第16章 二次根式 单元测试-2024-2025学年八年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（沪科版）

1 第 16 章 二次根式 单元测试 总分：120 分 考生姓名： 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准 考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第16章。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。 1．下列各式是二次根式的是（ ） A． 3 4 B． 5 C． 3 D． π 2．下列根式中，与 2是同类二次根式的是（ ） A． 12 B． 8 C． 20 D． 24 3．下列计算正确的是（ ） A． 2 3 4 3 6 6  B． 12 4 3 C． 27 3 3  D．  22 2   4．在下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A． 32 B． 0.2 C． 13 D． 3 2 5．计算 148 9 3  的结果是（ ） A． 3 B． 3 C． 11 3 3  D． 11 3 3 6．已知正方形M 的边长为m，面积为8；正方形 N的边长为 n，面积为32．计算 ( ) 2m n  的结果 为（ ） A．1 B． 2 C． 2 D． 2 2 7．实数a、b在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简  2 2a b b  得（ ） A．a B． a C． 2a b D． 2b a 8．  3 18 3 8 3  的值应在（ ） A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间 9．海伦——秦九韶公式告诉我们：三角形的三边长分别为 , ,a b c，记  1 2 p a b c   ，那么三角形面 积可以表示为    S p p a p b p c    ．现已知一个三角形的三边长分别为7、8、9，那么这个三 角形的面积为（ ） A．12 B．12 3 C．12 2 D．12 5 10．计算： 22024 2023 2024 2025 2026 1     的值为（ ） A． 2024 B． 2023 C．-2025 D． 1 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分． 11．使得二次根式 2x 在实数范围内有意义的x的取值范围是 ． 12．计算 1 2 3 的结果是 ． 13．若 2 3a  ，则整数 a可以是 （写出满足条件的一个即可）． 14．若 2 2 10 6 2m n m n     ，且 5 nx m   ，则 581 80 1x x   ． 三、解答题：本题共 9 小题，共 64 分． 15．计算： (1) 18 32 ； (2) 32 12 4  ． 3 16．先化简，再求值： 22 1 2 11a a a a a         ，其中 2 1a   ． 17．已知 5 2 6, 5 2 6x y    ，求下列代数式的值： (1) 2 2x xy y  ； (2) 2 2x y xy ． 18．如图，在 ABCV 中， AD是斜边 BC上的高， 2 3AB  ， 2AC  ， 4BC  ，求高 AD的长． 4 19．【阅读理解】数学课上，张老师在黑板上写了这样一个问题：已知 1 2 1 a   ，求 23 6 1a a  的值． 爱思考的琳琳想了一会写出了下面的解答过程：    1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 a         ，即 1 2a   ，  21 2a   ，即 2 2 1 2a a   ． 2 2 1a a   ．  2 23 6 1 3 2 1 3 1 1 4a a a a          ． 【活学活用】请你根据琳琳的分析过程，解决如下问题： (1)若 2 3 1 m   ，求 2 2m m 的值； (2)若 1 5 2 n   ，求 22 8 5n n  的值． 20．如图，长方形空地 ABCD的长 BC为 18 m，宽 AB为 8 m，现准备在空地中划出长 FG为  3 1 m ，宽 EF为  3 1 m 的小长方形 EFGH （图中阴影部分）作为花卉实验田． (1)求长方形空地 ABCD的周长（结果化为最简）； (2)求长方形花卉实验田 EFGH 的面积（结果化为最简）． 5 21．【阅读材料】先来看一个有趣的现象： 22 8 2 2 22 2 3 3 3 3     ，这个根号里的2经过适当的演 变，竟然可以“跑”到根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”．具有这现象的数还有许多， 例如： 3 3 4 43 3 , 4 4 8 8 15 15   等． 【猜想】（1） 55 24  _______，并证明你的猜想； 【推理证明】（2）请你用一个正整数 n（ n为“穿墙”数， 2n  ）表示含有上述规律的等式，并给出 证明． 【创新应用】（3）按此规律，若 8 8a a b b   （ ,a b为正整数），则 a b 的值为_______． 22．在学习二次根式的性质时，知道  2( ) 0 a a a ，利用这个性质我们可以求 4 7 4 7   的值． 