专题04 二次根式单元过关【基础版】-2024-2025学年八年级数学下册重难考点强化训练（人教版）

专题04 二次根式单元过关（基础版） 考试范围：第16章；考试时间：120分钟；总分：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 评卷人 得分 一、单选题 1．若二次根式在实数范围内有意义，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 3．下列二次根式中，最简二次根式是（   ） A． B． C． D． 4．下列计算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 5．下列根式中能与合并的是（    ） A． B． C． D． 6．已知实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，则 （    ） A． B． C． D． 7．下列关于的叙述中，错误的是（   ）． A．面积为5的正方形的边长为 B．是无理数 C．在数轴上存在表示的一个点 D．的小数部分是： 8．老师设计了一个“接力游戏”，用合作的方式完成二次根式的混合运算，如图，老师把题目交给一位同学，他完成一步解答后交给第二位同学，依次进行，最后完成计算．规则是每人只能看到前一人传过来的式子．接力中，自己负责的式子出现错误的是（   ） A．小明和小丽 B．小丽和小红 C．小红和小亮 D．小丽和小亮 9．下列说法中，不正确的是（   ） A．5是25的算术平方根 B．是49的平方根 C．是的立方根 D．是27的立方根 10．已知，则化简的结果为（　　） A． B． C． D． 第II卷（非选择题） 评卷人 得分 二、填空题 11．计算： ； ． 12．已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简的结果为 ． 13．在二次根式，，，，，，中，最简二次根式有 个． 14．计算： ． 15．比较大小： ． 16．若与最简二次根式可以合并，则 ． 17．如果三角形三边长分别为，k ，，则化简 得 18．观察下列二次根式的化简：，，，从计算结果中找到规律，再利用这一规律计算下列式子的值． ． 评卷人 得分 三、解答题 19．计算下列各题： (1)； (2)． 20．（1）若，求的值； （2）已知有理数a，b，c在数轴上对应位置如图所示： ①用“＜”或“>”填空：___________0，___________0； ②化简：． 21．已知，，求的值． 22．已知，求的值． 23．观察下列各个等式： 第①个等式：； 第②个等式：； 第③个等式：； 第④个等式：； …… 按以上等式规律，解决下面的问题： (1)写出第⑤个等式： ． (2)完成第n个等式： ，并证明这个等式的正确性． 24．已知，求的值．小明是这样分析与解答的： ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)若，求的值； (2)计算：　 　； (3)比较与的大小，并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 二次根式单元过关（基础版） 考试范围：第16章；考试时间：120分钟；总分：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 评卷人 得分 一、单选题 1．若二次根式在实数范围内有意义，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二次根式有意义的条件、求一元一次不等式的解集 【分析】本题主要考查了解不等式以及二次根式有意义的条件等知识点，根据二次根式有意义的条件，解不等式即可得解，熟练掌握二次根式有意义的条件是解决此题的关键． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴， ∴， 故选：D． 2．下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的平方根、求一个数的立方根 【分析】本题考查了算术平方根、平方根、立方根，根据立方根、平方根和算术平方根的定义，进行计算即可解答，掌握算术平方根、平方根以及立方根的定义是解题的关键． 【详解】解：、，原选项错误，不符合题意； 、，原选项错误，不符合题意； 、，原选项正确，符合题意； 、，原选项错误，不符合题意； 故选：． 3．下列二次根式中，最简二次根式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】最简二次根式的判断 【分析】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的性质是解题的关键． 根据最简二次根式的性质判断即可．当二次根式满足一下条件即为最简二次根式：①被开方数不含开的尽方的数或式；②根号内没有分母． 【详解】A．，是最简二次根式，故该选项符合题意； B． ，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； C．，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； D．，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； 故选A． 4．下列计算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二次根式的加减运算、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式的性质及二次根式的加减运算法则，掌握二次根式的性质和二次根式的运算法则，是解题的关键．根据二次根式的性质和二次根式的运算法则对各选项进行分析求解即可得解． 【详解】解：A、与不能合并，故本选项错误； B、，故本选项错误； C、与不能合并，故本选项错误； D、，故本选项正确； 故选：D． 