【高效学】平行线中标角法

2025-02-24
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资源信息

学段 初中
学科 数学
教材版本 初中数学人教版七年级下册
年级 七年级
章节 7.2.3 平行线的性质,小结
类型 作业-同步练
知识点 -
使用场景 同步教学-新授课
学年 2025-2026
地区(省份) 全国
地区(市) -
地区(区县) -
文件格式 ZIP
文件大小 2.78 MB
发布时间 2025-02-24
更新时间 2025-07-10
作者 学科网橙子学精品工作室
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审核时间 2025-02-24
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来源 学科网

内容正文:

平行线中标角法 1.如图,直线��∥��,点�、�分别是��、��上的点(点�在点�的右侧),点�为线段�� 上的一点(点�不与点�、�重合),点�为射线��上的一动点,连接��,过点�作��∥��, 且恰能使得��平分∠��� .若∠��� = 142°,则∠���和∠���的度数分别为( ) A.38°,76° B.38°,104° C.36°,142° D.36°,104° 2.如图,已知��∥��,∠� = ∠� = 100°,点 E、F在 BC上,OE平分∠���,且∠��� = ∠���.若 ∠��� = ∠���,则∠��� = °. 3.如图,直线��∥��,E为直线��上一点,��,��分别交直线��于点 F,M,��平分∠���, �� ⊥ ��,垂足为点 N,∠��� = α,∠��� = (用含α的式子表示). 4.如图,已知�� ∥ ��,点 E是��上方一点,点 M、N分别在直线��、��上,连结��、��、�� 平分∠���,��交��的反向延长线于点 G,若∠��� + ∠��� = 180°,且∠� + 2∠� = 102°, 则∠���度数为 . 5.如图,直线��∥��,直线��与��,��分别交于点�,�,∠��� = �(0° < � < 90°).将 一个含 30°角的直角三角板���按如图(1)放置,使点�,�分别在直线��,��上,且在点 �,�的右侧,∠� = 90°,∠��� = 60°,∠��� = 30°.若∠���的平分线��交直线��于点 O. (1)当�� ∥ ��,�� ∥ ��时,则� = . (2)将三角板���保持�� ∥ ��并向左平移,则在平移的过程中∠��� = .(用含 α的式子表示) 6.已知,��//��,∠� = ∠� = 100°,点�,�在��上,��平分∠���,且∠��� = ∠���,下 列结论正确得是: . ①��//��; ②∠��� = 45°; ③∠���: ∠��� = 1: 3; ④若∠��� = ∠���,则∠��� = 60°. 7.已知:直线��∥��,点�、�分别在直线��,��上,点�为平面内一点. (1)如图 1,猜想∠���,∠���,∠���的数量关系并说明理由. (2)利用(1)的结论解决问题:如图 2,已知∠��� = 40°,��平分∠���,��平分∠���,��∥��, 求∠���的度数. 8.已知:直线 AB∥CD,点 M,N 分别在直线 AB,CD 上,点 E 为平面内一点. (1)如图 1,∠BME,∠E,∠END 的数量关系为 ;(直接写出答案) (2)如图 2,∠BME=m°,EF 平分∠MEN,NP 平分∠END,EQ∥NP,求∠FEQ 的度数.(用 含 m 的式子表示) (3)如图 3,点 G 为 CD 上一点,∠BMN=n∠EMN,∠GEK=n∠GEM,EH∥MN 交 AB 于 点 H,探究∠GEK,∠BMN,∠GEH 之间的数量关系(用含 n 的式子表示) 9.