（配套训练）专题01 数学广角-鸽巢问题-2024-2025学年六年级下册数学计算大通关（人教版）

（配套训练）专题01 鸽巢问题 答案与解析 一、抽屉原理的直接应用 1． 把32个篮球分给6个小组，总有1个小组至少分到6个篮球。（ √ ） 【答案】：√ 【分析】：把32个篮球分给6个小组，即32个物体放进6个抽屉，求至少数。 32÷6=5（个）……2（个） 5+1=6（个） 所以，总有1个小组至少分到6个篮球。原题干说法正确，答案为：√。 2． （判断）某次智力竞赛有8个学生参加，总分是737分，则至少有一个学生的得分不低于95分。（ × ） 【答案】：× 【分析】：由题可知，8个学生参加竞赛，总分是737分，把8个学生看作8个抽屉，总分737看作737个物体，737个物体放进8个抽屉，求至少数，利用抽屉原理解答。 737÷8=92（分）……1（分） 92+1=93（分） 所以，至少有1个学生的得分不低于93分。原题干说法错误，答案为：×。 3． （判断）9个人坐4把椅子，总有一把椅子上至少坐3人。（ √ ） 【答案】：√ 【分析】：由题可知，9个人坐4把椅子，也就是9个物体放进4个抽屉，求至少数，利用抽屉原理解答。 9÷4=2（人）……1（人） 2+1=3（人） 所以，总有1张凳子上至少坐了3人。原题干说法正确，答案为：√。 4． 某地1月份的天气有晴、阴、多云、雨、雪五种情况，总有一种天气至少有（ C ）天。 A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】：C 【分析】：1月份有31天，把31天看作31个物体，5种天气情况看作5个抽屉，31个物体放进5个抽屉，求至少数，利用抽屉原理解答。 31÷5=6（天）……1（天） 6+1=7（天） 所以，总有一种天气至少有7天，故选C。 5． 26个小朋友乘5只小船至少有（ C ）人坐在同一船里。 A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】：C 【分析】：由题可知，26个小朋友乘5只小船，也就是26个物体放进5个抽屉，求至少数，利用抽屉原理解答。 26÷5=5（人）……1（人） 5+1=6（人） 所以，至少有6人坐在同一船里，故选C。 6． 当下最流行的音乐排行榜中，有20首歌曲，分别属于摇滚、流行、民谣、嘻哈、电子这五种音乐类型。如果随即选取12首歌曲，那么下面哪种情况必然会发生？（ B ）。 A. 至少有2首歌曲是摇滚类型 B. 至少有3首歌曲属于同一类型 C. 至少有4首歌曲是民谣类型 D. 至少有5首歌曲是电子类型 【答案】：B 【分析】：由题可知，5种音乐类型，把5种音乐类型看作5个抽屉，随即选取12首歌，把12首歌看作12个物体，12个物体放进5个抽屉，求至少数。 12÷5=2（首）……2（首） 2+1=3（首） 所以，至少有3首歌曲属于同一类型，故选B。 7． 把25枚棋子放入下图的三角形内，那么一定有一个小三角形中至少放入（ 7 ）枚。 【答案】：7 【分析】：由题可知，把25枚棋子放入图中的4个小三角形内，把4个小三角形看作4个抽屉，25个物体放入4个抽屉，求至少数，利用抽屉原理解答。 25÷4=6（枚）……1（枚） 6+1=7（枚） 所以，一定有一个小三角形至少放入7枚。 8． 在学校科技比赛中，有31名同学报名参加了航模、海模和创意制作三个项目的比赛，总有一个项目至少有（ C ）名同学参加。 A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】：C 【分析】：由题可知，31名同学报名参加3个项目的比赛，把31名同学看作31个物体、3个项目看作3个抽屉，31个物体放进3个抽屉，求至少数，利用抽屉原理解答。 31÷3=10（名）……1（名） 10+1=11（名） 所以，总有一个项目至少有11名同学参加，故选C。 9． 涂色游戏。 （1） 把一个正方体的6个面分别涂上红、黄、蓝、绿四种颜色（每个面只涂一种颜色）。无论怎么涂，至少有（ 2 ）个面涂的颜色相同。 （2） 把27个相同的正方体按下面所示排列放置，组合成一个大的正方体，在外表面的每一个小格任意涂红、黄、蓝、绿四种颜色（每小格只涂一种颜色）。无论怎么涂，至少有（ 14 ）个小格涂的颜色相同。 【答案】：（1）2；（2）14 【分析】：（1）把正方体的6个面分别涂上4种颜色，且每个面只涂1种颜色，即6个物体放进4个抽屉，求至少数。 6÷4=1（面）……2（面） 1+1=2（面） 所以，至少有2个面涂的颜色相同。 （2）大正方体每面有9个小格，6面合计有9×6=54（个）小格。 54个小格涂上4种颜色，且每个小格只涂1种颜色，即54个物体放进4个抽屉，求至少数。 54÷4=13（个）……2（个） 13+1=14（个） 所以，至少有14个小格涂的颜色相同。 