精品解析：山西省2025届高三下学期考前适应性测试启航（一模）数学试题

数 学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置． 2．全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案用0.5mm黑色笔迹签字笔写在答题卡上． 4．考试结束后，将本试题和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由集合的交、补运算即可求解； 【详解】由可知， 所以． 故选：D 2. 已知复数z满足（为z的共轭复数），复数z在复平面内对应点为，则点Z的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由共轭复数的概念结合复数的加法运算即可求解； 【详解】设， 所以，即Z点的轨迹方程为． 故选：D 3. 设是等差数列的前n项和，若，，则的公差（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】当为奇数时，，由此公式可得，，进而可得. 【详解】，，解得． 故选: 4. 如图，直三棱柱中，，点P为侧面上的任意一点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】取AB中点为原点O，建立空间直角坐标系，设，由数量积的坐标表示得到，进而可求解； 【详解】如图取AB中点为原点O，建立空间直角坐标系，设， 其中，，，， ，，， 当，且或时，取最大值4， 当，且时，取最小值2，所以的取值范围为． 故选：C 5. 定义：各位数字之和为5的四位数叫“吉祥数”，例如“1022，3110”，则所有“吉祥数”的个数是（ ） A. 35 B. 32 C. 29 D. 20 【答案】A 【解析】 【分析】根据“吉祥数”的定义，按首位数字分别计算，再由分类加法计数原理可得结果. 【详解】各位数字之和为5的四位数叫“吉祥数”，按首位数字分别计算， 当首位数字为5时，则剩余三位数分别是0，0，0，共有1个“吉祥数”； 当首位数字为4时，则剩余三位数分别是1，0，0，共有3个“吉祥数”； 当首位数字为3时，则剩余三位数分别是1，1，0或2，0，0，共有个“吉祥数”； 当首位数字为2时，剩余三位数分别是2，1，0或3，0，0或1，1，1，共有个“吉祥数”； 当首位数字为1时，则剩余三位数分别是3，1，0或4，0，0或1，1，2或2，2，0，共有个“吉祥数”， 则共有个“吉祥数”． 故选：A． 6. 已知m，n为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间中点线面的位置关系，即可结合选项逐一求解. 【详解】若，，则直线m与n或平行或相交或异面，故A不正确； 若，，则，又，则在平面内存在直线c使得，所以，则，故B正确； 若，，则m可能与平行，可能垂直，也可能在平面内，故C不正确； 若，，，则，或m，n相交或异面，故D不正确． 故选:B． 7. 已知是定义在R上的奇函数，且的一个周期为4，若，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】由奇偶性及周期先确定，进而得到，即可求解； 【详解】由题故．又，，故． 结合周期性可知， 故． 故选：C 8. 已知椭圆C：．，，若椭圆C上存在3个不同的点P满足，则椭圆C离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由点P满足，求出点P的轨迹方程，再与椭圆方程联立解方程组，结合有3个点列出不等式求出离心率范围. 【详解】设，由，得，化简得， 即点的轨迹是以点为圆心，1为半径的圆，则该圆与椭圆有3个交点， 由消去得，即， 显然是方程的一个解，点是圆与椭圆的1个公共点，因此必为方程的另一个解， 则，解得，所以椭圆C的离心率. 故选：C 【点睛】关键点点睛：求出点的轨迹轨迹方程并解方程组是求出范围是关键. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则（ ） A. 为函数图象的对称轴 B. 为函数图象的对称中心 C. 函数在上单调递增 D. 函数在的值域为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用代入检验法判断A，B，利用换元法求解单调性判断C，利用换元法求解值域判断D即可. 【详解】对于A，当时，函数取不到最值， 则不是函数图象的对称轴，故A错误； 对于B，由题意得，即为函数图象的对称中心，故B正确； 对于C，时，令， 由正弦函数性质得在上单调递增， 则函数在上单调递增，故C正确； 对于D，当时，令， 由正弦函数性质得在上单调递增，在上单调递减， 则，即， 则值域为，故D正确． 故选：BCD 10. 菱形中，，，对角线交于点，沿对角线将折起，使二面角的大小为，则（ ） A. 平面 B. 平面平面 C. 点到所在平面的距离为 D. 