解：设 4 7 4 7x     ，两边平方， 2 2( 4 7 4 7 )x     ；    2 4 7 4 7 2 4 7 4 7 8 2 16 7 14x               ； 14x   ， 0x > ， 14x  ， 4 7 4 7 14     ； 请利用以上方法，解决下列问题： (1)求 3 5 3 5   ； (2)若 9 9 4 2n n    ，求 n的值． 6 23．阅读材料：我们已经学习了实数以及二次根式的有关概念，同学们可以发现以下结果： 当 0a  时，   2 2 21 1 1 1 12 2 2a a a a a a a a a a                       ， 当 1a a  即 1a  时， 1a a  的最小值为2． 请利用以上结果解决下面的问题： (1)当 0a  时， 4a a  的最小值为__________；当 0a  时， 4a a  的最大值为_________； (2)当 0a  时，求 23 4 5a a a   的最小值； (3)如图，已知四边形 ABCD的对角线 AC， BD交于点O，若 AOD△ 的面积为2， BOC 的面积为3， 求四边形 ABCD面积的最小值． 1 第 16 章 二次根式 单元测试 总分：120 分 考生姓名： 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准 考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第16章。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。 1．下列各式是二次根式的是（ ） A． 3 4 B． 5 C． 3 D． π 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的概念，“形如  0a a  的式子叫做二次根式”，熟记二次根式的定义 是解题关键．根据二次根式的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A． 3 4 是分数，不是二次根式，则此项不符合题意； B． 5 是二次根式，则此项符合题意； C． 3 中的 3 0  ，不是二次根式，则此项不符合题意； D． π是无理数，不是二次根式，则此项不符合题意； 故选：B． 2．下列根式中，与 2是同类二次根式的是（ ） A． 12 B． 8 C． 20 D． 24 【答案】B 【分析】本题考查同类二次根式，解题的关键是正确理解同类二次根式．先化简原数，然后根据同类 二次根式的定义即可求出答案． 2 【详解】解：A． 12 2 3 ，与 2不是同类二次根式，故A不符合题意； B． 8 2 2 ，与 2是同类二次根式，故B符合题意； C． 20 2 5 ，与 2不是同类二次根式，故C不符合题意； D． 24 2 6 ，与 2不是同类二次根式，故D不符合题意； 故选：B． 3．下列计算正确的是（ ） A． 2 3 4 3 6 6  B． 12 4 3 C． 27 3 3  D．  22 2   【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法 则是解决问题的关键．根据二次根式的加法运算对A选项进行判断；根据二次根式的乘法法则对B选项 进行判断；根据二次根式的除法法则对C选项进行判断；根据二次根式的性质对D选项进行判断． 【详解】解：A、 2 3 4 3 6 3  ，所以A选项不符合题意； B、 12 4 3 2 3   ，所以B选项不符合题意； C、 27 3 27 3 3  = ，所以C选项符合题意； D、  22 2  ，所以D选项不符合题意． 故选：C． 4．在下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A． 32 B． 0.2 C． 13 D． 3 2 【答案】C 【分析】此题考查了最简二次根式，根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开 方数中不含能开得尽方的因数或因式逐一判断即可得，掌握最简二次根式定义是解本题的关键． 【详解】解：A、原式 4 2 ，不是最简二次根式，不符合题意； B、原式 5 5  ，不是最简二次根式，不符合题意； C、 13是最简二次根式，符合题意； D、原式 6 2  ，不是最简二次根式，不符合题意． 故选：C． 3 5．计算 148 9 3  的结果是（ ） A． 3 B． 3 C． 11 3 3  D． 11 3 3 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的加减运算，先化简，再合并同类二次根式，即可得出结果． 【详解】解： 148 9 4 3 3 3 3 3     ； 故选B． 6．已知正方形M 的边长为m，面积为8；正方形 N的边长为 n，面积为32．计算 ( ) 2m n  的结果 为（ ） A．1 B． 2 C． 2 D． 2 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的实际应用，根据正方形的面积求出 ,m n的值，再进行计算即可． 【详解】解：由题意，得： 8 2 2, 32 4 2m n    ， ∴    2 2 2 4 2 2 2m n       ； 故选B． 7．实数a、b在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简  2 2a b b  得（ ） A．a B． a C． 2a b D． 2b a 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，实数与数轴，熟练掌握二次根式的性质是解题的关 键．