10． 在北京奥运会女子射箭个人决赛中，中国选手张娟娟以110∶109环战胜韩国选手朴成贤，获得冠军（射箭比赛最高10环，共射12支剑），小明认为张娟娟至少获得2次10环的成绩，你认为他说得对吗？ 【答案】：正确 【分析】：由题可知，张娟娟射箭12次共得到110环。 110÷12=9（环）……2（环），假设每次射箭都是9环，则比实际成绩还少2环，把这2环任意分给2次射箭，因此至少获得2次10环的成绩。所以，小明的说法正确。 【解】：射箭12次共得到110环，110÷12=9（环）……2（环） 假设每次射击都是9环，则比实际成绩还少2环，把这2环任意分给2次射箭，因此至少获得2次10环的成绩，才能达到110环的成绩。 所以，小明的说法正确。 二、构造抽屉—直接构造抽屉 1． （判断）六（2）班52名学生中至少有5名同学的属相相同。（ √ ） 【答案】：√ 【分析】：一共有12个属相，把12个属相看作12个抽屉，52名学生看作52个物体，52个物体放进12个抽屉，求至少数。 52÷12=4（名）……4（名） 4+1=5（名） 所以，至少有5名同学的属相相同。原题干说法正确，答案为：√。 2． 某班男生有26人、女生有24人，那么至少有（ 5 ）人的属相相同。 【答案】：5 【分析】：由题可知，某班男生26人，女生24人，合计有26+24=50（人）。 把50人看作50个物体、12个属相看作12个抽屉，50个物体放进12个抽屉，求至少数，根据抽屉原理解答。 50÷12=4（人）……2（人） 4+1=5（人） 所以，至少有5人的属相相同。 3． 某小学六年级有38名学生是四月份出生的，那么他们至少有（ D ）人生日在同一天。 A. 8 B. 7 C. 3 D. 2 【答案】：D 【分析】：4月有30天，把30天看作30个抽屉，38名同学看作38个物体，38个物体放进30个抽屉，求至少数，利用抽屉原理解答。 38÷30=1（人）……8（人） 1+1=2（人） 所以，他们至少有2人生日在同一天，故选D。 4． 聪聪家在“五一”假期选择了省内游，在预订宾馆时发现全家5口人只订到了2间客房。聪聪联系学过的“抽屉原理”，认为总有一间客房至少要入住（ 3 ）个人。第二天在换乘景区摆渡车的时候，聪聪发现车上61个座位全部坐满，聪聪认为如果按照12生肖给这些乘客分类，至少有（ 6 ）人是同一个属相。 【答案】：3；6 【分析】：（1）由题可知，5个人只订到了2间客房，把5个人看作5个物体、2间房看作2个抽屉，5个物体放进2个抽屉，求至少数，利用抽屉原理解答。 5÷2=2（人）……1（人） 2+1=3（人） 所以，总有一间客房至少要入住3个人。 （2）12个生肖，看作12个抽屉，61个座位全部坐满，表示车上有61人，把61人看作61个物体，61个物体放进12个抽屉，求至少数，利用抽屉原理解答。 61÷12=5（人）……1（人） 5+1=6（人） 所以，至少有6人是同一个属相。 5． 有49名学生共同参加体操表演，其中最小的8岁，最大的11岁，在参加体操表演的学生中至少有几名学生是同年同月出生？ 【答案】：2 【分析】：由题可知，最小的8岁、最大的11岁，求至少有几名学生是同年同月出生的，需要先确定月份数。 最小8岁、最大11岁，共有月份（11-8+1）×12=48（个），把48个月份看作48个抽屉，49名学生看作49个物体，49个物体放进48个抽屉，求至少数。 49÷48=1（名）……1（名） 1+1=2（名） 所以，至少有2名学生是同年同月出生。 【解】：（11-8+1）×4=48（个） 49÷48=1（名）……1（名） 1+1=2（名） 答：至少有2名学生是同年同月出生。 6． 某班有48位同学参加跳绳比赛，在规定的时间内，最多的同学跳了175次，最少的同学跳了160次，那么在该班中至少要挑出多少位同学，从中必能选出3位在规定的时间内跳绳次数相同的同学？ 【答案】：33 【分析】：求至少挑出多少位同学，必有3位在规定时间内跳绳次数相同，需要先确定跳绳次数的种类。 由题可知，规定时间内，最多跳了175次，最少跳了160次，跳绳次数有175-160+1=16（种），要保证必有3位跳绳次数相同，从最不利的情况考虑，每种跳绳次数有（3-1）位同学，此时挑出同学（3-1）×16；这种情况下再挑1位，无论这1位跳多少次，都能保证有3位同学跳绳次数相同。所以，至少要挑出（3-1）×16+1=33（位）。 【解】：175-160+1=16（种） （3-1）×16+1=33（位） 答：在该班中至少要挑出33位同学，从中必能选出3位在规定的时间内跳绳次数相同的同学。 三、构造抽屉—利用排列组合构造抽屉 1． 刘老师给同学们出了两道数学题，规定做对第一题得3分，做对第二题得4分，没做或做错得0分。已知全班共有58个学生，至少有几个学生得分相同？ 