内容正文:
平行线中标角法
1.如图,直线��∥��,点�、�分别是��、��上的点(点�在点�的右侧),点�为线段��
上的一点(点�不与点�、�重合),点�为射线��上的一动点,连接��,过点�作��∥��,
且恰能使得��平分∠��� .若∠��� = 142°,则∠���和∠���的度数分别为( )
A.38°,76° B.38°,104° C.36°,142° D.36°,104°
2.如图,已知��∥��,∠� = ∠� = 100°,点 E、F在 BC上,OE平分∠���,且∠��� = ∠���.若
∠��� = ∠���,则∠��� = °.
3.如图,直线��∥��,E为直线��上一点,��,��分别交直线��于点 F,M,��平分∠���,
�� ⊥ ��,垂足为点 N,∠��� = α,∠��� = (用含α的式子表示).
4.如图,已知�� ∥ ��,点 E是��上方一点,点 M、N分别在直线��、��上,连结��、��、��
平分∠���,��交��的反向延长线于点 G,若∠��� + ∠��� = 180°,且∠� + 2∠� = 102°,
则∠���度数为 .
5.如图,直线��∥��,直线��与��,��分别交于点�,�,∠��� = �(0° < � < 90°).将
一个含 30°角的直角三角板���按如图(1)放置,使点�,�分别在直线��,��上,且在点
�,�的右侧,∠� = 90°,∠��� = 60°,∠��� = 30°.若∠���的平分线��交直线��于点 O.
(1)当�� ∥ ��,�� ∥ ��时,则� = .
(2)将三角板���保持�� ∥ ��并向左平移,则在平移的过程中∠��� = .(用含
α的式子表示)
6.已知,��//��,∠� = ∠� = 100°,点�,�在��上,��平分∠���,且∠��� = ∠���,下
列结论正确得是: .
①��//��;
②∠��� = 45°;
③∠���: ∠��� = 1: 3;
④若∠��� = ∠���,则∠��� = 60°.
7.已知:直线��∥��,点�、�分别在直线��,��上,点�为平面内一点.
(1)如图 1,猜想∠���,∠���,∠���的数量关系并说明理由.
(2)利用(1)的结论解决问题:如图 2,已知∠��� = 40°,��平分∠���,��平分∠���,��∥��,
求∠���的度数.
8.已知:直线 AB∥CD,点 M,N 分别在直线 AB,CD 上,点 E 为平面内一点.
(1)如图 1,∠BME,∠E,∠END 的数量关系为 ;(直接写出答案)
(2)如图 2,∠BME=m°,EF 平分∠MEN,NP 平分∠END,EQ∥NP,求∠FEQ 的度数.(用
含 m 的式子表示)
(3)如图 3,点 G 为 CD 上一点,∠BMN=n∠EMN,∠GEK=n∠GEM,EH∥MN 交 AB 于
点 H,探究∠GEK,∠BMN,∠GEH 之间的数量关系(用含 n 的式子表示)
9.已知,E、F分别是直线��和��上的点,�� ∥ ��,G、H在两条直线之间,且∠� = ∠�.
(1)如图 1,试说明:∠��� = ∠���;
(2)如图 2,将一 45°角∠���如图放置,��交��于 E,��交��于 F,设 K为��上一点,若∠��� =
1
2
∠���,�� ∥ ��,判断∠���,∠���的数量关系,并说明理由;
(3)如图 3,将∠��� = 180°
�
(n为大于 1的整数)如图放置,��交��于 E,��交��于 F,设 K
为��上一点,连接��,若∠��� = �∠���,则∠���
∠���
= .
10.已知,��//��,∠� = ∠� = 108°,试解答下列问题:
(1)如图①,则∠� =__________,则��与��的位置关系为__________
(2)如图②,若点 E、F在线段��上,且始终保持∠��� = ∠���,∠��� = ∠���.则∠���
的度数等于__________;
(3)在第(2)题的条件下,若平行移动��到图③所示
①在��移动的过程中,∠���与∠���的数量关系是否发生改变,若不改变,求出它们之间的
数量关系;若改变,请说明理由.