5．下列根式中能与合并的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】同类二次根式 【分析】本题考查同类二次根式的定义．根据题意，能够与合并即与为同类二次根式，逐项判断即可． 【详解】解：A.能与合并，此项符合题意； B.不能与合并，此项不符合题意； C.不能与合并，此项不符合题意； D.不能与合并，此项不符合题意． 故选：A． 6．已知实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用二次根式的性质化简、根据点在数轴的位置判断式子的正负 【分析】本题考查二次根式的性质，化简绝对值，数轴上的点表示实数，理解并运用二次根式的性质是解题的关键．根据数轴可得到，，，再根据所给的二次根式的性质即可求解． 【详解】解：由数轴可知，，， ，， ； 故选：C． 7．下列关于的叙述中，错误的是（   ）． A．面积为5的正方形的边长为 B．是无理数 C．在数轴上存在表示的一个点 D．的小数部分是： 【答案】D 【知识点】求一个数的算术平方根、无理数、实数与数轴、无理数的大小估算 【分析】运用算术平方根、数轴和无理数的估算知识进行逐一辨别、求解．此题考查了算术平方根、实数与数轴，无理数的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识． 【详解】解：面积为5的正方形的边长为， 选项A不符合题意； 是无理数， 选项B不符合题意； 在数轴上存在表示的一个点， 选项C不符合题意； 的小数部分是， 选项D符合题意， 故选：D． 8．老师设计了一个“接力游戏”，用合作的方式完成二次根式的混合运算，如图，老师把题目交给一位同学，他完成一步解答后交给第二位同学，依次进行，最后完成计算．规则是每人只能看到前一人传过来的式子．接力中，自己负责的式子出现错误的是（   ） A．小明和小丽 B．小丽和小红 C．小红和小亮 D．小丽和小亮 【答案】B 【知识点】二次根式的混合运算、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的除法运算和性质是解答的关键．根据二次根式的除法法则可和性质逐个判断即可． 【详解】解：∵， ∴小明没有出现错误； ∵， ∴小丽出现错误； ∵， ∴小红出现错误； ∵， ∴小亮没有出现错误， 故自己负责的式子出现错误的是小丽和小红， 故选：B． 9．下列说法中，不正确的是（   ） A．5是25的算术平方根 B．是49的平方根 C．是的立方根 D．是27的立方根 【答案】D 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的平方根、求一个数的立方根 【分析】本题主要考查平方根，算术平方根以及立方根，熟练掌握定义解题的关键．根据运算法则进行计算即可． 【详解】解：5是25的算术平方根，正确，故选项A不符合题意； 是49的平方根，正确，故选项B不符合题意； 是的立方根，正确，故选项C不符合题意； 是27的立方根，错误，故选项D符合题意； 故选D． 10．已知，则化简的结果为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】化简绝对值、完全平方公式分解因式、利用二次根式的性质化简、已知条件式，化简求值 【分析】本题考查二次根式的性质与化简，根据绝对值的性质得，即，所以，，再根据二次根式的性质化简即可．掌握二次根式的性质及绝对值的意义是解题的关键．也考查了完全平方公式的应用． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴ ． 故选：A． 第II卷（非选择题） 评卷人 得分 二、填空题 11．计算： ； ． 【答案】 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的加减运算 【分析】本题考查了二次根式的减法、利用二次根式的性质进行化简，先利用二次根式的性质进行化简，再根据二次根式的减法法则计算即可得出答案． 【详解】解：， ， 故答案为：，． 12．已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简的结果为 ． 【答案】 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了根据点在数轴的位置判断式子的正负，利用二次根式的性质进行化简．熟练掌握根据点在数轴的位置判断式子的正负，利用二次根式的性质进行化简是解题的关键． 由数轴可知，，，则，然后利用二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解：由数轴可知，，， ∴， ∴， 故答案为：． 13．在二次根式，，，，，，中，最简二次根式有 个． 【答案】2 【知识点】最简二次根式的判断、化为最简二次根式 【分析】将各二次根式能化简的依次化简后即可得到答案. 【详解】解： =，=，=，=，=，=，=， ∴，是最简二次根式， 故答案为：2. 【点睛】此题考查最简二次根式：①被开方数不含分母，②被开方数中不含开得尽方的因数或因式，以及化简二次根式. 14．计算： ． 【答案】/ 【知识点】二次根式的加减运算 【分析】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式运算法则是解本题的关键； 直接利用二次根式运算法则进行计算即可． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 15．比较大小： ． 【答案】 【知识点】比较二次根式的大小 【分析】此题主要考查了实数的大小的比较，要比较的两个数都是带根号的无理数时，应把根号外的数整理到根号内，然后比较被开方数．也可以采用求近似值的方法来进行比较． 因为相比较的两个数都带根号，所以应把根号外的数整理到根号内，然后比较被开方数的大小即可． 【详解】解：， ∵， ∴ 故答案为： 16．