【答案】：15 【分析】：全班共有58个学生，求至少有几个学生得分相同，需要先确定得分情况。 有2道数学题，做对第1题得3分、做对第2题得4分，没做或做错得0分，得分情况如下： ①2道题都做对：3+4=7（分）； ②做对1道题：1对+2没做或做错，3+0=3（分）； 2对+1没做或做错，4+0=4（分）； ③2道题都没做或做错：0分； 合计得分情况有7分、3分、4分、0分，共4种。把4种得分情况看作4个抽屉，全班58个学生看作58个物体，58个物体放进4个抽屉，求至少数，利用抽屉原理解答。 【解】：得分情况如下： ①2道题都做对：3+4=7（分）； ②做对1道题：第1题对、第2题没做或做错，3+0=3（分）； 第2题对，第1题没做或做错，4+0=4（分）； ③2道题都没做或做错：0分。 得分情况合计有4种，把4种得分情况看作4个抽屉。 58÷4=14（个）……2（个） 14+1=15（个） 答：至少有15个学生得分相同。 2． 学校组织学生去游览西湖、灵隐寺、博物馆，规定每人至少去一处，最多去两处．六（1）班有36名同学，至少有多少名同学的目的地是相同的？ 【答案】：6 【分析】：由题可知，有36名同学去游览3个地方，且规定每人至少去1处、最多去2处。求至少有多少名同学的目的地相同，需要先确定有多少种游览方式。 ①去1处：3个地点任选其一，3种； ②去2处：西湖+灵隐寺、西湖+博物馆、灵隐寺+博物馆，3种； 共有游览方式：3+3=（6种），把6种游览方式看作6个抽屉，36名同学看作36个物体，把36个物体放进6个抽屉，求至少数，用抽屉原理解答。 【解】：游览方式如下： ①去1处：3个地点任选其一，3种； ②去2处：西湖+灵隐寺、西湖+博物馆、灵隐寺+博物馆，3种； 游览方式合计有3+3=6（种），把6种游览方式看作6个抽屉。 36÷6=6（名） 答：至少有6名同学的目的地是相同的。 3． 体育用品的仓库里有许多足球、排球和篮球，有66个同学来仓库拿球，要求每个人至少拿一个，最多拿两个球，问至少有多少名同学所拿的球的种类是完全一样的？ 【答案】：8 【分析】：由题可知，有66个同学来仓库拿球，求至少有多少名同学拿的球的种类完全一样，需要先确定拿球方式的种类。 有足、排、篮球3种，且每个人至少拿1个或2个，拿球方式如下： ①拿1个球：足球、排球、篮球任选其一，3种； ②拿2个球：足球+足球、排球+排球、篮球+篮球，3种； 足球+排球、足球+篮球、排球+篮球，3种。 拿球方式共有3×3=9（种），把9种拿球方式看作9个抽屉，66个同学看作66个物体，66个物体放进9个抽屉，求至少数，利用抽屉原理解答即可。 【解】：拿球方式如下： ①拿1个球：足球、排球、篮球任选其一，3种； ②拿2个球：足球+足球、排球+排球、篮球+篮球，3种； 足球+排球、足球+篮球、排球+篮球，3种。 拿球方式共有3×3=9（种），把9种拿球方式看作9个抽屉。 66÷9=7（名）……3（名） 7+1=8（名） 答：至少有8名同学所拿的球的种类是完全一样的。 四、构造抽屉—利用数的奇偶性构造抽屉 1． （判断）任意给出3个不同的自然数，其中一定有2个数的差是奇数。（ × ） 【答案】：× 【分析】：自然数有奇数和偶数2种，把这2种看作2个抽屉，3个自然数看作3个物体，3个物体放进2个抽屉。 3÷2=1（个）……1（个），1+1=2（个），总有1个抽屉里至少有2个物体，也就是3个自然数中一定有2个数同为奇数或同为偶数。 奇数-奇数=偶数，偶数-偶数=偶数，所以任意给出3个不同的自然数，其中一定有2个数的差是偶数。原题干说法错误，答案为：×。 2． （判断）任取4个自然数，其中一定有两个自然数的和是偶数。（ √ ） 【答案】：√ 【分析】：自然数有奇数和偶数2种，把这2种看作2个抽屉，4个自然数看作4个物体，4个物体放进2个抽屉。 4÷2=2（个），总有1个抽屉里至少有2个物体，也就是4个自然数中一定有2个数同为奇数或同为偶数。 奇数+奇数=偶数、偶数+偶数=偶数，所以任意4个自然数，其中一定有2个自然数的和是偶数。原题干说法正确，答案为：√。 3． 从1-10这样的10数字卡片中，至少要抽出（ D ）张卡片，才能保证既有奇数又有偶数。 A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】：D 【分析】：1-10中偶数有2、4、6、8、10，共5个；奇数有1、3、5、7、9，共5个。 要保证既有奇数又有偶数，从最不利的情况考虑，把其中的一种数，奇数或偶数全部抽出，这种情况下再抽1张，就能保证既有奇数又有偶数。所以，至少要抽出5+1=6（张），故选D。 五、抽屉原理的逆向应用-求物体数 1． （判断）把一些书放进5个抽屉中（任何一个抽屉不能空着），要保证总有一个抽屉至少有3本，那么这些书至少需要有11本。