②当∠��� = ∠���时,求∠���的度数.
平行线中标角法
1. 【答案】B
【分析】先证��∥��,再根据平行线的性质,角平分线的定义以及平角的定义即可求解.
【详解】解:∵ ��∥��,��∥��,
∴ ��∥��,
∴ ∠��� = 180° − ∠��� = 38°,
∵ ��平分∠���,
∴ ∠��� = ∠��� = 38°,
∵ ��∥��,
∴ ∠��� = ∠��� = 38°,
∴ ∠��� = 180° − ∠��� = 180° − 38° − 38° = 104°,
故选 B.
2. 【答案】60
【分析】通过平行线的性质和判定以及角平分线的定义相关知识证明出
∠BOE=∠EOF=∠FOC=∠AOC,再求角即可.
【详解】解:∵BC∥OA,∠B=∠A=100°,
∴∠AOB=180°-∠B=80°,
∴∠A+∠AOB=180°,
∴OB∥AC.
∴∠ACO=∠BOC.
∵BC∥OA,
∴∠OEB=∠AOE,
又∵∠OEB=∠OCA,
∴∠OEB=∠OCA=∠AOE=∠BOC,
∴∠AOE-∠COE=∠BOC-∠COE,
∴∠BOE=∠AOC,
∵OE平分∠BOF,且∠FOC=∠AOC,
∴∠BOE=∠FOE=∠AOC=∠FOC=1
4
∠AOB=20°.
∴∠OCA=∠BOC=3∠BOE=60°.
故答案为:60.
3.【答案】2� − 90°
【分析】本题考查了平行线的性质,角平分线的定义,垂线段最短的性质,熟记各性质并准确
识图是解题的关键.根据两直线平行,同位角相等表示出∠���,再根据角平分线的定义表示出
∠���,然后表示出∠���,再根据直角三角形两锐角互余求解即可.
【详解】∵�� ∥ ��,
∴∠��� = ∠��� = �,
∵��平分∠���,
∴∠��� = 2∠��� = 2�,
∴∠��� = 180°—∠��� = 180° − 2�,
在 Rt △ ���中,∠��� = 90°—∠��� = 90° − (180° − 2�) = 2� − 90°
故答案为:2� − 90°.
4. 【答案】26°/26度
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定的综合运用,解决问题的关键是作辅助线构造内
错角,利用平行线的性质以及角的和差关系进行推算.设∠��� = �,∠��� = �,利用平行
线的性质以及角平分线的定义即可得出结论.
【详解】解:过点 G 作�� ∥ ��,设∠��� = �,∠��� = �,
∵ ��,��交于�,��平分∠���,
∴ ∠��� = ∠��� = ∠��� = �,
∴ ∠��� = 2�,
∵ �� ∥ ��,
∴ ∠��� = ∠��� = �,
∵ �� ∥ ��,
∴ ∠��� = ∠��� = 2�,
∵ �� ∥ �� ∥ ��,
∴ �� ∥ ��,
∴ ∠��� = ∠��� = �,
∴ ∠��� = � + �,
∵ ∠��� = 180°,��平分∠���,
∴ ∠��� = 180° − �,∠��� = 1
2
∠��� = 90° − 1
2
�,
∵ �� ∥ �� ∥ ��,
∴ �� ∥ ��,
∴ ∠��� = ∠��� = 90° − 1
2
�,
∴ ∠��� = ∠��� −∠��� = 90° − 1
2
� − 2�,∠��� = � + �,
∵ 2∠��� + ∠� = 102°,
∴ 2(90° − 1
2
� − 2�) + � + � = 102°,
∴ � = 26°,
故答案为:26.
5.【答案】60°/60度;30° + 1
2
�或 60° − 1
2
�
【分析】(1)根据平行公理及平行线的性质可知∠��� = ∠��� = 60°,再利用角平分线的
定义及平行线的性质即可解答;
(2)可分两种情况:点N在G的右侧时,点N在G的左侧时,根据平行线的性质可知∠��� = �,
再利用角平分线的定义及平行线的性质即可解答.