由数轴，得 0, 0a b ，于是得出 0a b  ，再根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：由数轴，得 0, 0a b ， ∴ 0a b  ， ∴  2 2a b b  a b b    a b b    a b b    4 a  ， 故选：B． 8．  3 18 3 8 3  的值应在（ ） A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，无理数的估算．先计算出原式等于3 6 ，再根据 7 3 6 8  ，即可求解，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键． 【详解】解：  3 18 3 8 3   9 2 6 2 3   3 2 3 3 6   ∵ 49 54 64  ∴7 3 6 8  ∴  3 18 3 8 3  的值应在7和8之间， 故选：D． 9．海伦——秦九韶公式告诉我们：三角形的三边长分别为 , ,a b c，记  1 2 p a b c   ，那么三角形面 积可以表示为    S p p a p b p c    ．现已知一个三角形的三边长分别为7、8、9，那么这个三 角形的面积为（ ） A．12 B．12 3 C．12 2 D．12 5 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，正确理解题意是解题的关键．根据题目所给公式代值计算 即可． 【详解】解：由题意得  1 7 8 9 12 2 p     ， ∴    12 12 7 12 8 12 9 12 5S       ， 故选：D． 10．计算： 22024 2023 2024 2025 2026 1     的值为（ ） A． 2024 B． 2023 C． 2025 D． 1 【答案】B 5 【分析】本题考查了二次根式的化简，完全平方公式，整式的乘法，熟练掌握知识点是解题的关 键．令 2024x  ，把原式化简为  22 2 1x x x   ，再利用二次根式的性质化简，最后再代入求值即可． 【详解】解：令 2024x  ， 则原式化为：     2 1 1 2 1x x x x x         2 1 2 1 1x x x x x        2 2 22 1x x x x x         22 2 22 1x x x x x       22 2 1x x x     2 2 1x x x    1 2024 1 2023x        ， 故选：B． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分． 11．使得二次根式 2x 在实数范围内有意义的x的取值范围是 ． 【答案】 2x  【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出 x的取值范围即可． 【详解】解：二次根式 2x 在实数范围内有意义， 2 0x   ， 解得 2x  ． 故答案为： 2x  ． 12．计算 1 2 3 的结果是 ． 【答案】 2 3 / 3 2  【分析】本题考查了二次根式分母有理数，分子分母同时乘以有理化因子 2 3 ，即可求解；掌握分 母有理化的方法是解题的关键． 6 【详解】解：原式    2 3 2 3 2 3     2 3  ， 故答案为： 2 3 ． 13．若 2 3a  ，则整数 a可以是 （写出满足条件的一个即可）． 【答案】5（答案不唯一） 【分析】本题考查了二次根式的性质，根据二次根式的性质把原式变形为 4 9a  即可求解． 【详解】解：∵2 3a  ∴ 4 9a  ∴整数 a可以是5． 故答案为：5（答案不唯一）． 14．若 2 2 10 6 2m n m n     ，且 5 nx m   ，则 581 80 1x x   ． 【答案】 31 【分析】本题主要考查完全平方公式的变形应用，二次根式混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根 式混合运算法则，先由 2 2 10 6 2m n m n     ，得出    2 23 1 0m n    ，求出 3m  ， 1n   ，得出 5 5 1 3 nx m     ，再代入求值即可． 【详解】解：∵ 2 2 10 6 2m n m n     ， ∴ 2 2 10 6 2 0m n m n     ， 即    2 23 1 0m n    ， ∴ 3 0m  ， 1 0n   ， 解得： 3m  ， 1n   ， ∴ 5 5 1 3 nx m     ， ∴ 581 80 1x x  5 5 1 5 181 80 1 3 3              5 5 5 1 80 5 8081 1 3 3       7     22 5 1 5 1 80 5 80 1 3 3            26 2 5 5 1 80 5 80 1 3 3          24 3 5 5 1 80 5 80 1 3 3         4 14 6 5 5 1 80 5 80 1 3 3         8 7 3 5 5 1 80 5 80 1 3 3        8 10 5 22 80 5 80 1 3 3      80 5 176 80 5 80 1 3 3      80 5 176 80 5 80 1 3      96 1 3    32 1   31  ． 故答案为： 31 ． 三、解答题：本题共 9 小题，共 64 分． 15．计算： (1) 18 32 ； (2) 32 12 4  ． 【答案】(1) 2 (2)3 【分析】本题主要考查了二次根式的减法计算，二次根式乘法计算： （1）先化简二次根式，再计算二次根式减法即可； 8 （2）根据二次根式乘法计算法则求解即可． 