已知,E、F分别是直线��和��上的点,�� ∥ ��,G、H在两条直线之间,且∠� = ∠�. (1)如图 1,试说明:∠��� = ∠���; (2)如图 2,将一 45°角∠���如图放置,��交��于 E,��交��于 F,设 K为��上一点,若∠��� = 1 2 ∠���,�� ∥ ��,判断∠���,∠���的数量关系,并说明理由; (3)如图 3,将∠��� = 180° � (n为大于 1的整数)如图放置,��交��于 E,��交��于 F,设 K 为��上一点,连接��,若∠��� = �∠���,则∠��� ∠��� = . 10.已知,��//��,∠� = ∠� = 108°,试解答下列问题: (1)如图①,则∠� =__________,则��与��的位置关系为__________ (2)如图②,若点 E、F在线段��上,且始终保持∠��� = ∠���,∠��� = ∠���.则∠��� 的度数等于__________; (3)在第(2)题的条件下,若平行移动��到图③所示 ①在��移动的过程中,∠���与∠���的数量关系是否发生改变,若不改变,求出它们之间的 数量关系;若改变,请说明理由. ②当∠��� = ∠���时,求∠���的度数. 平行线中标角法 1. 【答案】B 【分析】先证��∥��,再根据平行线的性质,角平分线的定义以及平角的定义即可求解. 【详解】解:∵ ��∥��,��∥��, ∴ ��∥��, ∴ ∠��� = 180° − ∠��� = 38°, ∵ ��平分∠���, ∴ ∠��� = ∠��� = 38°, ∵ ��∥��, ∴ ∠��� = ∠��� = 38°, ∴ ∠��� = 180° − ∠��� = 180° − 38° − 38° = 104°, 故选 B. 2. 【答案】60 【分析】通过平行线的性质和判定以及角平分线的定义相关知识证明出 ∠BOE=∠EOF=∠FOC=∠AOC,再求角即可. 【详解】解:∵BC∥OA,∠B=∠A=100°, ∴∠AOB=180°-∠B=80°, ∴∠A+∠AOB=180°, ∴OB∥AC. ∴∠ACO=∠BOC. ∵BC∥OA, ∴∠OEB=∠AOE, 又∵∠OEB=∠OCA, ∴∠OEB=∠OCA=∠AOE=∠BOC, ∴∠AOE-∠COE=∠BOC-∠COE, ∴∠BOE=∠AOC, ∵OE平分∠BOF,且∠FOC=∠AOC, ∴∠BOE=∠FOE=∠AOC=∠FOC=1 4 ∠AOB=20°. ∴∠OCA=∠BOC=3∠BOE=60°. 故答案为:60. 3.【答案】2� − 90° 【分析】本题考查了平行线的性质,角平分线的定义,垂线段最短的性质,熟记各性质并准确 识图是解题的关键.根据两直线平行,同位角相等表示出∠���,再根据角平分线的定义表示出 ∠���,然后表示出∠���,再根据直角三角形两锐角互余求解即可. 【详解】∵�� ∥ ��, ∴∠��� = ∠��� = �, ∵��平分∠���, ∴∠��� = 2∠��� = 2�, ∴∠��� = 180°—∠��� = 180° − 2�, 在 Rt △ ���中,∠��� = 90°—∠��� = 90° − (180° − 2�) = 2� − 90° 故答案为:2� − 90°. 4. 【答案】26°/26度 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定的综合运用,解决问题的关键是作辅助线构造内 错角,利用平行线的性质以及角的和差关系进行推算.设∠��� = �,∠��� = �,利用平行 线的性质以及角平分线的定义即可得出结论. 