若与最简二次根式可以合并，则 ． 【答案】1 【知识点】化为最简二次根式、已知最简二次根式求参数、同类二次根式 【分析】本题考查了最简二次根式以及同类二次根式，先整理得，因为与最简二次根式可以合并，故，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∵与最简二次根式可以合并， ∴， ∴， 故答案为：1． 17．如果三角形三边长分别为，k ，，则化简 得 【答案】/ 【知识点】三角形三边关系的应用、利用二次根式的性质化简、化简绝对值 【分析】本题主要考查了三角形三边的关系，化简绝对值，化简二次根式. 首先根据三角形三边的关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出k的取值范围，然后根据求解即可. 【详解】解：∵一个三角形的三边长分别为、、， ∴， ∴， ∴ . 故答案为： 18．观察下列二次根式的化简：，，，从计算结果中找到规律，再利用这一规律计算下列式子的值． ． 【答案】 【知识点】分母有理化、二次根式的混合运算 【分析】本题考查的是二次根式的分母有理化以及二次根式的加减运算，先将第一个括号内的各项分母有理化，此时发现，除第二项和倒数第二项外，其他各项的和为0，由此可计算出第一个括号的值，然后再计算和第二个括号的乘积，能够发现式子的规律是解答此题的关键． 【详解】 解：原式 ， 故答案为：． 评卷人 得分 三、解答题 19．计算下列各题： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】运用完全平方公式进行运算、利用二次根式的性质化简、二次根式的混合运算 【分析】（）根据二次根式的乘法运算法则和完全平方公式运算，再合并即可； （）利用二次根式的性质及乘法运算法则运算，再合并即可； 本题考查了二次根式的运算，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 20．（1）若，求的值； （2）已知有理数a，b，c在数轴上对应位置如图所示： ①用“＜”或“>”填空：___________0，___________0； ②化简：． 【答案】（1）9；（2）①；；② 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、化简绝对值、利用算术平方根的非负性解题、求一个数的立方根 【分析】（1）根据算术平方根的被开方数大于等于求出n的值，进而求出m的值，然后代值计算即可； （2）①根据数轴上点的位置可知，由此即可得到答案；②根据①可知，据此求解即可 【详解】解：（1）∵要有意义， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）①由题意得：， ∴， 故答案为：；； ②由①得：， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了算术平方根，立方根，代数式求值，化简绝对值，根据数轴上点的位置判定式子符号等等，熟知相关知识是解题的关键． 21．已知，，求的值． 【答案】 【知识点】已知字母的值，化简求值 【分析】本题考查了配方法，代数式求值，二次根式的混合运算，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先通过配方，化简，然后代入求值即可． 【详解】解：原式 当，时， 原式 22．已知，求的值． 【答案】 【知识点】分式化简求值、利用二次根式的性质化简、二次根式的混合运算 【分析】先根据分式混合运算的法则和二次根式的性质把原式进行化简，再把a的值代入代数式进行计算即可． 【详解】解： ∵， ∴， ∴原式 【点睛】本题考查的是分式的化简求值，二次根式的性质，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键． 23．观察下列各个等式： 第①个等式：； 第②个等式：； 第③个等式：； 第④个等式：； …… 按以上等式规律，解决下面的问题： (1)写出第⑤个等式： ． (2)完成第n个等式： ，并证明这个等式的正确性． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】此题考查了二次根式的运算，根据题意找到规律是解题的关键． （1）根据题目提供的规律写出答案即可； （2）根据题目中的规律得到答案，再利用二次根式的性质进行计算证明即可． 【详解】（1）根据题意： 第①个等式：； 第②个等式：； 第③个等式：； 第④个等式：； 则第⑤个等式： 故答案为： （2） 故答案为： 证明如下： 左边 ∵n为大于或等于1的整数， ∴ ∴左边右边. 成立. 24．已知，求的值．小明是这样分析与解答的： ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)若，求的值； (2)计算：　 　； (3)比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)2 (2) (3)，理由见详解 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算、二次根式的混合运算、分母有理化 【分析】（1）结合题意，求得，然后代入求值即可； （2）将原式整理为，即可获得答案； （3）比较与的大小，即可获得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴； （2） ． 故答案为：； （3），理由如下： ∵， ∴， ∴，， ∵， ， 又∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了分母有理化、二次根式混合运算、代数式求值、利用平方差公式和完全平方公式进行运算等知识，正确理解题意，结合题目中解题思路进行分析是解题关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$