专题06 相交线与平行线单元过关【培优版】-2024-2025学年七年级数学下册重难考点强化训练（人教版2024）

专题06 相交线与平行线单元过关（培优版） 考试范围：第7章；考试时间：120分钟；总分：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 评卷人 得分 一、单选题 1．如图要被移动到其它位置，下面哪个图形是移动后的该图（　　） A． B． C． D． 2．如图，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．下列说法中正确的是（   ） A．相等的角是对顶角 B．有一个公共顶点和一组公共边，并且和为的两个角互为邻补角 C．直线外一点到这条直线的垂线段的叫做点到直线的距离 D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 4．如图，将一块带有角的直角三角板放置在一组平行线上，若，则的度数应该是（   ） A． B． C． D． 5．如图，若，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 6．用“垂线段最短”来解释的现象是（　　） A．   测量跳远成绩 B．   木板上弹墨线 C．   两钉子固定木条 D．  弯曲河道改直 7．如图，、分别在和内部，若，则下列条件中，不能判定的是（    ）    A． B．且 C．且 D． 8．如图，下列说法正确的是（    ）    A．与是同位角 B．与是内错角 C．与是同位角 D．与是同旁内角 9．如图，有下列条件：①；②；③；④．其中，能判断直线的有（　　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 第II卷（非选择题） 评卷人 得分 二、填空题 10．如图，在中，，将沿平移得到，与相交于点G，则的长为 ． 11．如图，一楼梯的高度为6.4m，水平宽度为8.6m，现要在楼梯的表面铺一种地毯，此种地毯每米需10元钱，那么购买地毯需要 元． 12．已知和互为邻补角，平分，射线在内部，且，，，则 ． 13．已知：在同一平面内，三条直线a，b，c．下列四个命题为真命题的是 ．（填写所有真命题的序号） ①如果ab，，那么；     ②如果，，那么； ③如果ab，cb，那么ac；       ④如果，，那么bc． 14．如图，AC⊥BC，垂足为C，且BC＝5，AC＝12，AB＝13，则点A到BC的距离是 ，点B到点A的距离是 ． 15．已知：如图，，的平分线与的平分线交于点M，，，，则 ． 评卷人 得分 三、解答题 16．如图所示，直线，相交于点O，平分，平分，，垂足为H，与平行吗？说明理由．    17．如图，在中，点、分别在、上，且，． (1)试猜想与的关系，并说明理由； (2)若平分，判断与位置关系，并说明理由． 18．如图，，，．将求的过程填写完整． 解：∵（已知） ∴________（________）， 又∵（已知）， ∴（________）， ∴________（________）， ∴________（________）， ∵（已知）， ∴________． 19．已知的两边与的两边分别平行，即，试探究：      (1)如图1，与的关系是 ___________ ； (2)如图2，写出与的关系，并说明理由； (3)根据上述探究，请归纳概括出一个真命题． 20．如图，点A，O，B在同一直线上，是的平分线． (1)请用一个直角三角尺作出的平分线； (2)在（1）作图的基础上，说明平分的理由． 理由：因为是的平分线， 所以， 因为_______， 所以_______， 所以， 因为， 所以______________（理由：______________）， 所以是的平分线． 21．如图，已知，．点是射线上一动点（与点不重合），，分别平分和交射线于点E，F． (1)求的度数，若，请直接用含的式子表示； (2)随着点的运动，设，，与之间的数量关系是否改变？若不改变，请求出此数量关系；若改变，请说明理由； (3)当时，请直接写出的度数． 22．完成下面的推理填空： 已知：如图，、分别在和上，，与互余，于． 求证：． 证明：，（已知） ．（垂直的定义） ，（已知） __________．（_____） ，（_____） 又， _____． 又与互余，（已知） ．（同角的余角相等） ．（_____） 23．【感知】如图①，，点E在直线上，点F在直线上，点P为，之间一点，求证：． 小明想到以下的方法，请你帮忙完成推理过程． 证明：如图①，过点P作． ∵（已知）， ∴（平行与同一条直线的两条直线平行）， ∴________， ∴（等式性质）， ∴． （1）【应用】小明同学进行了更进一步的思考：利用【感知】中的结论进行证明如图②，直线，点A，C在直线a上，点B，D在直线b上，直线，分别平分，且交于点E．