【详解】解:过点 G 作�� ∥ ��,设∠��� = �,∠��� = �, ∵ ��,��交于�,��平分∠���, ∴ ∠��� = ∠��� = ∠��� = �, ∴ ∠��� = 2�, ∵ �� ∥ ��, ∴ ∠��� = ∠��� = �, ∵ �� ∥ ��, ∴ ∠��� = ∠��� = 2�, ∵ �� ∥ �� ∥ ��, ∴ �� ∥ ��, ∴ ∠��� = ∠��� = �, ∴ ∠��� = � + �, ∵ ∠��� = 180°,��平分∠���, ∴ ∠��� = 180° − �,∠��� = 1 2 ∠��� = 90° − 1 2 �, ∵ �� ∥ �� ∥ ��, ∴ �� ∥ ��, ∴ ∠��� = ∠��� = 90° − 1 2 �, ∴ ∠��� = ∠��� −∠��� = 90° − 1 2 � − 2�,∠��� = � + �, ∵ 2∠��� + ∠� = 102°, ∴ 2(90° − 1 2 � − 2�) + � + � = 102°, ∴ � = 26°, 故答案为:26. 5.【答案】60°/60度;30° + 1 2 �或 60° − 1 2 � 【分析】(1)根据平行公理及平行线的性质可知∠��� = ∠��� = 60°,再利用角平分线的 定义及平行线的性质即可解答; (2)可分两种情况:点N在G的右侧时,点N在G的左侧时,根据平行线的性质可知∠��� = �, 再利用角平分线的定义及平行线的性质即可解答. 【详解】解:(1)∵ �� ∥ ��,�� ∥ ��, ∴ �� ∥ �� ∴ ∠��� = ∠��� ∵ ∠��� = 60°, ∴ ∠��� = ∠��� = 60° ∵NO平分∠���, ∴ ∠��� = ∠��� = 60° ∵ ��∥��, ∴ ∠��� = ∠��� = 60°. ∵ �� ∥ ��, ∴ ∠��� = ∠��� = 60°,即� = 60°; (2)当点�在�的右侧时,如图, ∵��∥��,∠��� = �, ∴∠��� = �, ∵∠��� = 60°, ∴∠��� = 60° + �, ∵��∥��, ∴∠��� = ∠��� = 60° + �, ∵��平分∠���, ∴∠��� = 1 2 ∠��� = 30° + 1 2 �, ∵��∥��, ∴∠��� = ∠��� = 30° + 1 2 �, 当点�在�的左侧时,如图, ∵��∥��,∠��� = �, ∴∠��� = �, ∴∠��� = 60° + �, ∵��∥��, ∴∠��� + ∠��� = 180°,∠��� = ∠���, ∵��平分∠���, ∴∠��� = 1 2 180° − 60° + � = 60° − 1 2 �, ∴∠��� = 60° − 1 2 �, 综上,∠���的度数为 30° + 1 2 �或 60° − 1 2 �. 6. 【答案】①④ 【分析】①由 BC∥OA,∠B=∠A=100°,∠AOB=∠ACB=180°-100°=80°,得到∠A+∠AOB=180°, 得出 OB∥AC.②OE平分∠BOF,得出∠FOE=∠BOE=1 2 ∠BOF,∠FOC=∠AOC=1 2 ∠AOF, 从而计算出∠EOC=∠FOE+∠FOC=40°.③由∠OCB=∠AOC,∠OFB=∠AOF=2∠AOC,得出 ∠OCB:∠OFB=1:2.④由∠OEB=∠OCA=∠AOE=∠BOC,得到∠AOE-∠COE=∠BOC-∠COE, ∠BOE=∠AOC,再得到∠BOE=∠FOE=∠FOC=∠AOC=1 4 ∠AOB=20°,从而计算出 ∠OCA=∠BOC=3∠BOE=60°. 【详解】解:∵BC∥OA,∠B=∠A=100°, ∴∠AOB=∠ACB=180°-100°=80°, ∴∠A+∠AOB=180°, ∴OB∥AC.故①正确; ∵OE平分∠BOF, ∴∠FOE=∠BOE=1 2 ∠BOF, ∴∠FOC=∠AOC=1 2 ∠AOF, ∴∠EOC=∠FOE+∠FOC=1 2 (∠BOF+∠AOF)=1 2 ×80°=40°.故②错误; ∵∠OCB=∠AOC,∠OFB=∠AOF=2∠AOC, ∴∠OCB:∠OFB=1:2.故③错误; ∵∠OEB=∠OCA=∠AOE=∠BOC, ∴∠AOE-∠COE=∠BOC-∠COE, ∴∠BOE=∠AOC, ∴∠BOE=∠FOE=∠FOC=∠AOC=1 4 ∠AOB=20°, ∴∠OCA=∠BOC=3∠BOE=60°.故④正确. 故答案为:①④. 7.