内容正文:
平行线中拐点问题
1.【答案】D
【分析】先根据平行线的性质得∠PEB=∠C=65°,再根据邻补角的定义得∠PEB+∠PEA=
180°,然后根据三角形内角和为 180°,在△APE 中,∠A=40°,∠PEA=115°,代入计算即可.
【详解】解:如图所示,
∵AB//CD,
∴∠PEB=∠C=65°,
∵∠PEB+∠PEA=180° ,
∴∠PEA=115°,
∴∠P=180°-∠A-∠PEA=180°-115°-40°=25°.
故选:D.
2.【答案】见详解
【分析】本题考查了平行线的性质和判定,遇到拐点问题常添的辅助线是:过拐点作平行线。
【详解】解:(1)∠���和∠���之间的数量关系是:∠��� = 2
3
∠���,理由如下:
过点 M 作�� ∥ ��,如图②所示,
∵�� ∥ ��
∴ ∠� = ∠1,
∵ �� ∥ ��,�� ∥ ��,
∴ �� ∥ ��,
∴ ∠� = ∠��� − ∠2,
∴ ∠� − ∠� = ∠1 − ∠��� −∠2 = ∠1 + ∠2 − ∠���,
∵ ∠1 + ∠2 = ∠���,
∴ ∠� − ∠� = ∠���− ∠���,
又∵ ∠� − ∠� = 1
3
∠���,
∴ ∠���− ∠��� = 1
3
∠���,
∴ ∠��� = 2
3
∠���;
(2)∠� + ∠� = 35°,理由如下:
过点 G 作�� ∥ ��,如图③所示:
∵ ∠� + ∠� = 2∠��� = 70°,
∴ ∠� + ∠� = 70°, ∠��� = 35°,
∴ ∠1 + ∠2 = ∠��� = 35°,
∵ �� ∥ ��,�� ∥ ��,
∴ �� ∥ �� ∥ ��,
∴∠� = ∠� + ∠1, ∠� = ∠� + ∠2,
∴ ∠� + ∠� = ∠� + ∠1 + ∠� + ∠2,
∴ 70° = ∠� + ∠� + 35°,
∴ ∠� + ∠� = 35°.
3.【答案】(1)∠� = 80°;(2)∠� + ∠� − ∠��� = 180°,理由见解析
【分析】(1)过点 P 作��∥��,根据平行线的性质与判定可得∠� + ∠��� = 180°,根据∠��� =
∠��� + ∠���即可求解;
(2)过点 P 作��∥��,则��∥��,根据平行线的性质与判定可得∠� = ∠���,∠��� + ∠� =
180°,进而可得∠� + ∠� − ∠��� = 180°.
【详解】(1)如图①,过点 P 作��∥��,
∴∠��� = ∠� = 50°.
又∵��∥��,
∴��∥��,
∴∠� + ∠��� = 150° + ∠��� = 180°,
∴∠��� = 30°,
∴∠��� = ∠��� + ∠��� = 50° + 30° = 80°,即∠��� = 80°;
(2)如图②,过点 P 作��∥��,则��∥��,
∴∠� = ∠���,∠��� + ∠� = 180°.
∵∠��� = ∠��� − ∠���,
∴∠��� − ∠��� + ∠� = 180°,
∴∠� + ∠� − ∠��� = 180°.
4.【答案】(1)540°;(2)720°;(3) � + 1 × 180°
【分析】本题考查平行线的判定和性质,平行公理的推论,图形类规律探索,熟练掌握“两直
线平行,同旁内角互补”和“如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行”
是解题关键.
(1)过点 C 作�� ∥ ��,过点 D 作�� ∥ ��,根据平行公理的推论可得�� ∥ �� ∥ �� ∥ ��,
再根据平行线的性质可得∠� + ∠��� = 180°,∠��� + ∠��� = 180°,∠��� + ∠� = 180°,
即可求得∠� + ∠��� + ∠� = 360°;
(2)由(1)和(2)总结规律即可求解;
(3)根据所得规律可直接求解.
【详解】解:(1)如图,过点 C 作�� ∥ ��,过点 D 作�� ∥ ��,
∵�� ∥ ��,�� ∥ ��,
∴�� ∥ �� ∥ �� ∥ ��,
∴∠� + ∠��� = 180°,∠��� + ∠��� = 180°,∠��� + ∠� = 180°,
∴∠� + ∠��� + ∠��� + ∠��� + ∠��� + ∠� = 540°,
∴∠� + ∠� + ∠� + ∠� = 540°;
(2)由(1)可知在 A,C 两点的同一侧有 1个折点,其∠� + ∠��� + ∠� = 180° × 1 + 1 = 360°;
由(2)可知在 B,E 两点的同一侧有 2 个折点,其∠� + ∠� + ∠� + ∠� = 180° × 2 + 1 = 540°;
因为 B,F 两点的同一侧有 3个折点,
所以∠� + ∠� + ∠� + ∠� + ∠� = 180° × 3 + 1 = 720°;
(3)由(3)可知在 B,D 两点的同一侧有 n个折点,所以∠� + ∠�1 + ∠�2 +…+ ∠�� + ∠� =
� + 1 × 180°.
5.【答案】(1)∠� +∠��� + ∠� = 360°; ∠� + ∠� = ∠���,证明见解析;(2)∠��� = 135°;
(3)∠��� = 50°
【分析】本题考查的是平行公理的应用,平行线的性质,熟记平行线的性质,作出合适的辅助
线是解本题的关键;
(1)如图①,过�作直线��∥��,可得��∥��∥��,再利用平行线的性质可得结论;如图②,
过�作直线��∥��,可得��∥��∥��;
(2)如图③,延长��,��交于点�,过�作��∥��,证明��∥��∥��,再利用平行线的性质
可得答案;
(3)由(1)的结论可得:∠� = ∠��� + ∠���,∠� = ∠��� + ∠���,证明∠��� = 1
2
∠���,
∠��� = 1
2
∠���,结合 2∠� − ∠� = 75°可得结论.
【详解】解:(1)如图①,过�作直线��∥��,
而��∥��,
∴��∥��∥��,
∴∠� + ∠��� = 180°,∠� + ∠��� = 180°,
∴∠� + ∠��� + ∠��� + ∠� = 360°,
即∠� + ∠��� + ∠� = 360°;
如图②,过�作直线��∥��,
而��∥��,
∴��∥��∥��,
∴∠� = ∠���,∠� = ∠���,
∴∠� + ∠� = ∠��� + ∠��� = ∠���;
(2)如图③,延长��,��交于点�,过�作��∥��,
而��∥��,
∴��∥��∥��,
∴∠��� = ∠�,∠��� + ∠��� = 180°,
∵∠��� = 45°,��∥��,
∴∠��� = ∠� = 45°,
∴∠��� = 45°,
∵�� ⊥ ��,
∴∠��� = 90°,
∴∠��� = 90°,
∴∠��� = 45° + 90° = 135°;
(3)如图④,
由(1)的结论可得:∠� = ∠��� + ∠���,∠� = ∠��� + ∠���,
∵��和��分别平分∠���和∠���,
∴∠��� = 1
2
∠���,∠��� = 1
2
∠���,
∵2∠� − ∠� = 75°,
∴2∠��� + 2∠��� − ∠��� − ∠��� = 75°,
∴
3
2
∠��� = 75°,
∴∠��� = 50°.
6.【答案】问题情境:252°;
问题迁移: ∠���=∠� + ∠�,理由见解析;问题拓展:∠�1 + ∠�2 +…+ ∠�� = ∠�1 + ∠�2 +
…+ ∠��−1
【分析】问题情境:根据平行线的判定可得�� ∥ �� ∥ ��,再根据平行线的性质即可求解;
问题迁移:过�作�� ∥ ��,根据平行线的判定可得�� ∥ �� ∥ ��,再根据平行线的性质即可求
解;
问题拓展:分别过�2,�3…,��−1作直线∥ �1�,过�1,�2,…,��−1作直线∥ �1�,根据平行
线的判定和性质即可求解.
【详解】问题情境:解:如图 2,过�作�� ∥ ��,
∵ �� ∥ ��,
∴ �� ∥ �� ∥ ��,
∴ ∠��� + ∠��� = 180°,∠��� + ∠��� = 180°,
∵ ∠��� = 108°,
∴ ∠��� + ∠��� = 360° − 108° = 252°,
故答案为:252°;
问题迁移:∠��� = ∠� + ∠�,理由如下:
如图 3,过�作�� ∥ ��交��于�,
∵ �� ∥ ��,
∴ �� ∥ �� ∥ ��,
∴ ∠� = ∠���,∠� = ∠���,
∴ ∠��� = ∠��� + ∠��� = ∠� + ∠�;
问题拓展:如图:分别过�2,�3…,��−1作直线∥ �1�,过�1,�2,…,��−1作直线∥ �1�,
由平行线的性质和角的和差关系得∠�1 + ∠�2 +…+ ∠�� = ∠�1 + ∠�2 +…+ ∠��−1,
故答案为:∠�1 + ∠�2 +…+ ∠�� = ∠�1 + ∠�2 +…+ ∠��−1.
平行线中拐点问题
1.如图,已知��//��,∠� = 40°,∠� = 65°,则∠�的度数为( )
A.20° B.35° C.30° D.25°
2.(1)如图②,�� ∥ ��,�,�是��, ��之间的两点,当∠� − ∠� = 1
3
∠���时,请找出∠���
和∠���之间的数量关系 ;
【拓展延伸】
(2)如图③,�� ∥ ��, �, �, �均是��,��之间的点,如果∠� + ∠� = 2∠� = 70°,直接写出
∠� + ∠� = .
3.已知直线��∥��,P 为平面内一点,连接 PA,PD.
(1)如图①,若∠� = 50°,∠� = 150°,求∠�的度数;
(2)如图②,点 P 在 AB 上方,则∠�,∠�,∠���之间有何数量关系?请说明理由.
4.如图 1,�� ∥ ��,求∠� + ∠��� + ∠� = 360°.
(1)在图 2 中,�� ∥ ��,则∠� + ∠� + ∠� + ∠� =_______;
(2)根据(1)和(2)的规律,图 3 中�� ∥ ��,猜想:∠� + ∠� + ∠� + ∠� + ∠� =_______;
(3)如图 4,�� ∥ ��,在 B,D 两点的同一侧有�1,�2,�3,….��共 n 个折点,则∠� + ∠�1 +
∠�2 +…+ ∠�� + ∠�的度数为_______(用含 n 的代数式表示).
5.【阅读理解】“两条平行线被第三条直线所截”是平行线中的一个重要的“基本图形”.与平
行线有关的角都存在着这个“基本图形”中,当发现题目的图形“不完整”时要添加适当的辅助线
将其补充完整.将“非基本图形”转化为“基本图形”这体现了转化思想.
【建立模型】(1)如图①②已知��∥��,点�在直线��、��之间,请分别写出∠���与∠���、
∠���之间的关系,并对图②中的结论进行证明.
请用上面的结论解决下面的问题:
【解决问题】(2)如图是一盏可调节台灯,如图 3为示意图.固定支撑杆�� ⊥底座��于点�, ��
与��是分别可绕点�和�旋转的调节杆,台灯灯罩可绕点�旋转调节光线角度,在调节过程中,
最外侧光线��、��组成的∠��� = 45°始终保持不变.现调节台灯,使外侧光线��∥��, ��∥��,
求∠���的度数.
【拓展应用】(3)如图(4),已知��∥��, ��和��分别平分∠���和∠���,若 2∠� − ∠� = 75°,
求∠���的度数.
6.问题情境:如图 1,已知��∥��,∠��� = 108°.求∠��� + ∠���的度数.
经过思考,小敏的思路是:如图 2,过�作�� ∥ ��,根据平行线有关性质,可得
∠��� + ∠��� = .
问题迁移:如图 3,��∥��,点�在射线��上运动,∠��� = ∠�,∠��� = ∠�.
当点�在�、�两点之间运动时,∠���、∠�、∠�之间有何数量关系?请说明理由.
问题拓展:如图 4,��1∥���,�1 − �1 − �2 −…− ��−1 − ��是一条折线段.依据此图信息,
把你所发现的结论,用简洁的数学式子表达为 .