猜想并证明与的数量关系． （2）【拓展】如图③，，直线与分别交于点M，N，点P在上，点G在上，，若动点E在线段上移动（不与M，G，N重合），连接PE，和的平分线交于点H，补全图形，请直接写出与的数量关系． （3）在（1）的条件下，若直线的位置如图④所示，请直接写出与的数量关系． 24．如图，直线，直线分别交、于点、．点在直线上方，点在直线上（在点的右边），连接，平分． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若平分，直线交于点，请探究与之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在（2）问的条件下，连接并延长．若，，将绕着点以每秒的速度逆时针旋转，设旋转时间为秒，在旋转过程中，射线始终平分，是内部一条射线，平分，当，且的度数为射线与直线所夹锐角的倍时，直接写出的值（本题研究的所有角度均小于）． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 相交线与平行线单元过关（培优版） 考试范围：第7章；考试时间：120分钟；总分：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 评卷人 得分 一、单选题 1．如图要被移动到其它位置，下面哪个图形是移动后的该图（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】图形的平移、判断由一个图形旋转而成的图案 【分析】根据移动的特点，移动只改变图形的位置，图形的大小和形状不发生变化．要注意移动时不改变图形的大小和形状． 【详解】解：根据移动的特点，B、C、D中图形的形状发生了改变，不是平移； A、是图形旋转得到的，是移动． 故选：A． 2．如图，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，根据题意，过作，由平行线的性质可得，结合即可求解． 【详解】解：过作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 3．下列说法中正确的是（   ） A．相等的角是对顶角 B．有一个公共顶点和一组公共边，并且和为的两个角互为邻补角 C．直线外一点到这条直线的垂线段的叫做点到直线的距离 D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】D 【知识点】点到直线的距离、对顶角的定义、邻补角的定义理解、平行公理的应用 【分析】分别根据对顶角，邻补角，点到直线的距离和平行公理进行判断即可． 【详解】解：A、相等的角不一定是对顶角，原说法错误，不符合题意； B、两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，叫作互为邻补角，原说法错误，不符合题意； C、直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫作点到直线的距离，故不符合题意； D、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，符合题意， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了对顶角和邻补角的定义，点到直线的距离，平行公理，熟知相关知识是解题的关键． 4．如图，将一块带有角的直角三角板放置在一组平行线上，若，则的度数应该是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】平行公理推论的应用、两直线平行内错角相等、等式的性质1 【分析】本题主要考查了平行公理的推论，两直线平行内错角相等，等式的性质等知识点，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 过三角形的角的顶点作，由两直线平行内错角相等可得，由等式的性质可得，由平行公理的推论可得，由两直线平行内错角相等可得，于是得解． 【详解】解：如图，过三角形的角的顶点作， ， ， ， ，， ， ， 故选：． 5．如图，若，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】同旁内角互补两直线平行、两直线平行同旁内角互补、对顶角相等、等式的性质1 【分析】本题主要考查了对顶角相等，平行线的判定及性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 由对顶角相等可得，进而可得，由同旁内角互补两直线平行可得，由两直线平行同旁内角互补可得，进而可得，由对顶角相等可得，于是得解． 【详解】解：如图， ，， ， ， ， ， ， ， 故选：． 6．用“垂线段最短”来解释的现象是（　　） A．   测量跳远成绩 B．   木板上弹墨线 C．   两钉子固定木条 D．  