【答案】(1)∠��� = ∠��� + ∠���,理由见解析;(2)20° 【分析】(1)过点 E作��′∥��,根据题意和平行线的判定得��′ ∥ �� ∥ ��,根据平行线的性 质得∠1 = ∠���,∠2 = ∠���,根据∠��� = ∠1 + ∠2,即可得; (2)根据题意得∠��� = 1 2 ∠���,∠��� = 1 2 ∠���,根据平行线的性质得∠��� = ∠��� = 1 2 ∠���,根据∠��� = ∠��� + ∠���得∠��� −∠��� = ∠��� = 40°,即可得∠��� = ∠��� − ∠���,进行计算即可; 【详解】(1)∠��� = ∠��� + ∠���,证明如下: 证明:如图 1所示,过点 E作��′∥��, ∵��∥��, ∴��′ ∥ �� ∥ ��, ∴∠1 = ∠���,∠2 = ∠���, ∵∠��� = ∠1 + ∠2, ∴∠��� = ∠��� + ∠���; (2)解:∵��平分∠���,��平分∠���, ∴∠��� = 1 2 ∠���,∠��� = 1 2 ∠���, ∵��∥��, ∴∠��� = ∠��� = 1 2 ∠���, ∵∠��� = ∠��� + ∠���, ∴∠���− ∠��� = ∠��� = 40°, ∴∠��� = ∠��� − ∠��� = 1 2 ∠��� − 1 2 ∠��� = 1 2 × 40° = 20°. 8.【答案】(1)∠E=∠BME+∠END;(2)1 2 m°;(3)∠GEK=∠BMN+n·∠GEH 【详解】试题分析:(1)过点 E 作 l∥AB,利用平行线的性质可得∠1=∠BME,∠2=∠DNE, 由∠MEN=∠1+∠2,等量代换可得结论;(2)利用角平分线的性质可得∠NEF=1 2 ∠MEN,∠ENP = 1 2 ∠END,由 EQ∥NP,可得∠QEN=∠ENP=1 2 ∠END,由(1)的结论可得∠MEN=∠BME+∠END, 等量代换得出结论;(3)由已知可得∠EMN=1 � ∠BMN,∠GEM=1 � ∠GEK,由 EH∥MN,可得 ∠HEM=∠ENM=1 � ∠BMN,因为∠GEH=∠GEM-∠HEM,等量代换得出结论. 试题解析: (1)如图 1,过点 E 作 l∥AB, ∵AB∥CD, ∴l∥AB∥CD, ∴∠1=∠BME,∠2=∠DNE, ∵∠MEN=∠1+∠2, ∴∠E=∠BME+∠END, 故答案为∠E=∠BME+∠END; (2)如图 2, ∵EF平分∠MEN,NP平分∠END, ∴∠NEF=1 2 ∠MEN,∠ENP=1 2 ∠END, ∵EQ∥NP, ∴∠QEN=∠ENP=1 2 ∠END, ∵∠MEN=∠BME+∠END, ∴∠MEN-∠END=∠BME=m°, ∴∠FEQ=∠NEF-∠NEQ=1 2 ∠MEN−1 2 ∠END=1 2 (∠MEN−∠END)=1 2 m°; (3)∠GEK=∠BMN+n∠GEH. 如图 3, ∵∠BMN=n•∠EMN,∠GEK=n•∠GEK, ∴∠EMN=1 � ∠BMN,∠GEM=1 � ∠GEK, ∵EH∥MN, ∴∠HEM=∠ENM=1 � ∠BMN, ∵∠GEH=∠GEM-∠HEM=1 � ∠GEK−1 � ∠BMN, ∴n∠GEH=∠GEK-∠BMN, 即∠GEK=∠BMN+n∠GEH. 9.【答案】(1)见详解 (2)∠��� − 2∠��� = 45°,理由见详解 (3) 1 �−1 【分析】本题主要考查平行线的性质和角度和差倍积关系. (1)作直线��交直线��于点 M,交直线��于点 Q,则∠��� = ∠���,那么,∠��� = ∠��� − ∠��� = ∠��� − ∠��� = ∠���; (2)延长��交直线��于点 M,则∠��� = ∠���,∠��� = ∠���,设∠��� = �,则∠��� = 2�, ∠��� = 45° − �,∠��� = 135° − 2�,∠��� = ∠��� = 135° − 2�,即有∠��� = 180° − ∠��� − ∠��� = 45° − �,故∠��� − 2∠��� = 45°; (3)作�� ∥ �� ∥ ��,则∠1 = ∠3,∠4 = ∠6,即∠7 = ∠6 = 1 � ∠5,且∠3 + ∠4 = 180° � ,即 180° − �∠3 = ∠5,进一步得∠2 = � − 1 ∠3,那么,∠��� ∠��� = 1 �−1 ,则有 ∠��� ∠��� = 1 �−1 . 