（ √ ） 【答案】：√ 【分析】：把一些书放进5个抽屉，要确保总有1个抽屉至少有3本，从最不利的情况考虑，每个抽屉先放进（3-1）本，此时需要书（3-1）×5；这种情况下再放1本，无论放进哪个抽屉，都能保证总有1个抽屉至少有3本。所以，至少需要有（3-1）×5+1=11（本）。 原题干说法正确，答案为：√。 2． 把一些书放进5个抽屉里，总有一个抽屉至少放2本书。这些书可能有（ C ）本。 A. 5 B. 2 C. 8 D. 4 【答案】：C 【分析】：把一些书放进5个抽屉，要保证总有1个抽屉至少放2本，从最不利的情况考虑，每个抽屉先放进（2-1）本，此时需要书（2-1）×5；这种情况下再放1本，无论放进哪个抽屉，都能保证总有1个抽屉至少放2本。所以，这些书至少有（2-1）×5+1=6（本）。 这些书至少有6本，选项ABD均小于6，不符合。故选C。 3． 有12张扑克牌打乱后反扣在桌面上，其中有5张是红桃，7张黑桃，至少要摸出（   C   ）张扑克牌，才能保证一定能摸到红桃。 A. 5 B. 7 C. 8 【答案】：C 【分析】：由题可知，有红桃5张、黑桃7张。 要保证一定能摸到红桃，从最不利的情况考虑，先把7张黑桃全部摸出，这种情况下再摸1张，必定是红桃。所以，至少要摸出7+1=8（张），故选C。 4． 逸夫小学的六年级有若干学生，若已知学生中至少有两人的生日是同一天，那么，六年级至少有（ 367 ）个学生；其中六（3）班有68名学生，那么在六（3）班中至少有（ 6 ）个人在同一月出生。 【答案】：367 ；6 【分析】：（1）由题可知，学生中至少有2人的生日在同一天，求至少有多少学生。 平年有365天，闰年有366天，题目中未明确平年还是闰年，从最不利的情况考虑，按1年366天计算。 要确保至少有2人的生日在同一天，每天有1人过生日，此时有学生366人；再多1人，无论这1人哪天过生日，都能保证至少有2人的生日在同一天。所以，至少有366+1=367（人）； （2）1年有12个月，把12个月看作12个抽屉，68名学生看作68个物体，68个物体放进12个抽屉，求至少数。 68÷12=5（人）……8（人） 5+1=6（人） 所以，六（3）班中至少有6个人在同一月出生。 5． 一批9个零件中有3个次品，要保证取出的零件中至少有1个合格品，至少应取出（ 4 ）个零件。 【答案】：4 【分析】：由题可知，9个零件中有3个次品，要保证取出的零件中至少有1个合格品，从最不利的情况考虑，把3个次品全部取出，再取1个，就能保证取出的零件中至少有1个合格品。 所以，至少应取出3+1=4（个）。 6． 一场篮球比赛中共投中11个三分球，已知这场比赛共有5人投中三分球，则投中三分球最多的队员至少投中（ 3 ）个三分球；若要保证5位投中三分球的队员中其中一位队员至少投中4个三分球，这场比赛至少要投中（ 16 ）个三分球。 【答案】：3；16 【分析】：（1）由题可知，5人投中11个三分球，把11个三分球看作11个物体，5人看作5个抽屉，11个物体放进5个抽屉，求至少数，利用抽屉原理解答即可。 11÷5=2（个）……1（个） 2+1=3（个） 所以投中三分球最多的队员至少投中3个三分球。 （2）要保证5位投中三分球的队员中其中一位至少投中4个，从最不利的情况考虑，5位投中的队员每人投中（4-1）个三分球，此时投中（4-1）×5；再投中1个，无论谁投中，都能保证其中一位队员至少投中4个三分球。所以这场比赛至少要投中三分球（4-1）×5+1=16（个）。 7． 1~15这15个数中，至少取出多少个不同的数（每次只取1个），才能保证其中有一个数是3的倍数。 【答案】：11 【分析】：1~15这15个数中，3的倍数有3、6、9、12、15，合计5个，剩余的（15-5）个数不是3的倍数。要保证其中有一个数是3的倍数，从最不利的情况考虑，不是3的倍数全部取出，再多取1个，无论取的数是几，都能保证取出的数中有一个数是3的倍数。所以，至少取出15-5+1=11（个）。 【解】：1~15这15个数中，3的倍数有3、6、9、12、15，合计5个。 15-5+1=11（个） 答：至少取出11个不同的数。 六、抽屉原理的逆向应用-求最大抽屉数 1． 实验小学篮球队同学去借篮球，向管理员借30个，管理员说：“你们一次都拿走的话，一定会有一个人至少要拿4个。”篮球队最多有（ 9 ）名队员。 【答案】：9 【分析】：由题可知，30个篮球分给若干队员，把30个篮球看作30个物体，队员数看作抽屉数。 要保证有1个人至少拿4个篮球，每人先拿（4-1）个，之后再拿1个，无论这1个谁拿，都能保证有1个人至少拿4个，也就是篮球数至少要比队员数的（4-1）倍多1。 （30-1）÷（4-1）=9（名）……2（名），所以篮球队最多有9名队员。 2． 