弯曲河道改直 【答案】A 【知识点】垂线段最短、两点确定一条直线、两点之间线段最短 【分析】本题考查了线段的性质，根据给出的现象逐一分析即可，解题时注意：两点的所有连线中可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短，从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段，垂线段的性质是垂线段最短． 【详解】解：A、测量跳远成绩是利用了“垂线段最短”，故选项符合题意； B、木板上弹墨线是利用了“两点确定一条直线”，故选项不符合题意； C、两钉子固定木条是利用了“两点确定一条直线”，故选项不符合题意； D、把弯曲的河道改直，就能缩短路程是利用了“两点之间，线段最短”，故选项不符合题意； 故选：A． 7．如图，、分别在和内部，若，则下列条件中，不能判定的是（    ）    A． B．且 C．且 D． 【答案】D 【知识点】同(等)角的余(补)角相等的应用、内错角相等两直线平行 【分析】根据“内错角相等，两直线平行”，进行逐一判断即可求解． 【详解】A.因为，，所以，所以，由“内错角相等，两直线平行” ，可得，故此项不符合题意； B.因为且，，所以，由A可得，故此项不符合题意； C.因为且，所以，由“内错角相等，两直线平行” ，可得，故此项不符合题意； D.由无法判断，故此项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线的判定，掌握判定方法是解题的关键． 8．如图，下列说法正确的是（    ）    A．与是同位角 B．与是内错角 C．与是同位角 D．与是同旁内角 【答案】D 【知识点】同位角、内错角、同旁内角 【分析】根据同位角，内错角，同旁内角的定义逐个判断即可． 【详解】解：、和不是同位角，故本选项不符合题意； B、和不是内错角，故本选项不符合题意； C、和是内错角，不是同位角，故本选项不符合题意； D、和是同旁内角，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了同位角，内错角，同旁内角的定义等知识点，能正确找出同位角、内错角、同旁内角是解此题的关键． 9．如图，有下列条件：①；②；③；④．其中，能判断直线的有（　　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【知识点】同位角相等两直线平行、内错角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行 【分析】同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．依据平行线的判定方法即可得出结论． 【详解】解：①由∠1＝∠2，可得ab； ②由∠3＋∠4＝180°，可得ab； ③由∠5＋∠6＝180°，∠3＋∠6＝180°，可得∠5＝∠3，即可得到ab； ④由∠2＝∠3，不能得到ab； 故能判断直线ab的有3个， 故选：B． 【点睛】本题主要考查平行线的判定，掌握平行线的判定方法是解决问题的关键． 第II卷（非选择题） 评卷人 得分 二、填空题 10．如图，在中，，将沿平移得到，与相交于点G，则的长为 ． 【答案】5 【知识点】两直线平行同位角相等、等腰三角形的性质和判定、利用平移的性质求解 【分析】本题考查了平移的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，掌握平移的性质是解题的关键．根据平移的性质得，，从而得到，进而即可求解． 【详解】解：将沿平移得到， ，， ， ， ， ， ． 故答案为：5． 11．如图，一楼梯的高度为6.4m，水平宽度为8.6m，现要在楼梯的表面铺一种地毯，此种地毯每米需10元钱，那么购买地毯需要 元． 【答案】150 【知识点】利用平移解决实际问题 【分析】根据题意，结合图形，先把楼梯的横竖向上向左平移，构成一个矩形，再求得其面积，则购买地毯的钱数可求． 【详解】利用平移线段，把楼梯的横竖向上向左平移，构成一个矩形，长宽分别为6.4米，8.6米 ∴地毯的长度为6.4+8.6=15米， 答：购买地毯至少需要150元． 【点睛】本题考查了平移性质，解决此题的关键是要利用平移的知识，把要求的所有线段平移到一条直线上进行计算． 12．已知和互为邻补角，平分，射线在内部，且，，，则 ． 【答案】或 【知识点】垂线的定义理解、利用邻补角互补求角度、几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】本题主要考查了垂线，角平分线的定义，邻补角的定义，根据等量关系，利用方程思想求得的度数是解决问题的关键．分两种情况进行讨论：在上方，或在下方，先依据已知条件求得的度数，再根据，即可得到结果． 【详解】解：分两种情况进行讨论：①如图1所示，若在上方， 平分， ， ， ，即， 设，则，， 为平角， ， 即， 解得， ， 又， ， ； ②如图2所示，若在下方， 同理可得，， 又， ， ， 综上所述，的度数为或． 