四面体的外接球的表面积是 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据线面垂直的判定定理判断A的真假；根据A选项的结果，判断面面垂直，可得B是否正确；求点到平面的距离，判断C的真假；求四面体外接球半径，确定外接球表面积没判断D的真假. 【详解】如图： 对于A选项，菱形的对角线互相垂直，则，，，且在折起的过程中垂直关系保持不变，则平面AOC，所以A选项正确． 对于B选项，由A选项得平面AOC，平面BCD，∴平面平面BCD，所以B选项正确． 对于C选项，由二面角的定义知，又平面平面BCD，交线为OC，在平面AOC中，过A作，交CO的延长线于E，则平面BCD，AE为所求的点面距离．由，，得，所以C选项错误． 对于D选项，设，的外心分别为，，的外接球球心为M， 半径为R，根据的对称性，可知，，都在平面内，且， 如图：做平面. 则， 的外接圆是四边形的外接圆，外接圆直径， ，，，所以D选项正确． 故选：ABD 11. 已知，其中，且，，若恒成立，则（ ） A. B. 是的极小值点 C. 在上单调递减 D. 在上单调递增 【答案】ABD 【解析】 【分析】由可得出，变形得出，令，其中，利用导数分析函数的单调性与极值，可判断A选项；利用导数分析函数的单调性，可判断CD选项；利用函数极值点与导数的关系可判断B选项. 【详解】对于A选项，由题，，， 记，其中，， 当时，；当时，， 故在区间上单调递增，在区间上单调递减， 又，故，故A正确； 对于BCD选项，，则， 记，， 当时，，即函数在上单调递减， 当时，，即函数在上单调递增， 又，， 当或时，，； 当时，，， 故在、上单调递增，在上单调递减， 所以，为函数的极小值点，且函数在上不单调，故BD正确C错误. 故选：ABD. 【点睛】思路点睛：利用导数求函数极值的步骤如下： （1）求函数的定义域； （2）求导； （3）解方程，当； （4）列表，分析函数的单调性，求极值： ①如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值； ②如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某企业生产的一种零件，其质量指标介于的为优质品，该企业生产的这种零件质量指标服从正态分布，技术改造后生产的同种零件质量指标服从正态分布，那么，该企业生产的这种零件的优质品率约提高了______． （若，则，，）． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意利用正态分布性质分别计算出技术改造前后的优品率，可得结果. 【详解】由题知技术改造前，该零件质量指标的均值为，标准差为，技术改造后该零件质量指标的均值为，标准差； 改造前，改造后. 所以优质品率提高了约． 故答案为： 13. 设，若函数在区间上单调，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意，设，利用导数可得在上单调递减，由，进而可得在区间上单调递增，在区间上单调递减，进而可得. 【详解】， 设，则， 故在上单调递减，又，可知在区间上单调递增， 在区间上单调递减，故，的取值范围是. 故答案为： 14. 数列满足，，，则数列的前n项和是______． 【答案】 【解析】 【分析】先由得到，再由，得，进而可得，由错位相减法可得前n项和. 【详解】由，用替代可得：， 化简得：，因，故是首项为1，公比为4的等比数列， 则， 由，用替代可得：， 化简得：，又，可推得． 则，记数列的前n项和为， 则， ， 两式相减：， 故， 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题目标是求的前n项和为，故考虑先求其通项公式，先求，，进而根据题中条件得，根据结构特点利用错位相减法可得. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，，，． （1）若，求； （2）若，，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量的线性运算，利用向量的模长公式即可求解， （2）根据正弦定理可得①式和②式，即可作商求解.. 【小问1详解】 ∵，∴， ∴， 即，∴． 又，∴，∴． 【小问2详解】 在中，①， 在中， ②， ①÷②得 又，，∴， 所以 16. 如图，已知四棱锥中，底面为菱形，，，平面，分别是的中点． （1）证明：平面平面； （2）求二面角的正弦值． 【答案】（1） 证明：连接．∵底面为菱形，， ∴是正三角形，∵E是CD中点，∴， ∵平面，平面，∴， ，又都在平面内， ∴平面，又平面， ∴平面平面． （2） 【解析】 【分析】（1）连接，证得，即可求证； （2）建系，求得平面法向量，代入夹角公式即可求解； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，两两垂直，以所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 易知：，，，， 则 ，， 设平面的法向量为，平面的法向量为， 则，即令，得，解得． 