【详解】（1）解： 18 32 3 2 4 2  2  ； （2）解： 32 12 4  36 2  6 2  3 ． 16．先化简，再求值： 22 1 2 11a a a a a         ，其中 2 1a   ． 【答案】 1 1a  ， 2 2 【分析】本题考查的是分式的化简求值及二次根式的化简，先根据分式混合运算的法则把原式进行化 简，再把a的值代入进行计算即可． 【详解】解：原式 2 1= a a a    21a a    2 1 1 a a a a     1 1a   ， 当 2 1a   时， 原式 1 2 1 1    2 2  ． 17．已知 5 2 6, 5 2 6x y    ，求下列代数式的值： (1) 2 2x xy y  ； (2) 2 2x y xy ． 【答案】(1)99 (2)10 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，代数式求值，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺 序和运算法则． 9 （1）先求出 10x y  ， 1xy  ．再计算 2 2 2( )x xy y x y xy     ，然后整体代入计算即可； （2）先求出 10x y  ， 1xy  ．再计算  2 2x y xy xy x y   ，然后整体代入计算即可． 【详解】（1）解： 5 2 6, 5 2 6x y    ， 5 2 6 5 2 6 10x y       ，    5 2 6 5 2 6 25 24 1xy        ． ∴ 2 2 2( ) 100 1 99x xy y x y xy        ． （2）解： 5 2 6, 5 2 6x y    ， 5 2 6 5 2 6 10x y       ，    5 2 6 5 2 6 25 24 1xy        ． ∴  2 2 1 10 10x y xy xy x y      ． 18．如图，在 ABCV 中， AD是斜边 BC上的高， 2 3AB  ， 2AC  ， 4BC  ，求高 AD的长． 【答案】 3AD  【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，二次根式的运算，解一元一次方程等知识点，正确应用 直角三角形的性质是解题关键．利用直角三角形面积求法即可得出答案． 【详解】解： AD 是斜边 BC上的高， ABC 为直角三角形， 90BAC  ， 1 1 2 2ABC S AB AC BC AD      ， 2 3 2 4AD   ，解得： 3AD  ． 19．【阅读理解】数学课上，张老师在黑板上写了这样一个问题：已知 1 2 1 a   ，求 23 6 1a a  的值． 爱思考的琳琳想了一会写出了下面的解答过程：    1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 a         ，即 1 2a   ，  21 2a   ，即 2 2 1 2a a   ． 2 2 1a a   ． 10  2 23 6 1 3 2 1 3 1 1 4a a a a          ． 【活学活用】请你根据琳琳的分析过程，解决如下问题： (1)若 2 3 1 m   ，求 2 2m m 的值； (2)若 1 5 2 n   ，求 22 8 5n n  的值． 【答案】(1)2 (2)7 【分析】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握分母有理化是解题的关键． （1）首先利用平方差公式分母有理化得到 3 1m   ，然后移项利用完全平方公式求解即可； （2）首先利用平方差公式分母有理化得到 5 2n   ，再根据完全平方公式计算即可． 【详解】（1）      2 3 12 3 1 3 1 3 1 3 1 m          ， 1 3m   ，  21 3m   ， 2 1 2 3m m    ， 2 2 2  m m ； （2）    1 5 2 5 2 5 2 5 2 5 2 n         ， 2 5n   ，  22 5n   ， 2 4 4 5n n    ， 2 4 1n n   ，  2 22 8 5 2 4 5 2 1 5 7n n n n          ． 20．如图，长方形空地 ABCD的长 BC为 18 m，宽 AB为 8 m，现准备在空地中划出长 FG为  3 1 m ，宽 EF为  3 1 m 的小长方形 EFGH （图中阴影部分）作为花卉实验田． 11 (1)求长方形空地 ABCD的周长（结果化为最简）； (2)求长方形花卉实验田 EFGH 的面积（结果化为最简）． 【答案】(1)  10 2 4 3 m (2) 22m 【分析】本题考查了二次根式的应用，最简二次根式： （1）根据矩形的周长=（长+宽） 2 计算即可； （2）先求出通道的面积，再算钱数即可． 【详解】（1）解：长方形空地 ABCD的周长        m18 8 3 1 22 2 3 1 10 2 4 3       （2）解：长方形花卉实验田 EFGH 的面积    23 m1 3 1 2   21．【阅读材料】先来看一个有趣的现象： 22 8 2 2 22 2 3 3 3 3     ，这个根号里的2经过适当的演 变，竟然可以“跑”到根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”．具有这现象的数还有许多， 例如： 3 3 4 43 3 , 4 4 8 8 15 15   等． 