故答案为：或． 13．已知：在同一平面内，三条直线a，b，c．下列四个命题为真命题的是 ．（填写所有真命题的序号） ①如果ab，，那么；     ②如果，，那么； ③如果ab，cb，那么ac；       ④如果，，那么bc． 【答案】①③④ 【知识点】平行公理的应用、判断命题真假、垂直于同一直线的两直线平行 【分析】分别根据每种情况画出符合条件的图形，再结合垂直的定义，平行线的判定逐一判断即可． 【详解】解：如图，ab，， 则，故①符合题意； 如图，，， 则 故②不符合题意；④符合题意； 如图，ab，cb， 则ac；故③符合题意； 故答案为：①③④ 【点睛】本题考查的是平面内直线与直线的位置关系，平行线的性质，垂直的定义，命题真假的判断，掌握“平行公理，平面内垂直于同一直线的两直线平行”是解本题的关键． 14．如图，AC⊥BC，垂足为C，且BC＝5，AC＝12，AB＝13，则点A到BC的距离是 ，点B到点A的距离是 ． 【答案】 12 13 【知识点】两点间的距离、点到直线的距离 【分析】点到直线的距离是指垂线段的长度，两点间的距离是连接两点的线段的长度． 【详解】点A到直线BC的垂线段是AC，所以线段AC的长是点A到直线BC的距离，即点A到BC的距离是12； 点B到点A的距离是线段AB的长，即点B到点A的距离是13. 故答案为12，13. 【点睛】本题考查的知识点是点到直线的距离，两点间的距离，解题的关键是熟练的掌握点到直线的距离，两点间的距离. 15．已知：如图，，的平分线与的平分线交于点M，，，，则 ． 【答案】/88度 【知识点】角平分线的有关计算、两直线平行内错角相等 【分析】本题考查平行线的性质、角平分线的定义等，解题的关键是会添加常用辅助线（即过“拐点”作平行线），一般而言，有几个“拐点”就需要作几条平行线，从而利用“拐点”模型的基本结论解决问题；过点、、分别作，根据平行线的传递性得出，再根据两直线平行内错角相等以及角平分线的定义即可求解； 【详解】过点、、分别作， ∵ ， ， 平分，平分 ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 评卷人 得分 三、解答题 16．如图所示，直线，相交于点O，平分，平分，，垂足为H，与平行吗？说明理由．    【答案】，理由见解析 【知识点】同位角相等两直线平行、角平分线的有关计算、垂线的定义理解 【分析】本题考查了角平分线，平行线的判定．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 由平分，平分，可得，，由可得，即，由可得． 【详解】解：，理由如下： ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴，即， ∵ ， ∴， ∴ ∴． 17．如图，在中，点、分别在、上，且，． (1)试猜想与的关系，并说明理由； (2)若平分，判断与位置关系，并说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 【知识点】内错角相等两直线平行、两直线平行同旁内角互补 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的性质及平行线的判定，熟练掌握平行线的性质和判定是解题的关键． （1）由平行线的性质和，可推出与的关系； （2）由（1）的结论和平分，可得与的关系，利用平行线的判定得结论． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：，理由如下： ∵平分， ∴， 由（1）知， ∴， ∴． 18．如图，，，．将求的过程填写完整． 解：∵（已知） ∴________（________）， 又∵（已知）， ∴（________）， ∴________（________）， ∴________（________）， ∵（已知）， ∴________． 【答案】；两直线平行，同位角相等；等量代换；；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补； 【知识点】根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题考查了平行线的性质与判定．根据平行线的性质与判定即可求出答案． 【详解】解：∵（已知） ∴（两直线平行，同位角相等）， 又∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， ∵（已知）， ∴． 故答案为：；两直线平行，同位角相等；等量代换；；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补；． 19．已知的两边与的两边分别平行，即，试探究：      (1)如图1，与的关系是 ___________ ； (2)如图2，写出与的关系，并说明理由； (3)根据上述探究，请归纳概括出一个真命题． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 (3)如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或者互补 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、写出命题的题设与结论 【分析】（1）根据平行线的性质得出，即可得出答案； （2）根据平行线的性质得出，即可得出答案； （3）根据（1）（2）可推出，如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或者互补． 【详解】（1）解：，理由如下： 如下图，    ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：，理由如下： 如下图，      ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：由题意得：如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或者互补． 【点睛】本题主要考查平行线的性质、命题与证明，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 20．如图，点A，O，B在同一直线上，是的平分线． (1)请用一个直角三角尺作出的平分线； (2)在（1）作图的基础上，说明平分的理由． 理由：因为是的平分线， 所以， 因为_______， 所以_______， 所以， 因为， 所以______________（理由：______________）， 所以是的平分线． 【答案】(1)见解析 (2)；；；；等角的余角相等 【知识点】角平分线的有关计算、垂线的定义理解、同(等)角的余(补)角相等的应用 【分析】本题考查了角平分线的定义，以及等角的余角相等，熟练掌握角平分线的定义，以及等角的余角相等是解题的关键． （1）利用三角尺作，即可； （2）先推出，，然后根据等角的余角相等逐步推理证明，即可求证是的平分线． 【详解】（1）解：作，如图； （2）理由：因为是的平分线， 所以， 因为， 所以， 所以， 因为， 所以（理由：等角的余角相等）， 所以是的平分线． 故答案为：；；；；等角的余角相等． 21．如图，已知，．点是射线上一动点（与点不重合），，分别平分和交射线于点E，F． (1)求的度数，若，请直接用含的式子表示； (2)随着点的运动，设，，与之间的数量关系是否改变？若不改变，请求出此数量关系；若改变，请说明理由； (3)当时，请直接写出的度数． 【答案】(1)， (2)不改变，恒为，理由见解析 (3) 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、角平分线的有关计算 【分析】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的定义的运用等知识点，掌握两直线平行，内错角相等是解题的关键． （1）先根据平行线的性质得出，再根据分别平分和，即可得出的度数；同理：当，用含的式子表示即可； （2）根据平行线的性质得出，再根据平分，即可得到进而得出，进而完成解答； （3）根据，得出，进而得，根据，进而求得的度数． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵分别平分和， ∴ ∴； 若， ∵，． ∴， ∴， ∵分别平分和， ∴， ∴； （2）解：不变．恒为，理由如下： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴，， 当时，则有， ∴， ∴， ∴． 22．完成下面的推理填空： 已知：如图，、分别在和上，，与互余，于． 求证：． 证明：，（已知） ．（垂直的定义） ，（已知） __________．（_____） ，（_____） 又， _____． 又与互余，（已知） ．（同角的余角相等） ．（_____） 【答案】，，同位角相等，两直线平行，两直线平行，同位角相等，，内错角相等，两直线平行； 【知识点】根据平行线判定与性质证明、与余角、补角有关的计算、垂线的定义理解 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，根据题干信息的提示逐步完善推理过程与推理依据即可． 【详解】证明：，（已知） ．（垂直的定义） ，（已知） ．（同位角相等，两直线平行） ，（两直线平行，同位角相等） 又， ． 又与互余，（已知） ．（同角的余角相等） ．（内错角相等，两直线平行） 23．【感知】如图①，，点E在直线上，点F在直线上，点P为，之间一点，求证：． 小明想到以下的方法，请你帮忙完成推理过程． 