【详解】解:(1)∵ �� ∥ ��,�� ∥ ��,
∴ �� ∥ ��
∴ ∠��� = ∠���
∵ ∠��� = 60°,
∴ ∠��� = ∠��� = 60°
∵NO平分∠���,
∴ ∠��� = ∠��� = 60°
∵ ��∥��,
∴ ∠��� = ∠��� = 60°.
∵ �� ∥ ��,
∴ ∠��� = ∠��� = 60°,即� = 60°;
(2)当点�在�的右侧时,如图,
∵��∥��,∠��� = �,
∴∠��� = �,
∵∠��� = 60°,
∴∠��� = 60° + �,
∵��∥��,
∴∠��� = ∠��� = 60° + �,
∵��平分∠���,
∴∠��� = 1
2
∠��� = 30° + 1
2
�,
∵��∥��,
∴∠��� = ∠��� = 30° + 1
2
�,
当点�在�的左侧时,如图,
∵��∥��,∠��� = �,
∴∠��� = �,
∴∠��� = 60° + �,
∵��∥��,
∴∠��� + ∠��� = 180°,∠��� = ∠���,
∵��平分∠���,
∴∠��� = 1
2
180° − 60° + � = 60° − 1
2
�,
∴∠��� = 60° − 1
2
�,
综上,∠���的度数为 30° + 1
2
�或 60° − 1
2
�.
6. 【答案】①④
【分析】①由 BC∥OA,∠B=∠A=100°,∠AOB=∠ACB=180°-100°=80°,得到∠A+∠AOB=180°,
得出 OB∥AC.②OE平分∠BOF,得出∠FOE=∠BOE=1
2
∠BOF,∠FOC=∠AOC=1
2
∠AOF,
从而计算出∠EOC=∠FOE+∠FOC=40°.③由∠OCB=∠AOC,∠OFB=∠AOF=2∠AOC,得出
∠OCB:∠OFB=1:2.④由∠OEB=∠OCA=∠AOE=∠BOC,得到∠AOE-∠COE=∠BOC-∠COE,
∠BOE=∠AOC,再得到∠BOE=∠FOE=∠FOC=∠AOC=1
4
∠AOB=20°,从而计算出
∠OCA=∠BOC=3∠BOE=60°.
【详解】解:∵BC∥OA,∠B=∠A=100°,
∴∠AOB=∠ACB=180°-100°=80°,
∴∠A+∠AOB=180°,
∴OB∥AC.故①正确;
∵OE平分∠BOF,
∴∠FOE=∠BOE=1
2
∠BOF,
∴∠FOC=∠AOC=1
2
∠AOF,
∴∠EOC=∠FOE+∠FOC=1
2
(∠BOF+∠AOF)=1
2
×80°=40°.故②错误;
∵∠OCB=∠AOC,∠OFB=∠AOF=2∠AOC,
∴∠OCB:∠OFB=1:2.故③错误;
∵∠OEB=∠OCA=∠AOE=∠BOC,
∴∠AOE-∠COE=∠BOC-∠COE,
∴∠BOE=∠AOC,
∴∠BOE=∠FOE=∠FOC=∠AOC=1
4
∠AOB=20°,
∴∠OCA=∠BOC=3∠BOE=60°.故④正确.
故答案为:①④.
7.【答案】(1)∠��� = ∠��� + ∠���,理由见解析;(2)20°
【分析】(1)过点 E作��′∥��,根据题意和平行线的判定得��′ ∥ �� ∥ ��,根据平行线的性
质得∠1 = ∠���,∠2 = ∠���,根据∠��� = ∠1 + ∠2,即可得;
(2)根据题意得∠��� = 1
2
∠���,∠��� = 1
2
∠���,根据平行线的性质得∠��� = ∠��� =
1
2
∠���,根据∠��� = ∠��� + ∠���得∠��� −∠��� = ∠��� = 40°,即可得∠��� =
∠��� − ∠���,进行计算即可;
【详解】(1)∠��� = ∠��� + ∠���,证明如下:
证明:如图 1所示,过点 E作��′∥��,
∵��∥��,
∴��′ ∥ �� ∥ ��,
∴∠1 = ∠���,∠2 = ∠���,
∵∠��� = ∠1 + ∠2,
∴∠��� = ∠��� + ∠���;
(2)解:∵��平分∠���,��平分∠���,
∴∠��� = 1
2
∠���,∠��� = 1
2
∠���,
∵��∥��,
∴∠��� = ∠��� = 1
2
∠���,
∵∠��� = ∠��� + ∠���,
∴∠���− ∠��� = ∠��� = 40°,
∴∠��� = ∠��� − ∠���
=
1
2
∠��� −
1
2
∠���
=
1
2
× 40°
= 20°.
8.【答案】(1)∠E=∠BME+∠END;(2)1
2
m°;(3)∠GEK=∠BMN+n·∠GEH
【详解】试题分析:(1)过点 E 作 l∥AB,利用平行线的性质可得∠1=∠BME,∠2=∠DNE,
由∠MEN=∠1+∠2,等量代换可得结论;(2)利用角平分线的性质可得∠NEF=1
2
∠MEN,∠ENP
=
1
2
∠END,由 EQ∥NP,可得∠QEN=∠ENP=1
2
∠END,由(1)的结论可得∠MEN=∠BME+∠END,
等量代换得出结论;(3)由已知可得∠EMN=1
�
∠BMN,∠GEM=1
�
∠GEK,由 EH∥MN,可得
∠HEM=∠ENM=1
�
∠BMN,因为∠GEH=∠GEM-∠HEM,等量代换得出结论.
试题解析:
(1)如图 1,过点 E 作 l∥AB,
∵AB∥CD,
∴l∥AB∥CD,
∴∠1=∠BME,∠2=∠DNE,
∵∠MEN=∠1+∠2,
∴∠E=∠BME+∠END,
故答案为∠E=∠BME+∠END;
(2)如图 2,
∵EF平分∠MEN,NP平分∠END,
∴∠NEF=1
2
∠MEN,∠ENP=1
2
∠END,
∵EQ∥NP,
∴∠QEN=∠ENP=1
2
∠END,
∵∠MEN=∠BME+∠END,
∴∠MEN-∠END=∠BME=m°,
∴∠FEQ=∠NEF-∠NEQ=1
2
∠MEN−1
2
∠END=1
2
(∠MEN−∠END)=1
2
m°;
(3)∠GEK=∠BMN+n∠GEH.
如图 3,
∵∠BMN=n•∠EMN,∠GEK=n•∠GEK,
∴∠EMN=1
�
∠BMN,∠GEM=1
�
∠GEK,
∵EH∥MN,
∴∠HEM=∠ENM=1
�
∠BMN,
∵∠GEH=∠GEM-∠HEM=1
�
∠GEK−1
�
∠BMN,
∴n∠GEH=∠GEK-∠BMN,
即∠GEK=∠BMN+n∠GEH.
9.【答案】(1)见详解
(2)∠��� − 2∠��� = 45°,理由见详解
(3) 1
�−1
【分析】本题主要考查平行线的性质和角度和差倍积关系.
(1)作直线��交直线��于点 M,交直线��于点 Q,则∠��� = ∠���,那么,∠��� = ∠��� −
∠��� = ∠��� − ∠��� = ∠���;
(2)延长��交直线��于点 M,则∠��� = ∠���,∠��� = ∠���,设∠��� = �,则∠��� =
2�, ∠��� = 45° − �,∠��� = 135° − 2�,∠��� = ∠��� = 135° − 2�,即有∠��� = 180° −
∠��� − ∠��� = 45° − �,故∠��� − 2∠��� = 45°;
(3)作�� ∥ �� ∥ ��,则∠1 = ∠3,∠4 = ∠6,即∠7 = ∠6 = 1
�
∠5,且∠3 + ∠4 = 180°
�
,即 180° −
�∠3 = ∠5,进一步得∠2 = � − 1 ∠3,那么,∠���
∠���
= 1
�−1
,则有
∠���
∠���
= 1
�−1
.
【详解】(1)解:作直线��交直线��于点 M,交直线��于点 Q,如图 1,
∵�� ∥ ��,
∴∠��� = ∠���,
∵∠��� = ∠���,
∴∠��� = ∠��� − ∠��� = ∠��� − ∠��� = ∠���;
(2)解:∠��� − 2∠��� = 45°,理由如下,
延长��交直线��于点 M,如图 2,
∵�� ∥ ��,
∴∠��� = ∠���, ∠��� = ∠���,
设∠��� = �,
∵∠��� = 1
2
∠���,∠��� = 45°,
∴∠��� = 2�, ∠��� = 45° − �,∠��� = 180° − ∠��� − ∠��� = 135° − 2�,
∴∠��� = ∠��� = 135° − 2�,
∴∠��� = 180° − ∠��� − ∠��� = 180° − 135° + 2� − 3� = 45° − �,
即∠��� − 2∠��� = 45°;
(3)解:作�� ∥ �� ∥ ��,如图 3,
则∠1 = ∠3,∠4 = ∠6,
∵∠��� = �∠���,
∴∠7 = ∠6 = 1
�
∠5,
∵∠��� = 180°
�
,
∴∠3 + ∠4 = 180°
�
,
∴∠3 = 180°
�
− 1
�
∠5,
即 180° − �∠3 = ∠5,
∵∠2 + ∠5 + ∠3 = 180°,
∴∠2 + 180° − �∠3 + ∠3 = 180°,
∴∠2 = � − 1 ∠3,
∴
∠3
∠2
= 1
�−1
,
即
∠���
∠���
= 1
�−1
,
∵∠3 = ∠1,
∴
∠���
∠���
= 1
�−1
,
故答案为:
1
�−1
.
10.【答案】(1)72°,平行;(2)36°;(3)①∠OCB=1
2
∠OFB;②∠OCA=54°.
【分析】(1)根据平行线的性质得出∠B+∠O=180°,求出∠O=72°,求出∠O+∠A=180°,根
据平行线的判定得出即可;
(2)根据角平分线定义求出∠��� = 1
2
∠��� = 36°,即可得出答案;
(3)①不变,求出∠OFB=2∠OCB,即可得出答案;
②设∠BOE=∠EOF=α,∠FOC=∠COA=β,求出∠OCA=∠BOC=2α+β,α=β=18°,即可得出答案.
【详解】解:(1)∵BC∥OA,
∴∠B+∠O=180°,
∵∠B=108°,
∴∠O=72°,
∵∠A=108°,
∴∠O+∠A=180°,
∴OB∥AC,
故答案为:72°,平行;
(2)∵∠FOC=∠AOC, ∠��� = ∠���,∠BOA=72°,
∴∠��� = ∠��� + ∠��� = 1
2
∠��� + 1
2
∠��� = 1
2
∠��� = 36°,
故答案为:36°;
(3)①不变,
∵BC∥OA,
∴∠OCB=∠AOC,
又∵∠FOC=∠AOC,
∴∠FOC=∠OCB,
又∵BC∥OA,
∴∠OFB=∠FOA=2∠FOC,
∴∠OFB=2∠OCB,
即∠OCB:∠OFB=1:2.
即∠OCB=1
2
∠OFB;
②由(1)知:OB∥AC,
∴∠OCA=∠BOC,
由(2)可以设:∠BOE=∠EOF=α,∠FOC=∠COA=β,
∴∠OCA=∠BOC=2α+β
由(1)知:BC∥OA,
∴∠OEB=∠EOA=α+β+β=α+2β
∵∠OEB=∠OCA
∴2α+β=α+2β
∴α=β
∵∠AOB=72°,
∴α=β=18°
∴∠OCA=2α+β=36°+18°=54°.