精品解析：贵州省六盘水市2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试题

六盘水市2024-2025学年度第一学期期末质量监测 高二年级数学试题卷 （考试时长：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.答题前，务必在答题卡上填写姓名和准考证号等相关信息并贴好条形码. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试题卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列特征数中，刻画一组数据离散程度的是（ ） A 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 2 已知复数，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 3. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知空间向量，，若，则实数的值是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，①②③④不可能是函数或（其中且）的部分图象的是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 6. 直三棱柱中，，，点是的中点，则直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知直线被圆截得的弦长为，则（ ） A. 或3 B. 2 C. 或5 D. 4 8. “环境就是民生，青山就是美丽，蓝天就是幸福”，随着经济的发展和社会的进步，人们的环保意识日益增强.某化工厂产生的废气中污染物的含量为，排放前每过滤一次，该污染物的含量都会减少30%，当地环保部门要求废气中该污染物的含量不能超过，若要使该工厂排放的废气达标，那么废气排放前需要过滤的次数至少为（ ）（参考数据：，） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. ， D. “”是“”的充要条件 10. 函数部分图象如图所示，则（ ） A. B. 函数是奇函数 C. 函数在区间上单调递增 D. 函数的图象的对称轴方程为， 11. 曲线（且）的两个焦点为，，过焦点且不垂直于坐标轴的直线交于两点，则（ ） A. 当时，的渐近线方程为 B. 当时，的周长为 C. 若存在最大值为，则的离心率为 D. 当时，若弦的垂直平分线过点，则 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知，则______. 13. 已知抛物线的焦点为F，点在抛物线上，若，则______. 14. 已知某圆台的母线长为13，一个半径为6的球恰好与此圆台的各个面均相切，则这个圆台的体积为______. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 为了解某学校的学生周末对体育频道的观看情况，从观看了体育频道的学生中随机抽取100名进行调查，发现他们的观看时长都在40~100分钟之间，据此绘制出学生观看体育频道所用时长的频率分布直方图如下. （1）求频率分布直方图中x的值； （2）为了解学生对体育频道的喜好程度，用按比例分配的分层抽样方法从观看时长在内的学生中抽取5人作进一步分析，再从这5人中随机抽取2人进行访谈，求这2人的观看时长在内的概率. 16. 如图，在中，，，. （1）求； （2）若，求点C到直线BD的距离. 17. 如图，在四棱锥P-ABCD中，平面平面ABCD，，，，，，M是线段BD上的动点. （1）求证：； （2）设直线PM与平面ABCD所成角为，求的最大值. 18. 已知直线与相交于点，且. （1）求点的轨迹的方程； （2）若直线与交于两点，以线段为直径的圆经过坐标原点. （ⅰ）证明：直线与圆相切； （ⅱ）求面积的最小值. 19 已知函数. （1）证明：函数在区间上单调递减； （2）在如图的坐标系中画出函数的大致图象，并求方程的所有实数根之和； （3）求不等式的解集的区间长度之和. 附：①区间的长度为；②若关于x的方程有n个实数根为，，…，，则. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 六盘水市2024-2025学年度第一学期期末质量监测 高二年级数学试题卷 （考试时长：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.答题前，务必在答题卡上填写姓名和准考证号等相关信息并贴好条形码. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试题卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列特征数中，刻画一组数据离散程度的是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 【答案】D 【解析】 【分析】利用数字特征的含义求解即可. 【详解】平均数、中位数、众数是描述一组数据集中趋势的量， 方差是衡量一组数据偏离其平均数的大小的量，即刻画一组数据离散程度. 故选：D. 2. 已知复数，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由复数模计算公式可得答案. 【详解】因，则. 故选：C 3. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出集合A，然后由交集运算可得. 【详解】因为， 所以. 故选：B 4. 已知空间向量，，若，则实数的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件，利用空间向量垂直的坐标表示，即可求解. 【详解】因为，， 又，所以，解得， 故选：D. 5. 