专题06 三角形的证明单元过关【基础版】-2024-2025学年八年级数学下册重难考点强化训练（北师大版）

专题06 三角形的证明单元过关（基础版） 考试范围：第1章；考试时间：120分钟；总分：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 评卷人 得分 一、单选题 1．到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的（   ） A．三条高的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条中线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点 2．如图，中，延长到点D，则的度数是（     ） A． B． C． D． 3．在中，的垂直平分线分别交，于点，，的垂直平分线分别交，于点，．若，，则的周长为（   ） A． B． C． D．或 4．一架长10米的梯子斜立在一竖直的墙上，这时梯足距墙底端6米，如果梯子的顶端沿墙下滑2米，那么梯足将滑（     ） A．米 B．米 C．1米 D．2米 5．如图，在等边中，，D是的中点，连接，将绕点A逆时针旋转后得到，则线段的长为（    ） A． B．4 C． D． 6．如图，是中的角平分线，于点，，，，则的长是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 7．小明同学只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线，另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点P．小明说：“射线就是的角平分线．”他这样做的依据是（　　） A．在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上 B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等 C．三角形的三条角平分线交于一点 D．三角形三边的垂直平分线交于一点 8．如图，在中，，，平分，于D，与相交于F，则的长是（　　） A．1 B． C． D．2 9．如图，在中，，，，把沿折叠，使点C落在边的点E处，则的长为（  ） A． B． C．3 D．5 10．如图，在五边形ABCDE中，（为钝角），，在BC，DE上分别找一点M，N，当周长最小时，的度数为（    ） A． B． C． D． 第II卷（非选择题） 评卷人 得分 二、填空题 11．如图，线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O．若∠B＝39°，则∠AOC＝ °． 12．如图，点D，E分别在线段，上，连接，．若，，，则的大小为 ． 13．在的正方形网格中，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，在图中画出与关于某条直线对称的格点三角形，最多能画个 个． 14．如图，在中，是中线，若，则的长为 ． 15．如图，是等边三角形内一点，将绕点顺时针旋转得到，连接，若，则四边形的面积为 ． 16．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则其底角的度数为 ． 17．如图，中，点、分别是、延长线上一点，、的角平分线、交于点，连接，过点作、，垂足分别是点、，则、、之间的数量关系是 ． 18．如图1，分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形，面积分别为；如图2，分别以直角三角形三边长为半径向外作半圆，面积分别为．其中，，，，则 ． 评卷人 得分 三、解答题 19．如图，点是等边内一点，连接，延长到点，使．延长到点，使，连接． (1)求证：； (2)求的度数． 20．一位同学要用彩带装饰一个长方体礼盒，长方体高，底面是边长为的正方形，从顶点到顶点如何贴彩带用的彩带最短？最短长度是多少？      21．如图，在等边中，D、E分别是、上的点，且，与交于点F． (1)求证：； (2)作，垂足为G，求证：． 22．某条高速公路限速，如图，一辆大巴车在这条高速公路上沿直线行驶，某时刻刚好行驶到路对面处车速检测仪的正前方的处，如图，过了大巴车到达处，此时测得大巴车与处车速检测仪的距离为． (1)求的长； (2)通过计算说明大巴车是否超速？ 23．如图，直线交于点O，分别平分和，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 24．在矩形中，，，点P从点A开始沿边以的速度移动，点Q从点C开始沿边以的速度移动，如果点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中有一点到达点B或点D时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t（s）． (1)当t为何值时，点P、Q之间的距离为； (2)连接、，当t为何值时，为直角三角形． 25．如图所示，在中，点，在边上，且使，，则点，叫做的一对“等腰点”． (1)如图①所示，当时，求证：为等腰三角形； (2)如图②所示，，是的一对“等腰点”，若，，求的度数； (3)如图③所示，，是的一对“等腰点”，若，求的度数（用含的代数式表示）． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 三角形的证明单元过关（基础版） 考试范围：第1章；考试时间：120分钟；总分：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 评卷人 得分 一、单选题 1．到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的（   ） A．三条高的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条中线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点 【答案】D 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等． 根据线段垂直平分线的性质即可直接得出答案． 【详解】解：到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的三条边的垂直平分线的交点， 故选：． 2．