把 25 个苹果最多放到（ 4 ）个盘子里，可以保证总有一个盘子里至少有 7 个苹果。 【答案】：4 【分析】：由题可知，25个苹果放到若干盘子里，把25个苹果看作25个物体，盘子数看作抽屉数。 要保证总有1个盘子里至少有7个苹果，每个盘子先放（7-1）个苹果，之后再放1个，无论这1个苹果放到哪个盘子里，都能保证总有1个盘子里至少有7个苹果，也就是苹果数至少要比盘子数的（7-1）倍多1。 （25-1）÷（7-1）=4（个），所以把25个苹果放到4个盘子里。 3． 把61本书分给某个班级的学生，如果能保证有人分到至少3本书，那么这个班最多有多少人？ 【答案】：30 【分析】：由题可知，61本书分给若干人，把61本书看作61个物体，人数看作抽屉数。 要保证总有人分到至少3本书，每人先分到（3-1）本，之后再分1本，无论这1本书分给谁，都能保证总有人分到至少3本，也就是书的本数至少要比人数的（3-1）倍多1。 （61-1）÷（3-1）=30（人），所以这个班最多有30人。 【解】：（61-1）÷（3-1）=30（人） 答：这个班最多有30人。 七、“相同型”（摸出同色球） 1． 一个口袋中装有红、黄、蓝三种颜色不同的同规格的小球各10个，至少要摸出（ D ）个小球，肯定有8个颜色相同的。 A. 9 B. 15 C. 21 D. 22 【答案】：D 【分析】：从最不利的情况考虑。 由题可知，有红、黄、蓝3种颜色的球，要保证有8个同色球，从最不利的情况考虑，每种颜色各摸出（8-1）个，此时摸球（8-1）×3；这种情况下再摸1个，无论摸出的是什么颜色，都能保证有8个颜色相同。所以，至少要摸出（8-1）×3+1=22（个），故选D。 2． 袋中有同样大小的木质红球、黄球和蓝球各4个，一次至少摸出（ 7 ）个球，才能保证其中有3个是同色的。 【答案】：7 【分析】：由题可知，袋中有3种颜色的球，要保证摸出的球中有3个是同色的，从最不利的情况考虑，每种颜色各摸出（3-1）个，此时摸出（3-1）×3；再摸1个，无论摸出的是什么颜色，都能保证其中有3个球是同色的。所以一次至少摸出（3-1）×3+1=7（个）。 3． 储蓄罐里有同样大小的金币和铜币各5枚。要想摸出的钱币一定有3枚相同，至少要摸出（ 5 ）枚钱币。 【答案】：5 【分析】：由题可知，有大小相同的金币、铜币，且每种5枚。 要保证摸出的钱币一定有3枚相同，从最不利的情况考虑，金币、铜币各摸出（3-1）枚，再摸出1枚，无论摸出的是金币还是铜币，都能保证摸出的钱币中有3枚相同。 所以，至少要摸出（3-1）×2+1=5（枚）。 4． 口袋里装有黑袜子10只、白袜子11只、红袜子9只、黄袜子8只，随机从中最少拿出（ 5 ）只袜子就能保证有两只袜子是同种颜色的。 【答案】：5 【分析】：由题可知，共有4种颜色的袜子，要保证有2只袜子是同种颜色，从最不利的情况考虑，每种颜色的袜子各拿1只，这种情况下再拿1只，无论取出的是什么颜色，都能保证有2只袜子是同种颜色。所以，最少要拿出袜子4×1+1=5（只）。 5． 有红色、白色、黑色的筷子各20根混放在一起，闭上眼睛去摸。 （1）至少要摸出（ 4 ）根才能保证有两根筷子是同色的。 （2）至少要摸出（ 42 ）根，才能保证有一双红色的筷子。 【答案】：（1）4；（2）42 【分析】：（1）由题可知，有红、白、黑3种颜色的筷子，要保证有2根筷子同色，从最不利的情况考虑，每种颜色各摸出（2-1）根，这种情况下再摸1根，无论摸出的是什么颜色，都能保证有2根筷子是同色。 所以，至少要摸出（2-1）×3+1=4（根）； （2）3种颜色的筷子各20根，要保证有1双（2根）红色的筷子，从最不利的情况考虑，除红色外，把白、黑2种筷子全部摸出，此时摸出筷子2×20；这种情况下再摸出2根，摸出的一定是2根红色筷子。 所以，至少要摸出2×20+2=42（根）。 6． 在一个口袋中装有大小相同的10个红球、9个黑球、7个黄球、5个白球、3个绿球。那么： （1） 至少从中取出多少个球，才能保证其中有黑球？ （2） 至少从中取出多少个球，才能保证每种颜色的球都有？ （3） 至少从中取出多少个球，才能保证其中至少有3个球颜色相同？ （4） 至少从中取出多少个球，才能保证有6个颜色相同的球？ 【答案】：（1）26；（2）32；（3）11；（4）24 【分析】：由题可知，口袋里有红、黑、黄、白、绿5种颜色的球。 （1） 要保证其中有黑球，从最不利的情况考虑，把其他4种颜色的球全部取出，此时取球10+7+5+3；这种情况下再取1个，取出的一定是黑球。所以，至少取出10+7+5+3+1=26（个）； （2） 要保证每种颜色的球都有，从最不利的情况考虑，把红、黑、黄、白4种颜色的球全部取出，此时取球10+9+7+5；这种情况下再取1个，就能保证每种颜色的球都有。