第17章 一元二次方程 单元测试-2024-2025学年八年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（沪科版）

1 第 17 章 一元二次方程 单元测试 总分：120 分 考生姓名： 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准 考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第17章。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。 1．下列方程中是一元二次方程的是（ ） A． 2 1 0x - = B． 2 1y x  C． 2 1 0x   D． 1 1x x   2．若关于 x的方程 2 2 0x kx   的一个根是1，则 k的值是（ ） A． 1 B．1 C． 3 D．3 3．已知关于 x的一元二次方程   2 21 2 3 2 0m x mx m m      的常数项为0，则m的值为（ ） A．2 B． 1 ， 2 C．1，2 D．1 4．用配方法解一元二次方程 2 8 10 0x x   ，下列变形正确的是（ ） A．  28 54x   B．  28 6x   C．  24 6x    D．  24 6x   5．如果一元二次方程 23 2 0x x  的两根为 1x ， 2x ，则 1 2x x 的值等于（ ） A． 2 B．0 C． 2 3 D． 2 3  6．一元二次方程 2 4 6 0x x   的根的情况是（ ） A．有两个相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个不相等的实数根 D．不能确定 2 7．若关于x的一元二次方程 2 2 0x x p   两根为 1x ， 2x ，且 1 2 1 1 5 x x   ，则p的值为（ ） A． 2 5  B． 2 5 C． 10 D．10 8．2024年12月24日是中国人民志愿军抗美援朝中取得长津湖战役胜利74周年的日子!电影《长津湖》 以长津湖战役为背景，讲述了在极寒严酷环境下，中国人民志愿军东线作战部队凭着钢铁意志和英勇 无畏的战斗精神，扭转战场态势，为长津湖战役胜利作出重要贡献的故事、某影院上映《长津湖》第 一天票房达到3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，第三天单日票房收入为5.07亿元，若设增长 率为 x，则方程可以列为（ ） A．  3 1 5.07x  B．  23 1 5.07x  C．  23 3 1 5.07x   D．    23 3 1 3 1 5.07x x     9．已知关于 x的方程  2 12 1 4 0 2 x k x k         ，若等腰 ABCV 的一边长为4，另外两边 ,b c恰好是这 个方程的两个实数根，则 ABCV 的周长是( ) A．8 B．10 C．8或10 D．无法计算 10．已知 2a  ， 2 2 2 0m am   ， 2 2 2 0n an   ，且m n ，则 2 2( 1) ( 1)m n   的最小值是 （ ） A．6 B．3 C． 3 D．0 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分． 11．若   13 5 0mm x x    是关于 x的一元二次方程，则m的值为 ． 12．若 a是方程 2 2 1 0x x   的解，则代数式 23 6 2024a a   的值为 ． 13．如图，某小区计划在一块长为32m，宽为 20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地 上种植草坪，使草坪的面积为 2666m ，若设道路的宽为 mx ，则所列的方程为 ． 3 14．若关于x的方程 2 0ax bx c   的解是 1 3x  ， 2 5x   ，则关于y的方程    21 1 0a y b y c     的 解是 ． 三、解答题：本题共 9 小题，共 64 分． 15．解方程： (1) 23 1 0x x   ． (2) 2 7 10 0x x   ． 16．解一元二次方程 2 2 3 0x x   时，小马和小虎两位同学的解法如下： 小马的解法： 2 2 3x x  ① 2 2 1 3x x   ②  21 3x   ③ 1 3  x ④ ∴ 1 1 3x   ， 2 1 3x   ⑤ 小虎的解法： 1a  ， 2b   ， 3c   ① ∵    22 4 2 4 1 3 4 12 8 0b ac              ② ∴原方程无实数根③ (1)小马的解法从第______步开始错；小虎的解法从第______步开始错； (2)请你用喜欢的方法求解此方程． 17．已知关于x的一元二次方程 2 2 0x x m   ，若该方程的两个实数根分别为α，β，且 2 5   ， 求m的值． 4 18．已知关于 x的一元二次方程 ( )2 1 2 2 0x m x m- + + - = （m为常数）． (1)若方程的一个根为1，求m的值及方程的另一个根； (2)求证：不论m为何值时，方程总有两个实数根． 19．如图，这是2024年12月的月历表，用虚线方框按如图所示的方法任意圈出四个数，设这四个数从 小到大依次为a，b，c，d，请解答下列问题． (1)若用 x表示最小的数 a，则b  ，c  ， d  （用含 x的式子表示）． (2)若虚线方框中的最大数与最小数的乘积与这四个数的和为656，求最小的数． 20．已知关于 x的一元二次方程 2 3 0x x m   有两个不相等的实数根． (1)求m的取值范围； (2)若 1x ， 2x 是这个方程的两个根，且 2 2 1 2 21x x  ，求m的值． 5 21．商场某种新商品每件的进价是120元，在试销期间发现，当每件商品售价为130元时，每天可销售 70件，当每件商品售价高于130元时，每涨价1元，日销售量就减少1件．据此规律，请回答： (1)当每件商品售价定为170元时，每天可销售_______件商品，商场获得的日盈利是________元； (2)在上述条件不变的情况下，每件商品的售价定为多少元时，商场日盈利可达到1600元？ 22．我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：如果关于 x的方程 2 0x px q   的两个根是 1 2x x， ，那么由求根公式可推出 1 2x x p   ， 1 2x x q  ，请根据这一结论，解决下列问题： (1)若 ， 是方程 2 3 1 0x x   的两根，则   ______，    ______； (2)已知 a b， 满足 2 5 3 0a a   ， 2 5 3 0b b   ，求 a b b a  的值； (3)已知 a b c， ， 满足 0a b c   ， 5abc  ，求正整数 c的最小值． 23．阅读材料：若关于x的一元二次方程 2 0(a 0)   ax bx c 的根均为整数，则称方程为“快乐方程” 通过计算发现，任何一个“快乐方程”的判别式 2 4b ac   一定为完全平方数．