如图，①②③④不可能是函数或（其中且）的部分图象的是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】B 【解析】 【分析】分析指数函数和对数函数的特征，得到答案. 【详解】指数函数（其中且）恒过点，且与轴无交点， 当时，单调递增，当时，单调递减； 对数函数（其中且）恒过点，与轴无交点， 当时，单调递增，当时，单调递减； 可以看出②过点，与轴有交点，不合要求，其他均满足要求. 故选：B 6. 直三棱柱中，，，点是的中点，则直线与所成角的余弦值为（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件，建立空间直角坐标系，求出，再利用线线角的向量法，即可求解. 【详解】由题可建立，以为坐标原点的空间直角坐标系，如图所示， 因为，点是的中点，所以， 则， 设直线与所成的角为，则， 故选：C. 7. 已知直线被圆截得的弦长为，则（ ） A. 或3 B. 2 C. 或5 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由题可得到圆心距离，由点到直线距离公式可得答案. 【详解】， 则圆心坐标为：，半径为4.又因弦长为， 则圆心到弦距离满足. 则由点到直线距离公式可得：或. 故选：C 8. “环境就是民生，青山就是美丽，蓝天就是幸福”，随着经济的发展和社会的进步，人们的环保意识日益增强.某化工厂产生的废气中污染物的含量为，排放前每过滤一次，该污染物的含量都会减少30%，当地环保部门要求废气中该污染物的含量不能超过，若要使该工厂排放的废气达标，那么废气排放前需要过滤的次数至少为（ ）（参考数据：，） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】由题意得到不等式，解不等式，求出答案. 【详解】当过滤的次数为时，废气中该污染物的含量为， 故，即，两边取对数得， 即，解得， 故废气排放前需要过滤的次数至少为5次. 故选：D 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列命题中正确是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. ， D. “”是“”的充要条件 【答案】BC 【解析】 【分析】A选项，举出反例得到A错误；B选项，由基本不等式求出最小值；C选项，举出实例；D选项，，则，必要性不成立，D错误. 【详解】A选项，若，满足若，但，，A错误； B选项，若，由基本不等式得， 当且仅当，即时，等号成立，B正确； C选项，当时，，故，，C正确； D选项，，充分性成立， ，则，必要性不成立，D错误. 故选：BC 10. 函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. 函数是奇函数 C. 函数在区间上单调递增 D. 函数的图象的对称轴方程为， 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，由图可得的最小正周期，即可判断选项正误；对于B，由A分析验证奇偶性即可判断选项正误；对于C，令，由，可得所对应区间A，由在A上的单调性可判断选项正误；对于D，由与图象关系可判断选项正误. 【详解】对于A，由图可得的最小正周期为，则， 故A正确. 对于B，由A分析，， 则为奇函数，故B正确； 对于C，因，则， 因在上单调递增，则函数在区间上单调递增，故C正确； 对于D，图象相当于将图象在x轴下方的部分图象沿x轴向上翻折后得到 的图形，则除了原来的对称轴外，过与x轴交点且与x轴垂直的直线也变为了 对称轴，则的对称轴满足：或， 得对称轴方程为：或，即，故D错误. 故选：ABC 11. 曲线（且）的两个焦点为，，过焦点且不垂直于坐标轴的直线交于两点，则（ ） A. 当时，的渐近线方程为 B. 当时，的周长为 C. 若存在最大值为，则的离心率为 D. 当时，若弦的垂直平分线过点，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，根据选项条件，直接求出渐近线方程，即可求解；对于B，根据选项条件，利用椭圆的定义，即可求解；对于C，分和两种情况讨论，当，利用双曲线定义知，不合题意，当时，利用椭圆的定义及基本不等式，即可求解；对于D，利用双曲线的定义及垂直平分线的性质，即可求解. 【详解】对于选项A，当，曲线，其渐近线方程为，所以选项A错误， 对于选项B，当时，曲线，则， 易知的周长为，所以选项B正确， 对于选项C，当时，曲线是双曲线，焦点在上， 设，， 则，又，得到，所以， 当在左支上时，，， 则，此时无最大值，不合题意， 当在右支上时，，， 则，此时无最大值，不合题意， 当时，曲线表示椭圆， 又，当且仅当取等号，所以，得到， 所以的离心率为，故选项C正确， 对于选项D，当时，曲线表示双曲线，且焦点在轴上，， 因为弦的垂直平分线过点，则，且在两支上，不妨设在左支上， 则①，②，由①②得到，所以选项D正确， 故选：BCD. 【点晴】方法点晴：在椭圆与双曲线中，涉及跟焦点有关的问题，常用定义来解决. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知，则______. 【答案】##0.625 【解析】 【分析】利用余弦二倍角公式得到答案. 【详解】. 故答案为： 13. 已知抛物线的焦点为F，点在抛物线上，若，则______. 【答案】或 【解析】 【分析】由抛物线定义结合题意可得答案. 【详解】因点在抛物线上，则，又抛物线准线为， ，由抛物线定义可得或. 则或 故答案：或 14. 已知某圆台的母线长为13，一个半径为6的球恰好与此圆台的各个面均相切，则这个圆台的体积为______. 【答案】 【解析】 【分析】作出辅助线，根据条件，得到方程，求出上下底面的半径，从而利用台体体积公式求出答案. 【详解】如图，球内切于圆台，故与上下底面的切点为，与侧面切于点， 则，， 设，则①， 过点作⊥于点，则，， 由勾股定理得， 又，故②， 由①②得， 所以圆台的上底面面积为，下底面面积为， 圆台的高为， 故圆台的体积为. 