如图，中，延长到点D，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查三角形的外角，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，进行求解即可． 【详解】解：∵是的一个外角， ∴， 故选B． 3．在中，的垂直平分线分别交，于点，，的垂直平分线分别交，于点，．若，，则的周长为（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，解题的关键是分类讨论．根据线段垂直平分线的性质可得：，，分两种情况：当点在点左侧时，当点在点的右侧时，根据三角形的周长公式求解即可． 【详解】解：如图，当点在点左侧时， 垂直平分，垂直平分， ，， 的周长为； 当点在点的右侧时， 垂直平分，垂直平分， ，， 的周长为； 综上所述，的周长为或， 故选：D． 4．一架长10米的梯子斜立在一竖直的墙上，这时梯足距墙底端6米，如果梯子的顶端沿墙下滑2米，那么梯足将滑（     ） A．米 B．米 C．1米 D．2米 【答案】D 【知识点】求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，先在中，利用勾股定理得到，再求出，接着利用勾股定理求出，进而得到，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，在中，，且， ∴， ∴， ∵， ∴在中，由勾股定理得， ∴， ∴梯足将滑2米， 故选：D． 5．如图，在等边中，，D是的中点，连接，将绕点A逆时针旋转后得到，则线段的长为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】D 【知识点】用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的判定与性质，勾股定理．应用旋转的性质与等边三角形的性质是解题的关键．先由等边三角形的性质得出，利用勾股定理求出．再根据旋转的性质得出，，那么是等边三角形，从而得到DE的长． 【详解】解：∵在等边中，，D是的中点， ∴，， ∴． ∵将绕点A旋转后得到， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 故选：D． 6．如图，是中的角平分线，于点，，，，则的长是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题考查了角的平分线的性质，三角形的面积，熟练掌握角的平分线的性质是解题的关键． 过点D作于点F，根据是中的角平分线，得到，结合计算即可． 【详解】解：如图，过点D作于点F， ∵是中的角平分线，，    ∴， ∵，，， ∴． 故选：D． 7．小明同学只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线，另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点P．小明说：“射线就是的角平分线．”他这样做的依据是（　　） A．在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上 B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等 C．三角形的三条角平分线交于一点 D．三角形三边的垂直平分线交于一点 【答案】A 【知识点】角平分线的判定定理 【分析】此题考查了角平分线的判定定理，在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上，据此解答即可． 【详解】解：由题意可知，点P到射线的距离是直尺的宽度，点P到射线的距离也是直尺的宽度， ∴点P到射线，的距离相等， ∴点P在的平分线上（在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上）． 故选：A． 8．如图，在中，，，平分，于D，与相交于F，则的长是（　　） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形、等腰三角形的定义、角平分线的性质定理 【分析】过点E作于点G，由，可得，由平行线的性质可得；在中，由勾股定理求得的值；由判定，由全等三角形的性质可得及的值，进而可判定．设，则，在中，由勾股定理得关于x的方程，解得x的值即为的长． 【详解】解：过点E作于点G，如图： ∵于D， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， 又∵平分，， ∴． 在中，，， ∴． 在和中， ， ∴， ， ∴， ∴． 设，则， 在中，由勾股定理得： ， 解得 ∴的长是． 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理、角平分线的性质定理及等腰三角形的判定等知识点，数形结合并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． 9．如图，在中，，，，把沿折叠，使点C落在边的点E处，则的长为（  ） A． B． C．3 D．5 【答案】B 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】本题主要考查了勾股定理，折叠的性质，先根据勾股定理得出，然后求出，设，则，根据勾股定理得出，解方程即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 根据折叠可知：，， ∴， 设，则， 根据勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴， 故选：B． 10．如图，在五边形ABCDE中，（为钝角），，在BC，DE上分别找一点M，N，当周长最小时，的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】等边对等角、线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理的应用、最短路径问题 【分析】分别延长AB、AE到点、，使，，连接，分别交BC和DE于点M，N，连接AM，AN，此时周长最小，可求得，，由三角形的内角和求得即可解答. 【详解】解：∵， ∴如图，分别延长AB、AE到点、，使，，连接，分别交BC和DE于点M，N，连接AM，AN，此时周长最小， ∵BM垂直平分，EN垂直平分， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查平面内最短路径问题，涉及两点之间线段最短、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握平面内最短路径的求解方法是解答的关键. 第II卷（非选择题） 评卷人 得分 二、填空题 11．如图，线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O．若∠B＝39°，则∠AOC＝ °． 【答案】78 【知识点】三角形的外角的定义及性质、等边对等角、线段垂直平分线的性质 【分析】连接BO并延长至D，根据线段垂直平分线的性质得到OA=OB，OC=OB，根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质计算，得到答案． 【详解】解：连接BO并延长至D， ∵线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O， ∴OA=OB，OC=OB， ∴∠OAB=∠OBA，∠OCB=∠OBC， ∴∠AOD=2∠OBA，∠COD=2∠OBC， ∴∠AOC=2（∠OBA+∠OBC）=2∠ABC=78°， 故答案为：78． 【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，以及等边对等角，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 12．如图，点D，E分别在线段，上，连接，．若，，，则的大小为 ． 【答案】 【知识点】三角形内角和定理的应用、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握三角形的内角和外角是解题的关键． 由三角形外角的性质可得，然后由三角形的内角和定理可得，于是得解． 【详解】解：， ， 故答案为：． 13．在的正方形网格中，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，在图中画出与关于某条直线对称的格点三角形，最多能画个 个． 【答案】 【知识点】画轴对称图形 【分析】本题考查了利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构并准确找出对应点的位置是解题的关键，本题的难点在于确定出不同的对称轴. 根据网格结构分别确定出不同的对称轴，然后作出轴对称三角形即可得解. 【详解】解：如图，最多能画出个格点三角形与成轴对称． 故答案为：． 14．如图，在中，是中线，若，则的长为 ． 【答案】8 【知识点】根据三角形中线求长度 【分析】本题考查三角形的中线，根据中线的定义，得到，进而求出的长即可． 【详解】解：∵是的中线， ∴为的中点， ∴， ∴； 故答案为：8． 15．如图，是等边三角形内一点，将绕点顺时针旋转得到，连接，若，则四边形的面积为 ． 【答案】 【知识点】等边三角形的判定和性质、根据旋转的性质求解、用勾股定理解三角形、判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，旋转的性质以及勾股定理及其逆定理，连接，过点P作于点D，先证是等边三角形，求出的面积，再证，求出的面积，最后利用即可求解． 【详解】解：如图，连接，过点P作于点D， ∵绕点顺时针旋转得到， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 16．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则其底角的度数为 ． 【答案】 【知识点】等边对等角、与三角形的高有关的计算问题、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查了等腰三角形的性质以及余角和邻补角的定义，分两种情况讨论：①若；②若；先求出顶角，再利用三角形内角和定理即可求出底角的度数． 【详解】解：分两种情况讨论： ①若，如图1所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； ②若，如图2所示： 同①可得：， ∴， ∵， ∴； 综上所述：等腰三角形底角的度数为或． 故答案为：或． 17．如图，中，点、分别是、延长线上一点，、的角平分线、交于点，连接，过点作、，垂足分别是点、，则、、之间的数量关系是 ． 【答案】 【知识点】全等三角形综合问题、角平分线的性质定理、角平分线的判定定理 【分析】本题考查了角平分线的性质与判定、全等三角形的判定和性质，解决本题的关键是根据全等三角形的性质找到边之间的关系．首先过点作，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可证，利用可证和，根据全等三角形对应边相等可证、，从而找到、、之间的数量关系． 【详解】解：如下图所示，过点作， 平分，、， ， 又平分， ， ， 平分， ， 在和中， ， ， 同理可证， ， ， 故答案为： ． 18．如图1，分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形，面积分别为；如图2，分别以直角三角形三边长为半径向外作半圆，面积分别为．其中，，，，则 ． 【答案】54 【知识点】等边三角形的性质、以直角三角形三边为边长的图形面积、利用二次根式的性质化简、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理、等边三角形、圆形面积的知识；解题的关键是熟练掌握勾股定理、等边三角形面积计算和性质，从而完成求解． 设对应的边长为，根据题意，通过等边三角形和勾股定理的性质，得，从而计算得到；设对应的边长为，通过圆形面积和勾股定理性质，得，从而计算得到，即可得到答案． 【详解】解：分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形，面积分别为， 则对应的边长设为， 过点A作， 则， ∴， ∴， 同理， ∴， ∵， ， ， 以直角三角形三边长为直径向外作半圆，面积分别为， 则对应的边长设为， 根据题意得：， ， ， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：54． 评卷人 得分 三、解答题 19．如图，点是等边内一点，连接，延长到点，使．延长到点，使，连接． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的性质、三角形的外角的定义及性质、等边对等角 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外角的定义及性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）利用“”证明得出，即可得证； （2）由等边三角形的性质得出，，求出，得出，再由三角形外角的定义及性质得出，即可得解． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 20．一位同学要用彩带装饰一个长方体礼盒，长方体高，底面是边长为的正方形，从顶点到顶点如何贴彩带用的彩带最短？最短长度是多少？      【答案】最短长度为． 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】将长方体的侧面展开为一个平面，连接，即为最短路径；用勾股定理求出的长，即可得到答案． 【详解】解：把长方体的面沿棱展开至面上，构成矩形，连接，则点到的最短距离为的长度，      根据题意可得：，， ∴， 由勾股定理得：， ∴， 如图，把长方体的面沿棱展开至面，构成矩形，连接，则点到的最短距离为的长度，    根据题意可得：，， 由勾股定理得：， ∴， ∵ ∴最短长度为． 【点睛】此题考查了勾股定理在实际生活中的应用，解题的关键是将立体几何的问题转化成平面几何的问题来解决，勾股定理反映了直角三角形三条边的关系，利用勾股定理，给出任意两条边的长度，就可以求出第三条边的长度． 21．如图，在等边中，D、E分别是、上的点，且，与交于点F． (1)求证：； (2)作，垂足为G，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的性质、含30度角的直角三角形 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，直角三角形的性质以及等边三角形的性质等知识， （1）由等边三角形的性质得，，再证出，进而即可得解； （2）由，可得，由，可得，再由直角三角形的性质即可得解； 熟练利用全等三角形的判定得出是解题关键． 【详解】（1）解：是等边三角形， ，， 在和中 ， ， ； （2）证明：，垂足为， ， ． ， ， ∴． 22．某条高速公路限速，如图，一辆大巴车在这条高速公路上沿直线行驶，某时刻刚好行驶到路对面处车速检测仪的正前方的处，如图，过了大巴车到达处，此时测得大巴车与处车速检测仪的距离为． (1)求的长； (2)通过计算说明大巴车是否超速？ 【答案】(1)； (2)超速了． 【知识点】用勾股定理解三角形、判断汽车是否超速(勾股定理的应用) 【分析】（）利用勾股定理即可求解； （）求出大巴车的速度即可判断求解； 本题考查了勾股定理的实际应用，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意可得，，，， ∴， ∴的长为； （2）解：， ∵， ∴大巴车超速了． 23．如图，直线交于点O，分别平分和，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)． 【知识点】与余角、补角有关的计算、内错角相等两直线平行、角平分线的有关计算、对顶角相等 【分析】本题考查了平行线的判定、对顶角的性质、同角的余角相等、角平分线的定义等知识点，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． （1）先利用角平分线的定义可得，从而利用平角定义可得，然后利用同角的余角相等可得，再利用平行线的判定即可得到结论； （2）利用（1）的结论可得，然后利用平角定义可得，然后利用对顶角相等可得，再利用角平分线的定义可得，从而利用平角定义即可解答． 【详解】（1）证明：分别平分和， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 24．在矩形中，，，点P从点A开始沿边以的速度移动，点Q从点C开始沿边以的速度移动，如果点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中有一点到达点B或点D时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t（s）． (1)当t为何值时，点P、Q之间的距离为； (2)连接、，当t为何值时，为直角三角形． 【答案】(1) (2)或或 【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用)、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】本题考查了矩形的性质与判定、勾股定理、一元二次方程的应用，熟练掌握以上知识点，学会利用勾股定理列出一元二次方程是解题的关键． （1）作交于点，利用矩形的性质得到，，再利用勾股定理列出方程求解即可； （2）分两种情况①；②，根据矩形的性质和勾股定理分别列出方程求解即可． 【详解】（1）解：作交于点，则， 由题意得，，， ， 四边形是矩形， ，， 在中，， ， ， ， 解得：， 当时，点P、Q之间的距离为． （2）解：①若，作交于点，则， 由题意得，，， ， 在中，， ， 四边形是矩形， ，， ， 在中，， 在中，， ， 解得：，， 或； ②若， ， 四边形是矩形， ，， ， 由①得，， 在中，， ， 解得：，（舍去负值）， ； 综上所述，当或或时，为直角三角形． 25．如图所示，在中，点，在边上，且使，，则点，叫做的一对“等腰点”． (1)如图①所示，当时，求证：为等腰三角形； (2)如图②所示，，是的一对“等腰点”，若，，求的度数； (3)如图③所示，，是的一对“等腰点”，若，求的度数（用含的代数式表示）． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【知识点】等腰三角形的性质和判定、三角形内角和定理的应用、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理． （1）由题意可得，由等边对等角可得，再证明得出即可得证； （2）由三角形内角和定理可得，由等边对等角结合三角形内角和定理可得，，最后再由三角形内角和定理计算即可得解； （3）由等边对等角结合三角形内角和定理可得，，再由三角形内角和定理计算即可得解． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． （2）解：∵，， ∴ ∵、是等腰三角形， ∴，， ∴， （3）解：∵、是等腰三角形， ∴，， ∴， ∴． 由题意，得， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$