现规定 24( , , ) 4 ac bF a b c a   为该“快乐方程”的“快乐数”．例如“快乐方程” 2 3 4 0x x   ，的两根均为整 数．其“快乐数” 24 1 ( 4) ( 3) 25(1, 3, 4) 4 1 4 F           ． (1)“快乐方程” 2 2 3 0x x   的“快乐数”为_________； (2)若关于x的一元二次方程 2 2(2 1) 2 3 0x m x m m      （m为整数，且1 6m  ）是“快乐方程”，求m 的值，并求该方程的“快乐数”； (3)若有另一个“快乐方程” 2 0( 0)px qx r p    的“快乐数” ( , , )F p q r ．且满足 ( , , ) ( , , ) 0r F a b c c F p q r    ，则称 ( , , )F a b c 与 ( , , )F p q r 互为“开心数”．若关于x的一元二次方程 2 1 0x mx m    与 2 ( 2) 2 0x n x n    （m、n均为整数）都是“快乐方程”，且其“快乐数”互为“开 心数”，求n的值． 第17章 一元二次方程 单元测试 总分：120分 考生姓名： 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第17章。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。 1．下列方程中是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．若关于的方程的一个根是1，则的值是（   ） A． B．1 C． D．3 3．已知关于的一元二次方程的常数项为0，则m的值为（   ） A．2 B．， C．1，2 D．1 4．用配方法解一元二次方程，下列变形正确的是（    ） A． B． C． D． 5．如果一元二次方程的两根为，，则的值等于（   ） A． B． C． D． 6．一元二次方程的根的情况是（ ） A．有两个相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个不相等的实数根 D．不能确定 7．若关于x的一元二次方程两根为，，且，则p的值为（   ） A． B． C． D．10 8．2024年12月24日是中国人民志愿军抗美援朝中取得长津湖战役胜利74周年的日子!电影《长津湖》以长津湖战役为背景，讲述了在极寒严酷环境下，中国人民志愿军东线作战部队凭着钢铁意志和英勇无畏的战斗精神，扭转战场态势，为长津湖战役胜利作出重要贡献的故事、某影院上映《长津湖》第一天票房达到3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，第三天单日票房收入为5.07亿元，若设增长率为，则方程可以列为（   ） A． B． C． D． 9．已知关于的方程，若等腰的一边长为4，另外两边恰好是这个方程的两个实数根，则的周长是(   ) A．8 B．10 C．8或10 D．无法计算 10．已知，，，且，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分． 11．若是关于的一元二次方程，则的值为 ． 12．若是方程的解，则代数式的值为 ． 13．如图，某小区计划在一块长为，宽为的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为，若设道路的宽为，则所列的方程为 ． 14．若关于x的方程的解是，，则关于y的方程的解是 ． 三、解答题：本题共9小题，共64分． 15．解方程： (1)． (2)． 16．解一元二次方程时，小马和小虎两位同学的解法如下： 小马的解法： ① ② ③ ④ ∴，⑤ 小虎的解法： ，，① ∵② ∴原方程无实数根③ (1)小马的解法从第______步开始错；小虎的解法从第______步开始错； (2)请你用喜欢的方法求解此方程． 17．已知关于x的一元二次方程，若该方程的两个实数根分别为α，β，且，求m的值． 18．已知关于的一元二次方程（为常数）． (1)若方程的一个根为1，求的值及方程的另一个根； (2)求证：不论为何值时，方程总有两个实数根． 19．如图，这是2024年12月的月历表，用虚线方框按如图所示的方法任意圈出四个数，设这四个数从小到大依次为a，b，c，d，请解答下列问题． (1)若用表示最小的数，则 ， ， （用含的式子表示）． (2)若虚线方框中的最大数与最小数的乘积与这四个数的和为656，求最小的数． 20．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若，是这个方程的两个根，且，求的值． 21．商场某种新商品每件的进价是元，在试销期间发现，当每件商品售价为元时，每天可销售件，当每件商品售价高于元时，每涨价元，日销售量就减少件．据此规律，请回答： (1)当每件商品售价定为元时，每天可销售_______件商品，商场获得的日盈利是________元； (2)在上述条件不变的情况下，每件商品的售价定为多少元时，商场日盈利可达到元？ 22．我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：如果关于的方程的两个根是，那么由求根公式可推出，，请根据这一结论，解决下列问题： (1)若是方程的两根，则______，______； (2)已知满足，，求的值； (3)已知满足，，求正整数的最小值． 23．阅读材料：若关于x的一元二次方程的根均为整数，则称方程为“快乐方程”通过计算发现，任何一个“快乐方程”的判别式一定为完全平方数．现规定为该“快乐方程”的“快乐数”．例如“快乐方程”，的两根均为整数．其“快乐数”． (1)“快乐方程”的“快乐数”为_________； (2)若关于x的一元二次方程（m为整数，且）是“快乐方程”，求m的值，并求该方程的“快乐数”； (3)若有另一个“快乐方程”的“快乐数”．且满足，则称与互为“开心数”．若关于x的一元二次方程与（m、n均为整数）都是“快乐方程”，且其“快乐数”互为“开心数”，求n的值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第17章 一元二次方程 单元测试 总分：120分 考生姓名： 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第17章。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。 1．下列方程中是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程．根据一元二次方程的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．该方程是一元二次方程，故本选项符合题意； B．该方程是二元二次方程，故本选项不符合题意； C．该方程是一元一次方程，故本选项不符合题意； D．