【详解】(1)解:作直线��交直线��于点 M,交直线��于点 Q,如图 1, ∵�� ∥ ��, ∴∠��� = ∠���, ∵∠��� = ∠���, ∴∠��� = ∠��� − ∠��� = ∠��� − ∠��� = ∠���; (2)解:∠��� − 2∠��� = 45°,理由如下, 延长��交直线��于点 M,如图 2, ∵�� ∥ ��, ∴∠��� = ∠���, ∠��� = ∠���, 设∠��� = �, ∵∠��� = 1 2 ∠���,∠��� = 45°, ∴∠��� = 2�, ∠��� = 45° − �,∠��� = 180° − ∠��� − ∠��� = 135° − 2�, ∴∠��� = ∠��� = 135° − 2�, ∴∠��� = 180° − ∠��� − ∠��� = 180° − 135° + 2� − 3� = 45° − �, 即∠��� − 2∠��� = 45°; (3)解:作�� ∥ �� ∥ ��,如图 3, 则∠1 = ∠3,∠4 = ∠6, ∵∠��� = �∠���, ∴∠7 = ∠6 = 1 � ∠5, ∵∠��� = 180° � , ∴∠3 + ∠4 = 180° � , ∴∠3 = 180° � − 1 � ∠5, 即 180° − �∠3 = ∠5, ∵∠2 + ∠5 + ∠3 = 180°, ∴∠2 + 180° − �∠3 + ∠3 = 180°, ∴∠2 = � − 1 ∠3, ∴ ∠3 ∠2 = 1 �−1 , 即 ∠��� ∠��� = 1 �−1 , ∵∠3 = ∠1, ∴ ∠��� ∠��� = 1 �−1 , 故答案为: 1 �−1 . 10.【答案】(1)72°,平行;(2)36°;(3)①∠OCB=1 2 ∠OFB;②∠OCA=54°. 【分析】(1)根据平行线的性质得出∠B+∠O=180°,求出∠O=72°,求出∠O+∠A=180°,根 据平行线的判定得出即可; (2)根据角平分线定义求出∠��� = 1 2 ∠��� = 36°,即可得出答案; (3)①不变,求出∠OFB=2∠OCB,即可得出答案; ②设∠BOE=∠EOF=α,∠FOC=∠COA=β,求出∠OCA=∠BOC=2α+β,α=β=18°,即可得出答案. 【详解】解:(1)∵BC∥OA, ∴∠B+∠O=180°, ∵∠B=108°, ∴∠O=72°, ∵∠A=108°, ∴∠O+∠A=180°, ∴OB∥AC, 故答案为:72°,平行; (2)∵∠FOC=∠AOC, ∠��� = ∠���,∠BOA=72°, ∴∠��� = ∠��� + ∠��� = 1 2 ∠��� + 1 2 ∠��� = 1 2 ∠��� = 36°, 故答案为:36°; (3)①不变, ∵BC∥OA, ∴∠OCB=∠AOC, 又∵∠FOC=∠AOC, ∴∠FOC=∠OCB, 又∵BC∥OA, ∴∠OFB=∠FOA=2∠FOC, ∴∠OFB=2∠OCB, 即∠OCB:∠OFB=1:2. 即∠OCB=1 2 ∠OFB; ②由(1)知:OB∥AC, ∴∠OCA=∠BOC, 由(2)可以设:∠BOE=∠EOF=α,∠FOC=∠COA=β, ∴∠OCA=∠BOC=2α+β 由(1)知:BC∥OA, ∴∠OEB=∠EOA=α+β+β=α+2β ∵∠OEB=∠OCA ∴2α+β=α+2β ∴α=β ∵∠AOB=72°, ∴α=β=18° ∴∠OCA=2α+β=36°+18°=54°.

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