所以，至少取出10+9+7+5+1=32（个）； （3） 要保证至少有3个球颜色相同，从最不利的情况考虑，每种颜色的球取出（3-1）个，此时取球（3-1）×5；这种情况下再取1个，无论取出的是什么颜色，都能保证至少有3个球颜色相同。所以，至少取出（3-1）×5+1=11（个）； （4） 要保证有6个颜色相同的球，从最不利的情况考虑，把白球、绿球全部取出，此时取球5+3；剩余3种颜色的球，每种颜色各取（6-1）个后，再取1个，无论取出的是什么颜色，都能保证有6个颜色相同的球。所以，至少取出5+3+3×（6-1）+1=24（个）。 【解】：（1）10+7+5+3+1=26（个） 答：至少从中取出26个球，才能保证其中有黑球。 （2）10+9+7+5+1=32（个） 答：至少从中取出32个球，才能保证每种颜色的球都有。 （3）（3-1）×5+1=11（个） 答：至少从中取出11个球，才能保证其中至少有3个球颜色相同。 （4）5+3+3×（6-1）+1=24（个） 答：至少从中取出24个球，才能保证有6个颜色相同的球。 八、“不同型”（摸出不同色球） 1． 一个袋子里装了同样大小的红、黑、白玻璃球各2个，要保证取出的玻璃球三种颜色都有，至少要取出（ 5 ）个，要保证取出的玻璃球中至少有两种颜色，至少应取出（ 3 ）个。 【答案】：5；3 【分析】：由题可知，袋子里有红、黑、白3种颜色的球，每种各2个。 （1） 要保证取出的球3种颜色都有，从最不利的情况考虑，把其中（3-1）种颜色的球全部取出，此时取球（3-1）×2；这种情况下再取1个，就能保证取出的球有3种颜色。所以至少要取（3-1）×2+1=5（个）； （2） 要保证取出的玻璃球中至少有2种颜色，把其中（2-1）种颜色的球全部取出，此时取球（2-1）×2；这种情况下再取1个，就能保证取出的球中至少有2种颜色。所以至少要取（2-1）×2+1=3（个）。 2． 一个袋子里，有大小相同的红、黄、蓝三种颜色的小球各5个。至少取出（ 4 ）个，可以保证取出两个颜色相同的小球；至少取出（ 6 ）个，可以保证取出两个不同颜色的小球。 【答案】：4；6 【分析】：由题可知，有3种颜色的球各5个。 （1） 要保证取出2个颜色相同的小球，从最不利的情况考虑，每种颜色的球各取（2-1）个，此时取球（2-1）×3；再取1个，无论取出的球是什么颜色，都可保证取出2个颜色相同的小球。 所以，至少取出（2-1）×3+1=4（个）； （2） 要保证取出2个不同颜色的小球，从最不利的情况考虑，把其中1种颜色的球全部取出，再取1个，无论取出的球是什么颜色，都可保证取出2个不同颜色的小球。 所以，至少取出5+1=6（个）。 3． 把5双手套（手套分左、右手）放进暗箱里，要保证取出的手套中至少有1双，至少要取出几只手套？ 【答案】：6 【分析】：由题可知，有5双手套，且分左右手。 要保证取出的手套中至少有1双，也就是1只左手和1只右手，从最不利的情况考虑，把其中1种（左手或右手）全部取出，此时取出5只手套；这种情况下再取1只，就能保证取出的手套中至少有1双。 所以，至少要取出5+1=6（只）。 【解】：5+1=6（只） 答：至少要取出6只手套。 4． 袋子里有红色、白色、蓝色手套各5只。（不分左右手，一双手套为一种颜色） （1）至少要拿出多少只，才能使拿出的手套中一定有两双是同颜色的？ （2）至少要拿出多少只，才能使拿出的手套中一定有两双是不同颜色的？ 【答案】：（1）10；（2）8 【分析】：由题可知，有红、白、蓝3种颜色的手套各5只，且不分左右手。 （1） 要保证拿出的手套中一定有两双同色，也就是有4只手套颜色相同。从最不利的情况考虑，每种颜色各拿（4-1）只，此时拿手套（4-1）×3；这种情况下再拿1只，无论拿出的是什么颜色，都能保证一定有两双是同颜色的。所以，至少要拿出（4-1）×3+1=10（只）； （2） 要保证拿出的手套中一定有两双不同色，从最不利的情况考虑，先把其中1种颜色的手套全部拿出，此时拿手套5只；剩余2种颜色，每种颜色各拿1只后，再拿1只，无论拿的什么颜色，都能保证有2双是不同色。所以，至少要拿出5+1×2+1=8（只）。 【解】：（1）（4-1）×3+1=10（只） 答：至少要拿出10只，才能使拿出的手套中一定有两双是同颜色的。 （2）5+1×2+1=8（只） 答：至少要拿出8只，才能使拿出的手套中一定有两双是不同颜色的。 5． 黑色、白色、黄色的筷子各有8根，混杂放在一起，黑暗中想从这些筷子中取出颜色不同的两双筷子。问：至少要取多少根才能保证达到要求？ 【答案】：11 【分析】：由题可知，有黑、白、黄3种颜色筷子各8根。 要想从这些筷子中取出颜色不同的两双筷子，从最不利的情况考虑，先把其中1种颜色的筷子全部取出，此时取筷子8根；剩余2种颜色的筷子，每种颜色各取1根后，再取1根，无论取的什么颜色，都能保证一定取出颜色不同的两双筷子。 所以，至少要取出8+1×2+1=11（根）。 