9.2.1向量的加减法【6大题型】-2024-2025学年高一数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（苏教版2019必修第二册）

9.2.1向量的加减法 【考点梳理】 · 考点一：向量加法法则 · 考点二：向量加法法则的几何应用 · 考点三：向量减法法则 · 考点四：向量加减法的运算律 · 考点五：向量减法法则的几何应用 · 考点六：向量加减法的综合问题 【考点梳理】 知识点一　向量加法的定义及其运算法则 1.向量加法的定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法. 2.向量求和的法则 向量求和的法则 三角形法则 已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，则向量叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝. 这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则. 对于零向量与任意向量a，规定a＋0＝0＋a＝a 平行四边形法则 以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作▱OACB，则以O为起点的对角线就是a与b的和.把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则 知识点二　向量加法的运算律 交换律 a＋b＝b＋a 结合律 (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 技巧：向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系 区别 联系 三角形法则 (1)首尾相接 (2)适用于任何向量求和 三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出图形的一半 知识点三：相反向量 1.定义：与向量a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a. 2.性质 (1)零向量的相反向量仍是零向量. (2)对于相反向量有：a＋(－a)＝(－a)＋a＝0. (3)若a，b互为相反向量，则a＝－b，b＝－a，a＋b＝0. 知识点四：向量的减法 1.定义：向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，即a－b＝a＋(－b)，因此减去一个向量，相当于加上这个向量的相反向量，求两个向量差的运算，叫做向量的减法. 2.几何意义：在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则向量a－b＝，如图所示. 3.文字叙述：如果把两个向量的起点放在一起，那么这两个向量的差是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量. 【题型归纳】 题型一：向量加法法则 1．（23-24高一下·江苏连云港·期末）（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量加减运算可得结果． 【详解】， 故选：B． 2．（23-24高一下·重庆涪陵·阶段练习）如图，在平行四边形中，（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定图形，利用向量加法的平行四边形法则计算即得. 【详解】依题意，， 所以. 故选：A 3．（2024高一下·全国·专题练习）已知四边形为菱形，则下列等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据菱形的性质，结合平面向量加法的运算性质进行判断即可. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，因为，所以，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，因为，所以，故D错误. 故选：C 题型二：向量加法法则的几何应用 4．（24-25高一下·全国）若在中，，，且，，则的形状是（    ） A．正三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】D 【分析】根据条件便有，再由便可得出，从而便可得到为等腰直角三角形． 【详解】解：如图，   ； ； 为等腰直角三角形． 故选：D． 5．（2024高三·全国·专题练习）如图，在正六边形中，＋＋＝（     ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可知,,代入条件根据向量加法的运算法则计算即可得到答案. 【详解】由题意可知: ,, 所以. 故选：D 6．（22-23高一下·陕西西安·阶段练习）若点O是的外心，且，则的内角C等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得，又因为，所以四边形为菱形，且，即可得答案. 【详解】由得，， 因为点O是的外心，则， 结合向量加法的几何意义知， 四边形为菱形，且，    所以的内角C等于. 故选：A. 题型三：向量减法法则 7．（23-24高一下·四川成都·期末）（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面向量减法运算化简. 【详解】根据平面向量减法运算可得 . 故选：A 8．（23-24高一下·湖南衡阳·期中）（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量的加法减法运算即可求解. 【详解】原式． 故选：A. 9．（21-22高一下·天津·阶段练习）向量，化简后等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平面向量的加法与减法可化简所得向量式. 【详解】. 故选：D. 题型四：向量减法法则的几何应用 10．（2023高一·全国·课后作业）若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由向量模长的三角不等式可求得的取值范围． 【详解】由向量模长的三角不等式可得，当且仅当、的方向相同时，等号成立； ，当且仅当、的方向相反时，等号成立， 因此，的取值范围是， 故选：A． 11．（22-23高一下·吉林长春·阶段练习）如图，在平行四边形ABCD中，下列计算结果错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量运算的几何意义，结合条件逐项分析即得. 【详解】因为四边形为平行四边形， 对A，，正确； 对B，，错误； 对C，，正确； 对D，，正确. 故选：B. 12．（2023高一·全国·专题练习）在中，若，则的形状为（    ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【分析】根据向量的减法法则可得，由三边相等关系即可得出结果. 【详解】因为，， 所以， 所以为等边三角形． 故选：A 题型五：向量加减法的运算律 13．（23-24高一下·四川成都）下列各式中不能化简为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量加减法法则化简各式，即可得答案. 【详解】A：，不符合题意； B：因为，， 若，即，可得， 即点与点重合，显然这不一定成立， 所以与不一定相等，符合题意； C：，不符合题意； D：，不符合题意； 故选：B 14．（23-24高一下·天津滨海新·阶段练习）下列四式不能化简为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由向量的加法与减法原则求解即可. 【详解】， ， ， . 故选：A. 15．（22-23高一下·天津和平·阶段练习）下列各式中不能化简为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得. 【详解】对于A： ，故A正确； 对于B：，故B错误； 对于C：，故C正确； 对于D：，故D正确； 故选：B 题型六：向量加减法的综合问题 16．（21-22高一下·河南周口·阶段练习）化简下列各式： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平面向量加法和减法的运算法则化简即可得出结果； （2）首先化简出两个向量的结果，再与第三个向量进行加减运算即可求得结果. 【详解】（1）利用平面向量的加减运算法则可得， （2）由平面向量的加减运算法则可得 17．（2023高一·全国·专题练习）化简： (1)； (2)； (3)． (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2)； (3) (4) (5) (6) 【分析】由向量的三角形法则求解即可. 【详解】（1）. （2）. （3）. （4）. （5）. （6）. 18．（22-23高一下·湖北·阶段练习）如图，E，F，G，H分别是梯形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，，，，，用，表示下列各式． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平面向量的加法运算求解即可. （2）根据平面向量的加法、减法运算求解即可. 【详解】（1）由题知：． （2）         ． 【高分演练】 一、单选题 19．（23-24高一下·江苏镇江·期中）化简（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量线性运算法则及运算律计算可得. 【详解】. 故选：D 20．（23-24高一下·河南商丘·阶段练习）化简（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的线性运算求解. 【详解】由题意可得：. 故选：D. 21．（2023·湖南岳阳·模拟预测）下列向量关系式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由向量加减法的运算规则，验证各选项的结果. 【详解】，A选项错误； ，B选项错误； ，C选项错误； 由向量加法的运算法则，有，D选项正确. 故选：D. 22．（21-22高一·全国·课前预习）在四边形ABCD中，若，则四边形ABCD是（    ） A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．不确定 【答案】B 【分析】由相等向量，向量的减法运算求解即可. 【详解】因为，所以四边形ABCD是平行四边形， 又因为，即， 所以平行四边形ABCD是矩形. 故选：B. 23．（22-23高一下·河南驻马店·期中）在中，，则是（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【分析】根据向量加减法法则及模的定义判断. 【详解】因为，，，， 所以， 所以是等边三角形． 故选：A． 24．（22-23高一下·广西·期末）在矩形中，，，则等于（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】A 【详解】根据向量的加法运算法化简，根据矩形的特征可求对角线的长度，进而可求模长． 【分析】在矩形中，由，可得， 又因为，故，故． 故选：A. 25．（22-23高一下·湖北咸宁·期末）如图，已知平面向量满足，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，过分别作的平行线，不妨设，可得，进而可得答案. 【详解】设，过分别作的平行线， 分别交于， 如图，不妨设， 所以， 则， 从而， 故. 故选：A.    26．（22-23高一下·河南·阶段练习）如图，在正六边形中，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正六边形的性质与平面向量加法运算法则即可得答案. 【详解】连接，，交于点， 由正六边形的性质可知，六个小三角形均为全等的正三角形， 所以且， ， 故选：C 27．（21-22高一下·江苏南通·期末）在中，已知是边上一点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量的减法运算即可得到答案． 【详解】解：， 则有， 可得． 故选：C. 28．（21-22高一·全国·课后作业）已知是正三角形，则下列等式中不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量加法的三角形法则及是正三角形，逐一判断即可. 【详解】解：对于A，因为，, 所以，故正确； 对于B，因为,(为中点)，故错误； 对于C，因为(为中点), (为中点), 所以，故正确； 对于D，因为，， 所以，故正确. 故选：B. 二、多选题 29．（21-22高一·江苏·课后作业）下列结论恒为零向量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用平面向量的线性运算逐个选项直接求解判断即可. 【详解】对于A，，A错； 对于B，，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，，D正确. 故选：BCD 30．（22-23高一上·辽宁营口·期末）设，是两个非零向量，则下列描述错误的有（    ） A．若，则存在实数，使得. B．若，则. C．若，则，反向. D．若，则，一定同向 【答案】ACD 【分析】根据向量加法的意义判断选项A，C；根据平面向量加法的平行四边形法则可判断选项B；根据平面向量平行的性质可判断选项D. 【详解】对于选项A：当，由向量加法的意义知，方向相反且， 则存在实数，使得，故选项A错误； 对于选项B：当，则以，为邻边的平行四边形为矩形，且和是这个矩形的两条对角线长， 则，故选项B正确； 对于选项C：当，由向量加法的意义知，方向相同，故选项C错误； 对于选项D：当时，则，同向或反向，故选项D错误； 综上所述：选项ACD错误， 故选：ACD. 31．（20-21高一下·江苏常州·阶段练习）下列能化简为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据向量的线性运算分别判断即可． 【详解】解：对于A，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D不合题意； 故选：ABC． 32．（22-23高一上·辽宁大连·期末）已知点P为所在平面内一点，且，若E为AC的中点，F为BC的中点，则下列结论正确的是（    ） A．向量与可能平行 B．点P在线段EF上 C． D． 【答案】BC 【分析】根据平面向量线性运算化简得到，即可判断ABC选项； 根据点为线段靠近点的三等分点得到，，，然后得到，即可判断D选项. 【详解】因为，所以，即，所以点为线段靠近点的三等分点，故A错，BC正确； 设边上的高为，因为，分别为，中点，所以，，又点为线段靠近点的三等分点，，，所以，则，，所以，故D错. 故选：BC. 三、填空题 33．（22-23高一·全国·随堂练习）化简： （1） ；            （2） ； （3） ；            （4） ． 【答案】 【分析】根据向量加减法的几何意义进行运算即可. 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）. 故答案为：；；；. 34．（22-23高一下·湖南株洲·期中）如图，在平行四边形中，为的中点，为的中点，若，则 .    【答案】/1.25 【分析】首先连接，根据平面向量的加法几何意义得到，即可得到答案. 【详解】连接，如图所示：    . 所以. 故答案为： 35．（22-23高一上·河南洛阳·阶段练习）已知非零向量，满足：，作，，则 . 【答案】 【分析】构造平行四边形，可得为正三角形，根据图形可得答案. 【详解】构造如图所示的平行四边形，，, 则，， 则为正三角形， 故， 则平行四边形为菱形， 故OB平分， 则. 故答案为： 36．（2023高一·全国·课后作业）如图，D、E、F分别是边AB、BC、CA上的中点，则等式： ①    ②    ③    ④ 其中正确的题号是 ． 【答案】③④ 【分析】根据向量的线性运算逐项分析判断. 【详解】对于①：，故①错误； 对于②：，故②错误； 对于③：，故③正确； 对于④：，故④正确； 故答案为：③④. 四、解答题 37．（2020高一·全国·专题练习）化简下列各向量的表达式： (1)； (2)； (3)； 【答案】(1). (2). (3) 【分析】根据平面向量的加法运算和减法运算法则可求出结果. 【详解】（1）. （2） . （3） . 38．（23-24高一下·全国·单元测试）化简下列各式： (1)； (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（2）（3）由向量的加减法运算即可得答案. 【详解】（1）． （2）. （3）. 39．（22-23高一下·新疆喀什·期中）化简下列各式： (1)； (2)； (3)； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（2）（3）按照向量的加法、减法法则计算即得. 【详解】（1）； （2）； （3）. 40．（22-23高一下·河南南阳·阶段练习）如图所示，在平行四边形中，，分别为边和的中点，为与的交点． (1)若，则四边形是什么特殊的平行四边形？说明理由． (2)化简，并在图中作出表示该化简结果的向量． 【答案】(1)菱形，理由见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）根据平面向量加法的运算法则，结合菱形的定义进行求解判断即可； （2）根据三角形中位线定理，结合平面向量运算法则进行求解即可. 【详解】（1）由条件知， 即，又四边形是平行四边形，故四边形是菱形． （2）由平行四边形及三角形中位线的性质可知． 所以． 作出向量如图所示． 41．（21-22高一下·湖南·阶段练习）如图，在中，，. (1)，求的值； (2)若，，试用，表示. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)在中运用向量的加法与相反向量及数乘关系可求解； (2)，，两式相减化简整理可得答案. 【详解】（1）， 所以，， 故. （2）因为， ， 所以， 故. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 9.2.1向量的加减法 【考点梳理】 · 考点一：向量加法法则 · 考点二：向量加法法则的几何应用 · 考点三：向量减法法则 · 考点四：向量加减法的运算律 · 考点五：向量减法法则的几何应用 · 考点六：向量加减法的综合问题 【考点梳理】 知识点一　向量加法的定义及其运算法则 1.向量加法的定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法. 2.向量求和的法则 向量求和的法则 三角形法则 已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，则向量叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝. 这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则. 对于零向量与任意向量a，规定a＋0＝0＋a＝a 平行四边形法则 以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作▱OACB，则以O为起点的对角线就是a与b的和.把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则 知识点二　向量加法的运算律 交换律 a＋b＝b＋a 结合律 (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 技巧：向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系 区别 联系 三角形法则 (1)首尾相接 (2)适用于任何向量求和 三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出图形的一半 知识点三：相反向量 1.定义：与向量a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a. 2.性质 (1)零向量的相反向量仍是零向量. (2)对于相反向量有：a＋(－a)＝(－a)＋a＝0. (3)若a，b互为相反向量，则a＝－b，b＝－a，a＋b＝0. 知识点四：向量的减法 1.定义：向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，即a－b＝a＋(－b)，因此减去一个向量，相当于加上这个向量的相反向量，求两个向量差的运算，叫做向量的减法. 2.几何意义：在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则向量a－b＝，如图所示. 3.文字叙述：如果把两个向量的起点放在一起，那么这两个向量的差是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量. 【题型归纳】 题型一：向量加法法则 1．（23-24高一下·江苏连云港·期末）（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·重庆涪陵·阶段练习）如图，在平行四边形中，（    ） A． B． C． D． 3．（2024高一下·全国·专题练习）已知四边形为菱形，则下列等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 题型二：向量加法法则的几何应用 4．（24-25高一下·全国）若在中，，，且，，则的形状是（    ） A．正三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 5．（2024高三·全国·专题练习）如图，在正六边形中，＋＋＝（     ）    A． B． C． D． 6．（22-23高一下·陕西西安·阶段练习）若点O是的外心，且，则的内角C等于（    ） A． B． C． D． 题型三：向量减法法则 7．（23-24高一下·四川成都·期末）（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一下·湖南衡阳·期中）（    ） A． B． C． D． 9．（21-22高一下·天津·阶段练习）向量，化简后等于（    ） A． B． C． D． 题型四：向量减法法则的几何应用 10．（2023高一·全国·课后作业）若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 11．（22-23高一下·吉林长春·阶段练习）如图，在平行四边形ABCD中，下列计算结果错误的是（    ） A． B． C． D． 12．（2023高一·全国·专题练习）在中，若，则的形状为（    ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 题型五：向量加减法的运算律 13．（23-24高一下·四川成都）下列各式中不能化简为的是（    ） A． B． C． D． 14．（23-24高一下·天津滨海新·阶段练习）下列四式不能化简为的是（    ） A． B． C． D． 15．（22-23高一下·天津和平·阶段练习）下列各式中不能化简为的是（    ） A． B． C． D． 题型六：向量加减法的综合问题 16．（21-22高一下·河南周口·阶段练习）化简下列各式： (1)； (2) 17．（2023高一·全国·专题练习）化简： (1)； (2)； (3)． (4)； (5)； (6)． 18．（22-23高一下·湖北·阶段练习）如图，E，F，G，H分别是梯形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，，，，，用，表示下列各式． (1)； (2)． 【高分演练】 一、单选题 19．（23-24高一下·江苏镇江·期中）化简（    ） A． B． C． D． 20．（23-24高一下·河南商丘·阶段练习）化简（    ） A． B． C． D． 21．（2023·湖南岳阳·模拟预测）下列向量关系式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 22．（21-22高一·全国·课前预习）在四边形ABCD中，若，则四边形ABCD是（    ） A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．不确定 23．（22-23高一下·河南驻马店·期中）在中，，则是（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 24．（22-23高一下·广西·期末）在矩形中，，，则等于（    ） A． B． C．3 D．4 25．（22-23高一下·湖北咸宁·期末）如图，已知平面向量满足，则（    ）    A． B． C． D． 26．（22-23高一下·河南·阶段练习）如图，在正六边形中，（    ） A． B． C． D． 27．（21-22高一下·江苏南通·期末）在中，已知是边上一点，且，则（    ） A． B． C． D． 28．（21-22高一·全国）已知是正三角形，则下列等式中不成立的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 29．（21-22高一·江苏）下列结论恒为零向量的是（    ） A． B． C． D． 30．（22-23高一上·辽宁营口·期末）设，是两个非零向量，则下列描述错误的有（    ） A．若，则存在实数，使得. B．若，则. C．若，则，反向. D．若，则，一定同向 31．（20-21高一下·江苏常州·阶段练习）下列能化简为的是（   ） A． B． C． D． 32．（22-23高一上·辽宁大连·期末）已知点P为所在平面内一点，且，若E为AC的中点，F为BC的中点，则下列结论正确的是（    ） A．向量与可能平行 B．点P在线段EF上 C． D． 三、填空题 33．（22-23高一·全国·随堂练习）化简： （1） ；            （2） ； （3） ；            （4） ． 34．（22-23高一下·湖南株洲·期中）如图，在平行四边形中，为的中点，为的中点，若，则 .    35．（22-23高一上·河南洛阳·阶段练习）已知非零向量，满足：，作，，则 . 36．（2023高一·全国）如图，D、E、F分别是边AB、BC、CA上的中点，则等式： ①    ②    ③    ④ 其中正确的题号是 ． 四、解答题 37．（2020高一·全国·专题练习）化简下列各向量的表达式： (1)； (2)； (3)； 38．（23-24高一下·全国·单元测试）化简下列各式： (1)； (2)． (3)． 39．（22-23高一下·新疆喀什·期中）化简下列各式： (1)； (2)； (3)； 40．（22-23高一下·河南南阳·阶段练习）如图所示，在平行四边形中，，分别为边和的中点，为与的交点． (1)若，则四边形是什么特殊的平行四边形？说明理由． (2)化简，并在图中作出表示该化简结果的向量． 41．（21-22高一下·湖南·阶段练习）如图，在中，，. (1)，求的值； (2)若，，试用，表示. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$