【猜想】（1） 55 24  _______，并证明你的猜想； 【推理证明】（2）请你用一个正整数 n（ n为“穿墙”数， 2n  ）表示含有上述规律的等式，并给出 证明． 【创新应用】（3）按此规律，若 8 8a a b b   （ ,a b为正整数），则 a b 的值为_______． 【答案】【猜想】（1） 55 24 ，证明见解析；【推理证明】（2）见解析；【创新应用】（3）71 【分析】本题主要考查了二次根式的性质和化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 【猜想】（1）根据二次根式的性质化简二次根式即可得到答案； 【推理证明】（2）根据题意得出规律，进行计算即可； 【创新应用】（3）根据规律计算求出 ,a b的值，代入计算即可． 【详解】解：（1） 55 24  55 24 ，证明如下， 25 24 5 5 5 5 55 5 24 24 24 24       ， 12 故答案为： 55 24 ； （2） 2 21 1 n nn n n n    ，证明如下， 3 2 2 2 2 21 1 1 1 n n n n n n nn n n n n n           ； （3） 8 8a a b b   ， 8a  ， 2 1b a  ， 28 1 63b    ， 8 63 71a b     ， 故答案为：71． 22．在学习二次根式的性质时，知道  2( ) 0 a a a ，利用这个性质我们可以求 4 7 4 7   的值． 解：设 4 7 4 7x     ，两边平方， 2 2( 4 7 4 7 )x     ；    2 4 7 4 7 2 4 7 4 7 8 2 16 7 14x               ； 14x   ， 0x > ， 14x  ， 4 7 4 7 14     ； 请利用以上方法，解决下列问题： (1)求 3 5 3 5   ； (2)若 9 9 4 2n n    ，求 n的值． 【答案】(1) 10 (2)32 【分析】（1）仿照题例解答即可； （ 2）两边平方整理后，再平方求解即可； 本题考查了二次根式的性质，完全平方公式，看懂题意是解题的关键． 【详解】（1）解：设 3 5 3 5x     ， 两边平方得，  22 3 5 3 5x     ， 13 ∴   2 3 5 3 5 2 3 5 3 5 6 4 10x           ， ∴ 10 x ， ∵ 0x  ， ∴ 10x  ， ∴ 3 5 3 5 10    ； （2）解：∵ 9 9 4 2n n    ， 两边平方得，    2 29 9 4 2n n    ， ∴   9 9 2 9 9 32n n n n       ， ∴   9 9 7n n   ， ∴81 49n  ， ∴ 32n  ． 23．阅读材料：我们已经学习了实数以及二次根式的有关概念，同学们可以发现以下结果： 当 0a  时，   2 2 21 1 1 1 12 2 2a a a a a a a a a a                       ， 当 1a a  即 1a  时， 1a a  的最小值为2． 请利用以上结果解决下面的问题： (1)当 0a  时， 4a a  的最小值为__________；当 0a  时， 4a a  的最大值为_________； (2)当 0a  时，求 23 4 5a a a   的最小值； (3)如图，已知四边形 ABCD的对角线 AC， BD交于点O，若 AOD△ 的面积为2， BOC 的面积为3， 求四边形 ABCD面积的最小值． 【答案】(1)４； 4 (2)4 2 15 14 (3)5 2 6 【分析】本题考查的是完全平方公式的应用．熟练掌握配方法，完全平方的非负性，二次根式的性质， 理解阅读部分的信息并灵活运用，是解本题的关键． （1）当 0a  时，由 24 2 4a a a a          ，可得 4a a  的最小值，当 0a  时，由 24 2 4a a a a           ，可得 4a a  的最大值； （2）当 0a  时，由 223 4 5 53 4 2 15 3 a a a a a            ，可得 15 3 a  时， 23 4 5a a a   的最小值是 4 2 15 ； （3）设 AOBS 的面积为a，根据 : :AOD AOB COD COBS S S S    ，得 6 CODS a  ．可得四边形的面积 2 6 62 3 5 2 6a a a a              ，可得当 6a  时，四边形 ABCD的面积的最小值为：5 2 6 ． 【详解】（1）解：当 0a  时， ∵   2 2 24 2 2 2 22 2 4a a a a a a a a a a                       ， ∴当 2a a  即 2a  时， 4a a  的最小值为4； 当 0a  时， ∵ 4 4a a a a          ， ∴   2 2 24 2 2 2 22 2 4a a a a a a a a a a                              ， ∴ 24 2 4 4a a a a                   ， ∴当 2a a    ，即 2a   时， 4a a  的最大值为 4 ； 故答案为：4； 4 ； （2）解：当 0a  时， ∵ 223 4 5 5 5 53 4 3 4 3 4 2 15 3 3 a a a a a a a a a                      ， 15 ∴当 5 3 a a  ，即 15 3 a  时， 23 4 5a a a   的最小值是： 4 2 15 ． （3）解：设 AOBS 的面积为a， ∵ : : :AOD AOB COD COBS S OD OB S S △ △ △ △ ， ∴2 : :3CODa S  ， ∴ 6 CODS a  ． ∴四边形 ABCD的面积： 2 6 6 62 3 5 5 2 6a a a a a a                    ， ∵ 0a  ， ∴当 6a a  ，即 6a  时，四边形 ABCD的面积的最小值为：5 2 6 ． 