证明：如图①，过点P作． ∵（已知）， ∴（平行与同一条直线的两条直线平行）， ∴________， ∴（等式性质）， ∴． （1）【应用】小明同学进行了更进一步的思考：利用【感知】中的结论进行证明如图②，直线，点A，C在直线a上，点B，D在直线b上，直线，分别平分，且交于点E．猜想并证明与的数量关系． （2）【拓展】如图③，，直线与分别交于点M，N，点P在上，点G在上，，若动点E在线段上移动（不与M，G，N重合），连接PE，和的平分线交于点H，补全图形，请直接写出与的数量关系． （3）在（1）的条件下，若直线的位置如图④所示，请直接写出与的数量关系． 【答案】感知：，两直线平行，内错角相等； （1）与，证明见解析； （2），图形见解析； （3） 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、根据平行线判定与性质证明 【分析】感知：根据平行线的性质可以直接求解； 应用：（1）分别过作直线的平行线，将根据平行线的性质，将表示成与相关的角，最后通过等量代换找到与的等量关系，进而求解； （2）先根据题目要求补全图形，过作，过作，然后根据平行线的性质，通过等量代换找到与及之间的关系； （3）过作，过作，然后根据平行线的性质，通过等量代换找到与、之间的关系； 【详解】感知：证明：如图①，过点P作． ∵（已知）， ∴（平行与同一条直线的两条直线平行）， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∴（等式性质）， ∴． 故答案为：，两直线平行，内错角相等； 应用： （1） 证明：过F作，过E作；如下图： 则有， ∴ ∴ 即 又∵、为角平分线， ∴ ∴ 即 根据 有 即 ∴ （2）如图所示，过作 ∵ ∴ 同理过作， 设平分的角分别为 ∴, ∴ 同理，，可得到 又∵ ∴ 即 （3）如图所示，过点作 ∵ ∴ 同理，过作，可得 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质、平行公理及推论，角平分线的性质，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质定理． 24．如图，直线，直线分别交、于点、．点在直线上方，点在直线上（在点的右边），连接，平分． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若平分，直线交于点，请探究与之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在（2）问的条件下，连接并延长．若，，将绕着点以每秒的速度逆时针旋转，设旋转时间为秒，在旋转过程中，射线始终平分，是内部一条射线，平分，当，且的度数为射线与直线所夹锐角的倍时，直接写出的值（本题研究的所有角度均小于）． 【答案】(1) (2)，理由加解析 (3)或30或秒 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质探究角的关系、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】（1）根据平分，且，得出，过点作，根据平行线的性质即可求解； （2）设，，过点作，得出，根据平行线的性质可得过点作，进而根据平行线的性质可得，即可求解； （3）根据旋转的性质可得，分四种情况讨论，当在的上方时，设，则，依题意，始终平分，平分，则根据得出①，根据得出②，即可求解，进而当在的下方时，则，同理可得；当时，且在的上方和下方时，列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解： 平分，且， ， 过点作， ， ， 又， ， ， ， ； （2）解：数量关系为：或． 理由如下： 分别平分和， 设，， 过点作， ， ， ， ， ， ， 过点作， ， ，， ，即， ； （3）解：∵，平分，则， ∵未旋转前， 则， ， ∵将绕着点以每秒的速度逆时针旋转，设旋转时间为秒， ∴， 当在的上方时，如图所示， 设，则， 依题意，始终平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴① 又∵，即， 即②， 将②代入①得，， 解得：； 当在的下方时，如图所示， 则，解得：， 将代入①得，， ∴； 如图所示，当时，且在的下方时， 设，则， 依题意，始终平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵，即，即， 将代入， 解得：， 当在的上方时，则，即， 将代入， 解得：（舍去） 综上所述：或或． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质与判定，一元一次方程的应用，分类讨论，熟练掌握一元一次方程的应用是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$