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 为了解某学校的学生周末对体育频道的观看情况，从观看了体育频道的学生中随机抽取100名进行调查，发现他们的观看时长都在40~100分钟之间，据此绘制出学生观看体育频道所用时长的频率分布直方图如下. （1）求频率分布直方图中x的值； （2）为了解学生对体育频道的喜好程度，用按比例分配的分层抽样方法从观看时长在内的学生中抽取5人作进一步分析，再从这5人中随机抽取2人进行访谈，求这2人的观看时长在内的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由每个矩形对应频率之和为1可得答案； （2）由列举法可得答案. 【小问1详解】 由题 【小问2详解】 由（1）可知观看时长在内对应频率为，内对应频率为. 则5人中，观看时长在内的有，设为， 在内的有2人，设为. 则从5人中随机抽取2人的情况有：共10种， 其中2人的观看时长在内的情况有3种，则所求概率为. 16. 如图，在中，，，. （1）求； （2）若，求点C到直线BD的距离. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题及余弦定理可得AC，然后再由正弦定理可得答案； （2）由题可得三角形面积，根据结合向量知识可得BD长度，最后由三角形BDC面积为三角形ABD面积2倍可得答案. 【小问1详解】 因，，，由余弦定理， ，则. 又由正弦定理，， 结合， 则. 【小问2详解】 由（1）， 又，则，得， 则， 又由，可得，设点C到直线BD的距离为h， 则. 17. 如图，在四棱锥P-ABCD中，平面平面ABCD，，，，，，M是线段BD上的动点. （1）求证：； （2）设直线PM与平面ABCD所成的角为，求的最大值. 【答案】（1）证明见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）通过证明平面PAD可完成证明； （2）过A点做平面ABCD的垂线，建立以A原点的空间直角坐标系，设，由空间向量知识可得关于的表达式，即可得答案. 【小问1详解】 因平面平面ABCD，，平面平面ABCD， 平面ABCD，则平面PAD，又平面PAD，则； 【小问2详解】 由（1）可得平面PAD，过A做AD的垂线，设垂线交PD为E， 连接AE，则AB，AD，AE两两垂直.如图建立以A为原点的空间直角坐标系， 由题目数据可得：. 设，其中，则， 又，，则. 由题可得平面ABCD的法向量可取， 则， 则当时，取最小值，则. 即的最大值为. 18. 已知直线与相交于点，且. （1）求点的轨迹的方程； （2）若直线与交于两点，以线段为直径的圆经过坐标原点. （ⅰ）证明：直线与圆相切； （ⅱ）求面积的最小值. 【答案】（1） （2）（i）证明见解析；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据条件得到和，再结合，即可求解； （2）（i）当当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立曲线方程，通过消得到，从而得到，结合条件得到，再利用直线与圆的位置关系，即可求解；（ii）利用弦长公式，结合（i）中结果，得到，令，得到，利用基本不等式，即可求解. 【小问1详解】 当时，由，得到，当时，由，得到， 又，得到，整理得到， 当时，，满足，所以点的轨迹的方程为. 【小问2详解】 （ⅰ）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，， 由，消得到， 则，且， 又， 因为以线段为直径的圆经过坐标原点，则，得到， 所以，即，整理得到， 又原点到直线的距离为，此时直线与圆相切， 当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，由， 得到，只有一个交点，不合题意， 综上，直线与圆相切. （ⅱ）因为，由（ⅰ）可得， 又，得到， 所以面积为， 令，则，所以， 当且仅当，即或（舍）时取等号， 所以面积的最小值为. 【点晴】关键点点晴，本题的关键在于第（2）中的（i）问，利用韦达定理，结合条件得到，再利用间的关系，结合条件，即可求解. 19. 已知函数. （1）证明：函数在区间上单调递减； （2）在如图的坐标系中画出函数的大致图象，并求方程的所有实数根之和； （3）求不等式的解集的区间长度之和. 附：①区间的长度为；②若关于x的方程有n个实数根为，，…，，则. 【答案】（1）证明见解析； （2）图像见解析；9； （3）2025. 【解析】 【分析】（1）由单调性定义可完成证明； （2）分析的单调性及零点情况可画出大致图像，将分式方程通分，可得方程的根，即为的根，其中为将分式方程通分后的分子，结合附②可得答案； （3）类比（1）（2）可得的解集为：，其中为方程的根，然后类似于（2）结合附①可得答案. 【小问1详解】 取任意，， 则 ， 因，， 则， 得， 则函数在区间上单调递减； 【小问2详解】 由题， 其定义域为， 则在递减， 又注意到，， ， 则在上各有一个零点，据此可得大致图像如下： ，将该式通分，设分子部分为， 则， 则方程的根，即为的根. 设，则，由两部分构成， 第一部分为中的2次项系数， 为，第二部分为中的2次项系数，设为m. 令，可得方程对应3根为. 又易知该式展开式3次项系数为，3根之和为6， 则由附②可得，即. 则由附②可得所有实数根的和为：， 即方程的所有实数根之和为. 【小问3详解】 由（1）（2）类比可知，在上单调递减， 在上各有一个零点，及大致图像. 则的解集为：， 其中为方程的根， 则不等式的解集的区间长度之和为：. ，将该式通分，设分子部分为. 则 . 则方程的根，即为的根. 设，则， 由两部分构成，第一部分为中的8次项系数， 为，第二部分为中的8次项系数，设为n. 令，可得方程对应9根为 又易知该式展开式9次项系数为，9根之和为45，则由附②可得，即. 则由附②可得的所有实数根的和为：， 即方程的所有实数根之和为，则不等式的解集的区间长度之和为： . 【点睛】关键点睛：对于陌生函数的图像，常常以单调性，零点作为突破口去研究；附②涉及内容与高次方程韦达定理有关，是韦达定理在n次方程中的推广. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$