【解】：8+1×2+1=11（根） 答：至少要取11根才能保证达到要求。 6． 一个布袋里有红、白、蓝、绿四种球各10个，它们的大小和质量都一样。 （1）至少要摸出多少个，才能保证其中至少有4个颜色相同的球？ （2）至少要摸出多少个，才能保证有4种不同颜色的球？ 【答案】：（1）13；（2）31 【分析】：（1）由题可知，有红、白、蓝、绿4种颜色，要保证其中至少有4个颜色相同的球，从最坏的情况考虑，每种颜色各摸出（4-1）个，此时共摸出（4-1）×4；这种情况下再摸1个，无论摸出的是什么颜色，都能保证至少有4个颜色相同的球。所以，至少摸出（4-1）×4+1=13（个）； （2）要保证4种不同颜色的球，从最坏的情况考虑，把其中（4-1）种颜色球全部摸出，此时共摸出10×（4-1）；再摸出1个，就能保证有4种不同颜色的球。所以，至少要摸出10×（4-1）+1=31（个）。 【解】：（1）（4-1）×4+1=13（个） 答：至少要摸出13个，才能保证其中至少有4个颜色相同的球。 （2）10×（4-1）+1=31（个） 答：至少要摸出31个，才能保证有4种不同颜色的球。 学科网（北京）股份有限公司第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ （配套训练）专题01 鸽巢问题 一、抽屉原理的直接应用 1． 把32个篮球分给6个小组，总有1个小组至少分到6个篮球。（ ） 2． （判断）某次智力竞赛有8个学生参加，总分是737分，则至少有一个学生的得分不低于95分。（ ） 3． （判断）9个人坐4把椅子，总有一把椅子上至少坐3人。（ ） 4． 某地1月份的天气有晴、阴、多云、雨、雪五种情况，总有一种天气至少有（ ）天。 A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 5． 26个小朋友乘5只小船至少有（ ）人坐在同一船里。 A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 6． 当下最流行的音乐排行榜中，有20首歌曲，分别属于摇滚、流行、民谣、嘻哈、电子这五种音乐类型。如果随即选取12首歌曲，那么下面哪种情况必然会发生？（ ）。 A. 至少有2首歌曲是摇滚类型 B. 至少有3首歌曲属于同一类型 C. 至少有4首歌曲是民谣类型 D. 至少有5首歌曲是电子类型 7． 把25枚棋子放入下图的三角形内，那么一定有一个小三角形中至少放入（ ）枚。 8． 在学校科技比赛中，有31名同学报名参加了航模、海模和创意制作三个项目的比赛，总有一个项目至少有（ ）名同学参加。 A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 9． 涂色游戏。 （1） 把一个正方体的6个面分别涂上红、黄、蓝、绿四种颜色（每个面只涂一种颜色）。无论怎么涂，至少有（ ）个面涂的颜色相同。 （2） 把27个相同的正方体按下面所示排列放置，组合成一个大的正方体，在外表面的每一个小格任意涂红、黄、蓝、绿四种颜色（每小格只涂一种颜色）。无论怎么涂，至少有（ ）个小格涂的颜色相同。 10． 在北京奥运会女子射箭个人决赛中，中国选手张娟娟以110∶109环战胜韩国选手朴成贤，获得冠军（射箭比赛最高10环，共射12支剑），小明认为张娟娟至少获得2次10环的成绩，你认为他说得对吗？ 二、构造抽屉—直接构造抽屉 1． （判断）六（2）班52名学生中至少有5名同学的属相相同。（ ） 2． 某班男生有26人、女生有24人，那么至少有（ ）人的属相相同。 3． 某小学六年级有38名学生是四月份出生的，那么他们至少有（ ）人生日在同一天。 A. 8 B. 7 C. 3 D. 2 4． 聪聪家在“五一”假期选择了省内游，在预订宾馆时发现全家5口人只订到了2间客房。聪聪联系学过的“抽屉原理”，认为总有一间客房至少要入住（ ）个人。第二天在换乘景区摆渡车的时候，聪聪发现车上61个座位全部坐满，聪聪认为如果按照12生肖给这些乘客分类，至少有（ ）人是同一个属相。 5． 有49名学生共同参加体操表演，其中最小的8岁，最大的11岁，在参加体操表演的学生中至少有几名学生是同年同月出生？ 6． 某班有48位同学参加跳绳比赛，在规定的时间内，最多的同学跳了175次，最少的同学跳了160次，那么在该班中至少要挑出多少位同学，从中必能选出3位在规定的时间内跳绳次数相同的同学？ 三、构造抽屉—利用排列组合构造抽屉 1． 刘老师给同学们出了两道数学题，规定做对第一题得3分，做对第二题得4分，没做或做错得0分。已知全班共有58个学生，至少有几个学生得分相同？ 2． 学校组织学生去游览西湖、灵隐寺、博物馆，规定每人至少去一处，最多去两处．六（1）班有36名同学，至少有多少名同学的目的地是相同的？ 