【高效学】平行线中拐点问题

2025-02-24
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资源信息

学段 初中
学科 数学
教材版本 初中数学人教版七年级下册
年级 七年级
章节 7.2.3 平行线的性质,小结
类型 作业-同步练
知识点 -
使用场景 同步教学-新授课
学年 2025-2026
地区(省份) 全国
地区(市) -
地区(区县) -
文件格式 ZIP
文件大小 2.37 MB
发布时间 2025-02-24
更新时间 2025-07-10
作者 学科网橙子学精品工作室
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审核时间 2025-02-24
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来源 学科网

内容正文:

平行线中拐点问题 1.【答案】D 【分析】先根据平行线的性质得∠PEB=∠C=65°,再根据邻补角的定义得∠PEB+∠PEA= 180°,然后根据三角形内角和为 180°,在△APE 中,∠A=40°,∠PEA=115°,代入计算即可. 【详解】解:如图所示, ∵AB//CD, ∴∠PEB=∠C=65°, ∵∠PEB+∠PEA=180° , ∴∠PEA=115°, ∴∠P=180°-∠A-∠PEA=180°-115°-40°=25°. 故选:D. 2.【答案】见详解 【分析】本题考查了平行线的性质和判定,遇到拐点问题常添的辅助线是:过拐点作平行线。 【详解】解:(1)∠���和∠���之间的数量关系是:∠��� = 2 3 ∠���,理由如下: 过点 M 作�� ∥ ��,如图②所示, ∵�� ∥ �� ∴ ∠� = ∠1, ∵ �� ∥ ��,�� ∥ ��, ∴ �� ∥ ��, ∴ ∠� = ∠��� − ∠2, ∴ ∠� − ∠� = ∠1 − ∠��� −∠2 = ∠1 + ∠2 − ∠���, ∵ ∠1 + ∠2 = ∠���, ∴ ∠� − ∠� = ∠���− ∠���, 又∵ ∠� − ∠� = 1 3 ∠���, ∴ ∠���− ∠��� = 1 3 ∠���, ∴ ∠��� = 2 3 ∠���; (2)∠� + ∠� = 35°,理由如下: 过点 G 作�� ∥ ��,如图③所示: ∵ ∠� + ∠� = 2∠��� = 70°, ∴ ∠� + ∠� = 70°, ∠��� = 35°, ∴ ∠1 + ∠2 = ∠��� = 35°, ∵ �� ∥ ��,�� ∥ ��, ∴ �� ∥ �� ∥ ��, ∴∠� = ∠� + ∠1, ∠� = ∠� + ∠2, ∴ ∠� + ∠� = ∠� + ∠1 + ∠� + ∠2, ∴ 70° = ∠� + ∠� + 35°, ∴ ∠� + ∠� = 35°. 3.【答案】(1)∠� = 80°;(2)∠� + ∠� − ∠��� = 180°,理由见解析 【分析】(1)过点 P 作��∥��,根据平行线的性质与判定可得∠� + ∠��� = 180°,根据∠��� = ∠��� + ∠���即可求解; (2)过点 P 作��∥��,则��∥��,根据平行线的性质与判定可得∠� = ∠���,∠��� + ∠� = 180°,进而可得∠� + ∠� − ∠��� = 180°. 【详解】(1)如图①,过点 P 作��∥��, ∴∠��� = ∠� = 50°. 又∵��∥��, ∴��∥��, ∴∠� + ∠��� = 150° + ∠��� = 180°, ∴∠��� = 30°, ∴∠��� = ∠��� + ∠��� = 50° + 30° = 80°,即∠��� = 80°; (2)如图②,过点 P 作��∥��,则��∥��, ∴∠� = ∠���,∠��� + ∠� = 180°. ∵∠��� = ∠��� − ∠���, ∴∠��� − ∠��� + ∠� = 180°, ∴∠� + ∠� − ∠��� = 180°. 4.