第16章 二次根式 单元测试 总分：120分 考生姓名： 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第16章。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。 1．下列各式是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．下列根式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 3．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．在下列二次根式中，最简二次根式是（   ） A． B． C． D． 5．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 6．已知正方形的边长为，面积为8；正方形的边长为，面积为32．计算的结果为（    ） A．1 B． C． D． 7．实数a、b在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简得（  ） A．a B． C． D． 8．的值应在（   ） A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间 9．海伦——秦九韶公式告诉我们：三角形的三边长分别为，记，那么三角形面积可以表示为．现已知一个三角形的三边长分别为7、8、9，那么这个三角形的面积为（   ） A．12 B． C． D． 10．计算：的值为（   ） A． B． C．-2025 D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分． 11．使得二次根式在实数范围内有意义的x的取值范围是 ． 12．计算的结果是 ． 13．若，则整数可以是 （写出满足条件的一个即可）． 14．若，且，则 ． 三、解答题：本题共9小题，共64分． 15．计算： (1)； (2)． 16．先化简，再求值：，其中． 17．已知，求下列代数式的值： (1)； (2)． 18．如图，在中，是斜边上的高，，，，求高的长． 19．【阅读理解】数学课上，张老师在黑板上写了这样一个问题：已知，求的值． 爱思考的琳琳想了一会写出了下面的解答过程： ，即， ，即． ． ． 【活学活用】请你根据琳琳的分析过程，解决如下问题： (1)若，求的值； (2)若，求的值． 20．如图，长方形空地的长为，宽为，现准备在空地中划出长为，宽为的小长方形（图中阴影部分）作为花卉实验田． (1)求长方形空地的周长（结果化为最简）； (2)求长方形花卉实验田的面积（结果化为最简）． 21．【阅读材料】先来看一个有趣的现象：，这个根号里的2经过适当的演变，竟然可以“跑”到根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”．具有这现象的数还有许多，例如： 等． 【猜想】（1）_______，并证明你的猜想； 【推理证明】（2）请你用一个正整数（为“穿墙”数，）表示含有上述规律的等式，并给出证明． 【创新应用】（3）按此规律，若（为正整数），则的值为_______． 22．在学习二次根式的性质时，知道，利用这个性质我们可以求的值． 解：设，两边平方，； ； ， ， ， ； 请利用以上方法，解决下列问题： (1)求； (2)若，求的值． 23．阅读材料：我们已经学习了实数以及二次根式的有关概念，同学们可以发现以下结果： 当时，， 当即时，的最小值为2． 请利用以上结果解决下面的问题： (1)当时，的最小值为__________；当时，的最大值为_________； (2)当时，求的最小值； (3)如图，已知四边形的对角线，交于点，若的面积为2，的面积为3，求四边形面积的最小值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第16章 二次根式 单元测试 总分：120分 考生姓名： 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第16章。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。 1．下列各式是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的概念，“形如的式子叫做二次根式”，熟记二次根式的定义是解题关键．根据二次根式的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A．是分数，不是二次根式，则此项不符合题意； B．是二次根式，则此项符合题意； C．中的，不是二次根式，则此项不符合题意； D．是无理数，不是二次根式，则此项不符合题意； 故选：B． 2．下列根式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查同类二次根式，解题的关键是正确理解同类二次根式．先化简原数，然后根据同类二次根式的定义即可求出答案． 【详解】解：A．，与不是同类二次根式，故A不符合题意； B．，与是同类二次根式，故B符合题意； C．，与不是同类二次根式，故C不符合题意； D．