即，令，得，解得 设二面角的平面角为，则， 所以． 所以二面角的正弦值为． 17. 新高考数学试卷中共3道多选题，每题满分为6分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分（如果有两个选项符合题目要求，选对一个得3分；如果有三个选项符合题目要求，选对一个得2分；有错选或不选，得0分），某数学兴趣小组研究多选题时发现：随机事件“多项选择题中，有两个选项符合题目要求”和“多项选择题中，有三个选项符合题目要求”的概率均为．若学生解答某多选题时完全没有思路，只能通过随机选择的方式来完成作答，且选择四个选项的可能性是相同的． （1）已知某题有三个选项符合题目要求，小张通过随机选择选项的方式来完成作答，且只选一个选项作答的概率为，选两个选项作答的概率为，选三个选项作答的概率为，试求小张该题得0分的概率； （2）小王在解答完全没有思路的多选题时，有两种策略，一是“随机选择一个选项作答”，二是“随机选择两个选项作答”，试写出小王用两种策略得分的分布列和数学期望． 【答案】（1） （2）用策略一得分X的分布列为 X 0 2 3 P Y 0 4 6 P 用策略二得分的分布列为，策略一期望：；策略二期望： 【解析】 【分析】（1）记“随机选择i个选项作答”，，“小张得0分”．由条件概率及全概率公式求解即可； （2）设用策略一得分为随机变量X，用策略二得分为随机变量Y，确定随机变量的取值，求得相应概率，进而可求解； 【小问1详解】 记“随机选择i个选项作答”，，“小张得0分”． ，，，，，， 则 【小问2详解】 设记小王用策略一得分为随机变量X，X的取值为0，2，3； 记小王用策略二得分为随机变量Y，Y的取值为0，4，6 ，，． 小王用策略一得分X的分布列为 X 0 2 3 P 故． ， ，． Y 0 4 6 P 故； 18. 已知双曲线E：的左，右顶点分别为，，，双曲线E渐近线的方程为，过作斜率非零的直线l交E于，直线与直线交于点P，直线与直线交于点Q． （1）求双曲线的标准方程； （2）设直线与直线的斜率分别为，，求证为定值； （3）在x轴上是否存在定点，使得定点恰好在以为直径的圆上，若存在，求出T的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2） 易知，， 如图，设，，直线l的方程为， 联立，得， 则，，，， 得到，故， . （3）存在， 【解析】 【分析】（1）依据题意求解出基本量，再得到标准方程即可. （2）设出交点坐标，利用韦达定理表示，，再通过运算证明定值即可. （3）将问题转化为向量数量积问题，并假设定点存在，得到，再求解方程，发现方程有解，证明存在性即可. 【小问1详解】 因为，所以， 因为双曲线E渐近线的方程为，所以， 解得，，则双曲线的标准方程为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由题可知：， ：，下面我们给出示意图， 联立可得：，所以， 即，同理． 假设在x轴上存在定点满足条件，则， 即， 则， 得到， ， ， 即，解得， 则在x轴上存在定点满足条件． 【点睛】关键点点睛：解题关键是假设定点存在，然后转化为向量数量积定值问题，建立方程，求解出定点坐标，得到所要求的结果即可． 19. 在正整数的任意一个排列A：中，对于任意，且，若，则称为排列A的一个峰对，记排列A中峰对的个数为．例如对于排列A：1，2，3，5，4，为一个峰对，． （1）设排列A：1，2，5，4，3，B：1，2，5，4，7，6，2，试写出，的值； （2）将排列中的n与互换位置，得到排列C，求的值； （3）对的任意排列A，求的最大值． 附：． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据峰对定义即可求解； （2）通过分析交换位置后的排列特点来确定峰对个数； （3）由峰对定义和分析求出峰对的个数为个，接着分为奇数和偶数两种情况分析求出最大值，再依次考虑即可求解. 【详解】（1）对于排列A：1，2，5，4，3，峰对有，所以， 对于排列B：1，2，5，4，7，6，2， 峰对有 所以． （2）由题，，排列C的峰对必涉及n，，必有，或． 若，为峰对当且仅当，，共个峰对． 若，为峰对当且仅当，，或，共个峰对． 峰对，在两类中都有涉及，故． （3）若为峰对，其中j为常数，且， 由题， ， 设集合中的元素个数为x， 则集合的元素个数为， 此时峰对的个数为个． 若为奇数，可知当且仅当时，取最大值； 若为偶数，可知当且仅当，或时，取最大值； 依次考虑，可知， 当时等号成立，故的最大值为． 【点睛】方法点睛：对于新定义题目，解决此类题的策略是： 1. 准确理解“新定义”，明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论等； 2. 重视“举例”，利用例子可以检验是否理解和懂得正确运用，归纳例子提供的解题思路和方法； 3. 