3． 体育用品的仓库里有许多足球、排球和篮球，有66个同学来仓库拿球，要求每个人至少拿一个，最多拿两个球，问至少有多少名同学所拿的球的种类是完全一样的？ 四、构造抽屉—利用数的奇偶性构造抽屉 1． （判断）任意给出3个不同的自然数，其中一定有2个数的差是奇数。（ ） 2． （判断）任取4个自然数，其中一定有两个自然数的和是偶数。（ ） 3． 从1-10这样的10数字卡片中，至少要抽出（ ）张卡片，才能保证既有奇数又有偶数。 A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 五、抽屉原理的逆向应用-求物体数 1． （判断）把一些书放进5个抽屉中（任何一个抽屉不能空着），要保证总有一个抽屉至少有3本，那么这些书至少需要有11本。（ ） 2． 把一些书放进5个抽屉里，总有一个抽屉至少放2本书。这些书可能有（ ）本。 A. 5 B. 2 C. 8 D. 4 3． 有12张扑克牌打乱后反扣在桌面上，其中有5张是红桃，7张黑桃，至少要摸出（ ）张扑克牌，才能保证一定能摸到红桃。 A. 5 B. 7 C. 8 4． 逸夫小学的六年级有若干学生，若已知学生中至少有两人的生日是同一天，那么，六年级至少有（ ）个学生；其中六（3）班有68名学生，那么在六（3）班中至少有（ ）个人在同一月出生。 5． 一批9个零件中有3个次品，要保证取出的零件中至少有1个合格品，至少应取出（ ）个零件。 6． 一场篮球比赛中共投中11个三分球，已知这场比赛共有5人投中三分球，则投中三分球最多的队员至少投中（ ）个三分球；若要保证5位投中三分球的队员中其中一位队员至少投中4个三分球，这场比赛至少要投中（ ）个三分球。 7． 1~15这15个数中，至少取出多少个不同的数（每次只取1个），才能保证其中有一个数是3的倍数。 六、抽屉原理的逆向应用-求最大抽屉数 1． 实验小学篮球队同学去借篮球，向管理员借30个，管理员说：“你们一次都拿走的话，一定会有一个人至少要拿4个。”篮球队最多有（ ）名队员。 2． 把 25 个苹果最多放到（ ）个盘子里，可以保证总有一个盘子里至少有 7 个苹果。 3． 把61本书分给某个班级的学生，如果能保证有人分到至少3本书，那么这个班最多有多少人？ 七、“相同型”（摸出同色球） 1． 一个口袋中装有红、黄、蓝三种颜色不同的同规格的小球各10个，至少要摸出（ ）个小球，肯定有8个颜色相同的。 A. 9 B. 15 C. 21 D. 22 2． 袋中有同样大小的木质红球、黄球和蓝球各4个，一次至少摸出（ ）个球，才能保证其中有3个是同色的。 3． 储蓄罐里有同样大小的金币和铜币各5枚。要想摸出的钱币一定有3枚相同，至少要摸出（ ）枚钱币。 4． 口袋里装有黑袜子10只、白袜子11只、红袜子9只、黄袜子8只，随机从中最少拿出（ ）只袜子就能保证有两只袜子是同种颜色的。 5． 有红色、白色、黑色的筷子各20根混放在一起，闭上眼睛去摸。 （1）至少要摸出（ ）根才能保证有两根筷子是同色的。 （2）至少要摸出（ ）根，才能保证有一双红色的筷子。 6． 在一个口袋中装有大小相同的10个红球、9个黑球、7个黄球、5个白球、3个绿球。那么： （1） 至少从中取出多少个球，才能保证其中有黑球？ （2） 至少从中取出多少个球，才能保证每种颜色的球都有？ （3） 至少从中取出多少个球，才能保证其中至少有3个球颜色相同？ （4） 至少从中取出多少个球，才能保证有6个颜色相同的球？ 八、“不同型”（摸出不同色球） 1． 一个袋子里装了同样大小的红、黑、白玻璃球各2个，要保证取出的玻璃球三种颜色都有，至少要取出（ ）个，要保证取出的玻璃球中至少有两种颜色，至少应取出（ ）个。 2． 一个袋子里，有大小相同的红、黄、蓝三种颜色的小球各5个。至少取出（ ）个，可以保证取出两个颜色相同的小球；至少取出（ ）个，可以保证取出两个不同颜色的小球。 3． 把5双手套（手套分左、右手）放进暗箱里，要保证取出的手套中至少有1双，至少要取出几只手套？ 4． 袋子里有红色、白色、蓝色手套各5只。（不分左右手，一双手套为一种颜色） （1）至少要拿出多少只，才能使拿出的手套中一定有两双是同颜色的？ （2）至少要拿出多少只，才能使拿出的手套中一定有两双是不同颜色的？ 5． 黑色、白色、黄色的筷子各有8根，混杂放在一起，黑暗中想从这些筷子中取出颜色不同的两双筷子。问：至少要取多少根才能保证达到要求？ 6． 一个布袋里有红、白、蓝、绿四种球各10个，它们的大小和质量都一样。 （1）至少要摸出多少个，才能保证其中至少有4个颜色相同的球？ （2）至少要摸出多少个，才能保证有4种不同颜色的球？ 学科网（北京）股份有限公司第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$