该方程是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； 故选：A． 2．若关于的方程的一个根是1，则的值是（   ） A． B．1 C． D．3 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的根，理解一元二次方程的根的定义是解题的关键．根据题意把代入方程计算，即可求解． 【详解】解：的方程的一个根是1 解得： 故选：D． 3．已知关于的一元二次方程的常数项为0，则m的值为（   ） A．2 B．， C．1，2 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程的概念及解法，结合题意，根据一元二次方程的性质，分别得、，通过求解即可得到答案． 【详解】∵是一元二次方程， ∴， ∴， 根据题意，得， ∴， ∴或， ∵是一元二次方程， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 4．用配方法解一元二次方程，下列变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题的关键．利用配方法配方即可． 【详解】解：， 移项，得：， 配方，得：， 即：， 故选：D． 5．如果一元二次方程的两根为，，则的值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握：若、是一元二次方程的两个实数根，则，．据此解答即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为，， ∴， ∴的值等于． 故选：B． 6．一元二次方程的根的情况是（ ） A．有两个相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个不相等的实数根 D．不能确定 【答案】B 【分析】根据方程的根的判别式解答即可． 本题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键． 【详解】解：∵方程， ∴ 故没有实数根， 故选：B． 7．若关于x的一元二次方程两根为，，且，则p的值为（   ） A． B． C． D．10 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若方程的两实数根为，则．根据一元二次方程根与系数的关系得到，然后通分，，从而得到关于p的方程，解方程即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程两根为，， ∴， ， 而， ， ，经检验符合题意； 故选：A． 8．2024年12月24日是中国人民志愿军抗美援朝中取得长津湖战役胜利74周年的日子!电影《长津湖》以长津湖战役为背景，讲述了在极寒严酷环境下，中国人民志愿军东线作战部队凭着钢铁意志和英勇无畏的战斗精神，扭转战场态势，为长津湖战役胜利作出重要贡献的故事、某影院上映《长津湖》第一天票房达到3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，第三天单日票房收入为5.07亿元，若设增长率为，则方程可以列为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．由该地第一天的票房及以后每天的增长率，可得出第二、三天的票房，根据三天后票房收入达5.07亿元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：某影院第一天票房约3亿元，且以后每天票房的增长率为， 第二天票房约亿元，第三天票房约亿元， 依题意得：. 故选：B． 9．已知关于的方程，若等腰的一边长为4，另外两边恰好是这个方程的两个实数根，则的周长是(   ) A．8 B．10 C．8或10 D．无法计算 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式、三角形三边关系、等腰三角形的定义分为腰长以及底边长两种情况．①等为腰长时，将代入原方程可求出值，将值代入原方程解方程可得出底边长，再利用三角形的三边关系验证后可得出结论；②当为底边长时，根据根的判别式即可求出值，将值代入原方程解方程可得出腰长，再利用三角形的三边关系验证后即可得出结论．综上即可得出结论． 【详解】解：①若为腰，则、中必有一个与之相等，不妨设 为方程的一根 将代入，解得 ， 原方程为 ， 周长为 ②若为底，则、为腰，即 方程有两相等实根，即： ，解得： 原方程为：   即 ， ，，不能构成三角形． 综上，三角形的周长为． 故选：B． 10．已知，，，且，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，配方法的应用，利用根与系数的关系找出是解题的关键．由题意可知、关于的方程的两根，根据根与系数的关系可得出，，将其代入中即可求出结论． 【详解】解：由已知得：、是关于的方程的两根， 由韦达定理得：，， ， 又， 当时，取得最小值，最小值为：， 故选：A． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分． 11．若是关于的一元二次方程，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程，根据一元二次方程的定义，可知且，由此即可求得m的值． 【详解】解：由题意可知，且， 解得或， ∴， 故答案为：． 12．若是方程的解，则代数式的值为 ． 【答案】2021 【分析】本题主要考查一元二次方程的根，代入求值，理解并掌握一元二次方程的根是解题的关键． 利用整体代入的思想解决问题即可． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 13．如图，某小区计划在一块长为，宽为的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为，若设道路的宽为，则所列的方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是利用平移把不规则的图形变为规则图形，进而列出方程．六块矩形空地正好能拼成一个矩形，设道路的宽为，根据草坪的面积是，即可列出方程． 【详解】解：设道路的宽为，根据题意得：， 故答案是：． 14．若关于x的方程的解是，，则关于y的方程的解是 ． 【答案】， 【分析】本题考查了一元二次方程的解，由关于x的一元二次方程的解是，，可得出关于的方程的解为或，解之即可得出结论． 【详解】解：∵关于x的方程的解是，， ∴关于的方程的解为或， 解得：或， ∴关于y的方程的解为，． 故答案为：，． 三、解答题：本题共9小题，共64分． 15．解方程： (1)． (2)． 【答案】(1)， (2)，． 【分析】本题考查解一元二次方程，正确计算是解题的关键： （1）根据公式法分解因式即可； （2）根据因式分解法分解因式即可． 【详解】（1）解： ， ∴， ∴，； （2）解： ∴， ∴或， ∴，． 16．解一元二次方程时，小马和小虎两位同学的解法如下： 小马的解法： ① ② ③ ④ ∴，⑤ 小虎的解法： ，，① ∵② ∴原方程无实数根③ (1)小马的解法从第______步开始错；小虎的解法从第______步开始错； (2)请你用喜欢的方法求解此方程． 【答案】(1)②；② (2)， 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．也考查了因式分解法解一元二次方程． （1）利用因式分解法解方程可对小马的解法进行判断；根据根的判别式的计算可判断小虎的解法进行判断； （2）利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程． 【详解】（1）小马的解法从第②步开始错；小虎的解法从第②步开始错； （2）， ， 或， 所以，． 17．已知关于x的一元二次方程，若该方程的两个实数根分别为α，β，且，求m的值． 【答案】 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，． 【详解】解：方程的两个实数根分别为，， 由根与系数的关系可知，，. ， ，即， 解得， ， . 18．已知关于的一元二次方程（为常数）． (1)若方程的一个根为1，求的值及方程的另一个根； (2)求证：不论为何值时，方程总有两个实数根． 【答案】(1)，另一个根为2 (2)证明见解析 【分析】本题主要考查方程根的定义、解一元二次方程及根的判别式，由方程根的情况得到判别式的符号是解题的关键． （1）把代入方程可求得的值，再解方程可求得另一根； （2）由方程根的情况可得到关于的不等式，即可证明． 【详解】（1）解：把代入方程可得， 解得， 当时，原方程为， 解得， 即方程的另一根为2； （2），，， ， 不论为何值时，方程总有两个实数根． 19．如图，这是2024年12月的月历表，用虚线方框按如图所示的方法任意圈出四个数，设这四个数从小到大依次为a，b，c，d，请解答下列问题． (1)若用表示最小的数，则 ， ， （用含的式子表示）． (2)若虚线方框中的最大数与最小数的乘积与这四个数的和为656，求最小的数． 【答案】(1) (2)最小的数为20 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据等量关系列方程是解题的关键． （1）观察日历表即可推出； （2）根据最大数与最小数的乘积与这四个数的和为656，列出方程即可推理． 【详解】（1）解：观察图形可得， 故答案为：； （2）解：设最小的数为，则． 由题意可得，整理得， 解得（舍去）， 最小的数为20． 20．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若，是这个方程的两个根，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系， （1）根据题意可知，再解不等式可得出结论； （2）先根据一元二次方程根与系数的关系得，，再将原式整理为，然后代入计算即可． 【详解】（1）解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， ， ， 故的取值范围为； （2）解：方程的两个根分别为， ，， ， ， 解得， 故的值为． 21．商场某种新商品每件的进价是元，在试销期间发现，当每件商品售价为元时，每天可销售件，当每件商品售价高于元时，每涨价元，日销售量就减少件．据此规律，请回答： (1)当每件商品售价定为元时，每天可销售_______件商品，商场获得的日盈利是________元； (2)在上述条件不变的情况下，每件商品的售价定为多少元时，商场日盈利可达到元？ 【答案】(1)； (2)当每件商品的售价定为元时，商场日盈利可达到元 【分析】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是掌握一元二次方程方应用，根据题意，得到等量关系，列出方程，进行解答，即可． （1）根据题意，可得每天可销售商品数量，然后可求出日盈利； （2）设每件商品的售价定为元，列出方程，进行解答，即可． 【详解】（1）解：∵当每件商品售价为元时，每天可销售件，当每件商品售价高于元时，每涨价元，日销售量就减少件， ∴当每件商品售价定为元时，比每件商品销售高（元） ∴每天可销售（件），商场获得的日盈利为：（元）； 故答案为：；． （2）解：设每件商品的售价定为元， ∴每件商品的利润为：元，每天销售的商品数量为：（件）， ∴， ∴， 解得：， ∴当每件商品的售价定为元时，商场日盈利可达到元． 22．我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：如果关于的方程的两个根是，那么由求根公式可推出，，请根据这一结论，解决下列问题： (1)若是方程的两根，则______，______； (2)已知满足，，求的值； (3)已知满足，，求正整数的最小值． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】（）根据题意解答即可； （）分和两种情况解答即可； （）由已知可，，可得为一元二次方程的两个根，进而由解答即可求解； 本题考查了一元二次方程根和系数的关系，根的判别式，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，，， 故答案为：，； （2）解：∵满足，， 当时，原式； 当时，可看作方程的两根， ∴，， ∴原式； 综上，的值为或； （3）解：∵，， ∴，， ∴为一元二次方程的两个根， ∵，且， ∴， ∴， ∴正整数的最小值为． 23．阅读材料：若关于x的一元二次方程的根均为整数，则称方程为“快乐方程”通过计算发现，任何一个“快乐方程”的判别式一定为完全平方数．现规定为该“快乐方程”的“快乐数”．例如“快乐方程”，的两根均为整数．其“快乐数”． (1)“快乐方程”的“快乐数”为_________； (2)若关于x的一元二次方程（m为整数，且）是“快乐方程”，求m的值，并求该方程的“快乐数”； (3)若有另一个“快乐方程”的“快乐数”．且满足，则称与互为“开心数”．若关于x的一元二次方程与（m、n均为整数）都是“快乐方程”，且其“快乐数”互为“开心数”，求n的值． 【答案】(1) (2)， (3)n的值为0或3 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式以及“快乐方程”的定义，读懂题目中“快乐方程”， “快乐数”的定义是解题的关键． （1）根据“快乐数”的定义即可求出“快乐方程”的“快乐数”； （2）先计算，根据“快乐方程”的定义，得到为完全平方数，根据，得到，即可求出或36，根据m为整数，即可求出m的值，即可求其“快乐数”； （3）关于x的一元二次方程是“快乐方程”，即可求出m的值，求出方程的“快乐数”，根据“开心数”的定义即可求出n的值． 【详解】（1）解：方程的“快乐数为：， 故答案为：； （2）解：方程， ∴， ∵， ∴， 又方程是“快乐方程”， ∴或36， ∴，（舍去）， ∴方程为：， 则， 故其“快乐数”数是； （3）解：， ∴， 设， 则， 又与同奇偶， ∴或或或 解得或， ∴方程为：或； ， ∴， ， 当时， ∵两方程的“快乐数”互为“开心数”， ∴， 解得：或（舍去）， 当时，， ∵两方程的“快乐数”互为“开心数”， ∴， 解得， 综上，n的值为0或3． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$1 第 17 章 一元二次方程 单元测试 总分：120 分 考生姓名： 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准 考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第17章。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。 1．下列方程中是一元二次方程的是（ ） A． 2 1 0x - = B． 2 1y x  C． 2 1 0x   D． 1 1x x   【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含 有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程．根据一元二次方程 的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．该方程是一元二次方程，故本选项符合题意； B．该方程是二元二次方程，故本选项不符合题意； C．该方程是一元一次方程，故本选项不符合题意； D．该方程是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； 故选：A． 2．若关于 x的方程 2 2 0x kx   的一个根是1，则 k的值是（ ） A． 1 B．1 C． 3 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的根，理解一元二次方程的根的定义是解题的关键．根据题意把 2 1x  代入方程计算，即可求解． 【详解】解： x 的方程 2 2 0x kx   的一个根是1 1 2 0k    解得： 3k  故选：D． 3．已知关于 x的一元二次方程   2 21 2 3 2 0m x mx m m      的常数项为0，则m的值为（ ） A．2 B． 1 ， 2 C．1，2 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程的概念及解法，结合 题意，根据一元二次方程的性质，分别得 1 0m   、 2 3 2 0m m   ，通过求解即可得到答案． 【详解】∵   2 21 2 3 2 0m x mx m m      是一元二次方程， ∴ 1 0m   ， ∴ 1m  ， 根据题意，得 2 3 2 0m m   ， ∴   1 2 0m m   ， ∴ 1m  或 2m  ， ∵   2 21 2 3 2 0m x mx m m      是一元二次方程， ∴ 1 0m   ， ∴ 1m  ， ∴ 2m  ， 故选：A． 4．用配方法解一元二次方程 2 8 10 0x x   ，下列变形正确的是（ ） A．  28 54x   B．  28 6x   C．  24 6x    D．  24 6x   【答案】D 【分析】本题考查利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题的关键．利用配方法配方即可． 【详解】解： 2 8 10 0x x   ， 移项，得： 2 8 10x x   ， 配方，得： 2 8 16 10 16x x     ， 即：  24 6x   ， 故选：D． 3 5．如果一元二次方程 23 2 0x x  的两根为 1x ， 2x ，则 1 2x x 的值等于（ ） A． 2 B．0 C． 2 3 D． 2 3  【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握：若 1x 、 2x 是一元二次方程  2 0 0ax bx c a    的两个实数根，则 1 2 bx x a    ， 1 2 cx x a   ．据此解答即可． 【详解】解：∵一元二次方程 23 2 0x x  的两根为 1x ， 2x ， ∴ 1 2 0 0 3 x x   ， ∴ 1 2x x 的值等于0． 故选：B． 6．一元二次方程 2 4 6 0x x   的根的情况是（ ） A．有两个相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个不相等的实数根 D．不能确定 【答案】B 【分析】根据方程的根的判别式 2 24 4 4 1 6<0b ac       解答即可． 本题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键． 【详解】解：∵方程 2 4 6 0x x   ， ∴ 2 24 4 4 1 6<0b ac       故 2 4 6 0x x   没有实数根， 故选：B． 7．若关于x的一元二次方程 2 2 0x x p   两根为 1x ， 2x ，且 1 2 1 1 5 x x   ，则p的值为（ ） A． 2 5  B． 2 5 C． 10 D．10 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程 2 0(a 0)   ax bx c 根与系数的关系：若方程的两实数根为 1 2,x x ， 则 1 2 1 2, bx x x x a     c a  ．根据一元二次方程 2 0(a 0)   ax bx c 根与系数的关系得到 1 2 1 2 2 2, 1 x x x x p       ，然后通分， 1 1 x  1 2 2 1 2 1 2x x x x x p     ，从而得到关于p的方程，解方程即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程 2 2 0x x p   两根为 1x ， 2x ， 4 ∴ 1 2 1 2 2 2, 1 x x x x p       ， 1 2 1 2 1 2 1 1 2x x x x x x p       ， 而 1 2 1 1 5 x x   ， 2 5 p    ， 2 5 p   ，经检验符合题意； 故选：A． 8．2024年12月24日是中国人民志愿军抗美援朝中取得长津湖战役胜利74周年的日子!电影《长津湖》 以长津湖战役为背景，讲述了在极寒严酷环境下，中国人民志愿军东线作战部队凭着钢铁意志和英勇 无畏的战斗精神，扭转战场态势，为长津湖战役胜利作出重要贡献的故事、某影院上映《长津湖》第 一天票房达到3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，第三天单日票房收入为5.07亿元，若设增长 率为 x，则方程可以列为（ ） A．  3 1 5.07x  B．  23 1 5.07x  C．  23 3 1 5.07x   D．    23 3 1 3 1 5.07x x     【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题 的关键．由该地第一天的票房及以后每天的增长率，可得出第二、三天的票房，根据三天后票房收入 达5.07亿元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：某影院第一天票房约3亿元，且以后每天票房的增长率为 x， 第二天票房约3(1 )x 亿元，第三天票房约 23(1 )x 亿元， 依题意得：  23 1 5.07x  . 故选：B． 9．已知关于 x的方程  2 12 1 4 0 2 x k x k         ，若等腰 ABCV 的一边长为4，另外两边 ,b c恰好是这 个方程的两个实数根，则 ABCV 的周长是( ) A．8 B．10 C．8或10 D．无法计算 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式、三角形三边关系、等腰三角形的定义分 a为腰长 5 以及底边长两种情况．①等 a为腰长时，将 4x  代入原方程可求出 k值，将 k值代入原方程解方程可 得出底边长，再利用三角形的三边关系验证后可得出结论；②当 a为底边长时，根据根的判别式 0  即可求出 k值，将 k值代入原方程解方程可得出腰长，再利用三角形的三边关系验证后即可得出结 论．综上即可得出结论． 【详解】解：①若 a为腰，则b、c中必有一个与之相等，不妨设 4a b  b 为方程  2 12 1 4 0 2 x k x k         的一根 将 4x  代入  2 12 1 4 0 2 x k x k         ，解得 5 2 k  ， 原方程为 2 6 8 0x x    1 2  4 2x x ，  4a b  ， 2c   周长为10 ②若 a为底，则b、c为腰，即b c  方程  2 12 1 4 0 2 x k x k         有两相等实根，即：  2 12 1 4 4 0) ) 2 ( (k k       ，解得： 3 2 k = 原方程为： 2 4 4 0x x   即 1 2 2x x  2b c   ， 2 ， 2， 4不能构成三角形． 综上，三角形 ABC的周长为10． 故选：B． 10．已知 2a  ， 2 2 2 0m am   ， 2 2 2 0n an   ，且m n ，则 2 2( 1) ( 1)m n   的最小值是 （ ） A．6 B．3 C． 3 D．0 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，配方法的应用，利用根与系数的关系找出  22 2( 1) ( 1) 2 1 3m n a      是解题的关键．由题意可知m、 n关于 x的方程 2 2 2 0x ax   的两根， 根据根与系数的关系可得出 2m n a  ， 2mn  ，将其代入    22 2( 1) ( 1) 2 2 2m n m n mn m n         中即可求出结论． 6 【详解】解：由已知得：m、 n是关于 x的方程 2 2 2 0x ax   的两根， 由韦达定理得： 2m n a  ， 2mn  ，  2 2( 1) ( 1)m n   2 22 1 2 1m m n n         2 2 2 2m n m n        2 2 2 2m n mn m n      24 2 2 2 2 2a a     24 4 2a a    22 1 3a   ， 又 2a  ， 当 2a  时， 2 2( 1) ( 1)m n   取得最小值，最小值为：  22 2 1 3 6    ， 故选：A． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分． 11．若   13 5 0mm x x    是关于 x的一元二次方程，则m的值为 ． 【答案】 1 【分析】本题考查一元二次方程，根据一元二次方程的定义，可知 3 0m   且 1 2m  ，由此即可求 得m的值． 【详解】解：由题意可知， 3 0m   且 1 2m  ， 解 1 2m  得 3m  或 1m   ， ∴ 1m   ， 故答案为： 1 ． 12．若 a是方程 2 2 1 0x x   的解，则代数式 23 6 2024a a   的值为 ． 【答案】2021 【分析】本题主要考查一元二次方程的根，代入求值，理解并掌握一元二次方程的根是解题的关键． 利用整体代入的思想解决问题即可． 【详解】解：∵ a是方程 2 2 1 0x x   的解， ∴ 2 2 1 0a a   ， 7 ∴ 2 2 1a a  ， ∴  2 23 6 3 2 3 1 3a a a a          ， ∴ 23 6 2024 3 2024 2021a a       ． 故答案为：2021． 13．如图，某小区计划在一块长为32m，宽为 20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地 上种植草坪，使草坪的面积为 2666m ，若设道路的宽为 mx ，则所列的方程为 ． 【答案】    32 2 20 666x x   【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是利用平移把不规则的图形变为规 则图形，进而列出方程．六块矩形空地正好能拼成一个矩形，设道路的宽为 mx ，根据草坪的面积是 2666m ，即可列出方程． 【详解】解：设道路的宽为 mx ，根据题意得：    32 2 20 666x x   ， 故答案是：    32 2 20 666x x   ． 14．若关于x的方程 2 0ax bx c   的解是 1 3x  ， 2 5x   ，则关于y的方程    21 1 0a y b y c     的 解是 ． 【答案】 1 4y  ， 2 4y   【分析】本题考查了一元二次方程的解，由关于x的一元二次方程 2 0ax bx c   的解是 1 3x  ， 2 5x   ，可得出关于  1y  的方程    21 1 0a y b y c     的解为 1 3y   或 1 5y    ，解之即可得出 结论． 【详解】解：∵关于x的方程 2 0ax bx c   的解是 1 3x  ， 2 5x   ， ∴关于  1y  的方程    21 1 0a y b y c     的解为 1 3y   或 1 5y    ， 解得： 4y  或 4y   ， ∴关于y的方程    21 1 0a y b y c     的解为 1 4y  ， 2 4y   ． 故答案为： 1 4y  ， 2 4y   ． 三、解答题：本题共 9 小题，共 64 分． 8 15．解方程： (1) 23 1 0x x   ． (2) 2 7 10 0x x   ． 【答案】(1) 1 1 13 6  x ， 2 1 13 6  x (2) 1 2x  ， 2 5x  ． 【分析】本题考查解一元二次方程，正确计算是解题的关键： （1）根据公式法分解因式即可； （2）根据因式分解法分解因式即可． 【详解】（1）解： 23 1 0x x      22Δ 4 1 4 3 1 13b ac         ， ∴ 2 4 1 13 2 6 b b acx a       ， ∴ 1 1 13 6  x ， 2 1 13 6  x ； （2）解： 2 7 10 0x x   ∴   2 5 0x x   ， ∴ 2 0x   或 5 0x   ， ∴ 1 2x  ， 2 5x  ． 16．解一元二次方程 2 2 3 0x x   时，小马和小虎两位同学的解法如下： 小马的解法： 2 2 3x x  ① 2 2 1 3x x   ②  21 3x   ③ 1 3  x ④ ∴ 1 1 3x   ， 2 1 3x   ⑤ 小虎的解法： 1a  ， 2b   ， 3c   ① ∵    22 4 2 4 1 3 4 12 8 0b ac              ② ∴原方程无实数根③ (1)小马的解法从第______步开始错；小虎的解法从第______步开始错； (2)请你用喜欢的方法求解此方程． 【答案】(1)②；② (2) 1 3x  ， 2 1x   9 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程 2 0(a 0)   ax bx c 的根与 2 4b ac   有如下关系： 当 0  时，方程有两个不相等的实数根；当 0  时，方程有两个相等的实数根；当 0  时，方程无 实数根．也考查了因式分解法解一元二次方程． （1）利用因式分解法解方程可对小马的解法进行判断；根据根的判别式的计算可判断小虎的解法进行 判断； （2）利用因式分解法把方程转化为 3 0x   或 1 0x   ，然后解两个一次方程． 【详解】（1）小马的解法从第②步开始错；小虎的解法从第②步开始错； （2） 2 2 3 0x x   ， ( 3)( 1) 0x x   ， 3 0x   或 1 0x   ， 所以 1 3x  ， 2 1x   ． 17．已知关于x的一元二次方程 2 2 0x x m   ，若该方程的两个实数根分别为α，β，且 2 5   ， 求m的值． 【答案】 3m  【分析】本题考查了根与系数的关系：若 1x ， 2x 是一元二次方程  2 0 0ax bx c a    的两根时， 1 2 1 2, b cx x x x a a     ． 【详解】解：方程的两个实数根分别为 ， ， 由根与系数的关系可知， 2   ， m    . 2 5   ， 5      ，即 2 5  ， 解得 3  ， 1   ， 3m       . 18．已知关于 x的一元二次方程 ( )2 1 2 2 0x m x m- + + - = （m为常数）． (1)若方程的一个根为1，求m的值及方程的另一个根； (2)求证：不论m为何值时，方程总有两个实数根． 【答案】(1) 2m  ，另一个根为2 (2)证明见解析 【分析】本题主要考查方程根的定义、解一元二次方程及根的判别式，由方程根的情况得到判别式的 符号是解题的关键． 10 （1）把 1x  代入方程可求得m的值，再解方程可求得另一根； （2）由方程根的情况可得到关于m的不等式，即可证明． 【详解】（1）解：把 1x  代入方程可得  1 1 2 2 0m m     ， 解得 2m  ， 当 2m  时，原方程为 2 3 2 0x x   ， 解得 1 21, 2x x  ， 即方程的另一根为2； （2） 1a  ，  1b m   ， 2 2c m= - ，     2Δ 1 4 1 2 2m m          22= 6 9 3 0m m m     ， 不论m为何值时，方程总有两个实数根． 19．如图，这是2024年12月的月历表，用虚线方框按如图所示的方法任意圈出四个数，设这四个数从 小到大依次为a，b，c，d，请解答下列问题． (1)若用 x表示最小的数 a，则b  ，c  ， d  （用含 x的式子表示）． (2)若虚线方框中的最大数与最小数的乘积与这四个数的和为656，求最小的数． 【答案】(1) 1, 7, 8x x x   (2)最小的数为20 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据等量关系列方程是解题的关键． （1）观察日历表即可推出； （2）根据最大数与最小数的乘积与这四个数的和为656，列出方程即可推理． 【详解】（1）解：观察图形可得 1; 7; 8b x c x d x      ， 故答案为： 1; 7; 8x x x   ； （2）解：设最小的数 a为 x，则 1, 7, 8b x c x d x      ． 由题意可得  8 1 7 8 656x x x x x x         ，整理得 2 12 640 0x x   ， 11 解得 1 220, 32x x   （舍去）， 最小的数为20． 20．已知关于 x的一元二次方程 2 3 0x x m   有两个不相等的实数根． (1)求m的取值范围； (2)若 1x ， 2x 是这个方程的两个根，且 2 2 1 2 21x x  ，求m的值． 【答案】(1) 9 4 m  (2) 6m   【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系， （1）根据题意可知 2 4 0b ac  ，再解不等式可得出结论； （2）先根据一元二次方程根与系数的关系得 1 2 3x x  ， 1 2x x m ，再将原式整理为  22 21 2 1 2 1 22x x x x x x    ，然后代入计算即可． 【详解】（1）解：关于 x的一元二次方程 2 3 0x x m   有两个不相等的实数根， 2 4 0b ac    ，  23 4 0m    ， 9 4 m  ， 故m的取值范围为 9 4 m  ； （2）解：方程的两个根分别为 1 2,x x ， 1 2 3x x   ， 1 2x x m ， 2 2 1 2 21x x  ，  22 21 2 1 2 1 22 9 2 21x x x x x x m        ， 解得 6m   ， 故m的值为 6 ． 21．商场某种新商品每件的进价是120元，在试销期间发现，当每件商品售价为130元时，每天可销售 70件，当每件商品售价高于130元时，每涨价1元，日销售量就减少1件．据此规律，请回答： (1)当每件商品售价定为170元时，每天可销售_______件商品，商场获得的日盈利是________元； (2)在上述条件不变的情况下，每件商品的售价定为多少元时，商场日盈利可达到1600元？ 【答案】(1)30；1500 (2)当每件商品的售价定为160元时，商场日盈利可达到1600元 12 【分析】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是掌握一元二次方程方应用，根据题意，得到等 量关系，列出方程，进行解答，即可． （1）根据题意，可得每天可销售商品数量，然后可求出日盈利； （2）设每件商品的售价定为 x元，列出方程，进行解答，即可． 【详解】（1）解：∵当每件商品售价为130元时，每天可销售70件，当每件商品售价高于130元时， 每涨价1元，日销售量就减少1件， ∴当每件商品售价定为170元时，比每件商品销售高170 130 40  （元） ∴每天可销售 70 40 30  （件），商场获得的日盈利为：  170 120 30 1500   （元）； 故答案为：30；1500． （2）解：设每件商品的售价定为 x元， ∴每件商品的利润为：  120x  元，每天销售的商品数量为：  70 130 200x x    （件）， ∴   120 200 1600x x   ， ∴  2160 0x   ， 解得： 1 2 160x x  ， ∴当每件商品的售价定为160元时，商场日盈利可达到1600元． 22．我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：如果关于 x的方程 2 0x px q   的两个根是 1 2x x， ，那么由求根公式可推出 1 2x x p   ， 1 2x x q  ，请根据这一结论，解决下列问题： (1)若 ， 是方程 2 3 1 0x x   的两根，则   ______，    ______； (2)已知 a b， 满足 2 5 3 0a a   ， 2 5 3 0b b   ，求 a b b a  的值； (3)已知 a b c， ， 满足 0a b c   ， 5abc  ，求正整数 c的最小值． 【答案】(1)3，1 (2)2或 19 3 (3)3 【分析】（1）根据题意解答即可； （ 2）分 a b 和 a b 两种情况解答即可； （3）由已知可 a b c   ， 5ab c  ，可得a b， 为一元二次方程 2 5 0x cx c    的两个根，进而由 2 54 1 0c c       解答即可求解； 本题考查了一元二次方程根和系数的关系，根的判别式，掌握以上知识点是解题的关键． 13 【详解】（1）解：由题意得， 3   ， 1   ， 故答案为：3，1； （2）解：∵ a b， 满足 2 5 3 0a a   ， 2 5 3 0b b   ， 当 a b 时，原式 1 1 2   ； 当 a b 时， a b， 可看作方程 2 5 3 0x x   的两根， ∴ 5a b  ， 3ab  ， ∴原式  22 2 22 5 2 3 19 3 3 a b aba b ab ab         ； 综上， a b b a  的值为 2或 19 3 ； （3）解：∵ 0a b c   ， 5abc  ， ∴a b c   ， 5ab c  ， ∴a b， 为一元二次方程 2 5 0x cx c    的两个根， ∵ 2 54 1 0c c       ，且 0c  ， ∴ 3 20c  ， ∴ 3 320 8 2c    ， ∴正整数 c的最小值为3． 23．阅读材料：若关于x的一元二次方程 2 0(a 0)   ax bx c 的根均为整数，则称方程为“快乐方程” 通过计算发现，任何一个“快乐方程”的判别式 2 4b ac   一定为完全平方数．现规定 24( , , ) 4 ac bF a b c a   为该“快乐方程”的“快乐数”．例如“快乐方程” 2 3 4 0x x   ，的两根均为整 数．其“快乐数” 24 1 ( 4) ( 3) 25(1, 3, 4) 4 1 4 F           ． (1)“快乐方程” 2 2 3 0x x   的“快乐数”为_________； (2)若关于x的一元二次方程 2 2(2 1) 2 3 0x m x m m      （m为整数，且1 6m  ）是“快乐方程”，求m 的值，并求该方程的“快乐数”； (3)若有另一个“快乐方程” 2 0( 0)px qx r p    的“快乐数” ( , , )F p q r ．且满足 ( , , ) ( , , ) 0r F a b c c F p q r    ，则称 ( , , )F a b c 与 ( , , )F p q r 互为“开心数”．若关于x的一元二次方程 2 1 0x mx m    与 2 ( 2) 2 0x n x n    （m、n均为整数）都是“快乐方程”，且其“快乐数”互为“开 心数”，求n的值． 14 【答案】(1) 4 (2) 3m  ， 25 4  (3)n的值为0或3 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式以及“快乐方程”的定义，读懂题目中“快乐方程”， “快乐数”的定义是解题的关键． （1）根据“快乐数”的定义即可求出“快乐方程” 2 2 3 0x x   的“快乐数”； （2）先计算 2 4 4 13b ac m     ，根据“快乐方程”的定义，得到 4 13m  为完全平方数，根据 1 6m  ，得到17 8 13 37m   ，即可求出 4 13 25m   或36，根据m为整数，即可求出m的值，即可求其 “快乐数”； （3）关于x的一元二次方程 2 1 0x mx m    是“快乐方程”，即可求出m的值，求出方程  2 2 2 0x n x n    的“快乐数”，根据“开心数”的定义即可求出n的值． 【详解】（1）解：方程 2 2 3 0x x   的“快乐数为：       24 1 3 2 1, 2, 3 4 4 1 F            ， 故答案为： 4 ； （2）解：方程  2 22 1 2 3 0x m x m m      ， ∴ 2 4 4 13b ac m     ， ∵1 6m  ， ∴17 4 13 37m   ， 又方程  2 22 1 2 3 0x m x m m      是“快乐方程”， ∴ 4 13 25m   或36， ∴ 3m  ， 23 4 m  （舍去）， ∴方程为： 2 5 0x x  ， 则     24 1 0 5 251, 5,0 4 1 4 F          ， 故其“快乐数”数是 25 4  ； （3）解： 2 1 0x mx m    ， ∴      2 2Δ 4 1 2 8m m m       ， 设 2a  ， 则   2 2 8m a m a     ， 15 又 2m a  与 2m a  同奇偶， ∴ 2 4 2 2 m a m a        或 2 2 2 4 m a m a        或 2 4 2 2 m a m a          或 2 2 2 4 m a m a          解得 5m  或 1 ， ∴方程为： 2 5 6 0x x   或 2 0x x  ；  2 2 2 0x n x n    ， ∴  2Δ 2n  ，       2 24 1 2 2 2 1, 2,2 4 1 4 n n n F n n             ， 当 5m  时，     24 1 6 5 11, 5,6 4 1 4 F          ∵两方程的“快乐数”互为“开心数”， ∴  221 2 6 0 4 4 n n             ， 解得： 3n  或 3 4 （舍去）， 当 1m   时，   24 1 0 1 11,1,0 4 1 4 F       ， ∵两方程的“快乐数”互为“开心数”， ∴  221 2 0 0 4 4 n n             ， 解得 0n  ， 综上，n的值为0或3．