，与不是同类二次根式，故D不符合题意； 故选：B． 3．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则是解决问题的关键．根据二次根式的加法运算对A选项进行判断；根据二次根式的乘法法则对B选项进行判断；根据二次根式的除法法则对C选项进行判断；根据二次根式的性质对D选项进行判断． 【详解】解：A、，所以A选项不符合题意； B、，所以B选项不符合题意； C、，所以C选项符合题意； D、，所以D选项不符合题意． 故选：C． 4．在下列二次根式中，最简二次根式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了最简二次根式，根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式逐一判断即可得，掌握最简二次根式定义是解本题的关键． 【详解】解：A、原式，不是最简二次根式，不符合题意； B、原式，不是最简二次根式，不符合题意； C、是最简二次根式，符合题意； D、原式，不是最简二次根式，不符合题意． 故选：C． 5．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的加减运算，先化简，再合并同类二次根式，即可得出结果． 【详解】解：； 故选B． 6．已知正方形的边长为，面积为8；正方形的边长为，面积为32．计算的结果为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的实际应用，根据正方形的面积求出的值，再进行计算即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故选B． 7．实数a、b在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简得（  ） A．a B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，实数与数轴，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．由数轴，得，于是得出，再根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：由数轴，得， ∴， ∴ ， 故选：B． 8．的值应在（   ） A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，无理数的估算．先计算出原式等于，再根据，即可求解，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键． 【详解】解： ∵ ∴ ∴的值应在7和8之间， 故选：D． 9．海伦——秦九韶公式告诉我们：三角形的三边长分别为，记，那么三角形面积可以表示为．现已知一个三角形的三边长分别为7、8、9，那么这个三角形的面积为（   ） A．12 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，正确理解题意是解题的关键．根据题目所给公式代值计算即可． 【详解】解：由题意得， ∴， 故选：D． 10．计算：的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的化简，完全平方公式，整式的乘法，熟练掌握知识点是解题的关键．令，把原式化简为，再利用二次根式的性质化简，最后再代入求值即可． 【详解】解：令， 则原式化为： ， 故选：B． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分． 11．使得二次根式在实数范围内有意义的x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可． 【详解】解：二次根式在实数范围内有意义， ， 解得． 故答案为：． 12．计算的结果是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式分母有理数，分子分母同时乘以有理化因子，即可求解；掌握分母有理化的方法是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 13．若，则整数可以是 （写出满足条件的一个即可）． 【答案】5（答案不唯一） 【分析】本题考查了二次根式的性质，根据二次根式的性质把原式变形为即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴整数可以是5． 故答案为：5（答案不唯一）． 14．若，且，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查完全平方公式的变形应用，二次根式混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则，先由，得出，求出，，得出，再代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴，， 解得：，， ∴， ∴ ． 故答案为：． 三、解答题：本题共9小题，共64分． 15．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的减法计算，二次根式乘法计算： （1）先化简二次根式，再计算二次根式减法即可； （2）根据二次根式乘法计算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 16．