运用新定义去解决问题时，根据新定义交代的性质或运算规则去运用即可，解决问题的过程中还需要将“新定义”的知识与已有知识联系起来，利用已有知识经验来解决问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数 学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置． 2．全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案用0.5mm黑色笔迹签字笔写在答题卡上． 4．考试结束后，将本试题和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数z满足（为z的共轭复数），复数z在复平面内对应点为，则点Z的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 3. 设是等差数列的前n项和，若，，则的公差（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 如图，直三棱柱中，，点P为侧面上的任意一点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 定义：各位数字之和为5的四位数叫“吉祥数”，例如“1022，3110”，则所有“吉祥数”的个数是（ ） A. 35 B. 32 C. 29 D. 20 6. 已知m，n为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 7. 已知是定义在R上的奇函数，且的一个周期为4，若，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 8. 已知椭圆C：．，，若椭圆C上存在3个不同的点P满足，则椭圆C离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则（ ） A. 为函数图象的对称轴 B. 为函数图象的对称中心 C. 函数在上单调递增 D. 函数在的值域为 10. 菱形中，，，对角线交于点，沿对角线将折起，使二面角的大小为，则（ ） A. 平面 B. 平面平面 C. 点到所在平面的距离为 D. 四面体的外接球的表面积是 11. 已知，其中，且，，若恒成立，则（ ） A. B. 是的极小值点 C. 在上单调递减 D. 在上单调递增 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某企业生产的一种零件，其质量指标介于的为优质品，该企业生产的这种零件质量指标服从正态分布，技术改造后生产的同种零件质量指标服从正态分布，那么，该企业生产的这种零件的优质品率约提高了______． （若，则，，）． 13. 设，若函数在区间上单调，则的取值范围是______． 14. 数列满足，，，则数列的前n项和是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，，，． （1）若，求； （2）若，，求的值． 16. 如图，已知四棱锥中，底面为菱形，，，平面，分别是的中点． （1）证明：平面平面； （2）求二面角的正弦值． 17. 新高考数学试卷中共3道多选题，每题满分为6分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分（如果有两个选项符合题目要求，选对一个得3分；如果有三个选项符合题目要求，选对一个得2分；有错选或不选，得0分），某数学兴趣小组研究多选题时发现：随机事件“多项选择题中，有两个选项符合题目要求”和“多项选择题中，有三个选项符合题目要求”的概率均为．若学生解答某多选题时完全没有思路，只能通过随机选择的方式来完成作答，且选择四个选项的可能性是相同的． （1）已知某题有三个选项符合题目要求，小张通过随机选择选项的方式来完成作答，且只选一个选项作答的概率为，选两个选项作答的概率为，选三个选项作答的概率为，试求小张该题得0分的概率； （2）小王在解答完全没有思路的多选题时，有两种策略，一是“随机选择一个选项作答”，二是“随机选择两个选项作答”，试写出小王用两种策略得分的分布列和数学期望． 18. 已知双曲线E：的左，右顶点分别为，，，双曲线E渐近线的方程为，过作斜率非零的直线l交E于，直线与直线交于点P，直线与直线交于点Q． （1）求双曲线的标准方程； （2）设直线与直线的斜率分别为，，求证为定值； （3）在x轴上是否存在定点，使得定点恰好在以为直径的圆上，若存在，求出T的坐标；若不存在，说明理由． 19. 在正整数的任意一个排列A：中，对于任意，且，若，则称为排列A的一个峰对，记排列A中峰对的个数为．例如对于排列A：1，2，3，5，4，为一个峰对，． （1）设排列A：1，2，5，4，3，B：1，2，5，4，7，6，2，试写出，的值； （2）将排列中的n与互换位置，得到排列C，求的值； （3）对的任意排列A，求的最大值． 附：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $