专题01 第五单元数学广角-鸽巢问题-2024-2025学年六年级下册数学计算大通关（人教版）

2024-2025学年六年级下册数学计算大通关 第五单元数学广角·鸽巢问题 本专题单元讲义，包含四大内容： 1、 常用知识点梳理：梳理计算所需知识点，让学生明确计算过程中会用到哪些知识点。 2、 易错提示：对学习中的高频易错点进行总结和归纳并提出应对策略。 3、典例分析：选取典型例题进行分析，让学生学习解题的方法、过程和知识点的运用。 4、专题突破：以小知识点为突破口，小专题讲练。 目录 常用知识点 2 鸽巢原理 2 鸽巢原理的逆向应用 3 摸球问题（“相同型”） 4 摸球问题（“不同型”） 4 易错提示 4 典例分析 6 专题突破 8 突破点一：抽屉原理的直接应用 8 突破点二：构造抽屉—直接构造抽屉 9 突破点三：构造抽屉—利用排列组合构造抽屉 9 突破点四：构造抽屉—利用数的奇偶性构造抽屉 10 突破点五：抽屉原理的逆向应用-求物体数 11 突破点六：抽屉原理的逆向应用-求最大抽屉数 12 突破点七：“相同型”（摸出同色球） 12 突破点八：“不同型”（摸出不同色球） 13 常用知识点 1． 鸽巢原理 （1） 基本概念 “鸽巢原理”，也叫“抽屉原理”，是组合数学中的一个重要原理。 把3个苹果放进2个抽屉里，一定有1个抽屉里至少有2个苹果；5只鸽子飞进4个鸽笼，一定有1个鸽笼里至少飞进2只鸽子，这两个简单的例子所体现的数学原理就是“鸽巢原理”。 （2） 抽屉原理 抽屉原理1：把多于n个物体任意放进n个“抽屉”中（n是非0自然数），总有1个“抽屉”中至少放进2个物体。 例如：把4支铅笔放入3个笔筒中，不管怎么放，总有1个笔筒里至少放进2支铅笔。 “总有”：表示一定有、肯定有、一定存在； “至少”：表示最少、最低限度、不少于。 抽屉原理2：把多于kn个物体任意放进n个“抽屉”中（k、n均是非0自然数），总有1个“抽屉”中至少放进（k+1）个物体。 例如：把7本书放进3个抽屉中，不管怎么放，总有一个抽屉至少放进3本书。如果一共有8本书会怎样呢？10本呢？ 假设法：用平均分的方法直接考虑“至少”的情况。 7本书放进3个抽屉，先平均分，7÷3=2（本）……1（本）。 假设每个抽屉里先放进2本书，此时还剩下1本，这剩下的1本无论放进哪个抽屉，总有1个抽屉里至少有（2+1）本书。依此类推： 7 ÷ 3 = 2（本）……1（本） 把7本书放进3个抽屉里，总有1个抽屉里至少放进（2+1）本数。 8 ÷ 3 = 2（本）……2（本）把8本书放进3个抽屉里，总有1个抽屉里至少放进（2+1）本数。 10 ÷ 3 = 3（本）……1（本）把10本书放进3个抽屉里，总有1个抽屉里至少放进（3+1）本数。 平均每个抽屉的本数 余下的本数 抽屉 数 物体 数 （kn+a）÷n=k……a把（kn+a）（a＜n，且k、n、a均为非0自然数）本书放进n个抽屉里，总有1个抽屉里至少放进（k+1）本书。 （3） 求至少数 题型特征：总有/一定……至少…… 物体数÷抽屉数=商……余数 至少数=商+1 【提示】：①至少数=商+1，并非“商+余数”； ②有余数时，至少数=商+1；没余数时，至少数=商。 （4） 解题步骤 ①分析题意，将实际问题转化为“抽屉问题”，明确谁是“物体”、谁是“抽屉”。当题目没直接给出“抽屉”时，需根据题目已知条件和要求构造“抽屉”； ②把“物体”放入“抽屉”； ③利用抽屉原理解答。 2． 鸽巢原理的逆向应用 （1）已知抽屉数和至少数，求物体数。 题型特征：至少……保证…… 方法1：转化为“抽屉问题”解答。 ①当至少数=2时，物体数=抽屉数+1，即物体数比抽屉数多1。 如果有n（n是非0自然数）个“抽屉”，要保证有1个“抽屉”至少放进了2个物体，那么至少需要有（n+1）个物体； ②当至少数＞2时，物体数=（至少数-1）×抽屉数+1。 如果有n个“抽屉”，要保证有一个“抽屉”至少放进了（k+1）（n、k均是非0自然数）个物体，那么至少需要有（kn+1）个物体。 方法2：从最不利的情况考虑。 从“最不凑巧”、“最糟糕”的极端情况考虑问题，如果最不利的情况都能满足题目要求，那么其他情况必然也能满足题目要求。 （2） 已知物体数和至少数，求最大抽屉数。 （物体数-1）÷（至少数-1）=商……余数 最大抽屉数=商 3． 摸球问题（“相同型”） 方法1：从最不利的情况考虑。 要想保证摸出n个同色球，最不利的情况是每种颜色各摸（n-1）个，再加1。 方法2：转化为“抽屉问题”，利用公式求解。 把摸出的球看作待分的物体，把球的颜色看作抽屉，已知抽屉数和至少数，求物体数。 利用“物体数=（至少数-1）×抽屉数+1”求解。 当至少数=2时，物体数=抽屉数+1，也就是要保证摸出2个同色球，摸出的球数至少要比颜色数多1，与每种颜色的球数无关。 4． 摸球问题（“不同型”） 要想保证摸出n个不同色球，最不利的情况是把（n-1）种颜色全部取出，再加1。 易错提示 易错点1：抽屉问题求至少数时出错 例1：（判断）因11÷3=3……2，所以把11本书放进3个抽屉中，总有一个抽屉里至少放5本书。（ ） 例2：小王训练射击，共射6发，成绩是55环，小王至少有（ ）发不低于10环。 易错点2：无法准确判断谁是“物体”，谁是“抽屉” 例1：（判断）给一个正方体木块的6个面分别涂上红、黄两种颜色，一个面只涂一种颜色，不论怎么涂至少有3个面涂的颜色相同。（ ） 例2：38名学生进行答题游戏，每人答2道题，规定答对一题得2分，不答不得分，答错扣1分，则至少有几名学生的成绩相同？ 典例分析 例1：某班有男生25人、女生18人，下面说法正确的是（ ）。 A. 至少有2名男生是在同一个月出生的 B. 至少有2名女生是在同一个月出生的 C. 至少有5个人是在同一个月出生的 D. 以上选项都错误 例2：木箱里装有红色球3个、黄色球5个、蓝色球7个，若蒙眼去摸，为保证取出的球中一定有两个球的颜色相同，则至少要取出（    ）个球。 A. 2 B. 3 C. 4 D. 7 例3：如图所示，盒子中有4种不同颜色的球，小华蒙着眼睛往外摸球，至少要摸出（ ）个，才能保证摸出的球至少有3种不同的颜色？ 例4：有一些鸽子飞入7个笼子里，为了保证有其中一个笼子里至少有4只鸽子，那么这些鸽子至少有多少只？ 例5：把61本书分给某个班级的学生，如果能保证有人分到至少3本书，那么这个班最多有多少人？ 专题突破 突破点一：抽屉原理的直接应用 1． （判断）8只鸽子飞回3个鸽舍，总有1个鸽舍至少飞进了4只鸽子。（ ） 2． （判断）把30个苹果放在7个盘子里，不管怎么放，总有一个盘子里至少放进5个苹果。（ ） 3． （判断）植树节，有6名同学植了25棵树，有一名同学至少植树5棵。（ ） 4． （判断）体操队有30人，排成4行，有一行至少要站7个同学。（ ） 5． （判断）冬冬的3次数学测试一共得了280分（成绩都为整数），至少有一次成绩不低于94分。（ ） 6． （判断）张叔叔参加飞镖比赛，投了4镖，总成绩是33环，且每一镖的成绩都是整数环。张叔叔至少有一镖不低于9环。（ ） 7． 图书角书架分上、中、下三层，明明把新买的16本书放入书架，放书最多的一层至少要放入（ ）本书。 A. 2 B. 3 C. 5 D. 6 8． 今天是小明的生日，小明邀请好朋友一起庆祝。妈妈为他准备了一个大蛋糕，把蛋糕平均分成了8块放在6个盘子里，不管怎么放，总有一个盘子里至少放了（ ）块蛋糕。请说明你的理由。 突破点二：构造抽屉—直接构造抽屉 1． （判断）六（1）班数学兴趣小组15名同学，至少有2人的出生月份相同。（ ） 2． （判断）某地今年5月份有31个小孩子出生，一定有2个小孩在同一天出生。（ ） 3． 某小学有6个年级，每个年级有8个班。一天放学，8位小朋友一起走出校门。那么，下列说法中，正确的是（ ）。 A. 他们中至少有2人出生月份相同 B. 他们中至少有2人是同一年级的 C. 他们中至少有2人生肖属相相同 D. 他们中至少有2人是同一班级的 4． 某校六年级有320人，他们的年龄分别为12岁、13岁，在这些同学中，至少有多少个同学是同年同月出生的？ 5． 六年级有47名学生参加一次数学竞赛，成绩都是整数，满分是100分。已知3名学生的成绩都在60分以下，其余学生的成绩均在75~95之间（包括75分和95分）。问：至少有几名学生的成绩相同？ 突破点三：构造抽屉—利用排列组合构造抽屉 1． 六（1）班有12个学生都订阅了《儿童文学》、《小学科技》、《小小艺术家》三种报刊中的一种或几种，那么这12人中至少有（ ）人所订报刊种类完全相同。 A. 2 B. 6 C. 7 D. 12 2． 六年级有100名同学订阅A、B、C三种杂志。如果他们都只订阅了其中一种，至少有（ ）名同学订阅的杂志种类相同；如果他们订阅了其中的一种或两种杂志，至少有（ ）名同学订阅的杂志种类相同。 3． 学校开设了书法、舞蹈、棋类、乐器四个课外学习班，每个学生最多可以参加两个（可以不参加）学习班。某班有52名同学，至少有几名同学参加课外学习班的情况完全相同？ 4． 给下面每个格子涂上红色或蓝色，至少有两列的涂色相同，为什么？ 如果只涂两行的话，结论有什么变化呢？ 突破点四：构造抽屉—利用数的奇偶性构造抽屉 1． （判断）任意给出3个不同的自然数，其中一定有2个数的差是偶数。（ ） 2． 任意给出3个不同的自然数，其中一定有2个数的和是偶数，请说明理由。 3． 任意给出三个不同的自然数，其中一定有2个数的和是（ ）。 A. 奇数 B. 偶数 C. 质数 D. 合数 突破点五：抽屉原理的逆向应用-求物体数 1． （判断）龙龙玩掷骰子游戏，要保证掷出的骰子的点数至少有两次相同，他最少应掷7次。（ ） 2． 胜利学校的学生中，最大的12岁，最小的6岁，至少从中挑选（ ）名学生，就一定能找到年龄相同的两名同学。 A. 6 B. 7 C. 8 D. 13 3． 手工课上老师给学生发折纸，有大、中、小三种，每人发一种，如果至少有15名学生拿到相同的折纸，那么这个班至少有（ ）名学生。 A. 42 B. 43 C. 44 D. 45 4． 六年级有5个班，在一次数学竞赛中，至少要有（ ）人获奖，才能保证有3名学生一定在同一个班级里。 5． 在1、2、3、…、20中至少要取出（ ）个不同的数，才能保证其中一定有一个数是合数。 6． 一次数学考试，六（2）班最高分是98分，最低分是76分，每人的得分都是整数，要确保班上至少有3名学生得分相同，六（2）班至少有多少名学生？ 7． 王老师借来了历史、文艺和科普三种书若干本．每个同学从中任意借一本或两本，那么至少要几个同学借阅才能保证一定有两人借的图书一样？ 突破点六：抽屉原理的逆向应用-求最大抽屉数 1． 把45根香蕉最多放进（ ）个盘子里，才能保证至少有一个盘子里放进7根香蕉。 A. 6 B. 5 C. 7 D. 8 2． 把27个苹果最多放到几个盘子里，可以保证总有一个盘子里至少有7个苹果？ 3． 李老师要将45本课外书奖励给学习进步的同学，最多分给多少个同学，才能保证至少有1个同学能分到5本书？ 突破点七：“相同型”（摸出同色球） 1． （判断）一个盒子里有同样大小的黄球和黑球各4个，要想摸出的球一定有2个同色的，至少要摸出4个球。（ ） 2． 盒子里有同样大小的红、黄、蓝、黑球各10个，要想摸出的球一定有2个同色的，至少要摸出（ ）个球。 3． 木箱里装有红色球3个、黄色球5个、蓝色球7个，若蒙眼去摸，为保证取出的球中一定有两个球的颜色相同，则至少要取出（ ）个球。 A. 2 B. 3 C. 4 D. 7 4． 一个袋子里装着红、黄两种颜色球各3个，这些球的大小都相同，问一次摸出3个球，其中至少有（ ）个球的颜色相同。 A. 1 B. 2 C. 3 5． 盒子里有同样大小的红、黄、蓝、黑球各10个，要想摸出的球一定有4个同色的，至少要摸出（ ）个球。 6． 一副扑克牌有四种花色（大小王除外），每种花色有13张。从中任意抽牌，至少抽（ ）张牌，才能保证5张牌是同一花色。 7． 把红黄绿三种颜色的筷子各两双混在一起，如果闭上眼睛，最少拿出（ ）根才能保证一定有一双同色筷子。 8． 一袋有70只球，其中20只红球，20只绿球，20只黄球，其余为白球和黑球，至少取多少只球，才能保证有10只同色的球？ 突破点八：“不同型”（摸出不同色球） 1． 盒子里有同样大小的红球和篮球各4个，要想摸出的球一定有2个不同色，至少要摸出（ ）个球。 2． 箱子里有红、黄、蓝三种不同颜色的球各5个，至少摸出（ ）个球才能保证摸出的球有两个颜色不同。 3． 盒子里有同样大小的红、黄、蓝、黑、绿各10个，要想摸出的球一定有5个不同色，至少要摸出（ ）个球。 4． 箱子中有3个红球、4个白球、6个蓝球，从中至少摸出（ ）个球才能保证每种颜色的球各有1个。 A．3 B．11 C．13 5． 有40个标有号码的小球，其中号码为1、2、3、4的各有10个。至少取出（ ）个，才能保证至少有2个号码相同的小球；至少取出（ ）个，才能保证有4个不同号码的小球。 A. 5 B. 13 C. 31 D. 11 6． 一副扑克牌（去掉大、小王）共52张，至少摸出（ ）张牌，才能保证有两张牌的花色相同；至少摸出（ ）张牌，才能保证至少有两种不同花色。 7． 盒子里有10个红球，5个黄球，3个白球。 （1） 至少摸出（ ）个球，才能保证有2个颜色相同的球。 （2） 至少摸出（ ）个球，才能保证有2个颜色不同的球。 （3） 至少摸出（ ）个球，才能保证有2个红球。 8． 一个鱼缸里有4种花色的金鱼，每种花色各有10条，从中任意捞鱼。 （1）至少捞出多少条鱼，才能保证有3条花色相同的金鱼？ （2）至少捞出多少条鱼，才能保证有3种花色不同的金鱼？ 学科网（北京）股份有限公司第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年六年级下册数学计算大通关 第五单元数学广角·鸽巢问题 本专题单元讲义，包含四大内容： 1、 常用知识点梳理：梳理计算所需知识点，让学生明确计算过程中会用到哪些知识点。 2、 易错提示：对学习中的高频易错点进行总结和归纳并提出应对策略。 3、典例分析：选取典型例题进行分析，让学生学习解题的方法、过程和知识点的运用。 4、专题突破：以小知识点为突破口，小专题讲练。 目录 常用知识点 2 鸽巢原理 2 鸽巢原理的逆向应用 3 摸球问题（“相同型”） 4 摸球问题（“不同型”） 4 易错提示 4 典例分析 6 专题突破 8 突破点一：抽屉原理的直接应用 8 突破点二：构造抽屉—直接构造抽屉 10 突破点三：构造抽屉—利用排列组合构造抽屉 12 突破点四：构造抽屉—利用数的奇偶性构造抽屉 15 突破点五：抽屉原理的逆向应用-求物体数 16 突破点六：抽屉原理的逆向应用-求最大抽屉数 19 突破点七：“相同型”（摸出同色球） 20 突破点八：“不同型”（摸出不同色球） 22 常用知识点 1． 鸽巢原理 （1） 基本概念 “鸽巢原理”，也叫“抽屉原理”，是组合数学中的一个重要原理。 把3个苹果放进2个抽屉里，一定有1个抽屉里至少有2个苹果；5只鸽子飞进4个鸽笼，一定有1个鸽笼里至少飞进2只鸽子，这两个简单的例子所体现的数学原理就是“鸽巢原理”。 （2） 抽屉原理 抽屉原理1：把多于n个物体任意放进n个“抽屉”中（n是非0自然数），总有1个“抽屉”中至少放进2个物体。 例如：把4支铅笔放入3个笔筒中，不管怎么放，总有1个笔筒里至少放进2支铅笔。 “总有”：表示一定有、肯定有、一定存在； “至少”：表示最少、最低限度、不少于。 抽屉原理2：把多于kn个物体任意放进n个“抽屉”中（k、n均是非0自然数），总有1个“抽屉”中至少放进（k+1）个物体。 例如：把7本书放进3个抽屉中，不管怎么放，总有一个抽屉至少放进3本书。如果一共有8本书会怎样呢？10本呢？ 假设法：用平均分的方法直接考虑“至少”的情况。 7本书放进3个抽屉，先平均分，7÷3=2（本）……1（本）。 假设每个抽屉里先放进2本书，此时还剩下1本，这剩下的1本无论放进哪个抽屉，总有1个抽屉里至少有（2+1）本书。依此类推： 7 ÷ 3 = 2（本）……1（本） 把7本书放进3个抽屉里，总有1个抽屉里至少放进（2+1）本数。 8 ÷ 3 = 2（本）……2（本）把8本书放进3个抽屉里，总有1个抽屉里至少放进（2+1）本数。 10 ÷ 3 = 3（本）……1（本）把10本书放进3个抽屉里，总有1个抽屉里至少放进（3+1）本数。 平均每个抽屉的本数 余下的本数 抽屉 数 物体 数 （kn+a）÷n=k……a把（kn+a）（a＜n，且k、n、a均为非0自然数）本书放进n个抽屉里，总有1个抽屉里至少放进（k+1）本书。 （3） 求至少数 题型特征：总有/一定……至少…… 物体数÷抽屉数=商……余数 至少数=商+1 【提示】：①至少数=商+1，并非“商+余数”； ②有余数时，至少数=商+1；没余数时，至少数=商。 （4） 解题步骤 ①分析题意，将实际问题转化为“抽屉问题”，明确谁是“物体”、谁是“抽屉”。当题目没直接给出“抽屉”时，需根据题目已知条件和要求构造“抽屉”； ②把“物体”放入“抽屉”； ③利用抽屉原理解答。 2． 鸽巢原理的逆向应用 （1）已知抽屉数和至少数，求物体数。 题型特征：至少……保证…… 方法1：转化为“抽屉问题”解答。 ①当至少数=2时，物体数=抽屉数+1，即物体数比抽屉数多1。 如果有n（n是非0自然数）个“抽屉”，要保证有1个“抽屉”至少放进了2个物体，那么至少需要有（n+1）个物体； ②当至少数＞2时，物体数=（至少数-1）×抽屉数+1。 如果有n个“抽屉”，要保证有一个“抽屉”至少放进了（k+1）（n、k均是非0自然数）个物体，那么至少需要有（kn+1）个物体。 方法2：从最不利的情况考虑。 从“最不凑巧”、“最糟糕”的极端情况考虑问题，如果最不利的情况都能满足题目要求，那么其他情况必然也能满足题目要求。 （2） 已知物体数和至少数，求最大抽屉数。 （物体数-1）÷（至少数-1）=商……余数 最大抽屉数=商 3． 摸球问题（“相同型”） 方法1：从最不利的情况考虑。 要想保证摸出n个同色球，最不利的情况是每种颜色各摸（n-1）个，再加1。 方法2：转化为“抽屉问题”，利用公式求解。 把摸出的球看作待分的物体，把球的颜色看作抽屉，已知抽屉数和至少数，求物体数。 利用“物体数=（至少数-1）×抽屉数+1”求解。 当至少数=2时，物体数=抽屉数+1，也就是要保证摸出2个同色球，摸出的球数至少要比颜色数多1，与每种颜色的球数无关。 4． 摸球问题（“不同型”） 要想保证摸出n个不同色球，最不利的情况是把（n-1）种颜色全部取出，再加1。 易错提示 易错点1：抽屉问题求至少数时出错 规避策略：用平均分的方法直接考虑“至少”的情况。 物体数÷抽屉数=商……余数 至少数=商+1 【提示】：至少数=商+1，并非“商+余数”；没余数时，至少数=商。 例1：（判断）因11÷3=3……2，所以把11本书放进3个抽屉中，总有一个抽屉里至少放5本书。（ × ） 【答案】：× 【分析】：11本书放进3个抽屉，11个物体放进3个抽屉，求至少数，利用抽屉原理解答。 11÷3=3（本）……2（本） 3+1=4（本） 所以，总有一个抽屉里至少放4本。原题干说法错误，答案为：×。 例2：小王训练射击，共射6发，成绩是55环，小王至少有（ 1 ）发不低于10环。 【答案】：1 【分析】：由题可知，6发的成绩是55环。 55÷6=9（环）……1（环），假设每发都是9环，则比实际成绩少了1环，9+1=10（环），所以小王至少有1发是10环。 易错点2：无法准确判断谁是“物体”，谁是“抽屉” 规避策略：分析题意，将实际问题转化为“抽屉问题”，明确谁是“物体”、谁是“抽屉”。当题目没直接给出“抽屉”时，需根据题目已知条件和要求构造“抽屉”。 例1：（判断）给一个正方体木块的6个面分别涂上红、黄两种颜色，一个面只涂一种颜色，不论怎么涂至少有3个面涂的颜色相同。（ √ ） 【答案】：√ 【分析】：由题可知，给正方体木块的6个面涂上红、黄两种颜色，把6个面看作6个物体，2种颜色看作2个抽屉，6个物体放进2个抽屉，求至少数，利用抽屉原理解答。 6÷2=3（面） 没有余数，至少数=商，所以不论怎么涂至少有3个面涂的颜色相同。 原题干说法正确，答案为：√。 例2：38名学生进行答题游戏，每人答2道题，规定答对一题得2分，不答不得分，答错扣1分，则至少有几名学生的成绩相同？ 【答案】：7 【分析】：此题关键在于排列组合构造“抽屉”。 由题可知，38名学生每人答2道题，求至少有几名学生的成绩相同，需要先确定有多少种成绩。每人答2道题，答对一道题得2分、不答不得分、答错扣1分，得分情况如下： 全部答对：2×2=4（分）； 1题答对、1题不答：2+0=2（分）； 1题答对、1题答错：2-1=1（分）； 1题不答、1题答错：-1分； 2题不答：0分； 2题答错，-2分。 38名学生总共有4、2、1、-1、0、-2，合计6种得分情况。 6种得分情况看作6个抽屉，38名学生看作38个物体，38个物体放进6个抽屉，求至少数。 38÷6=6（名）……2（名） 6+1=7（名） 所以，至少有7名学生的成绩相同。 【解】：共有6种得分情况：全部答对（4分）、1题答对+1题不答（2分）、1题答对+1题答错（1分）、1题不答+1题答错（-1分）、2题不答（0分）、2题答错（-2分），把这6种得分情况看作6个抽屉。 38÷6=6（名）……2（名） 6+1=7（名） 答：至少有7名学生的成绩相同。 典例分析 例1：某班有男生25人、女生18人，下面说法正确的是（ B ）。 A. 至少有2名男生是在同一个月出生的 B. 至少有2名女生是在同一个月出生的 C. 至少有5个人是在同一个月出生的 D. 以上选项都错误 【答案】：B 【分析】：一年12个月，把12个月看作12个抽屉。 选项A，某班有男生25人，把25人看作25个物体，放进12个抽屉，25÷12=2（名）……1（名），2+1=3（名），因此至少有3名男生是在同一个月出生的。说法错误； 选项B，某班有女生18人，把18人看作18个物体，放进12个抽屉，18÷12=1（名）……6（名），1+1=2（名），因此至少有2名女生是在同一个月出生的。说法正确； 选项C，某班共有25+18=43（人），把43人看作43个物体，放进12个抽屉，43÷12=3（人）……7（人），3+1=4（人），因此至少有4个人是在同一个月出生的。说法错误。 综上，故选B。 例2：木箱里装有红色球3个、黄色球5个、蓝色球7个，若蒙眼去摸，为保证取出的球中一定有两个球的颜色相同，则至少要取出（   C  ）个球。 A. 2 B. 3 C. 4 D. 7 【答案】：C 【分析】：方法1：从最不利的情况考虑。由题可知，有3种颜色的球，要保证取出的球中一定有2个球同色，从最不利的情况考虑，每种颜色各摸出（2-1）个，这种情况下再摸1个，无论摸出的是什么颜色，都能保证一定有2个同色球。所以，至少要摸出（2-1）×3+1=4（个），故选C。 方法2：转化为“抽屉问题”解答。要保证摸出2个同色球，摸出的球数至少要比颜色数多1。 由题可知，球有红、黄、蓝3种颜色，要保证取出的球中一定有2个球的颜色相同，至少要取出3+1=4（个），故选C。 例3：如图所示，盒子中有4种不同颜色的球，小华蒙着眼睛往外摸球，至少要摸出（ 10 ）个，才能保证摸出的球至少有3种不同的颜色？ 【答案】：10 【分析】：观察图可知，盒子里有4种颜色的球，且白球3个、黑球4个、红球5个、灰球4个。要保证摸出的球至少有3种不同的颜色，从最不利的情况考虑，把其中（3-1）种颜色的球全部摸出，红球和黑球数量最多，即先摸出5个红球、4个黑球，此时共摸出5+4=9（个）；这种情况下再摸1个，无论摸出的是什么颜色，都能保证摸出的球至少有3种不同颜色。所以，至少要摸出9+1=10（个）。 例4：有一些鸽子飞入7个笼子里，为了保证有其中一个笼子里至少有4只鸽子，那么这些鸽子至少有多少只？ 【答案】：22 【分析】：从最不利的情况考虑。 由题可知，鸽子飞入7个笼子，要保证有其中1个笼子里至少有4只，从最不利的情况考虑，每个笼子先飞进（4-1）只，此时有鸽子（4-1）×7；这种情况下再飞进1只，无论飞进哪个笼子，都能保证有1个笼子里至少有4只鸽子。所以，这些鸽子至少有（4-1）×7+1=22（只） 【解】：（4-1）×7+1=22（只） 答：这些鸽子至少有22只。 例5：把61本书分给某个班级的学生，如果能保证有人分到至少3本书，那么这个班最多有多少人？ 【答案】：30 【分析】：由题可知，61本书分给某个班的学生，把61本书看作61个物体，把人数看作抽屉数。 要保证有人分到至少3本书，每人先分（3-1）本，之后再分1本，无论这1本分给谁，都能保证有人分到至少3本书，也就是书的本数至少要比人数的（3-1）倍多1。 （61-1）÷（3-1）=30（人），所以这个班最多有30人。 【解】：（61-1）÷（3-1）=30（人） 答：如果能保证有人分到至少3本书，那么这个班最多有30人。 专题突破 突破点一：抽屉原理的直接应用 1． （判断）8只鸽子飞回3个鸽舍，总有1个鸽舍至少飞进了4只鸽子。（ × ） 【答案】：× 【分析】：由题可知，8只鸽子飞回3个鸽舍，求至少数，利用抽屉原理解答。 8÷3=2（只）……2（只） 2+1=3（只） 所以，总有1个鸽舍至少飞进了3只鸽子。原题干说法错误，答案为：×。 2． （判断）把30个苹果放在7个盘子里，不管怎么放，总有一个盘子里至少放进5个苹果。（ √ ） 【答案】：√ 【分析】：由题可知，把30个苹果放在7个盘子里。 先平均分，30÷7=4（个）……2（个），假设每个盘子里先放4个苹果，此时还剩2个，这剩下的2个无论放进哪个盘子，总有1个盘子里至少有（4+1）个苹果。 原题干说法正确，答案为：√。 3． （判断）植树节，有6名同学植了25棵树，有一名同学至少植树5棵。（ √ ） 【答案】：√ 【分析】：由题可知，6名同学植25棵树，把6名同学看作6个抽屉，25棵树看作25个物体，25个物体放进6个抽屉，求至少数，利用抽屉原理解答。 25÷6=4（棵）……1（棵） 4+1=5（棵） 所以，有1名同学至少植树5棵。原题干说法正确，答案为：√。 4． （判断）体操队有30人，排成4行，有一行至少要站7个同学。（ × ） 【答案】：× 【分析】：由题可知，体操队30人，排成4行，把4行看作4个抽屉，30人看作30个物体，30个物体放进4个抽屉，求至少数，利用抽屉原理解答。 30÷4=7（人）……2（人） 7+1=8（人） 所以，有1行至少要站8人。原题干说法错误，答案为：×。 5． （判断）冬冬的3次数学测试一共得了280分（成绩都为整数），至少有一次成绩不低于94分。（ √ ） 【答案】：√ 【分析】：由题可知，3次测试成绩总和是280分，把3次测试看作3个抽屉，280分看作280个物体，280个物体放进3个抽屉，求至少数，利用抽屉原理解答。 280÷3=93（分）……1（分） 93+1=94（分） 所以，至少有1次测试的成绩不低于94分。原题干说法正确，答案为：√。 6． （判断）张叔叔参加飞镖比赛，投了4镖，总成绩是33环，且每一镖的成绩都是整数环。张叔叔至少有一镖不低于9环。（ √ ） 【答案】：√ 【分析】：由题可知，投了4镖，总成绩33环。 33÷4=8（环）……1（环），假设每镖都是8环，则比实际成绩少1环，8+1=9（环）。 所以，张叔叔至少有一镖不低于9环。原题干说法正确，答案为：√。 7． 图书角书架分上、中、下三层，明明把新买的16本书放入书架，放书最多的一层至少要放入（ D ）本书。 A. 2 B. 3 C. 5 D. 6 【答案】：D 【分析】：由题可知，将16本书放入上、中、下三层，把书架的3层看作3个抽屉，16本书看作16个物体，16个物体放进3个抽屉，求至少数，利用抽屉原理解答。 16÷3=5（本）……1（本） 5+1=6（本） 所以，放书最多的一层至少要放入6本书，故选D。 8． 今天是小明的生日，小明邀请好朋友一起庆祝。妈妈为他准备了一个大蛋糕，把蛋糕平均分成了8块放在6个盘子里，不管怎么放，总有一个盘子里至少放了（ 2 ）块蛋糕。请说明你的理由。 【答案】：2 【分析】：由题可知，8块蛋糕放进6个盘子里，先平均分，8÷6=1（块）……2（块），假设每个盘子里先放1块，此时还剩2块，这剩下的2块无论放进哪个盘子，总有1个盘子里至少放进（1+1）块蛋糕。 【解】：假设每个盘子里先放1块蛋糕，此时还剩下2块，这剩下的2块无论放进哪个盘子，总有一个盘子里至少放了（1+1）块蛋糕。 8÷6=1（块）……2（块） 1+1=2（块） 突破点二：构造抽屉—直接构造抽屉 1． （判断）六（1）班数学兴趣小组15名同学，至少有2人的出生月份相同。（ √ ） 【答案】：√ 【分析】：一年12个月，把12个月看作12个抽屉，15名同学看作15个物体，15个物体放进12个抽屉，求至少数，利用抽屉原理解答。 15÷12=1（人）……3（人） 1+1=2（人） 所以，15名同学至少有2人的出生月份相同。原题干说法正确，答案为：√。 2． （判断）某地今年5月份有31个小孩子出生，一定有2个小孩在同一天出生。（ × ） 【答案】：× 【分析】：5月有31天，且当月有31个小孩出生，把31个小孩看作31个物体，31天看作31个抽屉，31个物体放进31个抽屉，31÷31=1（个）。 最不利的情况是每天都有1个孩子出生。原题干说法错误，答案为：×。 3． 某小学有6个年级，每个年级有8个班。一天放学，8位小朋友一起走出校门。那么，下列说法中，正确的是（ B ）。 A. 他们中至少有2人出生月份相同 B. 他们中至少有2人是同一年级的 C. 他们中至少有2人生肖属相相同 D. 他们中至少有2人是同一班级的 【答案】：B 【分析】：选项A，1年12个月，把12个月看作12个抽屉，8位小朋友看作8个物体，8个物体放进12个抽屉，可任选8个抽屉各放1个，所以不能保证至少有2人出生月份相同。说法错误； 选项B，小学有6个年级，把6个年级看作6个抽屉，8个物体放进6个抽屉，求至少数。 8÷6=1（人）……2（人），1+1=2（人），所以至少有2人是同一年级的。说法正确； 选项C，有12个生肖，把12个生肖看作12个抽屉，8个物体放进12个抽屉，可任选8个抽屉各放1个，所以不能保证至少有2人生肖属相相同。说法错误； 选项D，小学有6个年级，每个年级有8个班，共有班级6×8=48（个），把48个班级看作48个抽屉，8个物体放进48个抽屉，可任选8个抽屉各放1个，所以不能保证至少有2人是同一班级的。说法错误。 综上，故选B。 4． 某校六年级有320人，他们的年龄分别为12岁、13岁，在这些同学中，至少有多少个同学是同年同月出生的？ 【答案】：14 【分析】：由题可知，年龄最大的13岁，最小的12岁，即这些学生是在相邻2年内出生的，每年有12个月，共有12×2=24（个）月。把24个月看作24个抽屉，320人看作320个物体，320个物体放进24个抽屉，求至少数，利用抽屉原理解答。 【解】：12×2=24（个），把24个月看作24个抽屉。 320÷24=13（人）……8（人） 13+1=14（人） 答：至少有14名同学是同年同月出生的。 5． 六年级有47名学生参加一次数学竞赛，成绩都是整数，满分是100分。已知3名学生的成绩都在60分以下，其余学生的成绩均在75~95之间（包括75分和95分）。问：至少有几名学生的成绩相同？ 【答案】：3 【分析】：由题可知，47名学生参加竞赛，其中3人成绩在60分以下，剩余（47-3）名学生成绩在75~95之间，且成绩都是整数，求至少有几名学生的成绩相同。 剩余学生47-3=44（名），把44名学生看作44个物体；75~95（包括75分和95分），成绩有95-75+1=21（种），把21种成绩看作21个抽屉，也就是把44个物体放进21个抽屉，求至少数。 【解】：剩余学生：47-3=44（名） 95-75+1=21（个） 44÷21=2（名）……2（名） 2+1=3（名） 答：至少有3名学生的成绩相同。 突破点三：构造抽屉—利用排列组合构造抽屉 1． 六（1）班有12个学生都订阅了《儿童文学》、《小学科技》、《小小艺术家》三种报刊中的一种或几种，那么这12人中至少有（ A    ）人所订报刊种类完全相同。 A. 2 B. 6 C. 7 D. 12 【答案】：A 【分析】：此题关键在于利用排列组合构造“抽屉”。 12个学生订阅三种报刊，每人订阅其中的1种或几种，求至少有多少人所订报刊种类完全相同，需要先确定有多少种订阅方式。 ①订阅1种：三种报刊任选其一，3种； ②订阅2种：文学+科技、文学+艺术家、科技+艺术家，3种； ③订阅3种：1种； 订阅方式：3+3+1=7（种），也就是12名学生有7种订阅方式。 把12名学生看作12个物体，7种订阅方式看作7个抽屉，12个物体放进7个抽屉，求至少数，利用抽屉原理解答。 12÷7=1（人）……5（人） 1+1=2（人） 所以，这12人中至少有2人所订报刊种类完全相同，故选A。 2． 六年级有100名同学订阅A、B、C三种杂志。如果他们都只订阅了其中一种，至少有（ 34 ）名同学订阅的杂志种类相同；如果他们订阅了其中的一种或两种杂志，至少有（ 17 ）名同学订阅的杂志种类相同。 【答案】：34；17 【分析】：此题关键在于利用排列组合构造“抽屉”。 （1） 100名同学订阅A、B、C三种杂志，若每人只订阅1种，求至少有多少人订阅的杂志种类相同，需要先确定有多少种订阅方式。 订阅1种，A、B、C中任选其一，共3种订阅方式，也就是100名同学有3种订阅方式。 把100名同学看作100个物体，3种订阅方式看作3个抽屉，100个物体放进3个抽屉，求至少数，利用抽屉原理解答。 100÷3=33（名）……1（名） 33+1=34（名） 所以，如果他们都只订阅了其中一种，至少有34名同学订阅的杂志种类相同。 （2） 若每人只订阅其中的1种或2种，求至少有多少人订阅的杂志种类相同，同第（1）问，需先确定有多少种订阅方式，如下： ①订阅1种：A、B、C中任选其一，3种； ②订阅2种：A+B、A+C、B+C，3种。 订阅方式：3+3=6（种），也就是100名同学有6种订阅方式。 把100名同学看作100个物体，6种订阅方式看作6个抽屉，100个物体放进6个抽屉，求至少数，利用抽屉原理解答。 100÷6=16（名）……4（名） 16+1=17（名） 所以，如果他们订阅了其中的一种或两种杂志，至少有17名同学订阅的杂志种类相同。 3． 学校开设了书法、舞蹈、棋类、乐器四个课外学习班，每个学生最多可以参加两个（可以不参加）学习班。某班有52名同学，至少有几名同学参加课外学习班的情况完全相同？ 【答案】：5 【分析】：由题可知，某班有52名同学，求至少有几名同学参加课外学习班的情况完全相同，需要先确定课外学习班的参加情况。 每个学生最多可以参加两个学习班，也可不参加，情况如下： ①不参加任何学习班，1种； ②参加1个：书法、舞蹈、棋类、乐器任选其一，4种； ③参加2个：书法+舞蹈、书法+棋类、书法+乐器、舞蹈+棋类、舞蹈+乐器、棋类+乐器，6种； 参加情况合计有1+4+6=11（种），把11种参加情况看作11个抽屉，52名同学看作52个物体，52个物体放入11个抽屉，求至少数，利用抽屉原理解答即可。 【解】：参加情况如下： ①不参加任何学习班，1种； ②参加1个：书法、舞蹈、棋类、乐器任选其一，4种； ③参加2个：书法+舞蹈、书法+棋类、书法+乐器、舞蹈+棋类、舞蹈+乐器、棋类+乐器，6种； 参加情况有1+4+6=11（种），把11种参加情况看作11个抽屉。 52÷11=4（名）……8（名） 4+1=5（名） 答：至少有5名同学参加课外学习班的情况完全相同。 4． 给下面每个格子涂上红色或蓝色，至少有两列的涂色相同，为什么？ 如果只涂两行的话，结论有什么变化呢？ 【答案】：见详解 【分析】：（1）由题可知，每个格子可涂红色或蓝色，1列有3个格子，1列的涂法如下： ①涂1种颜色：3个红色或3个蓝色，2种； ②涂2种颜色：红红蓝、红蓝红、红蓝蓝、蓝蓝红、蓝红蓝、蓝红红，6种； 涂法合计有2+6=8（种），把8种涂法看作8个抽屉，把9列看作9个物体，9个物体放进8个抽屉，求至少数，利用抽屉原理解答即可。 （2）若只涂2行，1列2个格子，1列的涂法如下： ①涂1种颜色：2个红色或2个蓝色，2种； ②涂2种颜色：红蓝、蓝红，2种； 涂法合计有2+2=4（种），把4种涂法看作4个抽屉，把9列看作9个物体，9个物体放进4个抽屉，求至少数，利用抽屉原理解答。 【解】：（1）1列3个格的涂法如下： ①1种颜色：3个红色或3个蓝色，2种； ②2种颜色：红红蓝、红蓝红、红蓝蓝、蓝蓝红、蓝红蓝、蓝红红，6种； 涂法合计2+6=8（种），把8种涂法看作8个抽屉。 9÷8=1（列）……1（列） 1+1=2（列） 所以，每个格子涂上红色或蓝色，至少有两列的涂色相同。 （2）1列2个格的涂法如下： ①涂1种颜色：2个红色或2个蓝色，2种； ②涂2种颜色：红蓝、蓝红，2种； 涂法合计2+2=4（种），把4种涂法看作4个抽屉。 9÷4=2（列）……1（列） 2+1=3（列） 所以，至少有3列的涂法相同。 突破点四：构造抽屉—利用数的奇偶性构造抽屉 1． （判断）任意给出3个不同的自然数，其中一定有2个数的差是偶数。（ √ ） 【答案】：√ 【分析】：自然数有奇数和偶数2种，把这2种看作2个抽屉，3个自然数看作3个物体，3个物体放进2个抽屉。 3÷2=1（个）……1（个），1+1=2（个），总有1个抽屉里至少有2个物体，也就是3个自然数中一定有2个数同为奇数或同为偶数。 奇数-奇数=偶数，偶数-偶数=偶数，所以任意给出3个不同的自然数，其中一定有2个数的差是偶数。 原题干说法正确，答案为：√。 2． 任意给出3个不同的自然数，其中一定有2个数的和是偶数，请说明理由。 【答案】：见详解 【分析】：自然数有奇数和偶数2种，把这2种看作2个抽屉，3个自然数看作3个物体，3个物体放进2个抽屉。 3÷2=1（个）……1（个），1+1=2（个），总有1个抽屉里至少有2个物体，也就是3个自然数中一定有2个数同为奇数或同为偶数。 奇数+奇数=偶数，偶数+偶数=偶数，所以任意给出3个不同的自然数，其中一定有2个数的和是偶数。 【解】：自然数分奇数、偶数2种，把2种看作2个抽屉。 3÷2=1（个）……1（个） 1+1=2（个） 3个自然数中一定有2个数同为奇数或同为偶数，2个奇数或偶像相加之和一定是偶数。 所以，任意给出3个不同的自然数，其中一定有2个数的和是偶数。 3． 任意给出三个不同的自然数，其中一定有2个数的和是（   B   ）。 A. 奇数 B. 偶数 C. 质数 D. 合数 【答案】：B 【分析】：结合上一题的分析，可知3个自然数中，一定有2个数同为奇数或同为偶数。 奇数+奇数=偶数、偶数+偶数=偶数，所以一定有2个数的和是偶数。故选B。 突破点五：抽屉原理的逆向应用-求物体数 1． （判断）龙龙玩掷骰子游戏，要保证掷出的骰子的点数至少有两次相同，他最少应掷7次。（ √ ） 【答案】：√ 【分析】：骰子有6面，能掷出的结果有6种，要保证掷出的骰子的点数至少有2次相同，从最不利的情况考虑，每种结果先掷出1次，这种情况下再掷1次，无论掷出的点数是什么，都能保证掷出的点数至少有2次相同。所以，最少应掷6+1=7（次）。 原题干说法正确，答案为：√。 2． 胜利学校的学生中，最大的12岁，最小的6岁，至少从中挑选（ C ）名学生，就一定能找到年龄相同的两名同学。 A. 6 B. 7 C. 8 D. 13 【答案】：C 【分析】：由题可知，最大的12岁、最小的6岁，一共有12-6+1=7（个）年龄段。 把7个年龄段看作7个抽屉，要保证能找到年龄相同的2名同学，即至少数=2，则物体数=抽屉数+1=7+1=8（名），所以至少从中挑选8名学生，故选C。 3． 手工课上老师给学生发折纸，有大、中、小三种，每人发一种，如果至少有15名学生拿到相同的折纸，那么这个班至少有（ B ）名学生。 A. 42 B. 43 C. 44 D. 45 【答案】：B 【分析】：有3种折纸，要保证至少有15名学生拿到相同的折纸，从最不利的情况考虑，每种折纸有（15-1）人拿到，此时有学生（15-1）×3；这种情况下再多发1人，无论发给谁，都能保证至少有15名学生拿到相同的折纸。所以，这个班至少有（15-1）×3+1=43（名），故选B。 4． 六年级有5个班，在一次数学竞赛中，至少要有（ 11 ）人获奖，才能保证有3名学生一定在同一个班级里。 【答案】：11 【分析】：由题可知，六年级有5个班，要保证有3名学生一定在同一个班，从最不利的情况考虑，每班有（3-1）人获奖，此时获奖人数（3-1）×5；再多1人获奖，无论这人是哪班的，都能保证有3名学生一定在同一个班级里。 所以，至少要有（3-1）×5+1=11（人）。 5． 在1、2、3、…、20中至少要取出（ 10 ）个不同的数，才能保证其中一定有一个数是合数。 【答案】：10 【分析】：1~20有合数：4、6、8、9、10、12、14、15、16、18、20，合计11个。 要保证取出的数中一定有一个数合数，从最不利的情况考虑，把合数外其他的数全部取出，此时取数20-11；这种情况下再取1个，就能保证其中一定有一个数是合数。 所以，至少要取出20-11+1=10（个）。 6． 一次数学考试，六（2）班最高分是98分，最低分是76分，每人的得分都是整数，要确保班上至少有3名学生得分相同，六（2）班至少有多少名学生？ 【答案】：47 【分析】：最高分98分、最低分76分，且得分都是整数，一共有98-76+1=23（个）整数，也就是得分情况有23种，要确保班上至少有3名学生得分相同，从最不利的情况考虑，每种得分有（3-1）名学生，此时有学生（3-1）×23；这种情况再多1名，无论这人得多少分，都能保证班上至少有3名学生分数相同。所以，至少有学生（3-1）×23+1=47（名 ）。 【解】：（3-1）×23+1=47（名） 答：六（2）班至少有47名学生。 7． 王老师借来了历史、文艺和科普三种书若干本．每个同学从中任意借一本或两本，那么至少要几个同学借阅才能保证一定有两人借的图书一样？ 【答案】：10 【分析】：由题可知，有历史、文艺和科普3种书，每个同学可从中任意借1本或2本，借法如下： ①借1本：历史、文艺、科普任选其一，3种； ②借2本：2本历史、2本文艺、2本科普，3种； 历史+文艺、历史+科普、文艺+科普，3种； 合计3×3=9（种）借法，要保证一定有2人借的图书一样，从最不利的情况考虑，9种借法都借了一遍；再多1人，无论哪种借法，都可保证一定有2人借法相同，即借的图书一样。 所以至少需要同学9+1=10（名）。 【解】：有以下借法： ①借1本：历史、文艺、科普任选其一，3种； ②借2本：2本历史、2本文艺、2本科普，3种；历史+文艺、历史+科普、文艺+科普，3种。 3×3=9（种），合计9种借法。 9+1=10（名） 答：至少要10名同学借阅才能保证一定有两人借的图书一样。 突破点六：抽屉原理的逆向应用-求最大抽屉数 1． 把45根香蕉最多放进（ C ）个盘子里，才能保证至少有一个盘子里放进7根香蕉。 A. 6 B. 5 C. 7 D. 8 【答案】：C 【分析】：45根香蕉放进若干盘子里，把45根香蕉看作45个物体，盘子数看作抽屉数。 要保证至少有1个盘子里放进7根香蕉，每个盘子里先放（7-1）根，之后再放1根，无论这1根放进哪个盘子，都能保证至少有1个盘子里放进7根香蕉，也就是香蕉数至少要比盘子数的（7-1）倍多1。 （45-1）÷（7-1）=7（个）……2（个），所以最多放进7个盘子里，故选C。 2． 把27个苹果最多放到几个盘子里，可以保证总有一个盘子里至少有7个苹果？ 【答案】：4 【分析】：27个苹果放到若干盘子里，把27个苹果看作27个物体，盘子数看作抽屉数。 要保证总有1个盘子里至少有7个苹果，每个盘子里先放（7-1）个，之后再放1个，无论这1个放进哪个盘子，都能保证1个盘子里至少有7个苹果，也就是苹果数至少要比盘子数的（7-1）倍多1。 （27-1）÷（7-1）=4（个）……2（个） 最大抽屉数=商，所以最多放到4个盘子里。 【解】：（27-1）÷（7-1）=4（个）……2（个） 答：把27个苹果最多放到4个盘子里，可以保证总有1个盘子里至少有7个苹果。 3． 李老师要将45本课外书奖励给学习进步的同学，最多分给多少个同学，才能保证至少有1个同学能分到5本书？ 【答案】：11 【分析】：45本书分给若干同学，把45本书看作45个物体，把同学数看作抽屉数。 要保证至少有1个同学能分到5本，每个同学先分（5-1）本，之后再分1本，无论这1本分给谁，都能保证至少有1个同学能分到5本书，所以课外书本数至少要比同学数的（5-1）倍多1。 （45-1）÷（5-1）=11（个），所以最多分给11个同学。 【解】：（45-1）÷（5-1）=11（个） 答：最多分给11个同学，才能保证至少有1个同学能分到5本书。 突破点七：“相同型”（摸出同色球） 1． （判断）一个盒子里有同样大小的黄球和黑球各4个，要想摸出的球一定有2个同色的，至少要摸出4个球。（ × ） 【答案】：× 【分析】：方法1：从最不利的情况考虑。由题可知，有2种颜色的球各4个，要保证摸出的球中有2个同色，从最不利的情况考虑，每种颜色各摸出（2-1）个，这种情况下再摸1个，无论摸出的是什么颜色，都能保证一定有2个同色球。所以，至少要摸出（2-1）×2+1=3（个）。 原题干说法错误，答案为：×。 方法2：转化为“抽屉问题”解答。要保证摸出2个同色球，摸出的球数至少要比颜色数多1。 由题可知，球有黄、黑2种颜色，要想摸出的球一定有2个同色，至少要摸出2+1=3（个）。 原题干说法错误，答案为：×。 2． 盒子里有同样大小的红、黄、蓝、黑球各10个，要想摸出的球一定有2个同色的，至少要摸出（ 5 ）个球。 【答案】：5 【分析】：从最不利的情况考虑。 要想摸出的球一定有2个同色，最不利的情况是摸出1红、1黄、1蓝、1黑，也就是4种颜色各摸出1个，这种情况下再摸1个，无论摸出的是什么颜色，总会有2个同色球。 所以，至少要摸出4+1=5（个）。 3． 木箱里装有红色球3个、黄色球5个、蓝色球7个，若蒙眼去摸，为保证取出的球中一定有两个球的颜色相同，则至少要取出（   C  ）个球。 A. 2 B. 3 C. 4 D. 7 【答案】：C 【分析】：从最不利的情况考虑。 由题可知，有3种颜色的球，要保证取出的球中一定有2个球同色，从最不利的情况考虑，每种颜色各摸出（2-1）个，这种情况下再摸1个，无论摸出的是什么颜色，都能保证一定有2个同色球。所以，至少要摸出（2-1）×3+1=4（个），故选C。 4． 一个袋子里装着红、黄两种颜色球各3个，这些球的大小都相同，问一次摸出3个球，其中至少有（ B ）个球的颜色相同。 A. 1 B. 2 C. 3 【答案】：B 【分析】：由题可知，有红、黄2种颜色，把2种颜色看作2个抽屉，摸出3个球看作3个物体，即3个物体放进2个抽屉，求至少数，利用抽屉原理解答。 3÷2=1（个）……1（个） 1+1=2（个） 所以，至少有2个球的颜色相同，故选B。 5． 盒子里有同样大小的红、黄、蓝、黑球各10个，要想摸出的球一定有4个同色的，至少要摸出（ 13 ）个球。 【答案】：13 【分析】：从最不利的情况考虑。 要想摸出的球一定有4个同色的，最不利的情况是摸出3红、3黄、3蓝、3黑，也就是4种颜色各摸出（4-1）个，这种情况下再摸1个，无论摸出的是什么颜色，总会有4个同色球。 所以，至少要摸出4×（4-1）+1=13（个）。 6． 一副扑克牌有四种花色（大小王除外），每种花色有13张。从中任意抽牌，至少抽（ 17 ）张牌，才能保证5张牌是同一花色。 【答案】：17 【分析】：由题可知，一副扑克牌去除大、小王后有4种花色，要保证5张牌是同一花色，从最不利的情况考虑，每种花色抽出（5-1）张，此时抽牌（5-1）×4；这种情况下再多抽1张，无论抽出的是什么颜色，都能保证5张牌是同一花色。所以，至少抽（5-1）×4+1=17（张）。 7． 把红黄绿三种颜色的筷子各两双混在一起，如果闭上眼睛，最少拿出（ 4 ）根才能保证一定有一双同色筷子。 【答案】：4 【分析】：由题可知，有红、黄、绿3种颜色的筷子各2双，要保证一定有1双（2根）同色筷子，从最不利的情况考虑，每种颜色的筷子各取1根，这种情况下再取1根，无论取出的是什么颜色，都能保证一定有1双同色筷子。所以，最少拿出筷子3×1+1=4（根）。 8． 一袋有70只球，其中20只红球，20只绿球，20只黄球，其余为白球和黑球，至少取多少只球，才能保证有10只同色的球？ 【答案】：38 【分析】：由题可知，一袋有5种颜色的球，共70只，其中红球、绿球、黄球各20只、白球和黑球加起来有70-20×3=10（只）。 要保证有10只同色球，从最不利的情况考虑，先把白球和黑球全部取出，剩余3种颜色每种取（10-1）只，此时取球10+（10-1）×3；这种情况下再取1只，无论取出的是什么颜色，都能保证有10只同色球。所以，至少取10+（10-1）×3+1=38（只）。 【解】：70-20×3=10（只） 10+（10-1）×3+1=38（只） 答：至少取38只球，才能保证有10只同色的球。 突破点八：“不同型”（摸出不同色球） 1． 盒子里有同样大小的红球和篮球各4个，要想摸出的球一定有2个不同色，至少要摸出（ 5 ）个球。 【答案】：5 【分析】：从最不利的情况考虑。 要想摸出的球一定有2个不同色，需要把其中1种颜色的球全部摸出，所以最不利的情况是摸出4红或4蓝，在这种情况下，再摸1个，总会有2个不同色。 所以，至少要摸出4+1=5（个）。 2． 箱子里有红、黄、蓝三种不同颜色的球各5个，至少摸出（ 6 ）个球才能保证摸出的球有两个颜色不同。 【答案】：6 【分析】：由题可知，有红、黄、蓝3种颜色，每种5个。要保证摸出的球有2个颜色不同，从最不利的情况考虑，把其中（2-1）种颜色的球全部摸出，这种情况下再摸1个，无论摸出的是什么颜色，都能保证摸出的球有2个颜色不同。所以，至少摸出5+1=6（个）。 3． 盒子里有同样大小的红、黄、蓝、黑、绿各10个，要想摸出的球一定有5个不同色，至少要摸出（ 41 ）个球。 【答案】：41 【分析】：从最不利的情况考虑。 要想摸出的球一定有5个不同色，最不利的情况是其中4种颜色的球全部摸出，在这种情况下，再摸1个，总会有5个不同色。 所以，至少要摸出10×4+1=41（个）。 4． 箱子中有3个红球、4个白球、6个蓝球，从中至少摸出（ B ）个球才能保证每种颜色的球各有1个。 A．3 B．11 C．13 【答案】：B 【分析】：由题可知，箱子中有3种颜色的球，要保证每种颜色的球各1个，从最不利的情况考虑，4个白球和6个蓝球全部被摸出，此时再摸出1个球，就能保证每种颜色的球各有1个。所以，从中至少摸出4+6+1=11（个）球，故选B。 5． 有40个标有号码的小球，其中号码为1、2、3、4的各有10个。至少取出（ A ）个，才能保证至少有2个号码相同的小球；至少取出（ C ）个，才能保证有4个不同号码的小球。 A. 5 B. 13 C. 31 D. 11 【答案】：A；C 【分析】：（1）由题可知，根据标记的号码把球分为4种，保证至少有2个号码相同的小球，从最不利的情况考虑，每种球各取出1个，这种情况下再取1个，无论取出的球号码是多少，都能保证至少有2个号码相同的小球。所以至少取出4+1=5（个），故选A； （2）保证有4个不同号码的小球，从最不利的情况考虑，把其中3种球全部取出，此时取球3×10；这种情况下再取1个，就能保证有4个不同号码的小球。所以至少取出3×10+1=31（个），故选C。 6． 一副扑克牌（去掉大、小王）共52张，至少摸出（ 5 ）张牌，才能保证有两张牌的花色相同；至少摸出（ 14 ）张牌，才能保证至少有两种不同花色。 【答案】：5；14 【分析】：一副扑克牌，去掉大、小王后还有52张，有4种花色，每种花色52÷4=13（张）。 （1） 要保证有2张牌的花色相同，从最不利的情况考虑，每种花色各摸出（2-1）张，这种情况下再摸1张，无论摸出的是什么花色，都能保证有2张牌的花色相同。 所以，至少摸出（2-1）×4+1=5（张）； （2） 要保证至少有2张不同花色，从最不利的情况考虑，把其中1种花色的牌全部摸出，这种情况下再摸1张，无论摸出的是什么花色，都能保证至少有2种不同花色。 所以，至少摸出13+1=14（张）。 7． 盒子里有10个红球，5个黄球，3个白球。 （1） 至少摸出（ 4 ）个球，才能保证有2个颜色相同的球。 （2） 至少摸出（ 11 ）个球，才能保证有2个颜色不同的球。 （3） 至少摸出（ 10 ）个球，才能保证有2个红球。 【答案】：（1）4；（2）11；（3）10 【分析】：由题可知，盒子里有3种颜色的球。 （1）要保证有2个颜色相同的球，从最不利的情况考虑，每种颜色的球各摸1个，这种情况下再摸1个，无论摸出的是什么颜色，都能保证有2个颜色相同的球。 所以至少摸出3+1=4（个）； （1） 要保证有2个颜色不同的球，从最不利的情况考虑，红球最多，先把红球全部摸出，此时摸球10个；这种情况下再摸1个，无论摸出的是什么颜色，都能保证有2个颜色不同的球。 所以至少摸出10+1=11（个）； （2） 要保证有2个红球，从最不利的情况考虑，把除红球外的球全部摸出，此时摸球5+3；再摸2个，就能保证有2个红球。 所以至少摸出5+3+2=10（个）。 8． 一个鱼缸里有4种花色的金鱼，每种花色各有10条，从中任意捞鱼。 （1）至少捞出多少条鱼，才能保证有3条花色相同的金鱼？ （2）至少捞出多少条鱼，才能保证有3种花色不同的金鱼？ 【答案】：（1）9条鱼；（2）21条鱼 【分析】：（1）由题可知，金鱼有4种花色，要保证捞出的鱼中有3条花色相同的，从最不利的情况考虑，每种花色捞出（3-1）条，此时捞鱼（3-1）×4；这种情况下再捞1条，无论捞出的是什么花色，都能保证有3条花色相同的金鱼。 所以，至少要捞出金鱼（3-1）×4+1=9（条）； （2）要保证有3种花色不同的鱼，从最不利的情况考虑，把其中2种花色的鱼全部捞出，这种情况再捞出1条，无论捞出的是什么花色，都能保证有3种花色不同的金鱼。 所以，至少捞出金鱼10×2+1=21（条）。 【解】：（1）4×（3-1）+1=9（条） 答：至少捞出9条鱼，才能保证有3条花色相同的金鱼。 （2）10×2+1=21（条） 答：至少捞出21条鱼，才能保证有3种花色不同的金鱼。 学科网（北京）股份有限公司第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$