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查的是分式的化简求值及二次根式的化简，先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把a的值代入进行计算即可． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式． 17．已知，求下列代数式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)99 (2)10 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，代数式求值，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则． （1）先求出，．再计算，然后整体代入计算即可； （2）先求出，．再计算，然后整体代入计算即可． 【详解】（1）解：， ， ． ∴． （2）解：， ， ． ∴． 18．如图，在中，是斜边上的高，，，，求高的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，二次根式的运算，解一元一次方程等知识点，正确应用直角三角形的性质是解题关键．利用直角三角形面积求法即可得出答案． 【详解】解：是斜边上的高， 为直角三角形，， ， ，解得：． 19．【阅读理解】数学课上，张老师在黑板上写了这样一个问题：已知，求的值． 爱思考的琳琳想了一会写出了下面的解答过程： ，即， ，即． ． ． 【活学活用】请你根据琳琳的分析过程，解决如下问题： (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)2 (2)7 【分析】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握分母有理化是解题的关键． （1）首先利用平方差公式分母有理化得到，然后移项利用完全平方公式求解即可； （2）首先利用平方差公式分母有理化得到，再根据完全平方公式计算即可． 【详解】（1）， ， ， ， ； （2）， ， ， ， ， ． 20．如图，长方形空地的长为，宽为，现准备在空地中划出长为，宽为的小长方形（图中阴影部分）作为花卉实验田． (1)求长方形空地的周长（结果化为最简）； (2)求长方形花卉实验田的面积（结果化为最简）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的应用，最简二次根式： （1）根据矩形的周长=（长+宽）计算即可； （2）先求出通道的面积，再算钱数即可． 【详解】（1）解：长方形空地的周长 （2）解：长方形花卉实验田的面积 21．【阅读材料】先来看一个有趣的现象：，这个根号里的2经过适当的演变，竟然可以“跑”到根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”．具有这现象的数还有许多，例如： 等． 【猜想】（1）_______，并证明你的猜想； 【推理证明】（2）请你用一个正整数（为“穿墙”数，）表示含有上述规律的等式，并给出证明． 【创新应用】（3）按此规律，若（为正整数），则的值为_______． 【答案】【猜想】（1），证明见解析；【推理证明】（2）见解析；【创新应用】（3） 【分析】本题主要考查了二次根式的性质和化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 【猜想】（1）根据二次根式的性质化简二次根式即可得到答案； 【推理证明】（2）根据题意得出规律，进行计算即可； 【创新应用】（3）根据规律计算求出的值，代入计算即可． 【详解】解：（1），证明如下， ， 故答案为：； （2），证明如下， ； （3）， ，， ， ， 故答案为：． 22．在学习二次根式的性质时，知道，利用这个性质我们可以求的值． 解：设，两边平方，； ； ， ， ， ； 请利用以上方法，解决下列问题： (1)求； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（）仿照题例解答即可； （）两边平方整理后，再平方求解即可； 本题考查了二次根式的性质，完全平方公式，看懂题意是解题的关键． 【详解】（1）解：设， 两边平方得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， 两边平方得，， ∴， ∴， ∴， ∴． 23．阅读材料：我们已经学习了实数以及二次根式的有关概念，同学们可以发现以下结果： 当时，， 当即时，的最小值为2． 请利用以上结果解决下面的问题： (1)当时，的最小值为__________；当时，的最大值为_________； (2)当时，求的最小值； (3)如图，已知四边形的对角线，交于点，若的面积为2，的面积为3，求四边形面积的最小值． 【答案】(1)４； (2) (3) 【分析】本题考查的是完全平方公式的应用．熟练掌握配方法，完全平方的非负性，二次根式的性质，理解阅读部分的信息并灵活运用，是解本题的关键． （1）当时，由，可得的最小值，当时，由，可得的最大值； （2）当时，由，可得时， 的最小值是； （3）设的面积为a，根据，得．可得四边形的面积，可得当时，四边形的面积的最小值为：． 【详解】（1）解：当时， ∵， ∴当即时，的最小值为4； 当时， ∵， ∴， ∴， ∴当，即时，的最大值为； 故答案为：4；； （2）解：当时， ∵， ∴当，即时， 的最小值是：． （3）解：设的面积为a， ∵， ∴， ∴． ∴四边形的面积：， ∵， ∴当，即时，四边形的面积的最小值为：． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$