综上所述，当n23且n为奇数时，尽=岩当m≥3且和为偶数时。尼= 17分 2n 19.解：(1)由双曲线C的渐近线方程为y=±知：=√反，即62=2a2. [b2=2a2 把点(5,2)带入双曲线C的方程得：三-4 34解得： a2=1 (a2京=1 b2=2 所以双曲线C的标准方程为-号=1。 3分 2 (2)解法1：①由题意知切线PQ的斜率存在，故设切线PQ的方程为y=c+m, 由圆O的圆心到直线PQ的距离d=m=反， 1+k2 所以m2=2k2+2…① …5分 把y=c+m带入子-二=1消y得：（伙3-2x2+2mr+m2+2=0 由题意知△>0.设P(xo,y),Q(x,y),R(x,): 那么由韦达定理知：+x=一 22'新=㎡+2 2km 2-2 …7分 那么%=低，+me+m）=kxx+m(+x)+m2_m+2_2m 2k+2-m=0 k-2-2+m .2水-2m,那么5+ …10分 k2-2 k2-2 所以O丽.O0=+y%y=0,所以0g10P,同理可得OR1OP, 所以Q,O,R三点共线，又由双曲线C关于原点O对称，所以Q,R两点关于原点对称12分 ②M亚.M0是定值-2，证明如下： 连接OP,OM,由①知：OR⊥OP,OM⊥PQ,，所以RT△OMQ~RTAPMO, 高二数学试恩参考答案第4页（共6页） 扫描全能王创建 m2- 故化刀的取值情视有空×宁2.“号种，故月=云岩 2_n+l: 4444…14分 2 当n23且n为偶数时，，2,3，中有？个奇数，？个偶数， 故化，》的取值情况有兰×号×2=号种，故P=三 n 22 2 2(n-1) 综上所述，当n23且n为奇数时，只=岩当m≥3且和为偶数时。尼= 17分 2n 19.解：(1)由双曲线C的渐近线方程为y=士x知：=√反，即62=2公2. b2=2a2 把点(5,2)带入双曲线C的方程得：三-4 a28京=，由 34解得： a2=1 b2=2 所以双曲线C的标准方程为-号=1。 3分 2 (2）解法1：①油题意知切线PQ的斜率存在，故设切线PQ的方程为y=女+m, 由圆0的圆心到直线PQ的距离d=m=反， V1+k2 所以m2=2k2+2…① …5分 把y=c+m猫入之-子=1消y得：欣-2)x2+2kmr+m+2=0 由题意知△>0.设P(xo,y),(,),R(x,): 那么由韦达定理知：名+x=一 22'新=㎡+2 2km …7分 k2-2 那么%=低，+me+m）=kxg+m(+x)+m2_m+2K_2m 2述-2，那么+2+20 k-2k-2+m …10分 k2-2 k2-2 所以O丽.O0=+%y=0,所以0g1OP,同理可得0R1OP, 所以Q,O,R三点共线，又由双曲线C关于原点O对称，所以Q,R两点关于原点对称12分 ②M证，M0是定值-2，证明如下： 连接OP,OM,由①知：OR⊥OP,OM⊥PQ,所以RT△OMQ~RT△PMO, 高二数学试愿参考答案第4页（共6页） 扫描全能王创建 所以1_IOM,所以MP.M=-MP IIMO上-IOMI作-2为定值， **1…17分 IOMI MPI 解法2：证明：设P(xo%),2(,),R(x22) ①当0=V2时， 若P(22),则Q(-,N2),2,-2): 若P(W反-瓦)，则(-反，-)，（反瓦）满足条件 …分 ②当0≠V互时， 设P2:y-%=k(-x),PR:y-%=k3(x-) 因为PQ与圆0相切，所以O到直线PQ的距离为：d=一-kl=5 +k好 所以(2-x)k2+2x0%k+2-坊=0，同理(2-)k22+2x0%k2+2-%=0 所以k,k2时方程(2-x)k2+2x%k+2-后=0的两根 所以6=二9.2-26-》.20-型2 …7分 2-x行2-x0 2-x6 联立 子-号-1化商2-r2+2w片-2%-(-%P-2=0 y=k (x-xo)+yo 所以0+名=20-2近， 2-k2 同理0+2 2.2 k 2-k3 24x-kl,（kk3=2) 2-(2)2 2-k2 所以(6+0+0+=2-2生+22.223-22=2 2-k2 2-k好 2-k好 所以2x0+x+名2=26，所以+3=0.所以名=-为2，又因为Q、R在双曲线上，所以月=-h, 所以Q、R关于原点对称， …l2分 ②Mp.M0为定值-2，理由如下： 由①知0P.00=xx+y%y 高二数学试恩参考答案第5页（共6页） 扫描全能王创建 又%2y2=4(x02-1(x2-)=4x02x2-(32+x23)+ =4[x02x2-(0+x)}2+2x01+小. 0得：4生2%，6+3+ k2-2 (k2-2)7 所以为2=44+2-++8+4+川=42+g (k好-2)2(k-22k好-2 (k-2)2 因为k2<2,所以%州=- 22+k经) 好-2 所以0丽.00=4+2次-2发+4=0， k好-2k好-2 所以Mm.M0=(OP-0M)-(0-0M)=oP.00-.OM-0M.00+02 =0.00-0M2=0-2=-2 所以MP.M0为定值-2. …7分 (或：设PR与圆O切于点N,连结OM,ON,OP,则OM⊥P2, ON⊥PR,所以∠QPO=∠RPO,又由①知O为QR的中点.所以 OP为△POR的高。即OP⊥O0,下同解法1) 高二数学试愿参考答案第6页（共6页） 扫描全能王创建