【答案】(1)540°;(2)720°;(3) � + 1 × 180° 【分析】本题考查平行线的判定和性质,平行公理的推论,图形类规律探索,熟练掌握“两直 线平行,同旁内角互补”和“如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行” 是解题关键. (1)过点 C 作�� ∥ ��,过点 D 作�� ∥ ��,根据平行公理的推论可得�� ∥ �� ∥ �� ∥ ��, 再根据平行线的性质可得∠� + ∠��� = 180°,∠��� + ∠��� = 180°,∠��� + ∠� = 180°, 即可求得∠� + ∠��� + ∠� = 360°; (2)由(1)和(2)总结规律即可求解; (3)根据所得规律可直接求解. 【详解】解:(1)如图,过点 C 作�� ∥ ��,过点 D 作�� ∥ ��, ∵�� ∥ ��,�� ∥ ��, ∴�� ∥ �� ∥ �� ∥ ��, ∴∠� + ∠��� = 180°,∠��� + ∠��� = 180°,∠��� + ∠� = 180°, ∴∠� + ∠��� + ∠��� + ∠��� + ∠��� + ∠� = 540°, ∴∠� + ∠� + ∠� + ∠� = 540°; (2)由(1)可知在 A,C 两点的同一侧有 1个折点,其∠� + ∠��� + ∠� = 180° × 1 + 1 = 360°; 由(2)可知在 B,E 两点的同一侧有 2 个折点,其∠� + ∠� + ∠� + ∠� = 180° × 2 + 1 = 540°; 因为 B,F 两点的同一侧有 3个折点, 所以∠� + ∠� + ∠� + ∠� + ∠� = 180° × 3 + 1 = 720°; (3)由(3)可知在 B,D 两点的同一侧有 n个折点,所以∠� + ∠�1 + ∠�2 +…+ ∠�� + ∠� = � + 1 × 180°. 5.【答案】(1)∠� +∠��� + ∠� = 360°; ∠� + ∠� = ∠���,证明见解析;(2)∠��� = 135°; (3)∠��� = 50° 【分析】本题考查的是平行公理的应用,平行线的性质,熟记平行线的性质,作出合适的辅助 线是解本题的关键; (1)如图①,过�作直线��∥��,可得��∥��∥��,再利用平行线的性质可得结论;如图②, 过�作直线��∥��,可得��∥��∥��; (2)如图③,延长��,��交于点�,过�作��∥��,证明��∥��∥��,再利用平行线的性质 可得答案; (3)由(1)的结论可得:∠� = ∠��� + ∠���,∠� = ∠��� + ∠���,证明∠��� = 1 2 ∠���, ∠��� = 1 2 ∠���,结合 2∠� − ∠� = 75°可得结论. 【详解】解:(1)如图①,过�作直线��∥��, 而��∥��, ∴��∥��∥��, ∴∠� + ∠��� = 180°,∠� + ∠��� = 180°, ∴∠� + ∠��� + ∠��� + ∠� = 360°, 即∠� + ∠��� + ∠� = 360°; 如图②,过�作直线��∥��, 而��∥��, ∴��∥��∥��, ∴∠� = ∠���,∠� = ∠���, ∴∠� + ∠� = ∠��� + ∠��� = ∠���; (2)如图③,延长��,��交于点�,过�作��∥��, 而��∥��, ∴��∥��∥��, ∴∠��� = ∠�,∠��� + ∠��� = 180°, ∵∠��� = 45°,��∥��, ∴∠��� = ∠� = 45°, ∴∠��� = 45°, ∵�� ⊥ ��, ∴∠��� = 90°, ∴∠��� = 90°, ∴∠��� = 45° + 90° = 135°; (3)如图④, 由(1)的结论可得:∠� = ∠��� + ∠���,∠� = ∠��� + ∠���, ∵��和��分别平分∠���和∠���, ∴∠��� = 1 2 ∠���,∠��� = 1 2 ∠���, ∵2∠� − ∠� = 75°, ∴2∠��� + 2∠��� − ∠��� − ∠��� = 75°, ∴ 3 2 ∠��� = 75°, ∴∠��� = 50°. 6.【答案】问题情境:252°; 问题迁移: ∠���=∠� + ∠�,理由见解析;问题拓展:∠�1 + ∠�2 +…+ ∠�� = ∠�1 + ∠�2 + …+ ∠��−1 【分析】问题情境:根据平行线的判定可得�� ∥ �� ∥ ��,再根据平行线的性质即可求解; 问题迁移:过�作�� ∥ ��,根据平行线的判定可得�� ∥ �� ∥ ��,再根据平行线的性质即可求 解; 问题拓展:分别过�2,�3…,��−1作直线∥ �1�,过�1,�2,…,��−1作直线∥ �1�,根据平行 线的判定和性质即可求解. 【详解】问题情境:解:如图 2,过�作�� ∥ ��, ∵ �� ∥ ��, ∴ �� ∥ �� ∥ ��, ∴ ∠��� + ∠��� = 180°,∠��� + ∠��� = 180°, ∵ ∠��� = 108°, ∴ ∠��� + ∠��� = 360° − 108° = 252°, 故答案为:252°; 问题迁移:∠��� = ∠� + ∠�,理由如下: 如图 3,过�作�� ∥ ��交��于�, ∵ �� ∥ ��, ∴ �� ∥ �� ∥ ��, ∴ ∠� = ∠���,∠� = ∠���, ∴ ∠��� = ∠��� + ∠��� = ∠� + ∠�; 问题拓展:如图:分别过�2,�3…,��−1作直线∥ �1�,过�1,�2,…,��−1作直线∥ �1�, 由平行线的性质和角的和差关系得∠�1 + ∠�2 +…+ ∠�� = ∠�1 + ∠�2 +…+ ∠��−1, 故答案为:∠�1 + ∠�2 +…+ ∠�� = ∠�1 + ∠�2 +…+ ∠��−1. 平行线中拐点问题 1.如图,已知��//��,∠� = 40°,∠� = 65°,则∠�的度数为( ) A.20° B.35° C.30° D.25° 2.(1)如图②,�� ∥ ��,�,�是��, ��之间的两点,当∠� − ∠� = 1 3 ∠���时,请找出∠��� 和∠���之间的数量关系 ; 【拓展延伸】 (2)如图③,�� ∥ ��, �, �, �均是��,��之间的点,如果∠� + ∠� = 2∠� = 70°,直接写出 ∠� + ∠� = . 3.已知直线��∥��,P 为平面内一点,连接 PA,PD. (1)如图①,若∠� = 50°,∠� = 150°,求∠�的度数; (2)如图②,点 P 在 AB 上方,则∠�,∠�,∠���之间有何数量关系?请说明理由. 4.如图 1,�� ∥ ��,求∠� + ∠��� + ∠� = 360°. (1)在图 2 中,�� ∥ ��,则∠� + ∠� + ∠� + ∠� =_______; (2)根据(1)和(2)的规律,图 3 中�� ∥ ��,猜想:∠� + ∠� + ∠� + ∠� + ∠� =_______; (3)如图 4,�� ∥ ��,在 B,D 两点的同一侧有�1,�2,�3,….��共 n 个折点,则∠� + ∠�1 + ∠�2 +…+ ∠�� + ∠�的度数为_______(用含 n 的代数式表示). 5.【阅读理解】“两条平行线被第三条直线所截”是平行线中的一个重要的“基本图形”.与平 行线有关的角都存在着这个“基本图形”中,当发现题目的图形“不完整”时要添加适当的辅助线 将其补充完整.将“非基本图形”转化为“基本图形”这体现了转化思想. 【建立模型】(1)如图①②已知��∥��,点�在直线��、��之间,请分别写出∠���与∠���、 ∠���之间的关系,并对图②中的结论进行证明. 请用上面的结论解决下面的问题: 【解决问题】(2)如图是一盏可调节台灯,如图 3为示意图.固定支撑杆�� ⊥底座��于点�, �� 与��是分别可绕点�和�旋转的调节杆,台灯灯罩可绕点�旋转调节光线角度,在调节过程中, 最外侧光线��、��组成的∠��� = 45°始终保持不变.现调节台灯,使外侧光线��∥��, ��∥��, 求∠���的度数. 【拓展应用】(3)如图(4),已知��∥��, ��和��分别平分∠���和∠���,若 2∠� − ∠� = 75°, 求∠���的度数. 6.问题情境:如图 1,已知��∥��,∠��� = 108°.求∠��� + ∠���的度数. 经过思考,小敏的思路是:如图 2,过�作�� ∥ ��,根据平行线有关性质,可得 ∠��� + ∠��� = . 问题迁移:如图 3,��∥��,点�在射线��上运动,∠��� = ∠�,∠��� = ∠�. 当点�在�、�两点之间运动时,∠���、∠�、∠�之间有何数量关系?请说明理由. 问题拓展:如图 4,��1∥���,�1 − �1 − �2 −…− ��−1 − ��是一条折线段.依据此图信息, 把你所发现的结论,用简洁的数学式子表达为 .

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